Secara umum, ada dua cara penyajian data, yaitu : 1. Tabel atau daftar
2. Grafik atau diagram
Macam-macam daftar yang dikenal :
a. Daftar baris kolom
b. Daftar kontingensi
c. Daftar distribusi frekuensi Sedangkan diagram :
a. Diagram batang
b. Diagram garis
c. Diagram lambang
d. Diagram lingkaran
e. Diagram peta atau kartogram
f. Diagram pencar atau diagram titik
* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES
a. Tentukan rentang, ialah data terbesar dikurangi data terkecil
b. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan
Banyak kelas = 1 + (3,3) log n
c. Tentukan panjang kelas interval (p)
p = kelas banyak g tan ren
d. Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama dengan
data terkecil atau nilai yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan.
Soal :
Perhatikan nilai ujian statistika untuk 40 orang mahasiswa berikut ini :
79 80 70 68 90 92 80 70 63 76
49 84 71 72 35 93 91 74 60 63
48 90 92 85 83 76 61 99 83 88
74 70 38 51 73 71 72 95 82 70
Buatlah daftar distribusi frekuensinya ?
* UKURAN GEJALA PUSAT & UKURAN LETAK Rata-Rata Hitung
a. Untuk data tunggal
n x n x ... x x x n 1 i i n 2 1
∑
= = + + + =b. Untuk data frekuensi
∑
∑
= i i i f x f xSoal :
1. Diketahui lima nilai ujian mahasiswa untuk mata kuliah statistika : 70, 69, 45, 80, dan 56. tentukan rata-ratanya ?
2. Diberikan data sebagai berikut : Daftar I xi fi 70 69 45 80 56 5 6 3 1 1 Tentukan rata-ratanya ? Modus
> Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi.
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka modusnya :
Mo = b + + 2 1 1 b b b p
dengan b = batas bawah kelas modus, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjang kelas modus
b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas
yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas
yang lebih besar sesudah tanda kelas modus Soal :
1. Terdapat sampel dengan nilai-nilai data : 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14. Tentukan modusnya ?
2. Diberikan data nilai ujian statistika 80 mahasiswa sebagai berikut : Daftar II Nilai Ujian fi 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 1 2 5 15 25 20 12 Tentukan modusnya ? Median
> adalah bilangan pembagi yang membagi sekumpulan data menjadi dua bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya.
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka mediannya :
Me = b + p − f F n 2 1
p = panjang kelas median
n = ukuran sampel atau banyak data
F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median
f = frekuensi kelas median Soal :
1. Diberikan sampel dengan data : 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10 Tentukan mediannya ?
2. Tentukan median pada daftar II ? Kuartil
> adalah bilangan pembagi yang membagi sekumpulan data menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya.
Letak Ki = data ke - 4 ) 1 n ( i + , dengan i = 1, 2, 3
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka kuartil ke-i nya :
Ki = b + p − f F 4 in
dengan b = batas bawah kelas Ki, ialah kelas dimana Ki akan terletak
p = panjang kelas Ki
n = ukuran sampel atau banyak data
F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki
f = frekuensi kelas Ki
Soal :
1. Tentukan K1 dan K3 pada sampel data : 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70 ?
2. Tentukan K3 pada daftar II ?
Desil
> adalah bilangan pembagi yang membagi sekumpulan data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya.
Letak Di = data ke - 10 ) 1 n ( i + , dengan i = 1, 2, ..., 9
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka desil ke-i nya :
Di = b + p − f F 10 in
dengan b = batas bawah kelas Di, ialah kelas dimana Di akan terletak
p = panjang kelas Di
n = ukuran sampel atau banyak data
F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di
Soal :
1. Tentukan D7 pada sampel data : 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70 ?
2. Tentukan D3 pada daftar II ?
Persentil
> adalah bilangan pembagi yang membagi sekumpulan data menjadi seratus bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya.
Letak Pi = data ke - 100 ) 1 n ( i + , dengan i = 1, 2, ..., 99
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka persentil ke-i nya :
Pi = b + p − f F 100 in
dengan b = batas bawah kelas Pi, ialah kelas dimana Pi akan terletak
p = panjang kelas Pi
n = ukuran sampel atau banyak data
F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi
f = frekuensi kelas Pi
* UKURAN SIMPANGAN & VARIASI
> untuk menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif. Simpangan Baku
> pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians.
> untuk sampel, simpangan baku diberi simbol s, sedangkan untuk populasi diberi simbol σ (sigma)
Jika diketahui sampel berukuran n dengan data x1, x2, ..., xn, maka
s =
(
)
) 1 n ( n x x n i2 i 2 − −∑
∑
Jika data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka
s =
(
)
) 1 n ( n x f x f n i i 2 2 i i − −∑
∑
Soal :1. Diberikan sampel data : 8, 7, 10, 11, 4. Tentukan simpangan baku dan variansnya ? 2. Tentukan simpangan baku dan varians pada daftar II ?
Pengertian Pengujian Hipotesis
Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis.
Hupo berarti lemah, kurang, atau di bawah dan thesis berarti teori, proposisi, atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti.
Jadi, hipótesis dapat diartikan sebagai suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan yang sifatnya masih sementara.
Prosedur Pengujian Hipótesis 1. Menentukan Formulasi Hipotesis
Formulasi atau perumusan hipótesis statistik dapat dibedakan atas dua jenis, yaitu sebagai berikut :
a. Hipótesis nol atau hipótesis nihil
Hipótesis nol, disimbolkan H0 adalah hipótesis yang dirumuskan sebagai suatu
pernyataan yang akan diuji.
b. Hipótesis alternatif atau hipótesis tandingan
Hipótesis alternatif disimbolkan H1 atau Ha adalah hipótesis yang dirumuskan sebagai
lawan atau tandingan dari hipótesis nol.
Secara umum, formulasi hipótesis dapat dituliskan : H0 : θ = θ0
H1 : θ > θ0
Pengujian ini disebut pengujian sisi kanan H0 : θ = θ0
H1 : θ < θ0
Pengujian ini disebut pengujian sisi kiri H0 : θ = θ0
H1 : θ≠θ0
Pengujian ini disebut pengujian dua sisi
2. Menentukan Taraf Nyata (Significant Level)
Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya.
Taraf nyata dilambangkan dengan α (alpha)
Besarnya nilai α bergantung pada keberanian pembuat keputusan yang dalam hal ini berapa besarnya kesalahan yang akan ditolerir.
3. Menentukan Kriteria Pengujian
Kriteria pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol (H0) dengan cara membandingkan nilai α tabel distribusinya (nilai kritis)
dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujiannya.
a. Penerimaan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar
daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di luar nilai kritis.
b. Penolakan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil daripada
nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di dalam nilai kritis.
4. Menentukan Nilai Uji Statistik
Uji statistik merupakan rumus-rumus yang berhubungan dengan distribusi tertentu dalam pengujian hipotesis. Uji statistik merupakan perhitungan untuk menduga parameter data sampel yang diambil secara random dari sebuah populasi.
5. Membuat Kesimpulan
Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol (H0), sesuai dengan kriteria pengujiannya.
Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji staistik dengan nilai α
tabel atau nial kritis.
Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis
Dalam pengujian hipotesis, kesimpulan yang diperoleh hanya penerimaan atau penolakan terhadap hipotesis yang diajukan, tidak berarti kita telah membuktikan atau tidak membuktikan kebenaran hipotesis tersebut. Hal ini disebabkan kesimpulan tersebut hanya merupakan inferensi didasarkan sampel.
Dalam pengujian hipotesis dapat terjadi dua jenis kesalahan, yaitu : a. Kesalahan Jenis I
Kesalahan jenis I adalah karena H0 ditolak padahal kenyataannya benar. Artinya, kita
menolak hipotesis tersebut (H0) yang seharusnya diterima.
b. Kesalahan Jenis II
Kesalahan jenis II adalah kesalahan karena H0 diterima padahal kenyataannya salah.
Artinya, kita menerima hipotesis (H0) yang seharusnya ditolak.
Tabel 1. Dua Jenis Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis Keadaan Sebenarnya Kesimpulan H0 Benar H0 Salah Terima Hipotesis Tidak membuat
kekeliruan Kesalahan Jenis II
Tolak
Hipotesis Kesalahan Jenis 1
Tidak membuat kesalahan
Sumber :
Hasan, Iqbal. 2005. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Jakarta : Bumi Aksara.
