DIFFERENSIASI. Gambar 4.1. Gambar 4.2

(1)

DIFFERENSIASI

4.1 Garis singgung

Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.1. Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.2.

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung

l

pada titik A(x1,f(x1)) yang

terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih A

l

Gambar 4.1 Gambar 4.2 A B

l

(2)

suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis

l

1 yang mempunyai kemiringan :

m1 = x -x f(x) -) x ( f 1 1 _{( 4.1 )}

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal

tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x x f(x) -) x ( f lim m lim 1 1 x x 1 x x 1 1 -= ® ® ( 4.2 )

Persaman (4.2) adalah kemiringan garis

l

1 jika x mendekati x1. Jika kita

perhatikan Gambar 4.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis

l

1

jika

x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis

l.

Dalam bentuk limit dapat

ditulis : m f(x) -) x ( f lim m lim ₁ = 1 =

l

1 A

l

B x x1 h x 0 y Gambar 4.3 Kemiringan garis

l

1 = m1 Kemiringan garis

l

= m

(3)

Jadi : x x f(x) -) x ( f lim m 1 1 x x ₁ -= ® ( 4.3 ) Karena x1 – x = h, maka h f(x) -) h x ( f lim m 0 h + = ® ( 4.4 )

Jika dimisalkan h = Dx, maka

x f(x) -) x x ( f lim m 0 x D D + = ® D ( 4.5 )

Persamaan 4.3 s/d 4.5 adalah kemiringan garis

l

pada titik (x, f(x))

Contoh 4.1

Diketahui f(x) = 3x2_{+ 5}

Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2₎

Penyelesaian : x f(x) -) x x ( f lim m 0 x D D + = ® D x 5 x 3 5 x) 3( x x 6 x 3 lim x 5 3x -5 ) x x ( 3 lim 2 2 2 0 x 2 2 0 x D -+ D + D + = D -+ D + = ® D ® D x 6 x 3 x 6 lim 0 x + D = = ® D Jadi m = 6x (*)

Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2_{) maka :}

persamaan (*) menjadi :m = 6a

persamaan (**) menjadi : a2_{= 6a}2_{+ n. Sehingga n = -5a}2

Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2

4.2 Turunan

Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x).

Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk :

x x ) x ( f ) x ( f lim ) x ( ' f 1 1 x x ₁ -=

® , jika nilai limitnya ada ( 4.6 )

Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.

Differensiasi

f(x) f’(x)

(4)

Contoh 4.2

Jika f(x) = 2x2_{+ 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3)}

Penyelesaian : f(x) = 2x2_{+ 5x – 7} f(x+Dx) = 2(x+Dx)2_{+ 5(x+}_D_{x) – 7 = 2x}2_{+ 4x}_D_{x +2(}_D_x)2_{+ 5x + 5}_D_{x – 7} f(x+Dx) – f(x) = 4xDx + 2(Dx)2 _{+ 5}_D_x 5 x 4 5 x 2 x 4 lim x x 5 ) x ( 2 x x 4 lim x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f 0 x 2 0 x 0 x D = + D + = + D + D + D = D -D + = ® D ® D ® D Jadi : f'(x) = 4x+5 f'(c)= 4c+5 17 5 ) 3 ( 4 ) 3 ( ' f = + = 4.3 Notasi turunan

Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f’(x).

4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas

Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti :

Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :

Jika : x ) x ( f ) x x ( f lim 0 x D -D + ® D ada, maka x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f 0 x D -D + = ® D f(x+Dx)-f(x)= x x ) x ( f ) x x ( f D · D -D + x lim . x ) x ( f ) x x ( f lim )) x ( f ) x x ( f ( lim 0 x 0 x 0 x D D -D + = -D + ® D ® D ® D =f’(x) . 0 = 0

Sehingga : lim f( x x) lim f(x)

0 x 0

x® D ®

D D + = ® Dxlim®0f(x) =f(x) (terbukti)

Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.

4.5 Teorema-teorema

4.5.1 Turunan bilangan konstan

(5)

y = f(x) = c maka f'(x) 0 dx dy ₌ ₌ _{( 4.7 )} Bukti : f(x) = c ; f(x+Dx) = c x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f 0 x dx dy D -D + = = ® D = x 0 c c lim 0 x D = -® D (terbukti)

4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :

y = f(x) = kxn maka f'(x) knxn 1 dx dy ₌ ₌ - _{( 4.8 )} Bukti : f(x) = kxn f(x+Dx) = k(x+Dx)n

Dengan mengunakan teorema binomial didapat : k(x+Dx)n

=

! n x ! kn ! ) 1 n ( x ! 1) -k(n ! 2 ) x ( x ) 1 n ( kn ! 1 x knx ! 0 kxn n 1 n 2 2 n-1 ₊ D n -D + + D -+ D + - - _L 1 n 0 x x knx ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f dx dy -® D D = -D + = = (terbukti) Contoh 4.3

Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7 Penyelesaian : 6 1 7 ₃₅_x x ) 7 )( 5 ( ) x ( ' f dx dy ₌ ₌ - ₌ 4.5.3 Aturan penjumlahan

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) = f(x) + g(x) maka f'(x) g'(x) dx dy + = ( 4. 9 ) Bukti : h(x) = f(x) + g(x) h(x+Dx) = f(x+Dx) + g(x+Dx) h’(x) = x ) x ( g ) x ( f ) x x ( g ) x x ( f lim x ) x ( h ) x x ( h lim 0 x 0 x D -D + + D + = D -D + ® D ® D = f'(x) g'(x) x ) x x ( g lim x ) x ( f ) x x ( f lim 0 x 0 x D = + D + + D -D + ® D ® D (terbukti) Contoh 4.4 Diketahui y = 5x6 + 2x-3

(6)

Tentukan dx dy Penyelesaian : f(x) = 5x6 g(x) = 2x-3 f’(x) = 30x5 g’(x) = -6x-4 = dx dy _{f’(x) + g’(x) = 30x}5_{– 6x}-4 4.5.4 Aturan perkalian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) = f(x).g(x) maka f'(x)g(x) f(x)g'(x) dx dy + = (4.10) Bukti : h’(x) = x ) x ( g ). x ( f ) x x ( g ). x x ( f lim 0 x D -D + D + ® D = x ) x ( g ). x ( f ) x ( g ). x x ( f ) x ( g ). x x ( f ) x x ( g ). x x ( f lim 0 x D -D + + D + -D + D + ® D = x ) x ( g ) x x ( g ) x x ( f lim 0 x D -D + D + ® D + x ) x ( f ) x x ( f ) x ( g lim 0 x D -D + ® D = f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti) Contoh 4.5 Diketahui y = (3x5 + 2x-2)(7x+3) Tentukan dx dy Penyelesaian : f(x) = 3x5 + 2x-2 g(x) = 7x+3 f’(x) = 15x4 – 4x-3 g’(x) = 7 dx dy = f’(x).g(x) + g’(x).f(x) = (15x4_-4x-3

₎

_{(7x+3) + (3x}5_{+ 2x}-2₎₍₇₎ = 105x5-28x-2 +45x4_{– 12x}-3_+21x5_{+ 14x}-2 = 126x5 + 45x4 - 14x-2 – 12x-3 4.5.5 Aturan pembagian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) = ) x ( g ) x ( f _maka

[

_g₍_x₎

]

2 ) x ( ' g ) x ( f ) x ( g ) x ( ' f dx dy ₌ - _(4.11) Bukti :

(7)

h(x) = ) x ( g ) x ( f _{; h(x+}_D_{x) =} ) x x ( g ) x x ( f D + D + h’(x) = x ) x ( g ) x ( f ) x x ( g ) x x ( f lim x ) x ( h ) x x ( h lim 0 x 0 x D -D + D + = D -D + ® D ® D = ) x ( g ). x x ( g . x ) x ( f ). x x ( g ) x x ( f ). x ( g lim 0 x D +D D + -D + ® D = ) x ( g ). x x ( g . x ) x ( g ). x ( f ) x ( f ). x x ( g ) x ( g ). x ( f ) x x ( f ). x ( g lim 0 x D +D + D + -D + ® D = ) x ( g ). x x ( g . x ) x ( f ) x x ( f ) x ( g lim 0 x D +D -D + ® D - x.g(x x).g(x) ) x ( g ) x x ( g ) x ( f lim 0 x D +D -D + ® D = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é D +D -D + ® D g(x x).g(x) x ) x ( f ) x x ( f ) x ( g lim 0 x - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é D +D -D + ® D g(x x).g(x) x ) x ( g ) x x ( g ) x ( f lim 0 x =

[

_g₍_x₎

]

2 ) x ( f ). x ( ' g ) x ( ' f ). x ( g - _(terbukti) Contoh 4.6 Tentukan h’(x) jika h(x) = 3 2 4 x 4 x 3 x 2 -Penyelesaian : f(x) = 2x4_{– 3x}2 _{f’(x) = 8x}3_{– 6x} g(x) = 4x3 _{g’(x) = 12x}2 h’(x) = 2 3 2 2 4 3 3 2 ₍₄_x ₎ ) x 12 )( x 3 x 2 ( ) x 4 )( x 6 x 8 ( )] x ( g [ ) x ( ' g ). x ( f ) x ( g ). x ( ' f - ₌ - - - = ₆ 4 6 6 4 6 4 6

16

12

8

16

36

24

32 x

x

-

+

₌

+

= ₂ 2

4

3

2 x

x

+

4.5.6 Turunan fungsi komposisi Jika y = f(u) dan u = g(x) maka

dx du du dy dx dy ₌ _(4.12) Bukti :

Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x).

u = g(x)

Du= g(x+Dx) – g(x) ® g(x+Dx) = g(x) + Du = u + Du Jadi Du ® 0 maka Dx ® 0

y = f(g(x))

(8)

x )) x ( g ( f )) x x ( g ( f x y D -D + = D D u u x )) x ( g ( f )) x x ( g ( f D D D -D + = = D D x y x u u ) u ( f ) u u ( f D D D -D + _® = D D ® D x y lim 0 x dx dy x u u ) u ( f ) u u ( f lim 0 x D = D D -D + ® D dx du du dy x u lim . u ) u ( f ) u u ( f lim dx dy 0 x 0 x D = D D -D + = ® D ® D (terbukti)

Persamaan 4.12 disebut aturan rantai Contoh 4.7 Tentukan dx dy jika y = (4x3_{+ 5x}2_{– x + 4)}3 Penyelesaian : Misal u = 4x3_{+ 5x}2_{– x + 4} _{y = u}3 12x 10x 1 dx du ₌ 2 ₊ _- ₃_u2 du dy ₌ ) 1 x 10 x 12 ( u 3 dx du du dy dx dy ₌ ₌ 2 2 ₊ -2 2 3 2 ₁₀_x ₁₎₍₄_x ₅_x _x ₄₎ x 12 ( 3 + - + - + =