Alexander Aditya Wibowo-25013022,Tugas 1 Elastisitas dan Plastisitas.pdf

Tugas 1

SI-5111

TEORI ELASTISITAS

Prof. Ir. Amrinsyah

Nasution, MSCE, Ph.D

Alexander Aditya Wibowo

NIM: 25013022

FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2013

2 SOAL No. 1 Diketahui: |Tn| = 15 satuan cos(Tn,x) = 0.40 cos(Tn,y) = 0.60 =1_{2 ̅ +}√2_{2 ̅ +}1₂ Ditanya: Gambarkandalamskala: a. VektorTn b. Tegangan normal (σnn) c. Tegangangeser (σns) Jawab: cos , = | | 0.4 = 15 = 0.4 .15 = 6 cos , = | | 0.6 = 15 = 0.6 .15 = 9

Tegangan resultan didapat melalui persamaan berikut, | | = ! "₊ "_{+ #"}

15 = $6"_{+ 9}"_{+ #"} #"= 108

3 cos , ' =6√3_{15 = 0.693} a. VektorTn (((() = ̅ + ̅ + # (((() = 6 ̅ + 9 ̅ + 6√3 | | = $ "₊ "_{+ '}" | | = *1₂"+ √₂2 " +1₂"= 1 cos , =_{| | =}x 1 2 1 = 1 cos , =_{| | =}y √2 2 1 =√22 cos , ' =_{| | =}z 1 2 1 = 1

cos , = cos , . cos , + cos , . cos , + cos , ' . cos , ' cos , = 0.4 .1_{2 + 0.6 .}√2_{2 +}6√3_{15 .}1₂ cos , = 0.971 b. Tegangan normal (σnn) = | | . cos , = 15 . 0.971 = 14.560

4 () = 14.560 .1_{2 ̅ + 14.560 .}√2_{2 ̅ + 14.560 .}1₂ () = 7.280 ̅ + 10.295 ̅ + 7.280 c. Tegangan geser (σns) /= $ "− " /= $ 15 "− 14.560 " /= 3.606 / (((((() = (((() − () / (((((() = −1.28 ̅ − 1.295 ̅ + 3.11

5 Komponenteganganpadasatutitikobservasibendapejaladalahsebagaiberikut.

σxx= 0 MPa σxy= 35 MPa cos(n,x) = 0.750 MPa σyy= 0 MPa σyz= -35 MPa cos(n,y) = 0.312 MPa σzz= 40 MPa σzx= 70 MPa cos(n,z) = 0.583 MPa

Ditanya:

a. Tegangan normal (σnn) b. Tegangan geser (σns)

Jawab:

= . cos , + . cos , + # . cos , ' = 0 0.750 + 35 0.312 + 70 0.583 = 51.73 123

= . cos , + . cos , + # . cos , ' = 35 0.750 + 0 0.312 + −35 0.583 = 5.845 123

# = #. cos , + #. cos , + ##. cos , ' = 70 0.750 + −35 0.312 + 40 0.583

# = 64.9 123

a. Tegangannormal (σnn)

= . cos , + . cos , + #. cos , '

= 51.73 0.750 + 5.845 0.312 + 64.9 0.583 = 78.458 123

6 Tegangan resultan didapat melalui persamaan berikut,

| | = ! "₊ "_{+ #"} | | = $ 51.73 "_{+ 5.845} "_{+ 64.9} " | | = 83.20 123 b. Tegangan geser (σns) /= $ "− " /= $ 83.20 "− 78.458 " /= 27.69 123

7 Komponen tegangan pada satu titik observasi benda pejal adalah sebagai berikut :

σxx= 55 MPa σxy= 90 MPa cos(n,x) = 0.6 MPa σyy= 110 MPa σyz= 45 MPa cos(n,y) = 0.65 MPa σzz= 45 MPa σzx= 36 MPa cos(n,z) = 0.467 MPa

Ditanya:

a. Tegangan normal (σnn) dan tegangan geser (σns) pada bidang b. Sudut antaraTn dengan vektor normal (4

Jawab:

= . cos , + . cos , + # . cos , ' = 55 0.6 + 90 0.65 + 36 0.467 = 108.312 123

= . cos , + . cos , + # . cos , ' = 90 0.6 + 110 0.65 + 45 0.467 = 146.515 123

# = #. cos , + #. cos , + ##. cos , ' # = 36 0.6 + 45 0.65 + 45 0.467 # = 71.865 123

a. Tegangan normal (σnn) dantegangangeser (σns) Tegangan normal (σnn)

= . cos , + . cos , + #. cos , '

= 108.312 0.6 + 146.515 0.65 + 71.865 0.467 = 193.783 123

8 Tegangan resultan didapat melalui persamaan berikut,

| | = ! "₊ "_{+ #"} | | = $ 108.312 "_{+ 146.515} "_{+ 71.865} " | | = 195.864 123 Tegangan geser (σns) /= $ "− " /= $ 195.864 "− 193.783 " /= 28.476 123

b. Sudut antara Tn dengan vektor normal (4 567 _{, = | | =}108.312_{195.864 = 0.553} 567 _{, = | | =}146.515_{195.864 = 0.748} 567 , ' =_{| | =}# _{195.864 = 0.367}71.865

cos , = cos , . cos , + cos , . cos , + cos , ' . cos , ' cos , = 0.553 0.6 + 0.748 0.65 + 0.367 0.467

9 σxx = 155 MPa σxy = 25 MPa

σyy = 60 MPa σyz = -45 MPa σzz = -75 MPa σzx = 85 MPa

Ditanya:

Lakukan transformasi komponen tegangan ke komponen tegangan Kartesian sistem koordinat Ox’y’z’ dengan arah kosinus sebagai berikut.

(a) x y z x’ 0.818 0.269 0.508 y’ 0.545 -0.667 0.508 z’ 1 0 0 (b) x y z x’ 0.733 0.452 0.508 y’ 0.533 0.784 0.318 z’ 0.133 0.939 0.318 Jawab: 8σ: = ;σσ<<<= σσ=<== σσ><>= σ<> σ=> σ>>? = ; 155 25 85 25 60 −45 85 −45 −75? 123

a. Transformasi tegangan berdasarkan Tabel (a) 8L: = ; 0.545 −0.667 0.5080.818 0.269 0.508

0.545 0 0 ?

Transformasi tegangan menggunakan rumus: 8σ′: = 8L:8σ:8L:B 8σ′: = ; 0.545 −0.667 0.5080.818 0.269 0.508 0.545 0 0 ? ; 155 25 85 25 60 −45 85 −45 −75? ; 0.818 0.545 0.545 0.269 −0.667 0 0.508 0.508 0 ?

10 8σ′: = ;158.047 96.958 112.763 110.98096.958 176.695

176.695 110.980 155 ?

b. Transformasi tegangan berdasarkan Tabel (b) 8L: = ; 0.533 0.784 0.3180.733 0.452 0.508

0.133 0.939 0.318?

Transformasi tegangan menggunakan rumus: 8σ′: = 8L:8σ:8L:B 8σ′: = ; 0.533 0.784 0.3180.733 0.452 0.508 0.133 0.939 0.318? ; 155 25 85 25 60 −45 85 −45 −75? ; 0.733 0.533 0.133 0.452 0.784 0.939 0.508 0.318 0.318? 8σ′: = ; 108.530 100.598 56.039135.385 108.530 44.793 44.793 56.039 34.621?

11 σxx = 155 MPa σxy = 0MPa

σyy = 60 MPa σyz = 0MPa σzz = -75 MPa σzx = 0MPa Ditanya: TentukanenamkomponenteganganpadasistemsumbuOx’y’z’ jikadiketahui: x y z x’ π/4 π/3 π/3 y’ π/2 3π/4 π/4 z’ 3π/4 π/3 π/3 Jawab:

Komponen tegangan utama sumbu x’x’ dihitung sebagai berikut.

C C = cos" D, + cos" D, + _##cos" D, ' + 2 cos D, cos D,

+ 2 #cos D, cos D, ' + 2 # cos D, ' cos D,

C C = 155 cos"EF

4G + 60 cos"EF4G − 75 cos"EF3G + 0 cos EF4G cos EF3G + 0 cosEF3G cos EF3G + 0 cos EF_{3G cos E}F_4G

C C = 73.75 123

Komponen tegangan utama sumbu y’y’ dihitung sebagai berikut.

C C = cos" D, + _##cos" D, ' + cos" D, + 2 _#cos D, cos D, '

+ 2 # cos D, ' cos D, + 2 cos D, cos D,

C C = 60 cos"H3F

4 I − 75 cos"EF4G + 155 cos"E2G + 0 cos HF 3F4 I cos EF4G + 0 cos EF4G cos EF2G + 0 cos EF_{2G cos H}3F_{4 I}

C C = −7.5 123

Komponen tegangan utama sumbu z’z’ dihitung sebagai berikut.

#C_#C = _##cos" 'D, ' + cos" 'D, + cos" 'D, + 2 _# cos 'D, ' cos 'D,

12 #C_#C = −75 cos"EF

3G + 155 cos"H3F4 I + 60 cos"E3G + 0 cos EF F3G cos H3F4 I + 0 cos H3F4 I cos EF3G + 0 cos EF_{3G cos E}F_3G

#C_#C = 73.75 123

Komponen tegangan utama sumbu x’y’ dihitung sebagai berikut.

C C= cos D, cos D, + cos D, cos D, + _##cos D, ' cos D, '

+ 8cos D_{, cos} D_{, + cos} D_{, cos} D_{, :} + #8cos D, cos D, ' + cos D, ' cos D, : + # 8cos D, ' cos D, + cos D, cos D, ' :

C C= 155 cosEF

4G cos EF2G + 60 cos EF3G cos H3F4 I − 75 cos EF3G cos EF4G

+ 0 JcosEF_{4G cos H}3F_{4 I + cos E}F_{3G cos E}F_{2GK + 0 Jcos E}F_{3G cos E}F_{4G + cos E}F_{3G cos H}3F_{4 IK} + 0 Lcos EF_{3G cos E}F_{2G + cosE}F_{4G cos E}F_4GM

C C= −47.73 123

Komponen tegangan utama sumbu y’x’ dihitung sebagai berikut.

C_#C = cos D, cos 'D, + _##cos D, ' cos 'D, ' + cos D, cos 'D,

+ #8cos D, cos 'D, ' + cos D, ' cos 'D, : + # 8cos D, ' cos 'D, + cos D, cos 'D, ' : + 8cos D_{, cos '}D_{, + cos} D_{, cos '}D_{, :}

C_#C = 60 cos H3F

4 I cos EF3G − 75 cos EF4G cos EF3G + 155 cos EF2G cos H3F4 I

+ 0 JcosH3F_{4 I cos E}F_{3G + cos E}F_{4G cos E}F_{3GK + 0 Jcos E}F_{4G cos H}3F_{4 I + cos E}F_{2G cos E}F_3GK + 0 JcosEF_{2G cos E}F_{3G + cos H}3F_{4 I cos H}3F_{4 IK}

C_#C = −47.73 123

Komponen tegangan utama sumbuz’x’ dihitung sebagai berikut.

#C C = _##cos 'D, ' cos D, ' + cos 'D, cos D, + cos 'D, cos D,

+ # 8cos 'D, ' cos D, + cos 'D, cos D, ' : + 8cos 'D_{, cos} D_{, + cos '}D_{, cos} D_{, :}

13 + 0 JcosE_{3G cos E4G + cos H4 I cos E3GK + 0 Jcos H4 I cos E3G + cos E3G cos E4GK} + 0 Lcos EF_{3G cos E}F_{3G + cosE}F_{3G cos E}F_3GM

14 SOAL No. 6 Diketahui : N = −O P = Q "_{+ P} "_{− P'}" R = SP ' Dimana, v : angka Poisson [α,β,γ] : konstanta Ditanya:

Tentukanlah apakah N = O , P = Q "+ P "− P'" , R = SP ', dengan 8O, Q, S: adalah konstanta dan P adalah angka Poisson, merupakan solusi dari benda pejal.

Jawab : Pembuktian Pertama Menghitung Regangan xx : T =UN_{U = U −O}U = −O = T V = −O V Menghitung regangan zz : T## =UR_{U' = U' SP ' = SP … … … 1}U T## =_V1 ##− XY + Z Dengan _##= 0 ; = 0 T##= OP … … … 2

Terbukti , nilai ε_>> dari persamaan (1) sama dengan nilai ε_>> dari persamaan (2) dimana α = S Pembuktian Kedua

Menghitung regangan yy : T =1_V − X8 + ##:

15 X^= _ T U X^=1_{2 OP} " Menghitung regangan xy : T = HUN_{U + UX}"I T = −O + UX" Dengan T = 0 maka : UX"= O X"= _ UX"U X"=1_{2 O} " Menghitung regangan zy : T# = HUR_{U + UX}`I T# = SP' + UX` Dengan T_# = 0 maka : UX`= −SP' X`= _ UX`U X`= −1_{2 SP'}" Dimana S = O maka : X`= −1<sub>2 OP'</sub>" Menghitung Vtotal : Xabacd= X^+ X"+ X` X_abacd=1_{2 OP} "₊1 2 O "−12 OP'" Xabacd=1_{2 O} "+ P "+ −P'"

SOAL No. 7 Diketahui: εxx = 0.003 εxy = 0 εyy = -0.003 εyz = 0 εzz = 0 εxz = 0.003 Ditanya:

Turunkan persamaan untuk menentukan

Jawab:

Hubungan tegangan regangan benda eTT

T##

f =_{V ;}1 0P 1 0P1 0P 0P 0P 0P 1 ? e ##

Tegangan didapatkan dengan invers

e ## f g h h h h h i _{1 P 1 0 2P}VP ₁ VP 1 P 1 0 2P VP 1 P 1 0 2P = 0.003

menentukan arah dari sisi elemen kubus benda bebas

benda penjal dirumuskan sebagai berikut. ?

## f

inverse sebagai berikut. V P 1 P 1 0 2PVP 1 VP 1 P 1 0 2P 1 PV 1 VP 1 P 1 0 2P 1 P 1VP 16 bebas benda penjal.

VP P 1 0 2P VP P 1 0 2P 0 2P 1 P jV k k k k k l eTT T## f

17 e ##f m n n + 2o n n n n + 2o p eTT## f dimana: n = _{1 + P 1 − 2P}VP dan o =_{2 1 + P}V

Denganmengasumsikanbendapenjalberbahandasarbajadengan E = 200000 MPadan Poisson ratio = 0.3, maka

n = 115385 123 P = 76923 123

Sehingga diketahui tegangan sisi-sisi benda penjal kubus pada koordinat utama yaitu: e ## f = ;269231 115385 115385115385 269231 115385 115385 115385 269231? e 0.003 −0.003 0 f e ## f = e−461.54461.54 0 f 123

Lalu diketahui hubungan tegangan-regangan untuk tegangan yang bukan berada pada sumbu koordinat utama yaitu e # #f = o e T T # T #f Sehingga e # #f = e 0 230.76 0 f 123

Untuk menentukan arah pada sisi sisi kubus benda bebas benda penjal dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan keseimbangan sebagai berikut.

18 qr 0 ; qs 0 ; qt 0

Dengan menerapkan ketiga persamaan keseimbangan tersebut akan diperoleh hubungan sebagai berikut. m 0 # 0 # # # ##0 p ucos ,cos , cos , ' v e 0 0 0f

Untuk solusi nontrivial, maka Uwx y 0 # 0 # # # ##0 y 0 Uwx y 461.54 −0 −461.54 −0 230.760 230.76 0 0 − y = 0 Sehingga didapat ^= −461,54 123 "= −95.58 123 `= 557.13 123 Untuk arah 1 → z_{{{ |}= −}~|, •} €•‚ m 923.080 00 230.760 230.76 0 461.54 p u cos , cos , cos , ' v = e 0 0 0f Didapatkan: ucos ,cos , cos , ' v = e 0.000 1.000 0.000f

19 Didapatkan: ucos ,cos , cos , ' v = e 0.383 0.000 −0.924f Untuk arah 3 → z{{ ƒ= ••‡. |ˆ €•‚ m −95.580 −1018.670 230.760 230.76 0 −557.13 p u cos , cos , cos , ' v = e 0 0 0f Didapatkan: ucos ,cos , cos , ' v = e −0.924 0.000 −0.383f

20 SOAL No. 8 Diketahui: (σnn)1 = 180MPa (σnn)2 = 80MPa Ditanya: Tentukankomponenteganganuntukθ = 60º a. σxx b. σyy c. σxy Jawab:

Tegangan normal dapatdirumuskansebagaiberikut.

‰ . cos Š " . cos Š " 2. . sin Š . cos Š •= . cos Š "+ . cos Š "− 2. . sin Š . cos Š

Ž= − . cos Š . sin Š + . cos Š . sin Š + . [ cosŠ "− sin Š "]

Atau dalam bentuk matriks sebagai berikut. m cos Š

" _{cos Š} " _{2. sin Š . cos Š}

cos Š " _{cos Š} " _{−2. sin Š . cosŠ}

cos Š . sin Š cos Š . sin Š [ cosŠ "_{− sin Š} "_]p e f = e

‰ • Ž

f

Dengan substitusi berdasarkan data-data yang telah diketahui akan didapatkan

g h h h h i 1₄ 1₄ 1_{2 √3} 1 4 14 −12 √3 −1_{4 √3} 1_{4 √3} −1_{2 j}k k k k l e f = e18080 0 f

21 Dari persamaan 1 dan 2

| } •••+ | } •‘‘+ | ƒ √ˆ••‘ = |…’ | } •••+|} •‘‘−|ƒ √ˆ••‘ = …’ √ˆ••‘= |’’ ••‘=|’’_√ˆ ≈ •‡. ‡ˆ• ”•–

Dari persamaan 2 dan 3 | } •••+|} •‘‘−|ƒ √ˆ H|’’_√ˆI = …’ −|_{} √ˆ•}••+|_{} √ˆ•}‘‘−|_{ƒ H}|’’ √ˆI = ’ X —√ˆ˜ X(1) | ƒ √ˆ•••−|’’_√ˆ = …’ ˆ ƒ ••• = ˆ}’ ••• =~…’_{ˆ ≈ ƒƒ~. ~~‡ ”•–} Dari persamaan 1 1 4 H6803 I +14 +12 √3 H100_√3I = 180 170 3 +14 + 50 = 180

22 1

4 = 2203

= 880_{3 ≈ 293.333 123}

Jadi, besarnya komponen tegangan adalah: = 226.67 123

= 293.33 123 = 57.735 123

23 = m_{−√2 11 −3}20 −√2 √2

√2 −3 11

p

Ditanya:

a. Susun persamaan tegangan utama

b. Tentukan berapa besar tegangan utama minimum dan maksimum c. Tetapkan arah sumbu utama bagi tegangan minimum

d. Gambarkan lingkaran Mohr

Jawab:

a. Persamaan tegangan utama

™20 −−√2 11 −−√2 √2−3 √2 −3 11 − š ucos ,cos , cos , ' v e 0 0 0f

b. Tegangan utama minimum dan maksimum

Tegangan utama dapat diselesaikan apabila determinan matriks bernilai 0.

›20 −_−√2 11 −−√2 √2−3 √2 −3 11 − › = 0 ⇔ 20 − 11 − 11 − + —−√2˜ −3 —√2˜ + —−√2˜ −3 —√2˜ − —−√2˜—−√2˜ 11 − − 20 − −3 −3 − 11 − —√2˜—√2˜ = 0 ⇔ − `_{+ 42} "_{− 548 + 2208 = 0}

Solusi dari persamaan pangkat tiga di atas adalah sebagai berikut. ^= 20,605 tegangan utama maksimum

"= 13,394

24 c. Arah sumbu utama untuk tegangan minimum

™20 −_−√2 11 −−√2 −3√2 √2 −3 11 − š ucos ,cos , cos , ' v e 0 0 0f m20 − 8_{−√2 11 − 8}−√2 −3√2 √2 −3 11 − 8 p ucos ,cos , cos , ' v = e 0 0 0f

Dengan mengambil nila cos(n,x)=1, maka m_−√212 −√2 √2_{3 −3} √2 −3 3 p ecos ,1 cos , ' f e 0 0 0f

Operasi matriks di atas tidak dapat diselesaikan. Jika diasumsikan terdapat proyeksi tegangan ke arah sumbu-x, hasil proyeksi ke arah-y dan arah-z menjadi tidak konsisten.Hal ini mengindikasikan bahwa proyeksi tegangan ke arah sumbu-x salah atau tidak ada proyeksi tegangan arah-x.

Maka diambil permisalan lagi, yaitu cos(n,y)=1.

m_−√212 −√2 √23 −3 √2 −3 3 p ecos ,1 cos , ' f e 0 0 0f

Dari eliminasi persamaan 1 dan 3 didapat

cos , 0

cos , ' 1

Lalu dilakukan pengecekan dengan menggunakan persamaan 2. −√2 0 + 3 1 − 3 1 = 0 OK!

Nilai dari tiga arah kosinus yang didapat di atas masih merupakan nilai perbandingan terhadap nilai cos(n,y) yang telah dimisalkan sebelumnya. Untuk mengetahui nilai sebenarnya digunakan persamaan berikut.

25 cos , = cos , ' = 0,707

26 SOAL No. 10

Diketahui :

Bahan baja dengan tegangan normal sebagai berikut, ^^= 150 123; "" 50 123; `` 0 123 V 200000 123 • 0,3 V: 16UNŸN7 wŸ37x 7 x37 ¡3¢3 •: 26 776 D_{7 £3x 6} Pertanyaan :

1. Gambarkan lingkaran Mohr ruang bagi tegangan di titik kajian! 2. Gambarkan lingkaran Mohr ruang bagi regangan di titik kajian!

3. Pada bidang yang melewati titik kajian, tegangan geser σns= 60 MPa. Berapa interval nilai tegangan normal yang berada pada bidang tersebut?

4. Bila sepanjang suatu garis melalui titik kajian, tegangan normal σnn= 0 MPa. Berapa interval nilai regangan geser εns untuk variasi orientasi garis?

Jawaban :

1. Lingkaran Mohr tegangan di titik kajian :

2w£73¤33 Ÿ ¥ 3£3 → § 0 ¨ ^ ₂ "©ª "

+ /"= ¨ ^−₂ "©

"

+ / ^"" Tinjau di masing-masing bidang,

• Bidang 2-3,

Persamaan lingkaran Mohr yang terbentuk sebagai berikut,

§ − ¨ "" +₂ `` ©ª " + /"= E « <sub>""« − « ``</sub>« 2 G " + "` " § − ¨ 50 + 0₂ ©ª " + /"= H«50« − « 0 «₂ I " + 0 " − «25« "_{+ /}"_{= 25}"

27 § − ¨ ^^ +₂ "" ©ª " + /"= E « _{^^« − « ""}« 2 G " + ^" " § − ¨ 150 + 50₂ ©ª " + /"= H«150« − « 50 «₂ I " + 0 " − «100« "_{+ /}"_{= 50}" • Bidang 1-3,

Persamaan lingkaran Mohr yang terbentuk sebagai berikut,

§ − ¨ ^^ +₂ `` ©ª " + /"= E « <sub>^^« − « ``</sub>« 2 G " + ^` " § − ¨ 150 + 0₂ ©ª " + /"= H«150« − « 0 «₂ I " + 0 " − 75 "_{+ /}"_{= 75}"

Dari persamaan-persamaan lingkaran Mohr yang didapat, maka dapat digambarkan tiga lingkaran Mohr tegangan di titik kajian seperti di bawah ini :

28 Catatan: Sumbu vertikal adalah _/

2. Lingkaran Mohr regangan di titik kajian:

2w£73¤33 Ÿ ¥ 3£3 → ¬T 0 ¨ T ^₂ T "©-"+ E«T_{2 G}/« "= ¬ T ^− T₂ "-"+ ¬ T_{2 -}/ ^" "

Dibutuhkan nilai-nilai regangan untuk membentuk lingkaran Mohr regangan. Berikut adalah perhitungan menentukan nilai regangan normal (εnn).

Persamaan untuk menghitung nilai regangan : T ^=_{V ® T}1 ^− •[ T "+ T `]¯

Mencari regangan normal di bidang 1 (ε11), T^^=_{V ®}1 ^^− • ""+ `` ¯

T^^=_{200000 ®150 − 0,3 50 + 0 ¯}1

T^^= 6,75 ∗ 10±²

29 T""=_{200000 ®50 − 0,3 150 + 0 ¯}

T""= 2,5 ∗ 10±²

Mencari regangan normal di bidang 3 (ε33), T``=1<sub>V ®</sub> ``− • ^^+ "" ¯

T``=_{200000 ®0 − 0,3 150 + 50 ¯}1

T``= −3,00 ∗ 10±²

Tinjau bidang 2-3, • Bidang 2-3,

Persamaan lingkaran Mohr yang terbentuk sebagai berikut, ¬T − ¨ T22 +₂ T33 ©-"+ E«T_{2 G}/« "= ¬ T22 −₂ T33 -"+ ¬ T_{2 -}23 " ¬T − ¨2,5 ∗ 10±²+ −3,00 ∗ 10₂ ±² ©-"+ ET_{2 G}/ "= ¬«2,5 ∗ 10±²« − « −3,00 ∗ 10₂ ±² «-"+ 0 " ®T − −0,25 ∗ 10±² _¯"_{+ E}T7 2G " = 2,75 ∗ 10±² " • Bidang 1-2,

Persamaan lingkaran Mohr yang terbentuk sebagai berikut, ¬T − ¨ T11 +₂ T22 ©-"+ E«T_{2 G}/« "= ¬ T11 −₂ T22 -"+ ¬ T12_{2 -}" ¬T − ¨6,75 ∗ 10±²₂+ «2,5 ∗ 10±²«©-"+ ET_{2 G}/ "= ¬«6,75 ∗ 10±²« − «2,5 ∗ 10₂ ±²«-"+ 0 " ®T − 4,625 ∗ 10±² _¯"_{+ E}T 7 2G " = 2,125 ∗ 10±² " • Bidang 1-3,

Persamaan lingkaran Mohr yang terbentuk sebagai berikut, ¬T − ¨ T11 +₂ T33 ©-"+ E«T_{2 G}/« "= ¬ T11 −₂ T33 -"+ ¬ T_{2 -}13 "

30 ¬T − ¨6,75 ∗ 10±²+ « −3,00 ∗ 10₂ ±² «©-"+ ET_{2 G}/ "= ¬«6,75 ∗ 10±²« − −3,00 ∗ 10₂ ±² -"+ 0 " ®T − 1,875 ∗ 10±² _¯"_{+ E}T 7 2G " = 4,875 ∗ 10±² "

Dari persamaan-persamaan lingkaran Mohr yang didapat, maka dapat digambarkan tiga lingkaran Mohr regangan di titik kajian seperti di bawah ini :

Catatan: Sumbu vertikal adalah ³´µ

" 3. Nilai tegangan normal pada bidang yang memiliki tegangan geser σns= 75 MPa.

Nilai tegangan geser 75 MPa hanya berlaku di bidang 1-3, karena tegangan geser maksimum untuk bidang 2-3 adalah 25 MPa dan bidang 1-2 adalah 50 MPa.

Tinjau bidang 1-3,

Persamaan lingkaran Mohr bidang 1-3 sebagai berikut, − «75« "_{+ /}"_{= 75}" Masukkan nilai _/= 75 123, 0 75 " ₇₅" ₇₅" 0 «75« " ₀ « _{0 «75«« 0} « _{« 75 123}

31 4. Nilai regangan geser εns bila sepanjang suatu garis melalui titik kajian, tegangan normal σnn= 0 MPa.

Bila tegangan normal σnn= 0 MPa maka regangan normal εnn= 0

Nilai regangan normal 0 hanya berlaku di bidang 1-3 dan bidang 2-3, karena hanya di kedua bidang itulah regangan normal dapat mencapai 0 berdasarkan persamaan lingkaran Mohr.

Tinjau bidang 2-3,

Persamaan lingkaran Mohr di bidang 2-3, ®T 0 00,25 ∗ 10±² _¯"_{+ E}T7 2G " = 2,75 ∗ 10±² " Masukkan nilai T = 0, ®0− −0,25 ∗ 10±² _¯"_{+ E}T7 2G " = 2,75 ∗ 10±² " ET₂7G"= 2,75 ∗ 10±² "_{+ −0,25 ∗ 10}±² " ET₂7G"= 7.625 ∗ 10±¶ ET_{2 G = 2,76}/ ∗ 10−8 T /= 5,52∗ 10−4 Tinjau bidang 1-3,

Persamaan lingkaran Mohr di bidang 1-3, ®T − 0,79 ∗ 10±² _¯"_{+ E}T 7 2G " = 6,79 ∗ 10±² " Masukkan nilai T = 0, ®T − 1,875 ∗ 10±² _¯"_{+ E}T 7 2G " = 4,875 ∗ 10±² " ET₂7G"= 4,875 ∗ 10±² "_{+ 1,875 ∗ 10}±² " ET₂7G"= 27,28 ∗ 10±¶ ET_{2 G = 5,22}/ ∗ 10−8 T /= 10,45∗ 10−4

Jadi nilai regangan geser ketika tegangan normal σnn=0 sebagai berikut, • bidang 2-3,

T / 5,52∗ 10−4

• bidang 1-3,