STATISTIKA NONPARAMETRIK (3)

(1)

STATISTIKA

NONPARAMETRIK (3)

Elty Sarvia, ST., MT.

Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha

Bandung

6.UJI KOLMOGOROV – SMIRNOV



Untuk menguji apakah data berdistribusi tertentu.



Ekivalen dengan Uji



2

( Goodness Of Fit

) dalam Statistik

Uji Parametrik.

L T S a rv ia /2 0 1 2

(2)

P

ROSEDUR

PERHITUNGAN

U

JI

K

OLMOGOROV

–S

MIRNOV

:

1. Struktur Hipotesis

:



H

0

: data tersebut mengikuti distribusi ...



H

1

: data tersebut tidak mengikuti distribusi ...

2. Tentukan nilai

a

 wilayah kritis dalam Tabel Uji

Kolmogorov – Smirnov

( Leland Blank, Tabel B–7, hal

635 )

3. Statistik Uji :

Uji Kolmogorov–Smirnov



Urutkan data pengamatan ( nilai rata-rata ) dari

terkecil sampai terbesar.



Hitung nilai S(x), dimana

Catatan :

Jika terdapat 2 atau lebih nilai rata-rata X yg sama, maka nilai

S(x) yg digunakan adalah nilai S(x) maksimum.

n

i

(x)

S



105 L T S a rv ia /2 0 1 2

P

ROSEDUR

PERHITUNGAN

U

JI

K

OLMOGOROV

–S

MIRNOV

: (2)



Hitung nilai F(x) pada masing-masing nilai rata-rata

(X), dimana rumus F(x) yang digunakan disesuaikan

dengan bentuk distribusi yg dihipotesiskan.



Hitung nilai



S(x) – F(x)



pada masing-masing nilai X.



Tentukan nilai Statistik Uji :

d = max {



S(x) – F(x)



}

4. Wilayah Kritis : Bandingkan nilai d dengan Do pada

Tabel B–7 ( Leland Blank, hal. 635 )

Do

Wilayah Kritis : d > Do

106 L T S a rv ia /2 0 1 2

(3)

C

ONTOH

S

OAL

13.

Berikut sampel berat sabun cuci yang diproduksi PT Wonder

(angka dalam gram). Manajer produksi ingin mengetahui

apakah data di atas berasal dari populasi (seluruh produk

sabun cuci PT Wonder) yang berdistribusi normal dengan



=

203,9 dan



=2,69 ?

a

=0,05

107

No

1

2

3

4

5

6

7

8

9 Berat

200,5 203,9 204,4 204,4 205,6 205,7 207,1 208,8 208,9

No

10

11

12

13

14

15

16

17

18 Berat

205,5 200,7 200,8 200,9 201,6 201,9 202,5 203,1 205,6

L T S a rv ia /2 0 1 2

J

AWAB

:

a. Struktur Hipotesis :

H

0

: data tersebut mengikuti distribusi normal



= 203,9 dan



=2,69

H

1

: data tersebut tidak mengikuti distribusi normal



= 203,9 dan



=2,69

b. Taraf nyata :

a

= 0,05

c. Statistik Uji : Uji Kolmogorov – Smirnov

L T S a rv ia /2 0 1 2

(4)

 



(

)



0 ,

105 max

006 ,

0

117 ,

0

111 ,

0 )

(

117 ,

0 )

(

)

(

19 .

1

69 ,

2

9 ,

203

7 ,

200 -x

z

:

Normal

Distribusi

0,111

18

2 n

i

(x)

S



























x

F

x

S

d

x

F

x

S

z

P

x

F

Jadi

z





Contoh Perhitungan: un2uk data ke–9

109  x F( x)

S 

Urutkan data dari terkecil sampai terbesar

L T S a rv ia /2 0 1 2 No Berat (x) S(x) z F (x) = P(Z) S(x)-F(x) 1 200.5 1/18 0.056 -1.264 0.103 -0.048 0.048 2 200.7 2/18 0.111 -1.190 0.117 -0.006 0.006 3 200.8 3/18 0.167 -1.152 0.125 0.042 0.042 4 200.9 4/18 0.222 -1.115 0.132 0.090 0.090 5 201.6 5/18 0.278 -0.855 0.196 0.082 0.082 6 201.9 6/18 0.333 -0.743 0.229 0.105 0.105 7 202.5 7/18 0.389 -0.520 0.301 0.088 0.088 8 203.1 8/18 0.444 -0.297 0.383 0.061 0.061 9 203.9 9/18 0.500 0.000 0.500 0.000 0.000 10 204.4 11/18 0.611 0.186 0.574 0.037 0.037 11 204.4 12 205.5 12/18 0.667 0.595 0.724 -0.057 0.057 13 205.6 14/18 0.778 0.632 0.736 0.041 0.041 14 205.6 15 205.7 15/18 0.833 0.669 0.748 0.085 0.085 16 207.1 16/18 0.889 1.190 0.883 0.006 0.006 17 208.8 17/18 0.944 1.822 0.966 -0.021 0.021 18 208.9 18/18 1.000 1.859 0.968 0.032 0.032



Wilayah Kritis

: d > Do Tabel K – S (Leland

Blank, Tabel B–7, halaman 635 )

0,309

0,105

Karena :

d > Do ( 0,105 < 0,309 )

•Keputusan : Terima H

0

•Kesimpulan : data sampel berat sabun cuci tersebut mengikuti

distribusi normal



= 203,9 dan



=2,69 pada taraf nyata 0,05

1 1 0 L T S a rv ia /2 0 1 2

(5)

T

ABEL

K

OLMOGOROV

S

MIRNOV

111 L T S a rv ia /2 0 1 2 n a = 0,20 a = 0,10 a = 0,05 a = 0,02 a = 0,01 1 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 2 0,684 0,776 0,842 0,900 0,929 3 0,565 0,636 0,708 0,785 0,829 4 0,493 0,565 0,624 0,689 0,734 5 0,447 0,509 0,563 0,627 0,669 6 0,410 0,468 0,519 0,577 0,617 7 0,381 0,436 0,483 0,538 0,576 8 0,359 0,410 0,454 0,507 0,542 9 0,339 0,387 0,430 0,480 0,513 10 0,323 0,369 0,409 0,457 0,486 11 0,308 0,352 0,391 0,437 0,468 12 0,296 0,338 0,375 0,419 0,449 13 0,285 0,325 0,361 0,404 0,432 14 0,275 0,314 0,349 0,390 0,418 15 0,266 0,304 0,338 0,377 0,404 16 0,258 0,295 0,327 0,366 0,392 17 0,250 0,286 0,318 0,355 0,381 18 0,244 0,279 0,309 0,346 0,371 19 0,237 0,271 0,301 0,337 0,361 20 0,232 0,265 0,294 0,329 0,352 21 0,226 0,259 0,287 0,321 0,344 22 0,221 0,253 0,281 0,314 0,337 23 0,216 0,247 0,275 0,307 0,330 24 0,212 0,242 0,269 0,301 0,323 25 0,208 0,238 0,264 0,295 0,317 n a = 0,20 a = 0,10 a = 0,05 a = 0,02 a = 0,01 26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311 27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305 28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300 29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295 30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290 35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269 40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252 45 0,156 0,179 0,198 0,222 0,238 50 0,148 0,170 0,188 0,211 0,226 55 0,142 0,162 0,180 0,201 0,216 60 0,136 0,155 0,172 0,193 0,207 65 0,131 0,149 0,166 0,185 0,199 70 0,126 0,144 0,160 0,179 0,192 75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185 80 0,118 0,135 0,150 0,167 0,179 85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174 90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169 95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165 100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161 Pendekatan 1,07/√n 1,22/√n 1,36/√n 1,52/√n 1,63/√n

S

OAL



Sebuah peternakan ayam ingin mengetahui bentuk distribusi dari

produksi telur ayam tiap bulan dari tiap induk ayam yang dimiliki.

Untuk menjawab hal tersebut, dilakukan pengumpulan data selama 15

bulan produksi. Data hasil pengamatan tersebut adalah :

Berdasarkan data tersebut, dapatkah disimpulkan bahwa produksi telur

ayam per bulan dari peternakan ayam tersebut mengikuti distribusi

uniform dengan perkiraan produksi telur 251 s/d 270? (a = 0,05)

L T S a rv ia /2 0 1 2

247 258 261 252 258 265 267 256 273 267 272 261 280 267 270

(6)

7. UJI KOEFISIEN KORELASI

PERINGKAT SPEARMAN



Untuk menguji apakah ada hubungan korelasi antara

variabel X dengan Y ( untuk menguji konsistensi )



Digunakan untuk mencari hubungan atau untuk menguji

signifikansi hipotesis asosiatif bila masing-masing variabel

yang dihubungkan berbentuk ordinal, dan sumber data

antar variabel tidak harus sama.



Koefisien korelasi :- 1 < r < 1

113 L T S a rv ia /2 0 1 2

DATA

O

RDINAL

114

Data yang diperoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi, tetapi di

antara data tersebut terdapat hubungan. Angka mengandung pengertian

tingkatan.

CIRI :

• Data mempunyai tingkatan atau jenjang

• Tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)

CONTOH :

 Kepuasan kerja,motivasi ranking 1, 2, dan 3. Ranking 1 menunjukkan lebih tinggi dari ranking 2 dan 3.

 Direktur = 1, Manajer = 2, Karyawan = 3 1 + 1 = 2 Direktur+Direktur= Manajer???

L T S a rv ia /2 0 1 2

(7)

Jika titik-titik tepat

pada satu garis namun

mengumpul mendekati

satu garis

 r mendekati ± 1

hubungan ± kuat namun

tidak sempurna

Y

X

r > 0

r < 0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 115 L T S a rv ia /2 0 1 2

r = – 1 : punya hubungan korelasi linear negatif yang sempurna (sangat kuat )

 semua titik terletak pada satu garis



r = + 1 : punya hubungan korelasi linear positif yang sempurna ( sangat kuat )

 semua titik terletak pada satu garis



r = 0

: tidak ada hubungan korelasi linear antar variabel tersebut



titik – titik menyebar atau tidak ada suatu kecenderungan

L T S a rv ia /2 0 1 2

(8)

P

ROSEDUR

PERHITUNGAN

U

JI

K

OEFISIEN

K

ORELASI

P

ERINGKAT

S

PEARMAN

:

1.

Struktur Hipotesis



H

₀

: r

_S

= 0



H

₁

: r

_S

> 0

konsisten ( searah )

r

S

< 0

konsisten ( berlawanan )

2. Tentukan nilai

a



wilayah kritis dalam Tabel

Koefisien Korelasi Peringkat Spearman ( Walpole, Tabel

A.14, halaman 488 )

3. Tentukan variabel X dan Y

( dalam penentuan variabel X

dan Y, boleh bebas )

4. Tentukan ranking

terkecil sampai terbesar untuk

masing-masing variabel X dan Y

5. Hitung selisih ranking variabel X dan Y untuk

masing-masing pasangan X dan Y, yang dilambangkan

dengan d

i 117 L T S a rv ia /2 0 1 2

6. Hitung d

_i

2

7. Hitung nilai Statistik Uji  r

_S

)

1 -n

(

n

d

6 -1

r

₂ n 1 i 2 i S





n = banyaknya data atau pasangan data

8. Wilayah Kritis :

Jika :

H

1

:

r

S

> 0

 maka Wilayah Kritis :

r

S

≥ r

a

H

1

:

r

S

< 0

 maka Wilayah Kritis :

r

S

≤ - r

a

9. Keputusan

10. Kesimpulan Hipotesis

P

ROSEDUR

PERHITUNGAN

U

JI

K

OEFISIEN

K

ORELASI

P

ERINGKAT

S

PEARMAN

(2):

118 L T S a rv ia /2 0 1 2

(9)

C

ONTOH

S

OAL

14.

Sebuah perusahaan asuransi di Jakarta telah

menyelenggarakan kursus penyegaran penjualan yang

dimaksudkan untuk meningkatkan prestasi para

wiraniaganya. Beberapa kelas telah menyelesaikan

kursus tersebut. Dalam memperkirakan nilai program

tersebut, Manajer pelatihan penjualan ingin menentukan

apakah ada hubungan antara prestasi dalam

program dengan prestasi dalam menghasilkan

penjualan tahunan setelah menjalani kursus. Tabel

berikut ini menunjukkan data yang dikumpulkan oleh

manajer pelatihan penjualan dari 11 lulusan program.

119 L T S a rv ia /2 0 1 2

Tabel Data dari 11 orang yang lulus program

Wiraniaga Prestasi Kursus Penjualan Tahunan (#) Stella 38 4.000 Piere 40 6.000 Deni 55 1.000 Wulandari 60 2.000 Sari 62 7.000 Oky 63 10.000 Asrul 67 3.000 Rani 70 5.000 L T S a rv ia /2 0 1 2

(10)

J

AWAB

:

121

1. Koefisien Korelasi Peringkat :

X

 Prestasi Kursus

Y

 Penjualan Tahunan (#)

Wiraniaga

Prestasi Rank Penjualan Rank Kursus Prestasi Tahunan (#) Penjualan _{di =rank X - rank Y} _di2

X Kursus Y (#) Stella 38 1 4000 4 -3 9 Piere 40 2 6000 6 -4 16 Deni 55 3 1000 1 2 4 Wulandari 60 4 2000 2 2 4 Sari 62 5 7000 7 -2 4 Oky 63 6 10000 10 -4 16 Asrul 67 7 3000 3 4 16 Rani 70 8 5000 5 3 9 Susan 75 9 8000 8 1 1 Synthia 88 10 9000 9 1 1 Yusraini 90 11 110000 11 0 0 Total 0 80 L T S a rv ia /2 0 1 2

0,636

0,364

-1

)

1 -11

(

11

80 *

6 -1

)

1 -n

(

n

d

6 -1

r

₂ ₂ n 1 i 2 i S







r

_S

= 0, 636  menunjukkan bahwa adanya korelasi antara prestasi kursus

dengan prestasi penjualan tahunan (#)

122 L T S a rv ia /2 0 1 2

(11)

C

ONTOH

S

OAL

M

ENGUJI

S

IGNIFIKANSI

15.

Pengujian yang lebih formal bisa dilaksanakan untuk

menentukan apakah benar-benar ada hubungan statistik

seperti yang diisyaratkan oleh r

s

. Karena manajer

pelatih berkeyakinan bahwa kursus tersebut akan

meningkatkan kemampuan menjual, maka pengujian

satu-arah ke kanan dapat dilakukan, dan hipotesis

alternatifnya akan menyatakan adanya

hubungan positif

antara prestasi kursus dengan prestasi penjualan yaitu

H

1

: r

s

>0. Ujilah hipotesis tersebut. Gunakan Taraf

nyata 0,05.

123

r

s L T S a rv ia /2 0 1 2

M

ENGUJI

S

IGNIFIKANSI

15.



Struktur Hipotesis

H

0

: r

S

= 0

H

1

: r

S

> 0 

konsisten ( searah )



Tentukan nilai

a

=0.05



Statistik Uji

:Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman

r

S

= 0,636



Wilayah Kritis : r

S

≥ r

a

= 0,05

n = 11

r

a

= 0,523

r

s

Tabel A.14 Walpole

L T S a rv ia /2 0 1 2

(12)

Catatan Uji Koefisien Korelasi

Peringkat Spearman :



Jika : n > 30 , maka digunakan pendekatan

Normal, sehingga :

 r s

= 0

1 -n

1 σ

_r

_s



1 -n

r

1 -n

1

0 -r

Z

_

S

_

_S 125 L T S a rv ia /2 0 1 2

I

STILAH

-I

STILAH

P

ENTING

