UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

TRIGONOMETRI

disusun untuk memenuhi salah satu tugas akhir Semester Pendek

mata kuliah Trigonometri

Dosen : Ferry Ferdianto, S.T., M.Pd.

Oleh

Nia Apriyanti (112070221)

1F

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI

CIREBON

KATA PENGANTAR

Dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT, atas nikmat dan karunia-Nya semata, akhirnya penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “TRIGONOMETRI.”

Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak menemui kesulitan-kesulitan dan hambatan-hambatan baik pada saat mencari sumber maupun pada saat penulisannya, namun berkat bimbingan dan dorongan dari semua pihak akhirnya makalah ini dapat terwujud.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dan kejanggalan hal itu disebabkan sangat terbatasnya kemampuan dan ilmu yang penulis miliki. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

Cirebon, Agustus 2013

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ... i

Daftar Isi ... ii

BAB 1 Sudut dan Ukuran Sudut ... 1

BAB 2 Fungsi Trigonometri ... 6

BAB 3 Aplikasi Perbandingan Trigonometri pada Segitiga ... 10

BAB 4 Fungsi Trigonometri Sudut yang Berelasi ... 12

BAB 5 Identitas Trigonometri ... 16

BAB 6 Fungsi Trigonometri sudut ( dan ) ... 20

BAB 7 Fungsi Trigonometri Sudut Ganda ... 24

BAB 8 Hubungan antara Sisi-Sisi dan Sudut-Sudut Segitiga ... 25

BAB 9 Grafik Fungsi Trigonometri ... 29

BAB 10 Persamaan Trigonometri ... 32

BAB 1

SUDUT DAN UKURAN SUDUT

A. Pengertian Sudut

Agar kalian dapat memahami pengertian sudut, coba amati ujung sebuah meja, pojok sebuah pintu, atau jendela di kelasmu, berbentuk apakah ujung tersebut? Ujung sebuah meja atau pojok pintu dan jendela adalah salah satu contoh sudut.

Perhatikan Gambar 7.17.

Suatu sudut dapat dibentuk dari suatu sinar yang diputar pada pangkal sinar. Sudut ABC pada gambar di samping adalah sudut yang dibentuk BC yang diputar dengan pusat B sehingga BC berputar sampai BA.

Ruas garis BA dan BC disebut kaki sudut, sedangkan titik pertemuan kaki-kaki sudut itu disebut titik sudut. Daerah yang dibatasi oleh kaki-kaki sudut, yaitu daerah ABC disebut daerah sudut. Untuk selanjutnya, daerah sudut ABC disebut besar sudut ABC.

Sudut dinotasikan dengan : . Sudut pada Gambar 7.17 dapat diberi nama

Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut. Sudut adalah daerah yang dibentuk oleh pertemuan antara dua buah sinar atau dua buah garis lurus.

B. Besar Sudut

Besar suatu sudut dapat dinyatakan dalam satuan derajat (o), menit (‘), dan detik (“). Perhatikan jarum jam pada sebuah jam dinding. Untuk menunjukkan waktu 1 jam, maka jarum menit harus berputar 1 putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 jam = 60 menit. Adapun untuk menunjukkan waktu 1 menit, jarum detik harus berputar 1 putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 menit = 60 detik. Hal ini juga berlaku untuk satuan sudut. Hubungan antara derajat (o), menit (‘), dan detik (“) dapat dituliskan sebagai berikut.

Contoh soal :

1. Tentukan kesamaan besar sudut berikut. a. 5o = …’

b. 8′ = …” c. 45,6o = …̊ …’ d. 48o48′ = …o

C. Penjumlahan dan Pengurangan dalam Satuan Sudut

Seperti halnya pada besaran-besaran lainnya, pada satuan sudut juga dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Caranya hampir sama seperti pada penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal. Untuk menjumlahkan atau mengurangkan satuan sudut, masingmasing satuan derajat, menit, dan detik harus diletakkan dalam satu lajur.

Contoh soal :

1. Tentukan hasil penjumlahan satuan sudut berikut ini. 24o46′ + 57o35′

D. Menggambar dan Memberi Warna Sudut

Sediakanlah sebuah busur derajat agar kalian dapat memahami uraian materi berikut dengan baik. Dalam mengukur besar suatu sudut, diperlukan suatu alat yang dinamakan busur derajat.

Pada umumnya, busur derajat terbuat dari mika tembus pandang berbentuk setengah lingkaran. Pada busur derajat terdapat dua skala, yaitu skala atas dan skala bawah. Pada skala atas terdapat angka-angka 0, 10, 20, …, 180 berturut-turut dari kiri ke kanan, sedangkan pada skala bawah terdapat angka-angka berturut-turut dari kanan ke kiri 0, 10, 20, …, 180.

1. Mengukur Besar Suatu Sudut

Langkah-langkah dalam mengukur besar suatu sudut sebagai berikut. Perhatikan Gambar 7.19 berikut.

a) Letakkan busur derajat pada sudut AOB sehingga

1) titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik O; 2) sisi horizontal busur derajat berimpit dengan sinar garis OA. b) Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis

OA. Jika angka nol berada pada skala bawah, perhatikan angka pada skala bawah yang terletak pada kaki sudut OB. Dari gambar tampak bahwa garis OB terletak pada angka 75o. Jadi, besar sudut AOB = 75o.

2. Menggambar Besar Suatu Sudut

Setelah kita mengetahui cara mengukur besar sudut dengan busur derajat, sekarang kita akan mempelajari cara menggambar sudut.

Perhatikan uraian berikut. Misalkan kita akan melukis sudut PQR yang besarnya 6075o. Langkah-langkah untuk melukis sudut PQR yang besarnya 6075o sebagai berikut.

a) Buatlah salah satu kaki sudutnya yang horizontal, yaitu kaki sudut PQ.

b) Letakkan busur derajat sehingga

1) titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik Q; 2) sisi lurus busur derajat berimpit dengan garis PQ.

3) Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis PQ. Jika angka nol (0) terletak pada skala bawah maka angka 60 yang berada di bawah yang digunakan. Jika angka nol (0) terletak pada skala atas maka angka 60 yang berada di atas yang digunakan. Berilah tanda pada angka 60 dan namakan titik R.

4) Hubungkan titik Q dan R. Daerah yang dibentuk oleh garis PQ dan QR adalah sudut PQR dengan besar sudut PQR = 60o_.

BAB 2

FUNGSI TRIGONOMETRI

A. Pengertian Trigonometri

Istilah trigonometri berasal dari kata yunani “trigonos” yang berarti segitiga dan “metron” yang berarti ukuran. Berdasarkan kata – kata pembentuknya, trigonometri diartikan sebagai ukuran segitiga. Trigonometri pada mulanya merupakan kajian tentang segitiga dan diterapkan sebagai tambahan ke-praktisan pada astronomi, survei dan navigasi. Namun, pada perkembangannya trigonometri tidak hanya dikaitkan dengan segitiga saja.

Seorang astronom yunani, Hipporchus (160 – 120 SM) berhasil membuat daftar trigonometri. Kemudian, disusul oleh george Bachim Rhaticus (1514 – 1576), seorang matematikawan Jerman, mempelajari trigonometri menggunakan segitiga siku –siku. Lain halnya dengan matematikawan Inggris, William Oughtred (1514 – 1660) yang berusaha untuk mengubah pandangan trigonometri dari pandangan secara geometri menjadi pandangan secara aljabar. Pandangan William Ougtred dikembangkan lagi oleh seorang matematikawan yang sangat terkenal, yaitu Leonar Euler (1707 – 1783), yang berasal dari Swiss, Euler mengembangkan fungsi – fungsi trigonometri dari nisbah panjang suatu garis menjadi suatu bilangan.

Sedangkan Hipporchus yang dikenal sebagai bapak Trigonometri, telah menulis 12 buku tentang perhitungan dari tali busur yang berkaitan dengan sudut pusat yang dipotong oleh tali busur itu. Sebagai fakta nyata ketika mereka berkecimpung dengan masalah – masalah pada ruang dimensi tiga, apa yang mereka bangun biasanya dirujuk sebagai trigonometri bola, ketimbang sebagai trigonometri bidang.

B. Perkalian Fungsi Trigonometri

Dalam mempelajari rumus-rumus perkalian sinus dan kosinus kita perlu mengingat kembali rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut yang telah kita pelajari sebelumnya, antara lain sebagai berikut:

1. sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b 2. sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b 3. cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b 4. cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

a) Rumus-rumus untuk 2 sin a cos b dan 2 cos a sin b 1) Rumus untuk 2 sin a cos b

Jika kita menjumlahkan rumus sin (a + b) dan sin (a - b), diperoleh sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b + sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a cos b

Jadi, kita memperoleh rumus untuk 2 sin a cos b, yaitu 2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

Perhatikan pembuktian rumus 2sin a cos b 2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

= (sin a cos b + cos a sin b) + (sin a cos b - cos a sin b) = sin a cos b + cos a sin b + sin a cos b - cos a sin b = 2 sin a cos b

= ruas kiri

2) Rumus untuk 2cos a sin b

Jika kita mengurangkan rumus sin (a + b) dan sin (a - b), diperoleh sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b – sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos a sin b

Jadi, kita memperoleh rumus untuk 2 sin a cos b, yaitu 2sin a cos b = sin (a + b) - sin (a - b)

Perhatikan pembuktian rumus 2sin a cos b 2cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

= (sin a cos b + cos a sin b) - (sin a cos b - cos a sin b) = sin a cos b + cos a sin b - sin a cos b - cos a sin b = 2 cos a sin b

= ruas kiri Catatan:

Rumus-rumus tersebut juga berlaku untuk sudut-sudut dalam satuan derajat sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :

2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

b) Rumus-rumus untuk 2cos a cos b dan 2sin a sin b 1) Rumus untuk 2cos a cos b

Jika kita menjumlahkan rumus cos (a + b) cos (a - b), diperoleh cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b + cos (a + b) + cos (a - b)= 2 cos a cos b

Jadi kita memperoleh rumus untuk 2cos a cos b, yaitu 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

Perhatikan pembuktian rumus 2 cos a cos b 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

= (cos a cos b - sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b)

= cos a cos b - sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b = 2cos a cos b

2) Rumus untuk 2sin a sin b

Jika kita mengurangkan rumus cos (a + b) cos (a - b), diperoleh cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b - cos (a + b) - cos (a - b) = -2 sin a sin b

Jadi kita memperoleh rumus untuk 2sin a sin b, yaitu -2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)

Perhatikan pembuktian rumus 2 sin a sin b -2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)

= (cos a cos b - sin a sin b) - (cos a cos b + sin a sin b)

= cos a cos b - sin a sin b - cos a cos b + sin a sin b = -2sin a sin b

BAB 3

APLIKASI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA

SEGITIGA

Dua gambar tersebut adalah segitiga siku-siku. Dan salah satu sudutnya kita namakan sudut a. segitiga siku-siku mempunyai tiga sisi. Dan kita akan menamainya dengan sisi miring, depan dan samping.

Sisi miring yaitu sisi yang terletak di depan sudut 90 derajat. Sisi depan adalah sisi di depan sudut (untuk gambar tersebut, terletak di depan sudut a). sisi samping adalah sisi yang terletak di samping sudut a.

Pada segitiga siku-siku, berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut :

Artinya, nilai dari sin a sama dengan panjang sisi depan sudut a dibagi dengan panjang sisi miring. Begitu juga untuk cos dan tan. Ingat, ini hanya berlaku pada segitiga siku-siku.

Bagaimana kita menghafalnya. adakah cara mudah untuk menghafalkannya. Cara mudah untuk menghafal ketiga perbandingan trigonometri tersebut adalah sebagai berikut :

hafalkan dengan ingatan cosamir

hafalkan dengan ingatan tandesam

Atau bisa juga secara langsung ketiga-tiganya. sin cos tan adalah demi sami desa

Maksudnya yaitu sin demi, cos sami dan tan desa.

Untuk cosecan, secan dan cotangen. Yang kita lakukan hanyalah membalik perbandingannya. Karena

maka maka maka

Tidak perlu untuk menghafal csc, sec dan cot. Kita hanya perlu memahami konsep bahwa

Untuk selanjutnya, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ini akan sangat berguna untuk mencari unsur-unsur yang belum diketahui pada segitiga siku-siku.

BAB 4

FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut  adalah sudut (90  ), (180  ), (360  ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut  dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut  dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (90 - ) Dari gambar 2.7 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan garis y  x, sehingga diperoleh:

a. XOP =  dan XOP1 = 90 - 

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh: a. sin



90



  cos 1 1 r x r y b. cos



90



  sin 1 1 r y r x c. tan



90



  cot 1 1 y x x y

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut  dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (180 - )

y x X Y P(x,y) r  (90-) P1(x1,y1) r1 x1 y1 y = x

Gb. 2.7. sudut yang berelasi

O

a. sin



90



cos d. csc



90



sec b. cos



90



sin e. sec



90



cosec  c. tan



90



cot f. cot



90



tan

y x _X Y P(x,y) r  (180-) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O

Gb. 2.8. sudut yang berelasi

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y)

akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga

a. XOP =  dan XOP1 = 180 - 

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a. sin



180



  sin 1 1 r y r y b. c.





        tan 180 tan 1 1 x y x y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (180 + ) Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah bayangan

dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y  x, sehingga

a. XOP =  dan XOP1 = 180 + 

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a. sin



180



   sin 1 1 r y r y b. cos



180



   cos 1 1 r x r x c.





          tan 180 tan 1 1 x y x y x y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:



180



   cos cos 1 1 r x r x a. sin



180



sin d. csc



180



csc b. cos



180



cos e. sec



180



sec  c. tan



180



tan f. cot



180



cot

y x _X Y P(x,y) r  (180+) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O

Gb. 2.9. sudut yang berelasi

a. sin



180



sin d. csc



180



csc  b. cos



180



cos e. sec



180



sec  c. tan



180



tan f. cot



180



cot

4. Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (- ) Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1)

bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. XOP =  dan XOP1 = - 

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a. sin

 

    sin 1 1 r y r y b. cos

 

   cos 1 1 r x r x c. tan

 

    tan 1 1 x y x y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi  dengan (- ) tersebut identik dengan relasi  dengan 360  , misalnya sin (360  )   sin .

BAB 5

IDENTITAS TRIGONOMETRI

1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:

a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan

y x X Y P(x,y) r  (360-1) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O -

Gb. 2.10. sudut yang berelasi

a. sin

 

 sin d. csc

 

 csc  b. cos

 

 cos e. sec

 

 sec 

b. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan

c. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh 1

1. Buktikan identitas berikut:

a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) Jawab:

Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α = Sin α . Cos α .   Cos Sin = Sin2 α













2 2 2 2 2 2

sec

1

sec

tan

1

1

Co

Cot

Sin

Cos































sin

cos

cot

cos

sin

tan





















tan 1 cot cos 1 sec sin 1 cos       ec

= 1 – Cos2 α

= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti! b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β = Sin β .   Cos Sin + Cos β =     Cos Cos Cos Sin2 _ 2 =   Cos 1

Sec β = Ruas Kanan Terbukti

2. Persamaan Trigonometri

a. Persamaan Trigonometri Sederhana

Contoh 2

1. Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =

2 1 , 0o ≤ x ≤ 360o Jawab: Sin x = 2 1 Sin x = Sin 30o x = 30o _{+ k . 360}o untuk k= 1 ↔ x = 30o

 Jika Sin x = Sin α X1 = α + k . 360o

X2 = (180o – α) + k . 360o

 Jika Cos x = Cos α X1 = α + k . 360o

X2 = - α + k . 360o

 Jika Tan x = Tan α X = α + k . 180o

untuk k = 2 ↔ x = (180o – 30o) + k . 360o = 150o

HP:{30o, 150o}

b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c

Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:

Contoh 3

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan: Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o

Jawab: Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = - 1 ; c = 1 Sehingga diperoleh k = a2 b2  12

 

12  2 Tan α = 1 1   b a = - 1 ↔ α dikuadran IV α = 315o

jadi Cos y – Sin y = 1

↔ 2 Cos (x – 315o_{) = 1} ↔ Cos (x – 315o) = 2 2 1 ↔ Cos (x – 315o) = Cos 45o ↔ (x – 315o) = 45o + k . 360o ↔ x = 360o + k . 360o ↔ x = 360o Atau (x – 315o) = - 45o + 360o k Cos x (x - α) = c dengan k = a 2 b2 α = arc tan a b

x = 270o + k . 360o x = 270o

BAB 6

FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT ( dan )

A. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus cos ( + ) dan cos (  )

Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus cos ( + ).





AC AD cos   







ACcos AD

Pada segitiga sikusiku CGF

CF GF

sin   GFCFsin …………..(1)

Pada segitiga sikusiku AFC,

AC CF sin   CFACsin …………..(2) AC AF β cos   AFACcos …………..(3)

Pada segitiga sikusiku AEF,

AF AE

cos   AEAFcos  …………..(4) Dari (1) dan (2) diperoleh

GF  AC sin  sin 

Karena DE  GF maka DE  AC sin  sin  Dari (3) dan (4) diperoleh

AE  AC cos  cos  Sehingga AD  AE  DE

AC cos ( + )  AC cos  cos   AC sin  sin 

   A D E B C G F

cos ( + )  cos  cos   sin  sin 

Jadi

Untuk menentukan cos (  ) gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke rumus cos ( + ).

cos (  )  cos ( + ())

 cos  cos ()  sin  sin ()  cos  cos   sin  (sin )  cos  cos  + sin  sin  Jadi

2. Rumus sin ( + ) dan sin (  )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin (  ) perlu diingat rumus sebelumnya, yaitu: sin (90  )  cos  dan

cos (90  )  sin 

sin ( + )  cos (90  ( + ))  cos ((90  )  )

 cos (90  ) cos  + sin (90  ) sin   sin  cos  + cos  sin 

Jadi

Untuk menentukan sin (  ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke sin ( + ).

sin (  )  sin ( + ( ))

 sin  cos () + cos  sin ()  sin  cos  + cos  (sin )  sin  cos   cos  sin  Jadi

3. Rumus tan ( + ) dan tan (  )

Dengan mengingat     cos sin tan , maka                      sin sin cos cos sin cos cos sin ) ( cos ) ( sin ) ( tan

cos (  )  cos  cos  + sin  sin 

sin ( + )  sin  cos  + cos  sin 

                              cos sin cos sin 1 cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin cos cos sin ) ( tan        tan tan 1 tan tan Jadi

Untuk menentukan tan (  ), gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke tan ( + ). tan (  )  tan ( + ( )) ) (-tan tan 1 ) (-tan tan        ) tan ( tan 1 ) ( tan tan                tan tan 1 tan tan Jadi           tan tan 1 tan tan ) ( tan           tan tan 1 tan tan ) ( tan

BAB 7

FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT GANDA

Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

2. sin 2  sin ( + )  sin  cos  + cos  sin   2 sin cos Jadi

3. cos 2  cos ( + )  cos  cos   sin  sin   cos2  sin2

Jadi

Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2  1.

cos 2  cos2  sin2 _{cos 2  cos}2  sin2

 cos2  (1  cos2) _{ (1  sin}2)  sin2

 2cos2  1  1  2 sin2 Sehingga 4.                 2 tan 1 tan 2 tan tan 1 tan tan ) ( tan 2 tan Jadi

sin 2  2 sin cos cos 2  cos2  sin2

1) cos 2  cos2  sin2

2) cos 2  2cos2  1 3) cos 2  1  2 sin2      2 tan 1 tan 2 2 tan

BAB 8

HUBUNGAN ANTARA SISI-SISI DAN SUDUT-SUDUT

SEGITIGA

A. Ketidaksamaan Segitiga

Agar kalian memahami mengenai ketidaksamaan segitiga lakukan kegiatan berikut.

1. Buatlah sebarang segitiga dari kertas karton. Namailah dengan segitiga ABC. Sisi di hadapansudut A, berilah nama sisi a. Sisi di

hadapansudut B, berilah nama sisi b. Demikian pula dengan sisi sudut C. 2. Ukurlah panjang masing-masing sisinya.

3. Jumlahkan panjang sisi a dan b. Kemudian, bandingkan dengan panjang sisi c. Manakah yang lebih besar? Bandingkan pula panjang sisi a + c dengan panjang sisi b. Demikian pula, bandingkan panjang sisi b + c dengan panjang sisi a.

Manakah yang lebih besar? Apa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan tersebut?

Jika kalian melakukan kegiatan tersebut dengan tepat, kalian akan memperoleh kesimpulan seperti berikut. Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang daripada sisi ketiga. Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka berlaku salah satu dari ketidaksamaan berikut.

(i) a + b > c (ii) a + c > b (iii) b + c > a

B. Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga

Agar kalian mengetahui hubungan antara besar sudut dengan panjang sisi pada suatu segitiga, lakukan kegiatan berikut ini. Buatlah sebarang segitiga, misalnya segitiga ABC seperti gambar berikut ini.

Bagaimana hubungan antara sudut A dengan sisi BC,sudut B dengan sisi AC, dan sudut C dengan sisi AB? Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah panjang setiap sudutnya, yaitu sudut A, sudut B, dan sudut C. Kemudian dengan menggunakan penggaris, ukurlah masing-masing panjang sisinya, yaitu AB, BC, dan AC. Amatilah besar sudut dan panjang sisi dari segitiga tersebut. Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan memperoleh bahwa

1. sudut B merupakan sudut terbesar dan sisi di hadapannya, yaitu sisi AC merupakan sisi terpanjang;

2. sudut C merupakan sudut terkecil dan sisi di hadapannya, yaitu sisi AB merupakan sisi terpendek.

Apa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan di atas?

Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan menyimpulkan seperti berikut. Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapan dengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil terletak berhadapan dengan sisi terpendek.

C. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga

Kalian telah mengetahui bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°. Selanjutnya, untuk memahami pengertian sudut luar segitiga, pelajari uraian berikut.

Perhatikan Gambar di atas. Pada gambar Δ ABC di samping, sisi AB diperpanjang sehingga membentuk garis lurus ABD. Pada segitiga ABC berlaku

sudut BAC + sudut ABC + sudut ACB = 180° (sudut dalam Δ ABC) sudut BAC + sudut ACB = 180° – sudut ABC ... (i)

Padahal sudut ABC + sudut CBD = 180° (berpelurus)

sudut CBD = 180° – sudut ABC ... (ii)

Selanjutnya sudut CBD disebut sudut luar segitiga ABC. Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperolehsudut CBD = sudut BAC + sudut ACB. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.

Berdasarkan gambar berikut, tentukan nilai x° dan y°.

Penyelesaian:

80° + 60° + x° = 180° (sudut dalam segitiga) 140° + x° = 180°

x° = 180° – 140° x° = 40° x° + y° = 180° (berpelurus) 40° + y° = 180° y° = 180° – 40° y° = 140°

BAB 9

GRAFIK TRIGONOMETRI

Grafik dari fungsi trigonometri berbentuk kurva periodik. Hal ini dapat dibuktikan dengan bantuan turunan (tidak dibuktikan di sini). Untuk fungsi sinus dan cosinus, grafiknya memiliki nilai maksimum dan minimum. Hal ini dikarenakan nilai dari y = sin A dan y = cos B memiliki nilai maksimum 1, dan nilai minimum – 1. Berikut ini ditunjukkan langkah-langkah untuk menggambar grafik y = sin x.

1. Tentu saja lukislah diagram Cartesius pada kertas berpetak. Kemudian daftarlah sudut-sudut istimewa untuk dijadikan nilai x, seperti terlihat pada

2. Lukislah titik-titik pasangan berurutan (x, y) di atas pada koordinat Cartesius.

3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva halus (kontinu).

Langkah-langkah di atas merupakan cara untuk melukis grafik fungsi y = sin x. Untuk membuat grafik fungsi trigonometri yang lain, lakukan langkah-langkah yang serupa. Bagaimana melukis grafik fungsi sinus yang “dimodifikasi”? Misalnya, y = sin x + 1, y = 3 sin x, y = sin 2x, dan y = 3 sin 2x. Perhatikan “Tips dan Trik” berikut.

BAB 10

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih fungsi trigonometri.

Contoh :

Teknik dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menggunakan identitas trigonometri dan teknik aljabar untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Contoh 1 :

( membagi kedua ruas dengan 2)

(ingat identitas :

karena , maka solusinya adalah . dimana k adalah bilangan bulat.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan , pada interval .

Jawab :

, (ingat ) atau

untuk , penyelesaiannya . untuk , penyelesaiannya

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah Contoh 3 :

1. Tentukan penyelesaian dari , untuk Jawab :

BAB 11

PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI

A. Cara menggunakan pertidaksamaan trigonometri

→ mencari harga nol sama dengan cara menyelesaikan persamaan trigonometri

→ diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan

Contoh:

1. Selesaikan sin 2x < cos x untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Cara:

sin 2x – cos x < 0

2 sin x.cos x – cos x < 0

cos x.(2 sin x – 1) < 0 harga nol:  cos x = 0 cos x = cos 90° x = 90° + k.360° atau x = –90° + k.360° k = 0 → x = 90° k = 1 → x = 270°  2 sin x – 1 = 0 2 sin x = 1

sin x = ½

sin x = sin 30°

x = 30° + k.360° atau x = (180 – 30)° + k.360° k = 0 → x = 30° x = 150° + k.360°

k = 0 → x = 150°

Memberi tanda (+) dan (-) pada garis bilangan:

Jika x = 180° maka sin 2.180° – cos 180° = sin 360° – cos 180° = 0 – (–1) = 1 (+)

Jadi garis bilangannya:

karena yang diminta kurang dari (<) 0, maka yang diarsir adalah bagian-bagian yang bertanda (-)

Sehingga HP-nya: {0° ≤ x < 30° atau 90° < x < 150° atau 270° < x ≤ 360°}

Ini adalah salah satu contoh penyelesaian dari pertidaksamaan.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut, dengan 00 _{≤x ≤ 360}0

sin x + 1 ≥ cos x Penyelesaian : sin x + 1 – cos x ≥ 0 sin x – cos x + 1 = 0 sin x + 1 = cos x

sin2 _{x + 2 sin x + 1 = cos}2 _x

sin2 _{x + 2 sin x + 1 = 1 – sin}2 _x

2 sin2 _{x + 2 sin x = 0}

2 sin x = 0 V sin x = -1 sin x = 0 x = 2700 _{+ k . 360}0 kuadran I sin x = sin ( 00 _{+ k . 360}0 ₎ x = 00 _{+ k . 360}0 kuadran II sin x = sin ( 1800 _{+ k . 360}0 ₎ x = 1800 _{+ k . 360}0 0 + + + + + 0 - 0 00 ₉₀0 ₁₈₀0 ₂₇₀0 ₃₆₀0

x = 00_{, sin 0}0 _{+ 1 – cos 0}0 _{hasilnya nol}

x = 900 _{, sin 90}0 _{+ 1 – cos 90}0 _{hasilnya positif}

x = 1800 _{, sin 180}0 _{+ 1 – cos 180}0 _{hasilnya positif}

x = 2700 _{, sin 270}0 _{+ 1 – cos 270}0 _{hasilnya nol}

x = 3000 _{, sin 300}0 _{+ 1 – cos 300}0 _{hasilnya negatif}

x = 3600 _{, sin 360}0 _{+ 1 – cos 360}0 _{hasilnya nol}