MA2081 Statistika Dasar – Utriweni Mukhaiyar – II/10‐11 Latihan I 1 MA2081 STATISTIKA DASAR
SEMESTER II TAHUN 2010/2011 LATIHAN I
A. STATISTIKA DESKRIPTIF
1. Seorang teknisi suatu pabrik paku melakukan kunjungan di bagian produksi. Ia mengambil 36 sampel paku yang akan dikemas dan kemudian mengukur diameter kepala paku tersebut (dalam satuan inci). Hasil pengukurannya adalah sebagai berikut.
6.72 6.77 6.82 6.70 6.78 6.70 6.62 6.75 6.66 6.66 6.64 6.76 6.73 6.80 6.72 6.76 6.76 6.68 6.66 6.62 6.72 6.76 6.70 6.78 6.76 6.67 6.70 6.72 6.74 6.81 6.79 6.78 6.66 6.76 6.76 6.72 a. Buat diagram batang daun!
b. Hitung nilai ukuran-ukuran pemusatan datanya kemudian buatlah box plot untuk kasus di atas! c. Apakah terdapat sampel paku yang sangat berbeda dari yang lainnya (pencilan)
2. Berikut adalah nilai koefisien variasi (CV) dari berbagai jenis endapan emas. Nilai median dari CV tersebut adalah:
5,10 2,81 2,22 1,63 1,58 1,56 1,55 1,28 1,19 1,19 1,12 1,02 0,85 0,80 0,74 0,70 0,58 0,57 0,27 0,22 a. Gambarkan diagram batang daun yang sesuai!
b. Hitung nilai minimum, maksimum, kuartil bawah, median, dan kuartil atas dari nilai CV tersebut! c. Buatlah box plot untuk kasus di atas! Apakah terdapat sampel nilai CV yang menjadi pencilan? 3. Data lama hidup (dalam tahun) dari 50 nasabah perusahaan asuransi XYZ setelah mendaftar pada tahun dan kategori umur yang sama di suatu kota, dinyatakan dalam diagram batang-daun berikut.
0 34 0 56667777777889999 1 0000001223333344 1 5566788899 2 034 2 7 3 2 Ket: batang (x10), daun (x100).
a. Hitung rata-rata dan simpangan baku lama hidup 50 nasabah tersebut.
b. Hitung nilai minimum, maksimum, kuartil satu (bawah), median dan kuartil tiga (atas) dari lama hidup 50 nasabah tersebut.
c. Apakah terdapat pencilan? Jika iya, tuliskan nilai yang menjadi pencilan dan jenisnya. d. Gambarkan box-plot untuk kasus di atas.
4. Seseorang tertarik untuk melihat hubungan antara banyaknya alat elektronik yang dibeli dengan biaya (juta rupiah) yang dikeluarkan. Data sebagai berikut.
Bnyk alat elektronik 1 3 6 10 15 Biaya 55 52 46 32 25
a. Tentukan Range and Inter Quartile Range (IQR) dari banyak alat elektronik dan biaya. b. Buatlah box plotnya.
5. Diagram batang dan daun dari diameter sejenis pohon di suatu hutan adalah sbb (dalam mm)
44 3 5 43 9 9 43 0 0 1 2 2 3 3 42 5 6 6 6 6 8 8 8 9 9 9 9 9 42 0 1 1 1 2 2 3 3 4 41 5 6 7 8 8 9 9 41 2 3 3
Batang satuan, Daun sepersepuluhan a. Tentukan ukuran pemusatan data (median dan rata-rata) b. Tentukan ukuran penyebaran data (variansi dan standar deviasi) c. Selidiki adakah pencilan pada data diatas dan berikan penjelasan.
d. Buat diagram kotak dan titik
6. Tabel berikut menyatakan lama waktu yang diperlukan (jam) untuk mengerjakan tiga tipe soal ujian yang berbeda yang diberikan pada 25 peserta kuliah Analisis Data tahun 2006.
Tipe Waktu pengerjaan (jam)
I 2,5 2 2,6 1,5 2,25 1,75 2,3 2
II 2,75 2,5 3,25 2,5 2,35 2,3 2,5 2 2,25 III 3 3,15 3,75 4 2,5 3,5 2,75 1,75 a. Hitung rataan dan variansi masing-masing tipe soal.
MA2081 Statistika Dasar – Utriweni Mukhaiyar – II/10‐11 Latihan I 2 b. Dengan skala yang sama, buatlah boxplot untuk masing-masing tipe soal di atas, kemudian
bandingkan. Berikan ulasan Anda!
7. Berikut adalah diagram batang-daun data durasi (dalam menit) dari periode-periode tidak aktifnya sebuah air mancur panas di sebuah Taman Nasional (n = 60).
4 259 5 0111133556678 6 067789 7 01233455556666699 8 000012223344456668 9 013
Ket : batang (puluhan), daun (satuan).
a. Hitung nilai modus, minimum, maksimum, median, kuartil bawah, dan kuartil atas. b. Deteksi apakah terdapat pencilan.
c. Bangun box-plot yang sesuai dengan kasus di atas.
8. Data curah hujan (dalam mm) di suatu kota di Indonesia dalam 25 hari direpresentasikan dalam diagram batang daun berikut:
0 | 3466 1 | 2225678 2 | 1134779999 3 | 0017 (ket: batang: puluhan, daun: satuan)
a. Hitung nilai mean, modus dan median dari data curah hujan di atas. Apa yang dapat Anda simpulkan?
b. Apakah terdapat pencilan? Berikan komentar atau analisis Anda.
B. PELUANG, FUNGSI PELUANG & EKSPEKTASI
1) Misal f(x)= 3 16 , untuk - c < x < c, adalah fungsi : ∞,∞ 0,1 .
a. Tentukan nilai konstanta c, sehingga fungsi f(x) merupakan fungsi kerapatan peluang untuk variabel acak X.
b. Gambarkan grafik f(x) tersebut.
c. Hitung peluang nilai peubah acak X terletak antara 0 dan 1. d. Tentukan dan gambarkan grafik fungsi distribusi F(x).
2) Prodi Matematika membeli beberapa alat untuk Lab Komputasi dan Statistika pada akhir tahun, yang banyaknya tergantung pada seringnya perbaikan pada tahun sebelumnya. Misalkan Y menyatakan banyaknya komputer, yang dibeli tiap tahun dengan distribusi peluang sbb:
Y 0 1 2 3
P(Y=y) 0,1 0,6 0,15 0,15
a. Hitunglah rataan dan simpangan/deviasi baku dari banyaknya komputer yang dibeli. b. Hitung dan gambarkan fungsi distribusi F(y).
c. Bila sepanjang tahun harga komputer tersebut tetap, 10 juta rupiah dan potongannya 0.05Y2
juta rupiah untuk setiap pembelian, berapa besar yang harus dibayar Prodi untuk membeli komputer tersebut pada akhir tahun ini.
3) Peubah acak X menyatakan ketebalan batang kayu (dalam mm), dengan fungsi kepadatan peluang,
3 3 5
, 4 6 0 , lainnya
a. [5] Hitung nilai c.
b. [12]Hitung harapan ketebalan batang kayu dan variansinya.
c. [8]Jika peubah acak Y menyatakan ketebalan batang kayu dalam satuan inchi (1 mm=0.0394 inchi). Tentukan mean dan variansi dari Y.
(Petunjuk: gunakan sifat-sifat ekspektasi.)
4) Misalkan peubah acak X memiliki mean µ dan variansi . a. Tunjukan bahwa adalah fungsi dari b. b. Tentukan nilai b agar minimum. c. Tentukan nilai .
5) Pernyataan berikut adalah benar mengenai sifat-sifat fungsi distribusi dari sebuah peubah acak X, F(x), kecuali:
MA2081 Statistika Dasar – Utriweni Mukhaiyar – II/10‐11 Latihan I 3 a. Jika maka b. lim ∞ 1 c. lim ∞ 0 d. lim
6) Banyaknya jam, diukur dalam satuan 1 jam/hari, dari seorang anak SMA tidur siang dianggap variabel acak kontinu T dengan fungsi peluangnya sebagai berikut:
lainnya t untuk 0 2 1 , 2 1 0 ) ( t t t t t f Tentukan:
a. Peluang (probabilitas) suatu siang anak itu akan tidur antara 0,5 dan 1 jam. b. Tentukan rataan dan variansi dari T, dan gambarkan pada f(t)
c. Carilah fungsi distribusinya dan gambarkan.
7) Peluang bahwa jadwal keberangkatan (departs) regular sebuah maskapai penerbangan tepat waktu adalah 0,83; peluang kedatangannya (arrives) tepat waktu adalah 0,82; dan peluang bahwa keberangkatan dan kedatangannya tepat waktu adalah 0,78. Peluang bahwa kedatangannya tepat waktu jika keberangkatannya tepat waktu dan peluang bahwa keberangkatannya tepat waktu jika kedatangannya tepat waktu berturut-turut adalah:
a. 0,95 dan 0,94
b. 0,94 dan 0,95 c. 0,99 dan 0,95 d. 0,95 dan 0,99
8) Suatu yayasan A mencoba mengumpulkan dana untuk bencana banjir di Jakarta. Yayasan tersebut mendapatkan informasi yang diperoleh dari pemasukan dana tahun lalu sebagai berikut (dalam seratus ribuan rupiah)
Besar sumbangan 5 10 25 50
Proporsi yang menyumbang 0,45 0,30 0,20 0,05
Tentukanlah :
a) Peluang seseorang akan menyumbang tidak kurang dari Rp 2.500.000,- b) Rataan dan variansi dari X.
9) Jika peubah acak T mempunyai fungsi peluang sebagai berikut :
lainnya
untuk
,
0
1
1
-untuk
),
1
(
)
(
2 4 3t
t
t
t
f
Cari E[ X2 ], E[ X-1], E[X].10) Lamanya pemakaian sparepart (dalam bulan) dari suatu jenis motor Jepang, misalkan W, dianggap mempunyai fungsi distribusi peluang sebagai berikut :
0
0
0
)
(
2 /w
w
Kwe
w
f
w a. Berapakah nilai Kb. Hitung peluang sparepart tersebut sudah terpakai paling sedikit 5 bulan? c. Hitung harapan lamanya pemakaian sparepart tersebut!
d. Berapa simpangan baku dari lamanya pemakaian sparepart tersebut!
11) Misalkan X menyatakan waktu hidup (jam) sebuah alat elektronik dengan fungsi distribusi ,
10
1
10
F x
, x
x
a. Tentukan peluang waktu hidup alat elektronik tersebut lebih dari 2 jam! b. Berapa peluang setidaknya 3 dari 6 elektronik akan berfungsi lebih dari 15 jam?
4
12) Suatu peubah acak X memiliki distribusi peluang sebagai berikut.
Tentukan, (a) Nilai p.
(b) Fungsi distribusi kumulatif peubah acak X (c) Harapan nilai peubah acak X
13) Suatu tipe komponen elektronik dikemas dalam 4 bagian. Misalkan Y menyatakan banyaknya pemasangan komponen yang berfungsi dengan baik dimana peluang bahwa tepat y pemasangan yang berfungsi dinyatakan sebagai,
1 2 3 4
0 lainnya
cy , y
, , ,
P Y
y
, y
dimana c konstan.a. Hitung nilai c sehingga P(Y = y) merupakan fungsi massa peluang untuk Y! b. Berapa peluang lebih dari 2 pemasangan yang tidak berfungsi?
c. Hitung harapan banyaknya pemasangan yang berfungsi dengan baik!
14) Misalkan panjang lintasan dari suatu area perkemahan ke sungai terdekat (x100m) dinyatakan sebagai L. Dari hasil beberapa surveyor, disimpulkan bahwa fungsi kepadatan peluang L adalah
2 4 (1 ), jika 0 1 ( ) 0 , untuk lainnya l l l f l l
Berapa harapan (ekspektasi) seorang petualang menempuh lintasan dari area perkemahan ke sungai terdekat tidak lebih dari 70 m (Catatan jangan lupa dikalibrasi ukurannya)?
15) Proporsi suatu komunitas terjangkit sejenis penyakit tertentu adalah 0.005. Suatu tes dilakukan untuk mendiagnosis penyakit tersebut. Jika seseorang terjangkit penyakit, peluang bahwa tes tersebut memberikan hasil positif adalah 0.99. Jika seseorang tidak terjangkit penyakit, peluang bahwa tes memberikan hasil yang positif adalah 0.01. (Petunjuk: gunakan aturan Bayes.)
a. Hitung peluang seseorang terjangkit penyakit dan hasil tesnya positif.
b. Jika hasil tes seseorang adalah positif, hitung peluang bahwa orang tersebut sebenarnya terjangkit penyakit.
16) Seorang peneliti mencatat bahwa dalam 6 bulan (180 hari) pada musim hujan di suatu daerah di Jawa Barat, hujan turun selama 150 hari. Dalam kurun waktu yang sama, banyaknya kejadian bahwa kecepatan angin di atas batas kecepatan normal adalah 120 hari. Sedangkan banyak kejadian bahwa kecepatan angin diatas batas normal jika hari hujan adalan 108 hari. Diasumsikan bahwa kejadian hujan maupun kejadian kecepatan angin yang diatas batas normal tersebut adalah sekali dalam sehari. Dalam 6 bulan musim hujan di tahun berikutnya, hitung:
a. Berturut-turut peluang hujan dan peluang kecepatan angin di atas batas normal.
b. Apakah kejadian hari hujan dan kecepatan angin di atas batas normal adalah saling bebas. c. Peluang terjadinya hujan jika kecepatan angin di atas batas normal.
5
17) Seorang investor mengasuransikan lapangan eksplorasi migas sebesar US$ 10.000. Perusahaan asuransi AAA menaksir kerugian 100% (US$ 10.000) dengan peluang 0,002; kerugian 50% dengan peluang 0,01; kerugian 25% dengan peluang 0,1, sisanya dikategorikan sebagai tidak rugi. Selanjutnya jika X menyatakan besarnya kerugian, maka distribusi peluang X adalah
x US$ 10.000 US$ 5.000 US$ 2.500
P(X=x) 0,002 0,01 0,1
Tentukan: a. Rataan dan variansi dari X b. Fungsi distribusi F(x) =
P X
x
dan gambarkanc. Besar premi yang diajukan oleh perusahaan asuransi AAA agar memperoleh keuntungan US$ 100. 18) [BENAR/SALAH] Jika X adalah peubah acak yang menyatakan kesalahan pengukuran diameter
(satuan: mm) suatu jenis batu mulia yang mempunyai distribusi peluang, f(x) = (3/16) x2 untuk -2 < x < 2, maka peluang tidak terjadi kesalahan pengukuran adalah 0.
19) Suatu perusahan yang bergerak di bidang investasi, menawarkan beberapa saham yang berkaitan dengan pemerintahan kepada nasabahnya. Misalkan T adalah peubah acak yang menyatakan lamanya waktu (tahun) sampai saham tersebut habis masa berlakunya. Fungsi distribusi T diberikan sbb: 0 , 1 1 4, 1 3 1 2, 3 5 3 4, 5 7 1, 7
Peluang bahwa masa berlaku saham tersebut habis tepat 5 tahun, kurang dari 4 tahun, dan dari 4 sampai 7 tahun berturut-turut adalah:
a. , , b. , , c. , , d. , ,
MA20181 Statistika Dasar – Utriweni Mukhaiyar – Sem. II Th. 2010/2011 Latihan I 6
