45 BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai penerapan suku bunga stokastik ke
dalam penghitungan nilai sekarang dan nilai masa depan anuitas akhir, kemudian
akan dilakukan simulasi pembangunan pohon suku bunga sesaat, penghitungan
anuitas dengan suku bunga stokastik, dan penghitungan ukuran galat.
A. Konsep Anuitas dengan Suku Bunga Sesaat
Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai anuitas serta rumus yang
menyertainya, secara lebih spesifik yaitu pada persamaan (2.36) dan (2.37) yang
mendefinisikan nilai sekarang (present value), dan nilai masa depan (future value)
dari sebuah anuitas dengan jangka waktu 𝑡 dan tingkat suku bunga 𝑖. Persamaan
(2.36) dan (2.37) menggunakan tingkat suku bunga yang sama tiap tahunnya atau
dapat dikatakan bahwa penghitungan nilai anuitas sesuai kedua persamaan tersebut
menganut model suku bunga deterministik. Apabila tingkat suku bunga yang
dipakai berubah-ubah maka dapat dikatakan bahwa anuitas mengikuti model suku
bunga stokastik. Subbab ini akan memperkenalkan konsep anuitas yang mengikuti
model suku bunga stokastik.
Menurut Definisi 22, anuitas adalah serangkaian pembayaran yang
dilakukan pada selang waktu yang sama. Jika dilakukan suatu pembayaran sebesar
1 di akhir setiap periode selama 𝑛 periode, maka nilai sekarang anuitas adalah
jumlahan setiap pembayaran di tiap periode yang nilainya telah disesuaikan di titik
46
pembayaran di periode ke-𝑛 dilakukan dengan mengalikan 1 ke faktor diskon yang
berlaku dari titik waktu ke-0 hingga titik waktu ke-𝑛. Apabila suku bunga yang
berlaku di tiap-tiap selang periode merupakan suku bunga sesaat 𝑟(𝑡) dengan 𝑡 =
0,1,2,3, . . . , 𝑛 − 1, di mana 𝑟(𝑡) adalah suku bunga sesaat yang berlaku di antara
waktu ke-𝑡 dan 𝑡 + 1, maka faktor diskon yang berlaku dari waktu ke-𝑡 hingga
waktu ke-𝑡 + 1 didefinisikan sebagai berikut:
𝜐𝑡 = (1 + 𝑟(𝑡))−1.
(3.1)
Nilai sekarang anuitas yang dihitung dengan menggunakan suku bunga sesaat (𝑎𝑛∗) kemudian dapat dirumuskan dengan logika berpikir yang sama dengan perumusan
nilai sekarang anuitas dengan suku bunga deterministik sebagai berikut:
𝑎𝑛∗ =𝜐0+𝜐0𝜐1+ ⋯ +𝜐0𝜐1𝜐2… 𝜐𝑛−1 = 1 1 + 𝑟(0)+ 1 (1 + 𝑟(0))(1 + 𝑟(1))+ ⋯ + 1 (1 + 𝑟(0))(1 + 𝑟(1)) … (1 + 𝑟(𝑛 − 1)) = (1 + 𝑟(0))−1+ ((1 + 𝑟(0))(1 + 𝑟(1)))−1+ ⋯ + ((1 + 𝑟(0))(1 + 𝑟(1)) … (1 + 𝑟(𝑛 − 1)))−1 = ∑ ∏(1 + 𝑟(𝑖))−1 𝑗 𝑖=0 𝑛−1 𝑗=0 . (3.2)
Sedangkan nilai masa depan dari anuitas adalah jumlahan dari setiap pembayaran
47
Penyesuaian nilai pembayaran pada waktu ke-𝑡 ke titik waktu terakhir (titik waktu
ke-𝑛) dengan 𝑡 < 𝑛 dilakukan dengan mengalikan nilai pembayaran di waktu ke-𝑡
dengan faktor akumulasi yang berlaku antara waktu ke-𝑡 dan waktu ke-𝑛. Untuk
suku bunga sesaat 𝑟(𝑡), faktor akumulasi yang berlaku di waktu ke-𝑡 hingga waktu
ke-𝑡 + 1 didefinisikan sebagai berikut:
𝛼𝑡 = 1
𝜐𝑡= (1 + 𝑟(𝑡)). (3.3)
Nilai masa depan anuitas yang dihitung menggunakan suku bunga sesaat (𝑠𝑛∗) kemudian dirumuskan dengan teori yang diperkenalkan Kellison (1991) yaitu
bahwa nilai masa depan anuitas diperoleh dari perkalian nilai sekarang anuitas
dengan faktor akumulasi dari waktu ke-0 hingga waktu ke-𝑛:
𝑠𝑛∗ =𝑎𝑛∗ 𝛼0𝛼1𝛼2… 𝛼𝑛 = [(1 + 𝑟(0))−1+ ((1 + 𝑟(0))(1 + 𝑟(1)))−1+ ⋯ + ((1 + 𝑟(0))(1 + 𝑟(1)) … (1 + 𝑟(𝑛 − 1)))−1] (1 + 𝑟(0))(1 + 𝑟(1))(1 + 𝑟(2)) … (1 + 𝑟(𝑛)) = 1 + (1 + 𝑟(𝑛 − 1)) + (1 + 𝑟(𝑛 − 1))(1 + 𝑟(𝑛 − 2)) + ⋯ + (1 + 𝑟(𝑛 − 1))(1 + 𝑟(𝑛 − 2)) … (1 + 𝑟(1)) = 1 + ∑ ∏(1 + 𝑟(𝑖)) 𝑛−1 𝑖=𝑗 𝑛−1 𝑗=1 . (3.4)
48 B. Sumber dan Karakteristik Data
Data yang akan digunakan untuk membangun pohon suku bunga sesaat
model BDT adalah data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve yang
diperoleh dari www.quandl.com periode 1 Januari 2010-31 Desember 2010 untuk
waktu jatuh tempo 1, 2, 3, 4, dan 5 tahun seperti tercantum pada Lampiran 1. Data
kemudian diolah dengan menghitung rerata tingkat imbal hasil tahunan dan
volatilitas imbal hasil untuk setiap waktu jatuh tempo. Hasil olahan data seperti
pada lampiran 1 disajikan pada Tabel 4 sebagai berikut:
Tabel 5. Tabel data olahan United States Treasury Zero Coupon Yield Curve
Waktu jatuh tempo (𝑡) 1 2 3 4 5
Tingkat imbal hasil (𝑦(0,0, 𝑡))
0.356% 0.688% 1.109% 1.550% 1.974%
Volatilitas imbal hasil (𝜎𝑦(𝑡))
20,02% 36,25% 33,96% 29,53% 25,65%
Adapun data suku bunga aktual yang digunakan adalah suku bunga aktual tahun
2010-2014 untuk negara Amerika Serikat yang diperoleh dari data.worldbank.org.
Tabel 6. Tabel suku bunga aktual negara Amerika Serikat tahun 2010-2014
2010 2011 2012 2013 2014
2.004173% 1.161394% 1.429119% 1.734107% 1.765223%
C. Model BDT untuk Data US Treasury Zero Coupon Yield Curve
Pada subbab ini akan dibahas mengenai proses membangun pohon suku
49
Curve yang disajikan pada Tabel 4. Pohon suku bunga sesaat akan dibangun
berdasarkan langkah-langkah yang telah dijelaskan di bab sebelumnya.
1. Ditetapkan 𝑦(0,0,1) sebagai 𝑟(0,0) sehingga nilai 𝑟(0,0) = 𝑦(0,0,1) =
0,356%. Kemudian akan dihitung nilai 𝐴(0,0,1,0) dan 𝐴(0,0,1,1).
𝐴(0,0,1,0) = 𝐴(0,0,1,1) = 1 2(1 + 𝑟(0,0))
= 1
2(1 + 0,356%)= 0,4982. (3.5)
2. Diketahui 𝑦(0,0,2) = 0,688% dan 𝜎𝑦(2) = 36,25%. Dengan
menggunakan persamaan (2.50) diperoleh hubungan antara 𝑟(1,0) dan
𝑟(1,1) sebagai berikut:
𝑟(1,1) = 𝑒2(36,25%)𝑟(1,0)
= 2,065𝑟(1,0). (3.6)
Kemudian akan ditentukan persamaan untuk memecahkan 𝑟(1,0) yaitu
menggunakan Persamaan (2.51) sehingga diperoleh:
( 1 1 + 𝑦(0,0,2)) 2 = 𝐴(0,0,1,0) 1 + 𝑟(1,0)+ 𝐴(0,0,1,1) 1 + 𝑒2𝜎𝑦(2)𝑟(1,0) ( 1 1 + 0,688%) 2 = 0,4982 1 + 𝑟(1,0)+ 0,4982 1 + 2,065𝑟(1,0) 0,9864 = 0,4982 1 + 𝑟(1,0)+ 0,4982 1 + 2,065𝑟(1,0). (3.7)
Dengan metode numerik, 𝑟(1,0) dapat diselesaikan dan menghasilkan nilai
𝑟(1,0) sebesar 0,769%. Nilai 𝑟(1,1) dapat ditemukan dengan hubungan
50
Setelah nilai 𝑟(1,0) dan 𝑟(1,1) ditemukan selanjutnya akan digunakan
program R untuk membantu penghitungan suku bunga sesaat untuk periode
selanjutnya hingga 𝑡 = 4. Script dari program R dapat dilihat di Lampiran 2. Hasil
output dari program R untuk pohon suku bunga sesaat model BDT sesuai dengan
informasi pada Tabel 5 seperti pada Lampiran 3 disajikan dalam Tabel 7.
Tabel 7. Pohon suku bunga sesaat dari data aktual.
𝑡 = 0 𝑡 = 1 𝑡 = 2 𝑡 = 3 𝑡 = 4 0.356364% 0.7688561% 1.290648% 2.044879% 2.800687% 1.5875796% 2.557153% 3.354537% 3.990971% 5.066471% 5.502976% 5.687123% 9.027399% 8.104136% 11.548372%
Pohon suku bunga sesaat model BDT yang dihasilkan oleh output program
R pada Tabel 7 ternyata memuat suatu penyimpangan. Suku bunga sesaat yang
dihasilkan tidak memenuhi sifat 𝑟(𝑡, 𝑙) > 𝑟(𝑡 + 1, 𝑙). Hal ini mengakibatkan suku
bunga sesaat yang seharusnya memiliki satu kemungkinan naik dan satu
kemungkinan turun malah menghasilkan dua kemungkinan naik. Terjadinya kasus
semacam ini dapat disebabkan oleh fluktuasi tingkat imbal hasil dan volatilitas
imbal hasil (Qoyyimi: 2008, 72). Pohon suku bunga sesaat yang telah dibangkitkan
dari data aktual pada Tabel 7 kurang baik untuk dipakai dalam perhitungan anuitas
karena ketiadaan pergerakan turun dari suku bunga sesaat dapat memberikan
ilustrasi yang kurang lengkap terhadap berbagai kemungkinan fluktuasi nilai
51
Strategi yang dipakai penulis untuk mengatasi hal ini adalah dengan
menggunakan satu tingkat imbal hasil dan satu volatilitas imbal hasil. Tingkat imbal
hasil yang akan digunakan adalah rerata dari tingkat imbal hasil periode 1-5 yaitu
sebesar 1,13562% dan volatilitas yang digunakan adalah rerata dari volatilitas imbal
hasil periode 1-5 yaitu 29,0818%. Kemudian digunakan program R untuk
membangun pohon suku bunga sesaat dengan nilai tingkat imbal hasil dan
volatilitas imbal hasil yang baru. Hasil output seperti pada Lampiran 4 dapat dilihat
pada Tabel 8 berikut.
Tabel 8. Pohon suku bunga sesaat dari data baru.
𝑡 = 0 𝑡 = 1 𝑡 = 2 𝑡 = 3 𝑡 = 4 1.13562% 0.851347% 0.659966% 0.520351% 0.411636% 1.523029% 1.195883% 0.968906% 0.800295% 2.166985% 1.804125% 1.555916% 3.359322% 3.024979% 5.8811%
Tabel 8 memperlihatkan pohon suku bunga sesaat yang konsisten dengan
semua suku bunga sesaat memiliki kemungkinan naik dan turun yang tepat. Pohon
suku bunga sesaat pada Tabel 8 nantinya akan digunakan untuk menghitung anuitas
dengan pendekatan suku bunga stokastik pada subbab selanjutnya.
D. Penghitungan Anuitas
Pohon suku bunga sesaat yang ditampilkan oleh Tabel 6 merupakan pohon
suku bunga yang akan dipakai untuk penghitungan anuitas pada subbab ini.
Terlebih dahulu dibuat lintasan-lintasan suku bunga sesaat berdasarkan Tabel 6.
kemungkinan-52
kemungkinan pergerakan nilai anuitas. Diagram lintasan tersebut disajikan pada
Tabel 9.
Tabel 9. Tabel lintasan suku bunga sesaat.
𝑡 = 0 𝑡 = 1 𝑡 = 2 𝑡 = 3 𝑡 = 4 t(0) t(0,0) t(0,1) t(0,0,0) t(0,0,1) t(0,1,1) t(0,1,2) t(0,0,0,0) t(0,0,0,1) t(0,0,1,1) t(0,0,1,2) t(0,1,1,1) t(0,1,1,2) t(0,1,2,2) t(0,1,2,3) t(0,0,0,0,0) t(0,0,0,0,1) t(0,0,0,1,1) t(0,0,0,1,2) t(0,0,1,1,1) t(0,0,1,1,2) t(0,0,1,2,2) t(0,0,1,2,3) t(0,1,1,1,1) t(0,1,1,1,2) t(0,1,1,2,2) t(0,1,1,2,3) t(0,1,2,2,2) t(0,1,2,2,3) t(0,1,2,3,3) t(0,1,2,3,4)
Sebagai contoh, jalan lintasan t(0,1,2,2,3) dapat dilihat di gambar 2.
53
Kemungkinan lintasan untuk suku bunga sesaat sampai tahun ke-5 banyaknya ada
16 lintasan. Ke-16 lintasan ini nantinya akan dibandingkan nilai anuitasnya dengan
nilai anuitas yang menggunakan suku bunga aktual.
Suku bunga aktual pada Tabel 6 kemudian digunakan untuk mencari nilai
sekarang anuitas dengan suku bunga aktual menggunakan persamaan (3.2).
Tabel 10. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual
2010 2011 2012 2013 2014
0.980352 1.949449 2.904892 3.844048 4.766914
Diperoleh nilai sekarang anuitas untuk tahun 2010-2014 yang berkisar antara
0.980352 hingga 4.766914.
Adapun nilai sekarang dari anuitas dengan suku bunga stokastik yang
menggunakan lintasan suku bunga pada Tabel 9 dan persamaan (3.2) disajikan pada
54
Tabel 11. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik
2010 2011 2012 2013 2014 0.988771 1.969196 2.943192 3.912147 4.877129 1.962709 2.938034 3.907842 4.873408 2.925138 3.897575 4.864833 2.91599 3.889703 4.847446 3.878331 4.849498 3.87051 4.842416 3.852377 4.826792 3.838287 4.81343 4.823956 4.81692 4.801399 4.788126 4.774417 4.76127 4.733505 4.709356
Kemudian dilakukan perbandingan antara nilai sekarang anuitas dengan
suku bunga aktual dan nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik dengan
55
Tabel 12. Selisih nilai sekarang anuitas suku bunga aktual dan stokastik
2010 2011 2012 2013 2014 -0.00842 -0.01975 -0.0383 -0.0681 -0.11021 -0.01326 -0.03314 -0.06379 -0.10649 -0.02025 -0.05353 -0.09792 -0.0111 -0.04565 -0.08053 -0.03428 -0.08258 -0.02646 -0.0755 -0.00833 -0.05988 0.005761 -0.04652 -0.05704 -0.05001 -0.03449 -0.02121 -0.0075 0.005644 0.033409 0.057558
Selisih yang didapat pada Tabel 12, khususnya untuk tahun 2014, kemudian
digunakan untuk mencari MAPE (Mean Absolute Percentage Error) dan MSE
(Mean Square Error). Dengan penghitungan yang dilakukan di Microsoft Excel,
diperoleh nilai MAPE dan MSE untuk nilai sekarang anuitas masing-masing adalah
1,2147% dan 0,004358.
Perbandingan antara nilai anuitas dengan suku bunga aktual dan suku bunga
stokastik tidak hanya berpatokan pada nilai sekarang. Nilai masa depan juga
merupakan salah satu faktor perbandingan yang akan dilakukan antara nilai anuitas
suku bunga aktual dengan suku bunga stokastik. Nilai masa depan untuk anuitas
dengan suku bunga aktual dihitung dengan persamaan (3.4) dan menghasilkan nilai
56
Tabel 13. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual
2010 2011 2012 2013 2014
1 2.011614 3.040362 4.093085 5.165338
Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik dapat diperoleh
dengan persamaan (3.4) dan menggunakan lintasan tingkat suku bunga pada tabel
9. Hasil penghitungan nilai anuitas tersebut dapat dilihat di Tabel 14. Selisih nilai
masa depan anuitas dengan suku bunga aktual dan suku bunga stokastik disajikan
pada tabel 15.
Tabel 14. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik
2010 2011 2012 2013 2014 1 2.008513 3.021769 4.037493 5.054113 2.01523 3.032533 4.051047 5.069805 3.03933 4.061915 5.083467 3.0589 4.087244 5.103269 4.068778 5.094423 4.094163 5.125115 4.114086 5.150838 4.161658 5.210882 5.101341 5.132085 5.157865 5.218011 5.178098 5.238537 5.287548 5.40641
57
Tabel 15. Selisih nilai masa depan anuitas suku bunga aktual dan stokastik
2010 2011 2012 2013 2014 0 0.0031 0.018593 0.055593 0.111225 -0.00362 0.007829 0.042038 0.095533 0.001032 0.03117 0.08187 -0.01854 0.005842 0.062068 0.024307 0.070915 -0.00108 0.040222 -0.021 0.0145 -0.06857 -0.04554 0.063997 0.033252 0.007472 -0.05267 -0.01276 -0.0732 -0.12221 -0.24107
Selisih nilai masa depan anuitas suku bunga aktual dan suku bunga stokastik pada
tahun 2014 kemudian digunakan untuk menghitung MAPE dan MSE. Hasilnya
