FAKUTTAS MATEMATIKA DAN ItIVII.J PENGE'TAHIJAN AL.AM

(1)

t$sN

0216.2393

Vol.

7

No.

2

-luli

2011

JURNAL

MIPA

'i

i:

t't

iiii

4l

ii

, iri_] lr

-,iir.

l.ir

ill

[i{[

rili

lirr

l-il-l

tlitl

tiii

%.

FAKUTTAS MATEMATIKA

DAN

ItIVII.J

PENGE'TAHIJAN AL.AM

U

N

IVE RS

iTAS

tsENG

KIJ

I.IJ

Hal.669-715

Bengkulu,

(2)

lssN

0216.2393

Vol.

7 No. 2

Juli

2011

ffiffi&ffiKKN

JURNAL

MIPA

FAKULTAS MATEMATIKA

DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS

BENGKULU

Gradien

Vol.7

No.2

Hal.669-715

Bengkulu,

Juli

20f

1

ISSN

(3)

tssN

0216-2393

GRAI}IEI{

Vol.

7 No. 2

Juli

201f

JURNAL

MIPA

Cakupan

Jurnal

trlmiah

Gradien

meliputi artikel iimiah

hasil

penelitian

dalam bidang Matematika,

Fisika,

Kimia

dan

Biologi.

Jumal

ini

terbit

pertama

kali

_{pada tahun}

2005

_dengari

frekuensi

penerbitan

dua

kali

setahun

yaitu

_{pada bulan}

januari

_dan

juti.

Pembina

Dekan

FMIPA Unib

I(efua Redaksi

Suhendra, S.Si,

M.T

Sekretaris

Redal<si

Eka

Angasa, S.Si,

M.Si

Bendahara Redaksi

Supiyati,

S.Si,

M.Si

Anggota

Sipriadi,

S.Si

Yulian

Pauzi, S.Si,

M.Si

Dewan

Penyunting

Prof. Siti

Saknah

(Unand)

Prof. Dahyar

Arbain

(Unand)

Prof.

Sigit Nugroho

(Unib)

Dr. Hilda

Zulkifli,

DEA (Unsri)

Dr.

Gede

Bayu

Suparta

(UGM)

lmam

Rusmana,

ph.D

(lpB)

Dr. Mudin

Siraanuhuruk

([INIB)

Dr. rer.nat.

Totok

Eka

Suharto,

MS (Unib)

Dr.

Agus Martono

MHp, DEA (Unib)

Choirul Muslim,

ph.

D (Unib)

Dra.

Rida

SamdarE

M.S (Unib)

Alamat Redaksi

:

Fakultas Matematika dan

iimu

pensetahuan _{Alarn universitas}

Bengkuru

Gedung T, Jl. W.R. Suprarman 38_r71 _{Bengkulu Telp/pax.}

(0T6);Aqlg

(4)

rssN

0216.2393

Vol.

7

No.2

Juti2}lt

JURNAL

MIPA

DAFTAR

ISI

fisika

I

Simulasi

Kontrol Tlmfer.ltulTabung

_Sampel

yhy?t

Bumi

(trkhos)

_{669_674}

2.

Pembuatan peta

Elektronik

(E-Map)"Berbasis

Algoritma Dijkstra Di

Kawasan

Kota

Bengkuiu Menggunakan

gah;a

pemrograman

Derphi7.0 (Rida

samdaral

_675-677

3'

_{Penentuan Srrukrur}

Biwah

permukaan

_D

i

zoiup"^i^i(i-.ia

Berdasarkan

Merode

Georistrik

Tahanan

tenis

(suhen;;;;-*"'

67g-6g2

Kimia

4.

Pemanfaatan _{Cangka_ng}

Kepiting

Bakau

(Scytta

serrata)wntuk

Pemumian

Kitinase

_{dan Sti}_eptomyc

e s aur e ofac iens (Lus _i

ana)

5'

Inhibisi Korosi

Bajl

{engan

bu*p*u,.rkstrak

Daun Gambir

dan

Kalsium

Glukonat

dalamMedium

Asam

Klorida (HCI) (Ghufira)

6'

Pretiminary

Test

of Determinarion

oialturoia

un;#;'ffi*pounds

and

Bioassay on

_Some

Vegetable plant

Extrac

t

(Devi

R)

-

""

7'

Pemanfatan

Ekstrak

BungiMawu,

rnr"*r,

(

Rosa

hibrida bfera)Sebagai

Indikator

pada

Titrasi

Asam

Basa

(Evi

lut)

Matematika

8'

Morfologi Matematik

_{Daram pengorahan}

citra

Grayscare (Tutian

F)

9.

Perbandingan

Model Logistik

Or;;r6;ngan

Model

Regresi

Klasik

(NurulAyB)

683-686

687-691

692-696

697-7At

702-7As

7A6-712

Biologi

10'

Toksisitas Ekstrak

clathriabasilana

terhadap

selLestari

_A-54g

(AmorTK)

(5)

PENGAI{TAR REDAKSI

Memasuki tahun penerbitan ke-7 (Tujuh), alhamdulillah

penerbitan

jurnal

Gradien

ini

masih

konsisten

meskipun untuk

Vol.

7

No.

2,Iuli

2011 sedikit

agak tersendat karena

tulisan

yang

diharapkan

masuk

ke redaksi

di

luar jadwal

yang ditentukan. Diharapkan

kepada calon-calon

penulis untuk edisi yang akan

datang dapat memasukkan

jumalnya

jauh

lebih awal.

_Redaksi

mengucapkan

terima kasih, dan

terus berharap semoga

untuk volume berikutnya lebih

banyak

lagi penulis yang

berasal

dari luar Universitas Bengkulu.

Redaksi menyadari

jumal ini

masih

jauh

dari

kesempurnaan,

oleh

karena

itu kritik

dan

saran

masih

tetap

diperlukan

guna

perbaikan

penerbitan jumatr

ini di

masa

yang

akan datang.

Akhir

kata

redaksi

berharap

semoga pembaca

dapat memanfaatkan

tuiisan

ilmiah

yang telah

dimuat

dalam

edisi

ini

Bengkuiu,

Juli

2011

(6)

Jurnal Gradien Vol.7 No.2 Juli 2011 :702-705

Morfologi

Matematik

Dalam

Pengolahan

Citra

Grayscale

Yulian

F

auzi

dan

Zulfia Memi

Mayasari

Jurusan lkatematika, Fakultas Matematika dart llmu Pengetahuan Alam, lJnirersilas llengkulu, Irtclonesia

Direrirna 08 .luni 2u I l: Disctuiui 25 Juni 201 I

Abstrak

-

Morfologi

Matematik dapat diformulasikan rnenggunakan aljabar Minkorvski, sehingga penurunan fomula

morfologi matematik dapat dilakukan melalui pendekatan aliabar, yaitu operasi penambahan dan pengurangan Minkowski.

lmplementasi Morfologi Matematik pda pengolahan citra grayscqle akan mencari nilai maksimum dan minimum dalam

lingkungan tetargga. Dalam fonnat citra digital operator Morfologi Matematik akan mengubah nilai piksel pada lokasi

(i,;)

elengan memperhitungkan bobot piksel disekitarnya pada citra asli.

Kata Kunci : &lorfologi 1!latenratih,

Aljabar

Minkowski, dan

Citra

Graysssls,

!" Femdahuiuam

Teori

rrrorfoiog

i

nratemaiika

dan

aplikasinya

dikembangkan secara sisteuiatis oleh Serra dan Matheron

[2].

Prinsip dasar analisis morlologi matematik adalah

niembandingkan

bentuk obyek yang

biasanya sangat

koinpleks dengan suatu bentuk yang sangat sederhana,

misalnr

a

bentuk

segiernpat

atau

lingkaran

-yang

selanjutn-1'a disebut struktur elemen. Menurut Schalkoff

(1s89)

secara

umuin

moriblogi

matematik dapat

dideienisikan atas dua operaior dasar yaitu erosi dan dilasi.

Ooerator erosi merupakan operasi pengecilan sedangkan

LrneratOr ciilasi rneiupa!.:ar ope rasi ekspansi. Operator erosi

.i.,,.,t;l^.; _{t.,,1.--,-^,",,,..1.^,. -^".--.*} _{i-.,^,."i -..i..}

ucli uirffij uuedr: rrr!r*yaaaaii pcJ6rr6srr rirrLrrrl rrrGAt

operasi erosi i'ang

diikuti

operasi dilasi atau sebaliknl'a

tidak akan rnengembalikan citra semula. Hal ini membuat

suatu transibnrasi morloiogi rnatematik baru 1'ang disebut

0perator peirbukaan (opening) dan operator penutupal

(closing).

Opei"ator peiirbukaan

didefiiiisikan

sebagai

operasi erosi yang

diikuli

oleh operasi dilasi. sedangkan

operator penutupan didefinisikan sebagai operasi dilasi

1,ang diikuti oleh operasi erosi.

Operasi erosi dihasilkan

dari

perbedaan dan interseksi,

sedangkan operasi

dilasi

dihasilkan dari perbedaan dan

gabungan. Transformasi vang melalui dilasi tergantung

pada erosi. Erosi merupakan

titik

awal untuk kebany'akan

pemrosesan

morfologis.

Morfologi

nratematik dapat

diforrnulasikan menggunakan

aljabar

Minkou'ski,

khususnya

operasi

penanrbahan

dan

pengurangan

Minkowski

[7].

Aljabar Minkou'ski sangat tergantung

pada konsep teoritis himpunan, yang meliputi himpunan

penggabungan union

(u),

irisan

(n)

dan komplemen (Ac).

Disamping

itu.

dalam rangka merepresentasikan

operasi-^^^-^-: Ir:^t-^.,,-1,: l.^--^^ L:,,,,..,-^-,.1,,^ +:r:1. t A^^ D

upLfd)t lvlilrNvlvJAr AUil)ly illlrPuilqil uud rrtrtr n lart D

,vang diberinotasi dalam

/

,uang dikenal sebagai ruang

Euclidian dua dimensi dengan komponen

c

=

(a,,a).

I'ranslasi dua

titik

tersebut didefenisikan menggunakan

penambahan vekor sederhana sebagai herikut:

{.A).:t1elc=a+x:

ae

A\

(l)

di mana -r e R2 .

Untuk himpunan

I

dan

B

dalam

/,

erosi citra

I

oleh

struktur elemen B dinotasikan

lOB.

didefenisikan sebagai

[4]:

A@B =

{r

{

(B),

c

l}

Q)

Dilasi

dinotasikan dengan

A@

Il

.

dengan

0

adalah

himpunan kosong didelenisikan sebagai _[4]

r@B=trltl]1,)A*AI

(3)

Opening himpunan

I

oleh struktur elemen B. dinotasikan

I

o

B

_{didefenisikan}_sehagai:

A"B=(lOB)CI8

(4)

Clos.inghimpunan

I

oleh struktur elemeu.B, dinotasikan

A

o

B

didelenisikan sebagai:

(7)

Yulian F dan Zulfra M M / Jurnal Gradien Vol

7

No. 2 .luli 201

I

:702-705

Tulisan

ini

bertujuan

untuk

mengkaji

teori

morfologi

matematik ditinjau dari teori aljabar sehingga dapat untuk

diaplikasikan pada citra grayscale.

2.

Penurunan Filter Morfologi lr{atematik Pada Citra

Gray Scale

Pengolahan

citra

menggunakan

morfologi

matematik

berarti meletakkan citra sebagai suatu himpunan. Terdapat

dua pendekatan yang dapat digunakan dalam menganalisis

citra berdasarkan morfologi matematik yaitu Geometri dan

Aljabar.

Operator erosi pada citra digital akan rnencari

titik-titik

yang bernilai minimum

di

dalam lingkungan tetangga,

sedangkan operator

dilasi

akan mencari

titik-titik

yang

bernilai rnaksimum. Secara matematis bentuk persamaari

matematis morfologi matematik pada

citra

gray

scale

dapat dilihat dibawah ini:

Proposisi

l:

_[1]

Jika

f

:

F

-->

E

dan k :

K

--+

E

maka

f

@ k : F @

K

-->

E

daPat dihitung dengan:

f

@*Xx)

=maxtf(x'u)+fr(u)

lG-u)e

F;ue

Kl

(6)

Proposisi

2:

Il]

Iika

f

:

F -+

E

dan

k

;

K

-+

E

naka,

pk:

F@K

-+

E

dapat dihitung dengan:

(l3ftX,r):rnin{/(x+v)*ft(v)l(x-r,}e

F :r, e

K}

(7)

Kombinasi dari dilasi dan erosi pada citra gral,scale akan

menghasilkan

jenis

operator

baru

yaitu opening

dan

closing. Defenisi opening dan closing pada citra g'avscale

ekivalen dengan defenisi kedua operator tersebut pada

citra binair. Persamaan matematis dari kedua operator ini

ekivalen dengan persariraan

(6)

dan

(7),

tetapi kaLena

penerapannya pada cifra grayscale maka operator opening

akan mencai nilai maksimum sedangkan operator closing

akan mencari nilai minimun dari sfrukur elemen (lendela

filter). Penurunan kedua operator

ini

pada citra grayscale

dapat dilihat pada kajian matematis berikut:

Proposisi 3: _[1]

Jika"

tr,KcEN

dan

f :F-+E

dan

k:K-+E

maka

,f . k : F _"K

a 5

dandapat dihitung dengan:

(.f _"k){x) = max{minl _"f(x +

v'

u)

* t(v)

I v e

K]+

k(u)

1ue

K:1x

u)c

fOKI

Proposisi

ini

dapat dibuktikan dengan pendekatan aljabar

sebagai berikut:

Bukti: _[3]

Misalkan

Rc

EN dan

r:R-+I

sehingga

r

=

frk

Dari proposisi 2

.pk:F@K

-> E

Iadi

r:F@K-+E

dan

r:R-+E

maka

R:FOK

Dari proposisi 2

$Ak){x):

min{f ix

+ v)

-

&(v) I

(r

+ v) e

F;v

a

K}

Maka 7"1;; =

min{-/(x+u)-r(v)

I (-r+u) e F-;v e

K}

Karena

f

"ls=ff9f)@/c,Maka

.f

"k=r@k

(f"k)(r)=(r@t)(x)

Dari proposisi I

(r @ k)(-x) = max{r(ir

-

r) + k{u) | ("x

-

a) e R;tt e

K}

danr@k=f"k

(.f

'

tXr)

:

max{r(r-

a)+ n(zr) I

(r-

r)

e R;u e

K\

Karena

R:

-F@i( dan

r(:r)

:

P;n17(x+

_"-)-

t(v)

| v e

K]

maka

r(x-

z)

:

rnin{/(x+

v

-

u)

-

k{v)l

v e

l(}

t',h"ir"cii. ". *r.".'""" i.i t'"

(f

.

kX"t)=max{r(x-u)+ft(aii{r*u)e

R;rre

Ki

sehingga didapat

'.

(/"

t)(,r)

₌

max{min[/(.r+i.

-z)

-r(r)

_Iv

e,(]+

t(a)

lueK;(.r-uleFB()

Prqp!$i,t

Jika, f'. K c: EN dan _.1..

F -+

E

_dan

k:

_K

-+E

_maka

f

"

k

:

F

t

K

-+

E

dandapatdihitungdengan:

(f

_"k){x) ₌

min{maxlf(x

+v-u)-k(v)

lr. {l'

+ k(u) | u e K; (,r + v) e F@

rt']

Bukti:

Misalkan

Rc.EN

dan

r:R-+E

sehingga

r--f

@k

Dari proposisi 1

f@k:F@K-+E

Jadi

r:F@K-+Edan

r:R-->E

maka

&:F@K

Dari proposisi 1

(/@

*X-r)

:

max{,f(-x-r)+ [(a)

I

(x-a)

e F:z e

Kl

(8)

Maka

r(x)

=

pn

11@

-

u) +

k{u)l

{x

-

u)

e

F;z

e

K\

Karena

f ok=(f

@k)@k,Maka.1ck=t@k

(f

'k)(x)

=

(rokXx)

Dari proposisi 2

(r0t)(x)

:

min{/(x+v)-t(v)

|

(:r+v)

e

F;v

e

K}

dan yq41, ₌

.f

" k

(/r

k)(x) =

min{/(x+v)-

A'(v) _|

(x+v)

e F ;u e

K\

Karena

R:F

@K

dan

r(x) =

6a*17

Q

-

u) + k(u) | u e

K)

maka

r(x

+ v) =

6s*11(x

+

v-

u) +

k{u)l

u e

K}

Subsitusikan persamaan ini ke

(/.

k)(x)

:

min[r(x +

v)

k(r') I (-r + v) e R:u e

f{}

sehingga didaPat

.'.

(f

. k)(x)=

min{max.[t( x +v

-

u)

-

k{v) I v e

Kl

+kfu)lue1(;(x+u)eF@K)

3.

[mplementasi

Morfotogi

iVlatematik dalam Sistem

Citra Digital

Dalam

sistem

digitai, teknik

pemfilteran morfologi

maternatik

pada

citra

menggunakan

strukur

elemen sebagai jendela

filter.

Menurut

[5],

cara kerja struktur

elemen

dalam

operasi

morfologi

matematik ekivalen dengan cara kerja kernel dalam operasi konvolusi citra'

Struktur elemen sebagai pembatas rvilayah atau penentu

lingkungan tetangga (neighborhood). Petumusan erosi dan

dilasi. riigambarkarr dalau struktur elemen dalam oratnks

3

x

3

sebaeai piksel-rriksel tetangga dengan

koefisien-koefisien matriks yang dinotasikan dalam bentuk:

[t,-i.7-i;

(i-

l-i)

tr-i,7+11]

lu.i'tt

Q-i)

(i-ittt

I

lf,,r"7

rt

(i+l.i)

(i+l-lrl)-l

Aplikasi operator erosi dan dilasi pada sistem citra digital

berarti menempatkan kedua operator tersebut sebagai filter

tligital. Perumusan kedua filter dapat ditulis dalam bentuk

persarnaan berikut [6]:

F(ij)

=uaks

f1i

-

1,

j

*1),.f

(i

-1,i),.,.,

_{J'Q +1,7 + 1)|}

F(ij):Mintf (i

't,.j

_r),

f

(i

_1..fi....,f

(i

+1,r

+ 1))

Cara kerja kedua

fiiter

ini

adalah mengubah

nilai

piksel

pada lokasi

(ii)

dengan memperhitungkan bobot piksel di

sekitarnya pada

citra

masukan. Pen-iabaran

prinsip

ini

dalam pemfilteran dilasi dapat di-ielaskan sebagai betikut.

koefisien pada struktur elemen (endela

filter)

diletakkan

744

pada

nilai

kecerahan masing-masing

piksel

kemudian

masing-masing koefisien struktur elemen (endela filter)

tersebut dikalikan dengan nilai kecerahan piksel, pada

titik

yang sama. Hasilnya

nilai

kecerahan yang paling besar

(maksimum) akan menggantikan posisi

nilai

kecerahan

piksel citra asli pada lokasi (i,j)dan terhimpun dalam citra

output (gambar 1). Prosetlur yang sama dapat diterapkan

pada pemfilteran Erosi tetapi prosesnya adalah tnencari

nilai minimum.

Cilra Odpui l:etehl Dil&-,

Slr:Itu e1erun 3x3, &aar Put

t.qak d;Llalld dralr. lrLtPl lendD d*iciha uli cni a&i rukium Y4

t€rleta} d;da:]ffi +r"Itr ilrnen(d:ls

I# iri 9l ail Lhlle olai Bi ladr

Simlb &rer irem,tiarltry:a la'tr !trsdberilsttya da cu nilai

hBlrsil@ yw i4dilai iriil nilltu

dema, (d* I4J Bj rr)

''a€

#epald liLrel yq ieryilrtr ladi

triq ,.te!ruF lrtr.tu nili; id Pr{.

Lrisr$ rhrrl, pw:+ u pada;rlwh

Canrbar 1. Ilustrasi kerja operator dilasi pada

sebuah citra digital 181

Bentuk filter 1'ang lain adalah fiiier Opening dan Closirtg'

Opening merupakan kombinasi antara fllter diiasi dengan

filtei: erosi (dalarn

citra

aras keabuan) sehingga bentuk

diskret

filtei

ini pada citra digital dalarn ienileia

filtcr

i

ii

3, dapat dibuat calam persamaan bcrikui:

(f

_{" b){i.}

j\

=

t'taklMin

IJ {i

-

t,

i

-1),

i

(i

- 1,j),"',

f(i

+1,

i +1)ll

Filter closing merupakan kombinasi

fiiter

erosi dengan

filter

dilasi, maka kombinasi kedua filter

ini

dapat dibuat

dalam persailaan berikut:

(f

.b)(i,

j)=

x:tinltlakl.f

{i-1.i

t),f(i-1,.il,

f(l+1,7+l)i)

4.

KesimPuian

1. Operator erosi pada citra digital akan mencari

titik-titik

1'ang bernilai minimum

di

dalam lingkungan

tetangga. sedangkan operator

dilasi

akan mencari

tilik-titik,r'ang bernilai niaksimum.

2. Implementasi operator

morfologi

matematik pada

citra

digital

berarti menempatkan kedua operator

tersebut sebagai

filter

digital dengan rnenggunakan

Yulian

F

danzulfiaM M / Jurnal Gradien

vol.

7

No.

2luli2011

:102'705

Citn 14ut

ffin

[-]+]ffi

-ffi|+l+l

Ftrt-ita['1

ffi_

[g I

t

lg Is i r I

Urltlaflolol

[cTrTtl:iti

l;fiTt1-6T;'l

(9)

{ulian F dan ZulfiaW M / Jurnal Gradien Vol. 7

struhur

elemen sebagai jendela

filter.

_Cara_kerja operator

morfologi

matematik pada sistem citra

digital (grayscale) ini adalah mengubah nilai piksel

pada

lokasi

(ij)

dengan memperhitungkan bobot

\r\se\\\se\r\un1r1n\tittr,'nrqu\.

Daftar Pustaka

[l]

Champs, O.[., Kanungo.T., dan Haralik, R.M., ]996.

Cray-Scale

Structuring Element

_{Decomposition.} IEEE _{Transc. On Image processing.}_Vol.

:.

_No.

1.

hal.

lll.l20

[2]

Fauzi.

Y.,

Dulbahri dan

Sri

Wahyuni., 2A04, peran

Penapisan

Morfologi

Matematik

Terhadao

Kenampakan Linier pada _Ciffa_Landsat_TM,

Jurnal

Sains dan Sibernatika,

UGM.

Vol.

_17,

N0.

_3._hal:

455-465.

[3]

Fauzi.Y., Mayasari. Z"M, 2CA7. penggunaan Teknik

Filtering Morfolo

gi

Matematik dalanr Mengeksfraksi

Iaringan Jalan dari Citra Satelit" Jurnal I'EKNOSIA,

VoL

l,

No.l,

hal:7-14.

[4]

Gonzalez. R.C. and Woods. R.E., 1993. Digital Imoge

Processing. Addison Wesley. USA.

[5]

Li,W., Benie. 8.G., He. D.C., Wang.S., Ziou.D., and

Gwyn. Q.H.J., 1998. Classification

of

SAR

Images Using Morphological Texture Features. .URS.

No. 2 Juli 2011 :7A2-7A5

t6l

{71

t8l

Vo. 19. No. 17. hal:3399- 34t0

Pratt,

K.William.,

1991.

Digital

Intage Processing^

Second Edition, John Wiley and Sons. USA.

Schalkofl R.. 1989. Digital lma?e llrocessins and

Computer [/ision, Jahn Wiiey

&

Sons. Inc. USA.

Young. N., 2002. Mathematical Morphology.

hltp : i/wwu:.dmsu n 1. b aih. s c. u k/re s ear ch