KESTABILAN MODEL MATEMATIKA PENULARAN PENYAKIT GONORRHOEAE. Jalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 94118, Indonesia

JIMT

Vol. 14 No. 2 Desember 2017 (Hal 232 -241)

ISSN : 2450 – 766X

KESTABILAN MODEL MATEMATIKA PENULARAN PENYAKIT

GONORRHOEAE

A.P. Aditya1_{, R. Ratianingsih}2_{, dan J.W. Puspita}3

1,2,3_{Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tadulako}

Jalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 94118, Indonesia

1_{ardianza006@gmail.com,} 2_{ratianingsih@yahoo.com,} 3_{juni.wpuspita@yahoo.com}

ABSTRACT

Gonorrhoeae is a sexually acute bacterial transmitted disease (STD) that caused by gram-negative diplococci, Neisseria gonorrhoeae. The initial symptomps of the disease is a discharge of pus from the urethra orifice eksternum after copulated. This research studies a mathematical model that represent the disease spread that adapted from the SI models. The male population groups, is divided into male vulnerable subpopulations Susceptiible (𝑆𝐿), Infected (𝐼𝐿) and the female population group is divided into subpopulations of female vulnerable

to (𝑆𝐿), Infected (𝐼𝑃). The model is represented into a system of nonlinear differential equations that describe the

dynamics of each subpopulation groups with respect to the time changes. The model has two critical points. The first critical point represents a free-disease condition, while the second one represents an endemic of STD. The model is analyzed by determine the eigenvalues of Jacobian matrix that evaluated at the critical points. The results is both critical points are stable. This indicates that the free-disease and endemic conditions are persist. The simulations also shows that the male subpopulations are more rapidly infected comparing to the female because of the disease transmission of gonorrhoeae in female subpopulations is just infected from male subpopulation, while the transmitions in male subpopulation is infected from both subpopulation of female and male.

Key words : Eigenv alues , G onorrhoeae, Model SI, Routh Hurwitz , Stability Analy s is . ABSTRAK

Gonorrhoeae merupakan salah satu penyakit menular seksual (PMS) yang bersifat akut penyakit ini disebabkan oleh bakteri diplokokus gram negatif, Neisseria gonorrhoeae. Gejala awal penyakit ini adalah keluarnya nanah dari orifisium uretra eksternum sesudah melakukan hubungan kelamin. Dalam penelitian ini, model matematika yang merepresentasikan penyebaran penyakit tersebut diadaptasi dari model SI. Kelompok populasi laki-laki dibagi atas subpopulasi laki-laki rentan Susceptiible (𝑆𝐿), Infected (𝐼𝐿), dan kelompok populasi perempuan dibagi atas

subpopulasi perempuan rentan Susceptiible (𝑆𝑃), Infected (𝐼𝑃). Model yang diperoleh merupakan sistem

persamaan diferensial tak linier yang menggambarkan dinamika setiap kelompok subpopulasi seiring dengan perubahan waktu. Dari model tersebut diperoleh dua titik kritis. Titik kritis pertama menggambarkan kondisi bebas penyakit, sedangkan titik kritis kedua menggambarkan kondisi endemik penyebaran penyakit menular seksual (PMS). Model yang dibangun selanjutnya dianalisis kestabilannya dengan cara menentukan nilai eigen dari matriks Jacobi yang dievaluasi pada kedua titik kritis. Hasil penelitian menunjukkan bahwa titik kritis bebas penyakit dan endemik adalah stabil. Hal ini menunjukkan bahwa kondisi bebas penyakit dan endemik bersifat menetap. Hasil simulasi memperlihatkan bahwa subpopulasi laki-laki lebih cepat tertular dibandingkan subpopulasi perempuan

233

karena penularan penyakit gonorrhoeae pada subpopulasi perempuan terinfeksi hanya tertular dari subpopulasi laki-laki saja, sedangkan subpopulasi laki-laki yang terinfeksi tertular penyakit tersebut dari subpopulasi perempuan dan laki-laki (waria).

Kata k unc i : Nilai Eigen, G onorrhoeae, Model SI, Routh Hurwitz , Analis is Kes tabilan.

I. PENDAHULUAN

Perkembangan zaman dan teknologi membawa perubahan, baik yang berdampak positif maupun negatif. Salah satu dampak negatifnya adalah pergeseran nilai -nilai budaya, seperti seks bebas dan berganti pasangan, yang mengakibatkan penularan penyakit menular seksual (PMS). Salah satu PMS yang bersifat akut adalah gonorrhoeae. Penyakit ini disebabkan oleh bakteri diplokokusgram negatif, Neisseria gonorrhoeae. Gejala awal penyakit ini adalah keluarnya nanah dari orifisium uretra eksternum sesudah melakukan hubungan kelamin.

Di Indonesia, infeksi gonorrhoeae menempati urutan tertinggi dari semua jenis PMS. Dalam Surveilans Terpadu Biologis dan Perilaku (STBP) prevalensi gonorrhoeae di Indonesia paling tinggi pada kelompok Wanita Pekerja Seks Langsung (WPSL) yakni sebesar 38%, kemudian diikuti oleh waria (29%), dan Wanita Pekerja Seks Tidak Langsung (WPSTL) (19%) (Kandun, 2011). Di Kota-kota besar seperti Surabaya, Jakarta, dan Bandung menunjukkan tingginya gonorrhoeae mencapai 7,4% - 50% (Lina, 2011). Data yang diperoleh dari RSU Dr. Soetomo surabaya periode 2002-2006 jumlah orang yang terkena penyakit gonorrhoeae

sebanyak 321 orang, dimana Laki-laki terkena penyakit sekitar 90,7% dan perempuan 9,3% (Jawas, 2008.).

Model matematika penularan penyakit gonorrhoeae pada populasi laki-laki, perempuan, dan waria akan dikonstruksi dalam penelitian ini. Waria mempunyai pengaruh yang besar terhadap penularan penyakit gonorrhoeae sehingga penulis memasukkan waria ke dalam model. Penularan pada populasi waria yang di maksud dalam model ini adalah laki-laki yang rentan berinteraksi seksual dengan laki-laki yang telah terinfeksi. Model matematika yang telah dibentuk akan dianalisa kestabilannya untuk mengetahui perilaku jangka panjang penyebaran penyakit gonorrhoeae menggunakan metode linearisasi. Sebagai deskripsi dari fenomena penularan penyakit gonorrhoeae dilakukan simulasi untuk mendapatkan gambaran kecocokan model yang dibangun dengan keadaan real di lapangan.

II. METODE PENELITIAN

Penelitian ini merupakan tinjauan matematis terhadap penanganan penularan penyakit

gonorrhoeae pada manusia dengan model matematika melalui analisa kestabilan di titik kritis sistem. Metode yang digunakan adalah metode linearisasi. Linearisasi adalah proses hampiran

234

sistem persamaan diferensial tak linier dengan sistem persamaan diferensial linier yang ekivalen. Linearisasi digunakan untuk menyelesaikan sistem autonomous yang berbentuk 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑔(𝑥, 𝑦)

} ( 1 )

dimana 𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝑔(𝑥. 𝑦) adalah persamaan tak linear. Jika (𝑥₀, 𝑦₀) merupakan titik kritis dari sistem persamaan ( 1 ), maka :

𝑓(𝑥₀, 𝑦₀) = 0 dan 𝑔(𝑥₀, 𝑦₀) = 0

\

Kestabilan dari titik kritis dapat diamati melalui nilai eigen yang memenuhi 𝑓(𝜆) = det (𝜆𝐼 − 𝐽) = 0, dimana 𝐽 = [_𝑔𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)

𝑥(𝑥0, 𝑦0) 𝑔𝑦(𝑥0, 𝑦0)] adalah matriks Jacobi yang dievaluasi dititik kritis

(𝑥₀, 𝑦₀).

2.1. Routh-Hurwitz

Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode yang mengkaji kestabilan sistem dengan hanya memperhatikan koefisien dari persamaan karateristik tanpa menghitung akar -akar karateristik secara langsung (Subiono,2013). Diberikan suatu persamaan karateristik dengan orde ke-n sebagai berikut :

𝑓(𝜆) = 𝑎₀𝜆𝑛_{+ 𝑎}

1𝜆𝑛−1+ 𝑎2𝜆𝑛−2+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝜆 + 𝑎𝑛= 0 ( 2 )

Jika semua koefisien persamaan karateristik positif, dan semua suku pada kolom pertama tabel ( 1 ) bertanda positif, maka semua akar karateristik dari persamaan ( 2 ) adalah negatif. Tabel 1 : Kriteria Routh-Hurwitz

𝜆𝑛 _𝑎 𝑛 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−4 𝜆𝑛−1 _𝑎 𝑛−1 𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−5 𝜆𝑛−2 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝜆𝑛−3 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝜆𝑛−3 ⋮ 𝑑₁ ⋮ 𝑑₂ ⋮ 𝑑₃ ⋮ 𝜆2 𝜆 𝑒₁ 𝑓₁ 𝑒₂ 𝜆0 𝑔1

235

Nilai 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑐1, 𝑐2 dan 𝑐3 pada tabel 1 diperoleh dari perhitungan berikut ini :

𝑏1=𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2_𝑎𝑛−1−𝑎0𝑎𝑛−3 𝑐1=𝑏1𝑎𝑛−3_𝑏−𝑎₁𝑛−1𝑏2 𝑏2=𝑎𝑛−1𝑎𝑛−4_𝑎𝑛−1−𝑎𝑛𝑎𝑛−5 𝑐2=𝑏1𝑎𝑛−5_𝑏−𝑎₁𝑛−1𝑏3 ⋮ ⋮ 𝑏_𝑛=𝑎1𝑎2𝑛−𝑎0𝑎2𝑛+1 𝑎1 𝑐𝑛= 𝑏1𝑎2𝑛+1−𝑎1𝑏𝑛+1 𝑏1

2.2. Aturan Descartes

Misalkan 𝑓(𝜆) adalah polinomial atas variable 𝜆 dengan koefisien real dan kostanta tidak nol, maka banyaknya akar-akar persamaan yang mungkin dapat dicari dengan descartes’ rule of sign, yaitu

 Banyaknya akar penyeleseian positif dari persamaan 𝑓(𝜆) = 0 sama atau kurang dari jumlah variasi (perubahan) pada tanda koefisien 𝑓(𝜆).

 Banyaknya akar penyeleseian negatif dari persamaan 𝑓(𝜆) = 0 sama atau kurang dari jumlah variasi (perubahan) tanda pada koefisien 𝑓(−𝜆).

Perubahan tanda pada polinomial ini dapat dilihat dari tanda positif ke tanda negatif atau sebaliknya. ( Drucker, D.S. 1979).

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1. Model Matem atika Penularan Penyakit Gonorrhoeae Pada Manusia Penelitian ini mengasumsikan infeksi penyakit gonorrhoeae terjadi karena kontak seksual antara laki-laki yang terinfeksi dengan perempuan yang sehat, dan kontak seksual antara perempuan yang terinfeksi dengan laki-laki yang sehat dengan laju infeksi yang sama. Selain itu, infeksi juga bisa terjadi karena kontak seksual antara laki-laki yang rentan dengan laki-laki yang terinfeksi (waria). Akibatnya, populasi manusia dibagi menjadi 4 subpopulasi yaitu subpopulasi laki-laki rentan (𝑆_𝐿), subpopulasi perempuan rentan (𝑆_𝑃), subpopulasi laki-laki terinfeksi (𝐼𝐿), dan subpopulasi perempuan terinfeksi (𝐼𝑃). Populasi manusia dianggap konstan. Adapun diagram kompartemen penyebaran penyakit gonore yang disebabkan oleh bakteri

diplokokus gram negatif, Neisseria gonorrhoeae dapat dilihat pada Gambar 1, dimana deskripsi parameter yang terlibat dalam m odel dapat dilihat pada tabel 2. Kematian akibat infeksi tidak dilibatkan dalam model dikarenakan peluang kematian sangat kecil.

236

Gambar 1 : Diagram Kompartemen Penularan Penyakit Gonorrhoeae

Tabel 2 : Deskripsi dan Nilai Parameter

Parameter Deskripsi Nilai Keterangan

A Tingkat rekrutmen populasi laki-laki

0,08385753 5 tahun rata − rata jumlah populasi

365 × 5 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛

B Tingkat rekrutmen populasi perempuan

0,08385753 5 tahun rata − rata jumlah populasi

365 × 5 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛

µ _{Kematian alami 0,0000421} 1

𝑙𝑖𝑓𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒

𝛽 _{Laju infeksi waria} (0,1) _Asumsi

𝛼 _{Laju penularan} (0,1) _Asumsi

𝛿 _{Laju pemulihan 0,0357143} 1 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑘𝑠𝑖 + 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑝𝑒𝑚𝑢𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛

𝛼𝑆

𝐿

𝐼

𝑃

𝐴

_𝜇𝐼

𝐿

𝜇𝑆

_𝐿

𝜇𝑆

_𝑃

𝜇𝐼

𝑃

_𝛼𝑆

_𝐵

𝑃

𝐼

𝐿

𝛿𝐼

_𝑃

𝛽𝑆

_𝐿

𝐼

_𝐿

𝐼

𝐿

𝑆

_𝐿

𝐼

_𝑃

𝑆

_𝑃

𝛿𝐼

𝐿

237

( 3 ) Dari diagram kompartemen pada Gambar 1 dibangun model matematika penularan penyakit gonorrhoeae, yang dapat dituliskan ke dalam sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut : 𝑑𝑆𝐿 𝑑𝑡 = 𝐴 + 𝛿𝐼𝐿− 𝛼𝑆𝐿𝐼𝑃− 𝛽𝑆𝐿𝐼𝐿− 𝜇𝑆𝐿 𝑑𝑆𝐿 𝑑𝑡 = 𝐵 + 𝛿𝐼𝑃− 𝛼𝑆𝑃𝐼𝐿− 𝜇𝑆𝑃 𝑑𝑆𝐿 𝑑𝑡 = 𝛼𝑆𝐿𝐼𝑃+ 𝛽𝑆𝐿𝐼𝐿− 𝜇𝐼𝐿− 𝛿𝐼𝐿 𝑑𝑆𝐿 𝑑𝑡 = 𝛼𝑆𝑃𝐼𝐿− 𝜇𝐼𝑃− 𝛿𝐼𝑃 } 3.2. Analisis Kestabilan dari Model

3.2.1. Titik Kritis dan Eksistensinya

Titik kritis dari sistem persamaan ( 3 ) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persamaan sebagai berikut :

𝑑𝑆_𝐿 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑆_𝑃 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐼_𝐿 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐼_𝑃 𝑑𝑡 = 0

Sehingga diperoleh 2 titik kritis, yaitu 𝑇₁= (_𝜇𝐴,𝐵_µ, 0, 0) dan 𝑇₂= (_𝛼2_{(𝐵−𝜇𝐼}µ(2µ𝜃+𝜃2+µ2)

𝑃)+𝛽µ2+𝛽𝜃µ,

𝐵−𝜇𝐼𝑃

𝜇 ,

µ𝐼𝑃(µ+𝛿)

𝛼(𝐵−𝜇𝐼𝑃), 𝐼𝑃∗), dengan 𝐼𝑃 memenuhi polinomial berikut ini:

𝑃(𝐼𝑃) = 𝑎2𝐼𝑃2+ 𝑎1𝐼𝑃+ 𝑎0= 0 ( 4 ) dimana : 𝑎₂= 𝛼2_µ4_{+ 𝐴𝛼}3_µ2_{+ µ}3_𝜃𝛼2 𝑎₁= 𝛼µ5_{− 𝐴𝛼µ}3_{𝛽 − µ}3_𝜃2_{𝛽 − 𝛼}2_µ3_{𝐵 − 2µ}4_{𝜃𝛽 + 2𝛼µ}4_{𝜃 + 𝛼µ}3_𝜃2_{− 2𝐴𝛼}3_{𝐵µ − 𝛽µ}5 −µ2𝜃𝛼2𝐵 − 𝐴𝛼µ2𝛽𝜃 𝑎₀= 𝐴𝛼3_𝛽2_{+ 𝐴𝛼𝐵𝛽µ}2_{− µ}2_𝛼𝐵𝜃2_{− µ}4_{𝛼𝐵 + 𝐴𝛼𝐵𝛽𝜃µ − 2µ}3_𝛼𝐵𝛽

akar-akar 𝐼_𝑃∗ _{dari polinomial diatas sulit untuk ditunjukkan secara eksplisit. Namun,} eksistensinya dapat dijamin dengan menggunakan aturan descartes. Titik kritis 𝑇1 menggambarkan kondisi bebas penyakit, sedangkan titik kritis 𝑇₂ menggambarkan kondisi endemik.

Titik kritis pertama dapat dijamin eksistensinya karena 𝑆_𝐿=𝐴_𝜇 dan 𝑆_𝑃=𝐵_𝜇 bernilai non negatif. Sedangkan eksistensi titik kritis endemik penyakit gonorrhoeae 𝑇₂ akan tercapai jika 𝐼_𝑃∗_{> 0 dan 𝐵 > µ𝐼}

𝑃. Nilai 𝐼𝑃∗> 0 dapat dijamin jika 𝐴𝛼𝛽 > (𝛼 − 𝛽)(𝜇2+

𝛿𝜇).

238

3.2.2. Kestabilan dari Titik Kritis

Kestabilan dari Titik kritis 𝑇₁ dan 𝑇₂ dapat ditentukan melalui tanda negatif dari semua nilai eigen 𝜆 yang diperoleh dari matriks Jacobi. Matriks Jacobi dari sistem persamaan diferensial ( 3 ) yang dievaluasi pada 𝑇₁ memberikan persamaan karateristik dalam 𝜆 sebagai berikut :

(λ + µ)2_(µ2_λ2_{+ (2µ}2_{𝛿 − 𝛽𝐴µ + 2µ}3_{)λ − 𝛽𝐴µ}2_{− 𝜇𝛽𝐴𝛿 + µ}4_{+ 2µ}3_{𝛿 + µ}2_δ2_{+ α}2_{𝐵𝐴) ( 5 )} Dari suku pertama persamaan (3.6) diperoleh nilai eigen, λ1,2= −𝜇, sehingga kestabilan sistem ditentukan oleh persamaan berderajat 2 dalam 𝜆 sebagai berikut :

𝑎₂𝜆2_{+ 𝑎} 1𝜆 + 𝑎0= 0 dimana: 𝑎₂= µ2_{> 0} 𝑎1= µ(2µ(µ + 𝛿) − 𝛽𝐴) 𝑎₀= −𝛽𝐴µ2_{− 𝛽𝐴𝛿µ + 𝜇}4_{+ 2𝜇}3_{𝛿 + 𝜇}2_𝛿2_{+ 𝛼}2_𝐵𝐴

Berdasarkan metode Routh-Hurwitz, kestabilan dari titik kritis 𝑇1 dapat dijamin jika 𝑎0>

0 dan 𝑎₁> 0. Akibatnya diperoleh syarat kestabilan dari 𝑇₁ sebagai berikut :

𝐴 >2µ2_𝛽µ(𝛿+µ) dan 𝐴 >𝜇_{𝛽µ(𝜇+𝛿)+𝛼}2(𝜇2+2𝜇𝛿+𝛿2_𝐵2)

Matriks Jacobi dari sistem persamaan differensial (SPD) yang dievaluasi pada

𝑇₂ memberikan persamaan karateristik dalam 𝜆 sebagai berikut :

(𝜆 + 𝜇)(𝜆 + 𝜇)(𝑎2𝜆2+ 𝑎1𝜆 + 𝑎0) = 0 ( 6 ) dimana : 𝑎₂= 𝛼(𝐵 − 𝜇𝐼_𝑃)2_(𝛼2_{(𝐵 − 𝜇𝐼} 𝑃) + 𝛽𝜇(𝛿 + 𝜇)) 𝑎1= (𝐵 − 𝜇𝐼𝑃)(2𝐵2𝛼3𝜇 + 2𝐵2𝛼3𝛿 + 𝐵2𝐼𝑃𝛼4− 2𝐵𝐼𝑃2𝛼4𝜇 − 3𝐵𝐼𝑃𝛼3𝜇2+ 𝐵𝛼𝛽𝜇3+ 𝐵𝛼𝛽𝛿2𝜇 +2𝐵𝛼𝛽𝛿𝜇2_{+ 2𝐵𝐼} 𝑃𝛼2𝛽𝜇2+ 2𝐵𝐼𝑃𝛼2𝛽𝛿𝜇 − 3𝐵𝐼𝑃𝛼3𝛿𝜇 + 𝐼𝑃2𝛼3𝛿𝜇2− 2𝐼𝑃2𝛼2𝛽𝜇3 +𝐼_𝑃3_𝛼4_𝜇2_{+ 𝐼} 𝑃𝛽2𝜇4+ 2𝐼𝑃𝛽2𝛿𝜇3+ 𝐼𝑃𝛽2𝛿2𝜇2− 2𝐼𝑃2𝛼2𝛽𝛿𝜇2+ 𝐼𝑃2𝛼3𝜇2) 𝑎₀= 𝐼_𝑃(𝜇 + 𝛿)(𝜇4_𝐼 𝑃2𝛼3+ 𝜇4𝛽2𝐵 − 2𝜇3𝐵𝐼𝑃𝛼2𝛽 + 2𝜇3𝐵𝛽2𝛿 + 𝜇3𝐼𝑃2𝛼3𝛿 − 2𝜇3𝐼𝑃𝐵𝛼3 −2𝜇2𝐼𝑃𝐵𝛼2𝛽𝛿 + 𝐵3𝛼4+ 𝜇2𝐼𝑃2𝐵𝛼4+ 2𝜇2𝐵2𝛼2𝛽 − 2𝜇2𝐼𝑃𝐵𝛼3𝛿 + 𝜇2𝐵2𝛼3+ 𝜇2𝐵𝛽2𝛿2 −2𝜇𝐵2_𝐼 𝑃𝛼4+ 𝜇𝐵2𝛼3𝛿 + 2𝜇𝐵2𝛼2𝛽𝛿)

239

Dari suku pertama persamaan ( 6 ) diperoleh nilai eigen, λ_1,2= −𝜇, sehingga kestabilan sistem ditentukan oleh persamaan berderajat 2 dalam λ sebagai berikut

𝑎₂𝜆2_{+ 𝑎}

1𝜆 + 𝑎0= 0 ( 7 )

Berdasarkan metode Routh-Hurwitz, kestabilan dari titik kritis 𝑇2 dapat dijamin jika 𝑎0>

0 dan 𝑎₁> 0. Akibatnya diperoleh syarat kestabilan dari 𝑇₂ sebagai berikut :

𝐼_𝑃𝛽2_𝜇4_{+ (𝛽𝛼𝐵 + 2𝐼} 𝑃𝛽2𝛿 + 𝐼𝑃2𝛼3)𝜇3+ (2𝐵𝛽𝛼𝛿 + 2𝐵𝐼𝑃𝛼2𝛽 + 𝐼𝑃2𝛼3𝛿𝐼𝑃3𝛼4+ 𝐼𝑃𝛽2𝛿2)𝜇2 +2𝐵𝛼 (𝛽𝛼𝐵 + 2𝐼𝑃𝛽2𝛿 +1₂𝛽𝛿2)𝜇 + 𝐵2𝛼3(𝐼𝑃𝛼 + 2𝛿) > 2(𝐵𝐼𝑃𝛼2+3₂𝐵(𝜇 + 𝛿)𝛼 +𝐼𝑃𝜇𝛽(𝜇 + 𝛽))𝐼𝑃𝛼2µ dan (𝐼_𝑃2_𝛼3_{+ 𝛽}2_𝐵)𝜇4_{+ (𝐼} 𝑃2𝛼3𝛿 + 2𝐵𝛽2𝛿) 𝜇3+ 2𝐵(𝛼2(₂1𝛼 + 𝛽) 𝐵 +1₂𝛿2𝛽3 1₂𝛿2𝛽2 +1₂𝛼4_𝐼 𝑃2)𝜇2+ 2𝛿𝐵2𝛼2(1₂𝛼 + 𝛽) 𝜇 + 𝐵3𝛼4> 2𝐵𝛼2𝐼𝑃((𝜇2+ 𝜇𝛿)(𝛽 + 𝛼) + 𝐵𝛼2)𝜇. 3.3. Sim ulasi

Simulasi penyebaran penyakit gonorrhoeae dilakukan untuk nilai-nilai parameter yang ditentukan berdasarkan analisis endemik dari model penyakit gonorrhoeae yang memunculkan syarat eksistensi dan syarat kestabilan untuk suatu titik kritis. Kita dapat melakukan simulasi dengan mengunakan nilai variabel dan nilai parameter, dimana 𝑆_𝐿 adalah jumlah populasi laki-laki yang rentan, 𝑆_𝑃 adalah jumlah populasi perempuan yang rentan, 𝐼_𝐿 adalah jumlah populasi laki-laki yang terinfeksi dan 𝐼𝑃 adalah jumlah perempuan yang terinfeksi. Dari nilai parameter dan nilai variable kita dapatkan simulasi seperti dibawah ini :

240

Gambar 2 : Kurva Simulasi Kondisi Bebas Penyakit. (𝑎) Nilai parameter 𝛽= 0.0001 dan 𝛼 = 0.0002; (𝑏) Nilai parameter 𝛽= 0.001 dan 𝛼 = 0.002,

(𝑎) (𝑏)

Gambar 3 : Kurva Simulasi Kondisi Endemik Penyakit gonorrhoeae. (𝑎) Nilai parameter 𝛽= 0.0001 dan 𝛼 = 0.0002; (𝑏) Nilai parameter 𝛽= 0.001 dan 𝛼 = 0.002,

Gambar 2 menggambarkan keadaan populasi bebas penyakit. Simulasi untuk titik kritis bebas penyakit ini dilakukan dengan menggunakan nilai awal 𝑆𝑃(0) = 1829, 𝑆𝐿(0) = 1851, 𝐼𝑃(0) = 0,

𝐼_𝐿(0) = 0, dengan nilai parameter 𝛼 dan 𝛽 ditentukan berdasarkan syarat eksistensi dan syarat kestabilan. Gambar 2 menunjukkan populasi yang konstan dalam waktu seratus hari tanpa adanya penyakit gonorrhoeae. Sedangkan Gambar 3 menggambarkan dinamika keadaan populasi endemik. Simulasi untuk titik kritis endemik penyakit gonorrhoeae ini diperoleh dengan menggunakan nilai awal 𝑆_𝑃(0) = 1829, 𝑆_𝐿(0) = 1851, 𝐼_𝑃(0) = 65, 𝐼_𝐿(0) = 37 dan parameter 𝛼

dan 𝛽 ditentukan berdasarkan syarat eksistensi dan syarat kestabilan. Dari Gambar 3 terlihat bahwa subpopulasi laki-laki lebih cepat tertular dibandingkan subpopulasi perempuan. Hal ini ditunjukkan dengan jumlah subpopulasi laki-laki yang terinfeksi lebih tinggi jika dibandingkan dengan jumlah subpopulasi perempuan di waktu yang sama. Kondisi ini disebabkan oleh laju penularan penyakit subpopulasi perempuan yang terinfeksi hanya tertular dari subpopulasi laki-laki saja sedangkan subpopulasi laki-laki-laki-laki yang terinfeksi tertular penyakit tersebut dari perempuan dan laki-laki (waria). Jumlah sub populasi laki-laki dan perempuan rentan akan menurun seiring meningkatnya jumlah manusia yang terinfeksi pada subpopulasi laki -laki maupun perempuan, dikarenakan laju infeksi kurang dari laju pemulihan sehingga jumlah populasi yang rentan akan berkurang seiring dengan pertambahan waktu dan konstan pada titik tertentu.

241

IV. KESIMPULAN

Penelitian ini telah menawarkan pendekatan model matematika untuk mengetahui perilaku jangka panjang fenomena penularan penyakit gonorrhoeae pada populasi manusia. Dari model matematika penularan penyakit gonorrhoeae diperoleh 2 titik kritis, yaitu titik kritis yang menggambarkan kondisi bebas penyakit dan titik kritis yang menggambarkan kondisi endemik. Eksistensi dan kestabilan dari titik kritis 𝑇1 dan 𝑇2 dapat dijamin dalam penelitian ini. Dari hasil simulasimenunjukkan bahwa

s

ubpopulasi laki-laki lebih cepat tertular dibandingkan subpopulasi perempuan karena penularan penyakit gonorrhoeae pada subpopulasi perempuan terinfeksi hanya tertular dari subpopulasi laki saja sedangkan subpopulasi laki-laki yang terinfeksi tertular penyakit tersebut dari subpopulasi perempuan dan laki-laki-laki-laki (waria). DAFTAR PUSTAKA

[1] Chandranita, I., A, Manuaba, Ilmu Kebidanan Kesehatan Reproduksi Untuk Pendidikan bidan

Ed.2. EGC, 2011, Jakarta.

[2] Drucker, D.S. (1979). A Second Look at Descartes’ Rule of Signs : Mathematics Magazine, 1979, V. 52. No. 5 (sept). p. 237-238.

[3] Kandun, Surveilans Terpadu Biologis dan Perilaku (STBP) 2011 Prevalensi Gonore di Negara Indonesia, 2011, Jakarta.

[4] Kermack, W., MC Kendrick, A.G, A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics. Royal Society, 1927, 115: 700-721.

[5] Mamyer, J, Concepts of Mathematical Modeling. Mcgrow-hill book company, 1985, New York. [6] Subiono. Sistem linear dan Kontrol Optimal. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2013,