PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN SCHRODINGER LIMA DIMENSI UNTUK POTENSIAL KRATZER PLUS
POTENSIAL TANGEN TRIGONOMETRIK KUADRAT DENGAN ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)
Disusun Oleh : AGUNG BUDI PRAKOSO
M0212006
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi sebagian Persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
HALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI
Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer Plus
Potensial Tangen trigonometrik kuadrat dengan Asymptotic Iteration Method (AIM)
Diusulkan oleh: Agung Budi Prakoso
M0212006
Telah Disetujui Oleh
Pembimbing I
Prof. Dra. Soeparmi, MA, Ph.D Tanggal : ... NIP 195209151976032001
Pembimbing II
iii
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi dengan judul : Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat dengan Asymptotic Iteration Method (AIM)
Yang ditulis oleh :
Nama : Agung Budi Prakoso NIM : M0212006
Telah diuji dan dinyatakan lulus oleh dewan penguji pada :
Hari : ………
Tanggal : ………
Dewan Penguji : 1. Ketua Penguji
Ahmad Marzuki, S.Si., Ph.D. ..……… NIP.1968055081997021001
2. Sekertaris Penguji
Khairuddin, S.Si.,M.Phil, Ph.D. ..……… NIP. 197010181997021001
3. Anggota Penguji 1
Prof. Dra. Soeparmi M.A., Ph.D. ..……… NIP.195209151976032001
4. Anggota Penguji 2
Prof. Drs. Cari M.A., M.Sc., Ph.D. ..……… NIP. 196103061985031002
Disahkan pada tanggal ... Oleh
Kepala Program Studi Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta
Fahru Nurosyid, S.Si., M.Si. NIP. 197210132000031002
Dengan ini saya menyatakan bahwa isi intelektual Skripsi saya yang berjudul “Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen trigonometrik kuadrat dengan Asymptotic Iteration Method (AIM)” adalah hasil kerja saya dan sepengetahuan saya hingga saat ini isi Skripsi tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau materi yang telah diajukan untuk mendapatkan gelar kesarjanaan di Universitas Sebelas Maret atau di Perguruan Tinggi lainnya kecuali telah dituliskan di daftar pustaka Skripsi ini dan segala bentuk bantuan dari semua pihak telah ditulis di bagian ucapan terimakasih. Isi Skripsi ini boleh dirujuk atau difotokopi secara bebas tanpa harus memberitahu penulis.
Surakarta, 07Juli 2017
v
HALAMAN MOTTO
“Setiap perkara penting yang tidak dimulai dengan „bismillahirrahmanir rahiim‟, amalan tersebut terputus berkahnya.”
(HR. Abu Dawud)
“Hai orang-orang mukmin, jika kamu menolong (agama) Allah, niscaya Dia akan menolongmu dan meneguhkan kedudukanmu.”
(QS. Muhammad 7)
"Belajarlah kalian ilmu untuk ketentraman dan ketenangan serta rendah hatilah pada orang yang kamu belajar darinya"
(HR. Ath-Thabrani)
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk:
Allah SWT dan Rasul-Nya semoga menjadi amal jariyah
bagi penulis dan pihak-pihak yang membantu dalam
menyelesaikan tugas ini.
Bapak Supartono dan Ibu Istiqomah yaitu kedua orang tua
saya yang dengan tulus ikhlas memberikan dukungan
moril maupun materiil.
Kedua adek tercinta penulis yaitu Agus Setyo Prabowo dan
Arif Cahyo Nugroho semoga keberkahan menyertai
hari-hari kalian.
Segenap Keluarga Besarku
Kedua Pembimbing,
Keluarga besar CFC Fisika 2012.
Adik-adik tingkat yang akan berkecimpung di Fisika
Kuantum, semoga penelitian ini dapat digunakan dengan
bijak sebagaimana mestinya dan tidak menimbulkan
vii
PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN SCHRODINGER LIMA DIMENSI UNTUK POTENSIAL KRATZER PLUS
POTENSIAL TANGEN TRIGONOMETRIK KUADRAT DENGAN ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)
AGUNG BUDI PRAKOSO
Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret
E-mail : agungbudi12101993@student.uns.ac.id
Abstrak
Persamaan Schrodinger Dimensi-D untuk kombinasi potensial Kratzer dan potensial tangen trigonomerik kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan AIM. Kombinasi dari dua potensial disubstitusikan ke persamaan Schrodinger Dimensi-D, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi bagian radial dan sudut. Batasan dimensi yang dipilih berupa dimensi lima sehingga persamaan bagian sudut dipisahkan kembali menjadi empat bagian persamaan sudut.
Penyelesaian persamaan Schrodinger dengan menggunakan AIM dapat dilakukan dengan mereduksi persamaan differensial orde kedua menjadi persamaan differensial tipe hipergeometri dengan melakukan subtitusi variabel. Persamaan differensial orde dua tipe hipergeometri tersebut diselesaikan dengan AIM diperoleh nilai eigen energi dan fungsi gelombang. Nilai eigen energi vibrasi non-relativistik sistem dihitung menggunakan metode komputasi. Sehingga dapat diketahui bahwa peningkatan bilangan kuantum radial menyebabkan kenaikan spektrum energi dan peningkatan bilangan kuantum sudut menyebabkan penurunan spektrum energi. Fungsi gelombang yang dihasilkan dapat digunakan untuk mencari probabilitas ditemukannya molekul diatomik CO, NO, I2.
ANALYTICAL SOLUTION OF FIVE DIMENSIONAL SCHRODINGER EQUATION FOR KRATZER‟S POTENTIAL AND TRIGONOMETRIC TANGEN SQUARED POTENTIAL WITH ASYMPTOTIC ITERATION
METHOD (AIM)
AGUNG BUDI PRAKOSO
Physic Department, Faculty of Science and Mathematics, Sebelas Maret University
E-mail : agungbudi12101993@student.uns.ac.id
Abstract
The D-Dimension Schrodinger Equation for Kratzer potential combinations and potential trigonomeric tangent squared can be solved using AIM. The combination of the two potentials is substituted into the D-Dimension Schrodinger equation, then separating the variables into radial and angular sections. The dimension of the selected dimension is a five dimension so that the equation of the angular part is separated back into four parts of the angular equation.
Solving the Schrodinger equation by using AIM can be done by reducing second-order differential equations into a hypergeometric differential equation by substituting variables. The two-order differential equations of the hypergeometric type are solved by AIM obtained by the eigenvalues of energy and the wave function. The eigenvalue of the system's non-relativistic vibrational energy is calculated using computational methods. Thus it can be seen that the increase in radial quantum number (nr) causes the increase in the energy spectrum and an increase in the quantum number of angles causing a decrease in the energy spectrum. The resulting wavefunction can be used to find the probability of finding the diatomic molecules CO, NO, I2.
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT atas segala limpahan nikmat dan karuniaNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Skripsi. Sholawat dan salam senantiasa penulis haturkan kepada Rosulullah SAW sebagai pembimbing seluruh umat manusia.
Skripsi yang penulis susun sebagai bagian dari syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains ini penulis beri judul ”Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat dengan Asymptotic Iteration Method (AIM)”. Terselesaikannya Skripsi ini adalah suatu kebahagiaan bagi saya. Setelah beberapa semester penulis harus berjuang untuk bisa menyelesaikan Skripsi ini. Dengan segala suka dan dukanya, pada akhirnya Skripsi ini terselesaikan juga. Kepada berbagai pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan Skripsi ini penulis ucapkan terima kasih. Atas bantuannya yang sangat besar selama proses pengerjaan Skripsi ini, ucapan terima kasih secara khusus penulis sampaiakan kepada:
1. Allah azza wa jalla atas limpahan berkah dan rahmatNya sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak dan Ibu yang tidak pernah lelah memanjatkan doa dan motivasi sehingga penulis menyelesaikan tugas sebagai mahasiswa dengan baik.
3. Prof. Dra. Soeparmi M.A., Ph.D. selaku Pembimbing I yang senantiasa memberikan nasehat dan bimbingan dalam penyusunan skripsi dan semangat untuk menyelesaikan skripsi.
4. Bapak Prof. Drs. Cari M.A., M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing II dan Pembimbing Akademik yang telah membimbing penulis hingga skripsi selesai.
walaupun beliau sudah purna tugas. Semoga beliau senantiasa diberikan kesehatan dan limpahan nikmat oleh Allah Subhanahu wa Ta‟ala.
6. Mbak Beta Nur Pratiwi dan Mas Dewanta Arya Nugraha atas segala bantuannya dalam menangani masalah-masalah dalam penyusunan skripsi. 7. Rekan-rekan dalam satu group kerja lab : Mas Fery Widiyanto dan Mas Rijal
Danialhaq yang saling berbagi kisah dan masalah dalam masalah hidup dan penyelesaian skripsi.
8. Semua dosen pengajar Prodi Fisika FMIPA UNS.
9. Mas Angga, Mas Ega, Mas Bara, Mas Farizky, Mbak Khoir, Mbak Diani, Mas Yoshua, Mas Hasan, Mas Archi, dan teman-teman CFC 2012 lain yang tidak bisa disebutkan satu per satu yang selalu membantu dalam proses kegiatan perkuliahan.
10.Mas Fauzan, Mas Arif, Mas Iklas, dan rekan-rekan KKN Plosorejo yang tidak bisa disebutkan satu per satu yang selalu memberikan semangat pada penulis. 11.Mas Fajar Sidiq selaku teman sejak kecil yang telah memberikan sarana dan
prasarana sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas-tugas kuliah.
12.Teman-teman SKI FMIPA UNS, mantan tim kerja di Cahaya Agency, alumni IPA 4 SMAN 5 Surakarta tahun 2011, alumni IX G SMPN 4 Surakarta tahun 2008, dan beberapa pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu yang telah memberikan dukungan untuk penulis.
Semoga Allah jalla wa ‘ala senantiasa memberikan rahmat dan keberkahan atas bantuan yang telah diberikan. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca umumnya. Semoga menjadi amal jariyah semua pihak yang berhubungan dengan penyelesaian tugas ini. Amin Ya Robbal „Alamin.
xi
HALAMAN PUBLIKASI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERNYATAAN ... iv
HALAMAN MOTTO ... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi
HALAMAN ABSTRAK ... vii
HALAMAN ABSTRACT ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
HALAMAN PUBLIKASI ... xi
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR TABEL ... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR SIMBOL ... xvi
DAFTAR LAMPIRAN ... xviii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang ... 1
1.2. Batasan Masalah ... 3
1.3. Rumusan Masalah ... 3
1.4. Tujuan Penelitian ... 3
1.5. Manfaat Penelitian ... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5
2.1. Persamaan Schrodinger ... 5
2.2. Persamaan Schrodinger Lima Dimensi ... 7
2.3. Potensial Kratzer ... 8
2.4. Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat ... 10
2.5. Pemisahan Variabel Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat ... 10
2.6. Asymptotic Iteration Method ... 14
2.7. Koordinat Hyperspherical ... 18
BAB III METODOLOGI PENENLITIAN ... 19
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian ... 19
3.2. Obyek Penelitian ... 19
3.3. Instrumen Penelitian ... 19
3.4. Metode Penelitian ... 19
xiii
3.6. Prosedur Penelitian ... 21
BAB IV PEMBAHASAN ... 22
4.1. Pendahuluan ... 22
4.2. Penyelesaian Analitis Bagian Radial dan Sudut dengan AIM ... 22
4.2.1. Penyelesaian Bagian Radial ... 22
4.2.2. Penyelesaian Bagian Sudut θ1 ... 26
4.2.3. Penyelesaian Bagian Sudut θ2 ... 30
4.2.4. Penyelesaian Bagian Sudut θ3 ... 34
4.2.5. Penyelesaian Bagian Sudut θ4 ... 37
4.3. Spektrum Energi Persamaan Schrodinger pada Potensial Kratzer plus Potensial Tangen trigonometrik kuadrat ... 41
4.4. Fungsi Gelombang Partikel yang Dipengaruhi oleh Potensial Kratzer dan Tangen trigonometrik kuadrat ... 43
4.4.1. Bagian Radial ... 44
4.4.2. Bagian Sudut θ1 ... 46
4.4.3. Bagian Sudut θ2 ... 49
4.4.4. Bagian Sudut θ3 ... 52
4.4.5. Bagian Sudut θ4 ... 55
4.4.6. Fungsi Gelombang Gabungan ... 57
BAB V PENUTUP ... 59
5.1. Kesimpulan ... 59
5.2. Saran ... 59
DAFTAR PUSTAKA ... 60
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 2.1. Massa dan Besaran Spektroskopik dari Variasi Molekul
Diatomik pada saat Ground State ... 9
Tabel 4.1. Spektrum Energi Partikel yang dipengaruhi oleh Potensial Kratzer dan Potensial Tangen Kuadrat ... 42
Tabel 4.2. Fungsi Gelombang R dengan Variasi nr ... 44
Tabel 4.3. Fungsi Gelombang Sudut P1 dengan Variasi n1 ... 47
Tabel 4.4. Fungsi Gelombang Sudut P2 dengan Variasi n2 ... 50
Tabel 4.5. Fungsi Gelombang Sudut P 3 dengan Variasi n3 ... 52
Tabel 4.6. Fungsi Gelombang Sudut P 4 dengan Variasi n4 ... 55
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1. Potensial Kratzer dengan Variabel Bebas r ... 9 Gambar 2.2. Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat dengan
Variabel Bebas θ ... 10 Gambar 3.1. Diagram Alir Penelitian ... 19 Gambar 4.1. Grafik Spektrum Energi dengan Variasi Kedalaman
Sumur Potensial dimana nr = 0 ... 43 Gambar 4.2. Fungsi Gelombang Radial dengan Variasi nr ... 45 Gambar 4.3. Fungsi Gelombang Radial dengan Variasi Molekul
Diatomik ... 46 Gambar 4.4. Grafik Dua Dimensi pada Fungsi Gelombang P1
dengan Variasi n1 ... 48 Gambar 4.5. Fungsi Gelombang P1 pada Koordinat Bola dengan
Variasi n1 ... 49 Gambar 4.6. Fungsi Gelombang P2 pada Koordinat Bola ... 51 Gambar 4.7 Grafik Dua Dimensi pada Fungsi Gelombang P2
dengan Variasi n2 ... 51 Gambar 4.8. Fungsi Gelombang P3 pada Koordinat Bola ... 53 Gambar 4.9. Grafik Dua Dimensi pada Fungsi Gelombang P3
dengan Variasi n3 ... 54 Gambar 4.10. Fungsi Gelombang P4 pada Koordinat Bola ... 56 Gambar 4.11. Diagram Fasor Fungsi Gelombang P4 dengan Variasi
DAFTAR SIMBOL
Ψ (x,t) = Simpangan Gelombang yang tergantung pada posisi dan waktu Ψ0 = Amplitudo Gelombang
k = Bilangan Gelombang ω = Kecepatan Sudut
E = Energi Mekanik Non Relativistik Gelombang
T = Nilai Energi Kinetik dari Suatu Partikel atau Molekul Diatomik V = Nilai Energi Potensial dari Suatu Partikel atau Molekul Diatomik V0 = Nilai Energi Potensial Awal dari Suatu Partikel atau Molekul
Diatomik
m = Massa dari Suatu Partikel atau Molekul Diatomik v = Kecepatan Partikel atau Molekul Diatomik p = Momentum
h = Konstanta Planck (2π dalam natural unit) ћ = Konstanta Dirac (1 dalam natural unit)
2
D
= Operator Laplacian untuk D Dimensi De = Energi Disosiasi
r = Jarak Antar Inti Molekul Diatomik
a = Jarak Antar Kesetimbangan Inti Molekul Diatomik χi = Persamaan Kesebandingan AIM
si = Persamaan Kesebandingan AIM θ1 = Sudut fase pada dimensi sudut pertama
θ2 = Sudut fase pada dimensi sudut kedua
θ3 = Sudut fase pada dimensi sudut ketiga
θ4 = Sudut fase pada dimensi sudut keempat nr = Bilangan Kuantum Radial
n1 = Bilangan Kuantum Bagianθ1 n2 = Bilangan Kuantum Bagianθ2 n3 = Bilangan Kuantum Bagianθ3 n4 = Bilangan Kuantum Bagianθ4 R = Fungsi Gelombang Radial
R0 = Fungsi Gelombang Radial pada nr = 0 R1 = Fungsi Gelombang Radial pada nr = 1 R2 = Fungsi Gelombang Radial pada nr = 2 P1 = Fungsi Gelombang Sudut θ1
xvii
P20 = Fungsi Gelombang Sudut θ2 pada n2 = 0 P21 = Fungsi Gelombang Sudut θ2 pada n2 = 1 P22 = Fungsi Gelombang Sudut θ2 pada n2 = 2 P3 = Fungsi Gelombang Sudut θ3
P30 = Fungsi Gelombang Sudut θ3 pada n3 = 0 P31 = Fungsi Gelombang Sudut θ3 pada n3 = 1 P32 = Fungsi Gelombang Sudut θ3 pada n3 = 2 P4 = Fungsi Gelombang Sudut θ4
P40 = Fungsi Gelombang Sudut θ4 pada n4 = 0 P41 = Fungsi Gelombang Sudut θ4 pada n4 = 1 P42 = Fungsi Gelombang Sudut θ4 pada n4 = 2
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Listing Program AIM untuk Bagian Radial ... 62
Lampiran 2. Listing Program AIM untuk Bagian Sudut θ1 ... 63
Lampiran 3. Listing Program AIM untuk Bagian Sudut θ2, θ3, dan θ4 ... 64
Lampiran 4. Listing Program Data Numerik Energi ... 65
Lampiran 5. Listing Program Fungsi Gelombang Radial ... 75
Lampiran 6. Listing Program Fungsi Gelombang Sudut dalam Koordinat Bola ... 77
