Bab III Program dan Verifikasi

(1)

31

Bab III

Program dan Verifikasi

Bagian pertama bab ini akan menguraikan input pemodelan yang digunakan dalam program yang dibuat beserta diagram alir untuk tiap-tiap langkah dalam analisis modal. Bagian kedua akan memberikan beberapa contoh verifikasi program untuk struktur balok Euler-Bernoully dengan berbagai kondisi perletakan dimana solusi empiriknya tersedia. Penulis menyadari masih banyaknya kekurangan dan mungkin ketidakstabilan dalam pemrograman yang dilakukan. Untuk itu adanya bugs atau errors yang mungkin timbul sehingga menyebabkan eksekusi program dapat terhenti

akan dievaluasi per kasus bila ditemukan.

III.1 Input Model dan Bagan Alir Pemrograman

Input text untuk pemodelan dilakukan sesuai urutan berikut dimana diasumsikan, massa dan kekakuan terdistribusi seragam, penampang balok yang digunakan merupakan penampang persegi dengan material yang elastik-isotropik.

M NJ NR NM NRJ NM(i) E(i) ρ(i) ν(i) G(i) NJ(i) X(i) Z(i)

M(i) JI(i) JJ(i) B(i) H(i) kv(i) MAT(i) MASSX(i) STIFFX(i) TYPE(i) NJ(i) JR1(i) JR2(i) JR3(i)

dimana:

M / M(i) = jumlah member pada struktur / member ke-i pada stuktur NJ / NJ(i) = jumlah joint pada struktur / joint ke-i pada struktur

NR = jumlah restraint pada struktur

NM / NM(i) = jumlah material yang digunakan / material ke-i yang digunakan NRJ = jumlah titik yang memiliki restraint

E(i) = modulus elastisitas untuk member ke-i ρ(i) = berat jenis untuk member ke-i

(2)

32

G(i) = modulus geser untuk member ke-i X(i) = posisi absis-X untuk joint ke-i Z(i) = posisi ordinat-Z untuk joint ke-i

JI(i) = label joint untuk ujung-I untuk member ke-i JJ(i) = label joint untuk ujung-J untuk member ke-i B(i) = lebar penampang member ke-i

H(i) = tinggi penampang member ke-i

kv(i) = shear area modifier untuk member ke-i MASSX(i) = mass modifier untuk member ke-i

STIFFX(i) = moment of inertia modifier untuk member ke-i

TYPE(i) = tipe member yang digunakan (a = beam dan b = column) JR1(i) = restraint UX untuk member ke-I (1 = restraint 0 = release) JR2(i) = restraint UZ untuk member ke-I (1 = restraint 0 = release) JR3(i) = restraint RY untuk member ke-I (1 = restraint 0 = release)

Data v(i), G(i) dank v(i) walaupun tidak berguna untuk studi ini namun diberikan disini untuk dapat digunakan bila seandainya program akan dikembangkan lebih lanjut.

(3)

33

Bagan alir program utama yang dibuat untuk metoda kekakuan dinamik dapat dilihat pada gambar III.1. Untuk bagan alir pelengkap dan source code dapat dilihat pada lampiran C.

III.2 Verifikasi Program

Verifikasi program akan dilakukan untuk mendapatkan frekuensi dari balok lentur Euler-Bernoully untuk kasus uncouple lateral-axial vibration dengan memperhitungkan beberapa kondisi batas. Persamaan karakteristik untuk frekuensi naturalnya untuk balok jenis ini sudah diberikan oleh Paz(4).

Data-data yang digunakan adalah sebagai berikut: E = 23500 MPa; ρ = 2400 kg/m3

= 2400 × 9.81 × 10-9 = 0.000023544 N/mm3; L = 6000 mm; b= 300 mm; h = 600 mm; g= 9810 mm/det2 dan m=ρ.A g = 0.000432 N.det2/mm2.

a. Balok jepit-jepit

I A E,ρ, ,

L

Gambar-III.2. Balok Sederhana Jepit-Jepit yang Seragam

Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok Euler-Bernoully dengan perletakan jepit-jepit adalah sebagai berikut:

• Gerak aksial m EA L nπ ... (III.1a)

(4)

34

• Gerak lentur

( )

.cosh

( )

0 cos

1− aL aL = ... (III.1b) Penyelesaian persamaan (III.1a) dan (III.1b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.1a dan tabel III.1b berikut ini:

Tabel III.1a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Jepit) N ω(rad/sec) λ (rad2_/s2_{) T(sec)}

1 1638.426383 2684441.012 0.003835

2 3276.852766 10737764.047 0.001917

3 4915.279148 24159969.107 0.001278

4 6553.705531 42951056.190 0.000959

5 8192.131914 67111025.297 0.000767

Tabel III.1b. Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Jepit) N aL det[aL] (aL)2 _ω_(rad/s) _λ_(rad2_/s2₎ _T(s) 1 4.730041 0.000000 22.373285 336.834215 113457.288683 0.018654 2 7.853205 0.000000 61.672823 928.496485 862105.723298 0.006767

3 10.995608 0.000000 120.903392 1820.224356 3313216.706027 0.003452

4 14.137165 0.000000 199.859448 3008.923323 9053619.566301 0.002088

5 17.278760 0.000001 298.555535 4494.812339 20203337.962420 0.001398

Dari tabel III.1a dan III.1b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah 8192.131914 rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω*=8200 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut,

MODE w2 w T 1 113457.28868538 336.834215431538 1.86536433038129E-02 2 862105.672064405 928.496457755443 6.76705361091912E-03 3 2684441.01187037 1638.42638280466 3.83489021729741E-03 4 3313216.52677949 1820.22430672142 3.45187419153677E-03 5 9053619.56630181 3008.92332343345 2.0881839222177E-03 6 10737750.2425387 3276.85065917547 1.91744634122587E-03 7 20203337.371052 4494.81227317138 1.39787491119098E-03 8 24159968.7783924 4915.27911500379 1.27829674778799E-03 9 39411756.4967599 6277.87834357754 1.00084534349212E-03

(5)

35

10 42956264.8075977 6554.10289876484 9.58664428104064E-04 11 67111025.2967593 8192.13191402332 7.66978043459482E-04

Dari hasil eksekusi di atas diperoleh sebelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 memberikan frekuensi 6277.87834357754 rad/det yang merupakan frekuensi natural ke-6 untuk gerak lentur jepit-jepit yang tidak diberikan pada tabel III.1b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat. b. Balok jepit-sendi

I A E,ρ, ,

L

Gambar-III.3. Balok Sederhana Jepit-Sendi yang Seragam

Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok Euler-Bernoully dengan perletakan jepit-sendi adalah sebagai berikut:

• Gerak aksial m EA L nπ ... (III.2a) • Gerak lentur

( )

.cosh

( )

cos

( )

.sinh

( )

0

sin aL aL − aL aL = ... (III.2b) Penyelesaian persamaan (III.2a) dan (III.2b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.2a dan tabel III.2b berikut ini:

(6)

36

Tabel III.2a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Sendi) n Ω(rad/sec) λ (rad2_/s2_{) T(sec)}

1 1638.426383 2684441.012 0.003835

2 3276.852766 10737764.047 0.001917

3 4915.279148 24159969.107 0.001278

4 6553.705531 42951056.190 0.000959

5 8192.131914 67111025.297 0.000767

Tabel III.2b. Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Sendi) N aL Det[aL] (aL)2 _ω_(rad/s) _λ_(rad2_/s2₎ _T(s) 1 3.9266023 0.000000 15.4182057 232.1241213 53881.60767 0.0270682 2 7.0685827 0.000000 49.964862 752.2308309 565851.2229 0.0083527

3 10.210176 0.000000 104.247696 1569.469586 2463234.781 0.0040034

4 13.351769 0.000000 178.269729 2683.885861 7203243.313 0.0023411

5 16.493361 0.000000 272.030971 4095.479808 16772954.86 0.0015342

MODE w2 w T 1 53881.6077008414 232.124121324867 2.70682136406928E-02 2 565851.2220168 752.230830275388 8.35273569534413E-03 3 2463234.78114687 1569.46958592605 4.00338137388771E-03 4 2684441.00877546 1638.42638186019 3.83489021950805E-03 5 7203243.32689863 2683.88586323983 2.34107768636438E-03 6 10737764.0378709 3276.85276414289 1.91744510950679E-03 7 16772954.8568203 4095.47980788824 1.53417562823229E-03 8 24159969.1068333 4915.27914841399 1.27829673909914E-03 9 33689334.634663 5804.25142758849 1.08251432343448E-03 10 42951056.1899259 6553.70553121865 9.58722554324353E-04 11 60999235.309792 7810.20072147906 8.04484485257852E-04 12 67110993.4965663 8192.12997312459 7.66978225173727E-04

Dari hasil eksekusi di atas diperoleh duabelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut 5804.25142758849rad/det dan 7810.20072147906 rad/detyang merupakan frekuensi

(7)

37

natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur jepit-sendi yang tidak diberikan pada tabel III.2b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat

c. Balok jepit-bebas

I A E,ρ, ,

L

Gambar-III.4. Balok Sederhana Jepit-Bebas yang Seragam

Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok Euler-Bernoully dengan perletakan jepit-bebas adalah sebagai berikut:

• Gerak aksial

(

)

m EA L n 1π 2 − ... (III.3a) • Gerak lentur

( )

.cosh

( )

0 cos 1+ aL aL = ... (III.3b) Penyelesaian persamaan (III.3a) dan (III.3b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.3a dan III.3b berikut ini:

Tabel III.3a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Bebas) N ω(rad/sec) λ (rad2_/s2_{) T(sec)}

1 819.213191 671110.253 0.007670

2 2457.639574 6039992.277 0.002557

3 4096.065957 16777756.324 0.001534

4 5734.492340 32884402.395 0.001096

(8)

38

Tabel III.3b. Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Bebas) N aL det[aL] (aL)2 _ω_(rad/s) _λ_(rad2_/s2₎ _T(s) 1 1.875104 0.000000 3.516015 52.934299 2802.040058 0.118698 2 4.694091 0.000000 22.034492 331.733607 110047.185901 0.018940

3 7.854757 0.000000 61.697214 928.863705 862787.782196 0.006764

4 10.995541 0.000000 120.901916 1820.202139 3313135.828223 0.003452

5 14.137168 0.000000 199.859530 3008.924558 9053626.994550 0.002088

MODE w2 w T 1 2802.0403084403 52.9343018130994 0.118697802596212 2 110047.185892859 331.733606818572 1.89404545636401E-02 3 671110.252266727 819.213190974564 7.66978043859975E-03 4 862787.78029339 928.863703830325 6.76437811195531E-03 5 3313135.82724977 1820.20213911801 3.4519162307018E-03 6 6039992.27348379 2457.63957355097 2.55659347888071E-03 7 9053626.98436864 3008.92455611114 2.08818306674337E-03 8 16777756.3296175 4096.06595767421 1.53395608667084E-03 9 20203337.3796088 4494.81227412323 1.39787491089496E-03 10 32884402.392492 5734.49233956172 1.09568291927648E-03 11 39411756.4303817 6277.87833829087 1.00084534433494E-03 12 54359930.487213 7372.91872240655 8.52197826090877E-04

Dari hasil eksekusi di atas diperoleh duabelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut 4494.81227412323rad/det dan 6277.87833829087rad/detyang merupakan frekuensi natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur balok jepit-bebas yang tidak diberikan pada tabel III.3b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat.

(9)

39 d. Balok sendi-sendi I A E,ρ, , L

Gambar-III.5. Balok Sederhana Sendi-Sendi yang Seragam

Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok Euler-Bernoully dengan perletakan sendi-sendi adalah sebagai berikut:

• Gerak aksial m EA L nπ ... (III.4a) • Gerak lentur

( )

0 sin aL = ... (III.4b)

Penyelesaian persamaan (III.4a) dan (III.4b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.4a dan tabel III.4b berikut ini:

Tabel III.4a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Sendi-Sendi) N Ω(rad/sec) λ (rad2_/s2_{) T(sec)}

1 1638.426383 2684441.012 0.003835

2 3276.852766 10737764.047 0.001917

3 4915.279148 24159969.107 0.001278

4 6553.705531 42951056.190 0.000959

(10)

40

Tabel III.4b. Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler-Bernoully (Sendi-Sendi) n aL det[aL] (aL)2 _ω_(rad/s) _λ_(rad2_/s2₎ _T(s) 1 3.141593 0.000000 9.869604 148.588837 22078.642354 0.042286

2 6.283185 0.000000 39.478418 594.355346 353258.277670 0.010571

3 9.424778 0.000000 88.826440 1337.299529 1788370.030702 0.004698 4 12.566371 0.000000 157.913670 2377.421385 5652132.442714 0.002643

5 15.707963 0.000000 246.740110 3714.720914 13799151.471469 0.001691

MODE w2 w T 1 22078.6423493219 148.588836556862 4.22857157561438E-02 2 353258.277773224 594.3553463823 1.05714289362817E-02 3 1788370.02909908 1337.29952856459 4.69841286336482E-03 4 2684441.01000868 1638.42638223653 3.83489021862718E-03 5 5652132.4432297 2377.42138528905 2.64285723433739E-03 6 10737764.0405009 3276.85276454418 1.91744510927197E-03 7 13799151.4572453 3714.72091243007 1.69142863092487E-03 8 24159969.1068333 4915.27914841399 1.27829673909914E-03 9 28613920.4910477 5349.19811663839 1.17460321531859E-03 10 42951056.1899259 6553.70553121865 9.58722554324353E-04 11 53010820.2983141 7280.85299249436 8.62973790798517E-04 12 67111024.5608502 8192.13186910771 7.66978047664649E-04

Dari hasil eksekusi di atas diperoleh dua belas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut 5349.19811663839rad/det dan 7280.85299249436rad/detyang merupakan frekuensi natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur balok sendi-sendi yang tidak diberikan pada tabel III.4b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat.

(11)

41 e. Balok sendi-bebas I A E,ρ, , L

Gambar-III.6. Balok Sederhana Sendi-Bebas yang Seragam

Persamaan karakteristik untuk balok lentur sendi-bebas adalah sama dengan balok jepit sendi. Sehingga penyelesaian persamaan karakteristik untuk kondisi sendi bebas dapat dilihat pada tabel III.2a dan III.2b. Hasil eksekusi program untuk fixed chosen frequency yang sama adalah sebagai berikut,

MODE w2 w T 1 1.03326727383301E-09 3.21444750125587E-05 195467.037639432 2 53881.6083037639 232.124122623574 2.70682134892493E-02 3 565851.226057213 752.230832961009 8.35273566552312E-03 4 671110.252947653 819.213191390161 7.66978043470877E-03 5 2463234.77195706 1569.46958299836 4.0033813813556E-03 6 6039992.27538153 2457.63957393706 2.55659347847908E-03 7 7203243.31466872 2683.88586096144 2.34107768835176E-03 8 16772954.7972695 4095.47980061793 1.53417563095576E-03 9 16777756.3277727 4096.06595744901 1.53395608675518E-03 10 32884402.3960163 5734.49233986901 1.09568291921777E-03 11 33689334.7456804 5804.25143715194 1.08251432165086E-03 12 54359930.49537 7372.91872295972 8.52197826026939E-04 13 60999235.1174639 7810.20070916644 8.04484486526106E-04

Dengan membandingkan tabel III.2a dan III.2b dengan hasil eksekusi, mode pertama pada balok jatuh pada mode kedua dari hasil eksekusi dan seterusnya sedangkan mode pertama memberikan nilai frekuensi sama dengan nol yang menunjukkan ragam dengan rigid body motion. Hal ini menunjukkan kondisi perletakan yang tidak

(12)

42

III.3 Solusi Terhadap Masalah Dengan Mode Finding

Pada bab II sudah dikemukakan masalah yang dapat timbul pada penentuan eigenvector pada metoda kekakuan dinamik yang berhubungan dengan

{ }

X =0(mixed modes maupun local modes) dimana koefisien dari matrik kekakuan

dinamik akan sangat besar secara numerik sehingga menyebabkan ill-conditioning pada penentuan eigenvector. Untuk itu baik pada metoda RFV dan metoda Yuan et al dilakukan frequency shifting terhadap nilai frekuensi natural untuk menentukan

eigenvector pada nodal-nodal struktur dengan mengorbankan keakurasian dari nilai frekuensi natural namun shifting yang dilakukan tidak boleh terlalu jauh dari frekuensi natural yang seharusnya diperoleh. Analogi ini digunakan juga untuk penentuan eigenvector pada metoda elemen hingga karena akan memberikan konvergensi yang lebih cepat dalam mode finding bila shift dipilih sedekat mungkin dengan eigenvalue yang ingin ditentukan.

Yuan et al menggunakan shifting untuk menghindari koefisien matrik yang secara teoretis tak berhingga pada mixed dan local modes dengan memperbesar toleransi kekonvergenan pada saat menentukan eigenvalue menggunakan WWA. Jadi pada saat eksekusi, kondisi menunjukkan Nr =1 namun Nr0 >0 dan toleransi yang

diberikan terpenuhi maka WWA diberhentikan tanpa keakurasian lebih lanjut.

I

A

E

,

ρ

,

2 / L L/2 u v θ

Gambar III.7a. Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node di Tengah Bentang

(13)

43

Illustrasi contoh adalah balok Euler-Bernoully dengan kondisi jepit-jepit yang diberikan sebagai verifikasi program pada subbab III.2 dimana model struktur dilakukan seperti yang ditunjukkan oleh gambar III.7a. Nodal 2 diinputkan pada tengah-tengah bentang sehingga membagi balok menjadi dua member. Perhitungan frekuensi natural memberikan mode ke-6 dan ke-10 dari struktur berimpit dengan frekuensi natural gerak aksial dari kedua elemen dengan kondisi jepit-jepit sehingga secara teoretis

[

Ks

( )

ω

]

=∞ karena tidak adanya deformasi aksial dari kedua member

pada titik 2 akibatnya kondisi Nr =1 dan Nr0 >0 akan terjadi. Dengan demikian

strategi yang dilakukan adalah menghentikan perhitungan frekuensi sampai pada batas toleransi yang sesuai. Kalau dilihat dari hasil eksekusi untuk mode ke-6 dan 10 dengan frekuensi natural pada tabel 1a untuk n = 2 dan 4 terlihat terjadi pergeseran frekuensi dari 3276.8527 menjadi 3276.8506 untuk mode ke-6 dan 6553.7055 menjadi 6554.1028 untuk mode ke-10. Hal ini menunjukkan keakurasian yang hilang namun tidak signifikan secara digit, akan tetapi frequency shifting ini dapat menghindari

[

Ks

( )

ω

]

=∞ dan akan memberikan eigenvector yang bersangkutan

secara tepat.

Strategi lain adalah dengan memindahkan lokasi titik 2 sesuai persamaan (III.25b) seperti dapat dilihat pada gambar III.7b.

I

A

E

,

ρ

,

( )1_... ₍₂₅_. ₎ b Eq L u v θ ( )2 _... ₍₂₅_. ₎ b Eq L

Gambar III.7b. Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node Sesuai Persamaan (III.25b)

(14)

44

Persamaan (III.25b) ini dapat digunakan untuk menghindari local modes dan keakurasian dari perhitungan eigenvalue dapat diperoleh karena tidak perlu dilakukan shifting seperti ditunjukkan oleh hasil eksekusi program sebagai berikut:

MODE w2 w T 1 113457.287952608 336.834214343805 1.86536433640508E-02 2 862105.672059408 928.496457752752 6.76705361093874E-03 3 2684441.01187037 1638.42638280466 3.83489021729741E-03 4 3313216.52615422 1820.22430654967 3.45187419186248E-03 5 9053619.34619588 3008.92328685792 2.08818394760101E-03 6 10737764.0474815 3276.85276560933 1.91744510864871E-03 7 20203336.1937933 4494.81214221387 1.39787495191843E-03 8 24159968.2077462 4915.27905695558 1.27829676288435E-03 9 39411756.5227083 6277.8783456442 1.00084534316264E-03 10 42951054.4619691 6553.70539938813 9.58722573609458E-04 11 67111150.1083444 8192.1395317917 7.66977330256165E-04

Hasil eksekusi dengan menggunakan ( )1 =

L 1200 mm dan L( )2 = 4800 mm di bawah

memberikan akurasi frekuensi yang baik akan tetapi frekuensi natural mode ke-11 struktur akan berimpit dengan frekuensi natural dari member 1 dengan n = 5 yang mana persamaan (III.25a) seharusnya digunakan.