MODUL BEBERAPA MACAM SEBARAN TEORITIS BEBERAPA MACAM SEBARAN TEORITIS

35

MODUL

7

SEBARAN TEORITIS

BEBERAPA MACAM

1. Pendahuluan

Dibedakan sebaran probabilitas yang diskrit dengan sebaran yang kontinyu. Keduanya bukanlah sebaran yang berasal dari pengalaman, melainkan berasal dari pertimbangan-pertimbangan teoritis. Dengan mulainya diperhitungkan suatu kemungkinan terjadinya suatu kejadian, maka dengan teori probabilitas, dapatkah dihitung suatu urutan tertentu yang dapat membentuk sesungguhnya, suatu distribusi. Dalam hal ini maka sebaran / distribusi yang terbentuk inilah yang disebut sebagai sebaran / distribusi teoritis.

Ada distribusi teoritis yang terbentuk berasal dari variabel random yang diskrit (misalnya kita tidak mungkin mendapatan ½ pelemparan atau ¼ pelemparan dan sebagainya)

Dan satunya kita tak dapat melupakan distribusi teoritis yang didasarkan pada variabel yang kontinyu. Untuk yang terakhir ini adalah merupakan distribusi normal yang merupakan sebaran yang memang peranan penting di dalam ilmu statistik.

2. Sebaran Bernouli.

Jika sebagian akibat dilakukannya suatu tindakan tertentu akan timbul salah satu dari dua macam kejadian, maka kejadian ini dinamakan kejadian Bernouli.

Menetasnya ayam jantan atau betina, sembuh atau tidaknya seekor ayam yang terserang penyakit tetelo dan sebagainya, merupakan suatu kejadian bernouli.

Suatu percobaan dinamakan percobaan Bernouli bila memiliki ciri-ciri sebagai berikut :

a. Setiap percobaan di rumuskan dengan ruang sampel (p, q), dengan lain perkataan, tiap percobaan hanyalah memiliki 2 hasil sukses atau gagal. Pengertian ini sama dengan pengertian A dan komplementer Ā

36

b. Probabilitas sukses pada tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p.

Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak sekali, probabilitas hasil “ mata 6” adalah 1/6. Bila dadu di atas dilempar sebanyak n kali (n percobaan) haruslah tetap 1/6. Ini berarti p haruslah konstan.

Bila sesuatu uang logam dilempar 100 kali maka pelemparan tersebut merupakan 100 percobaan Bernouli dimana setiap percobaan selalu menghasilkan sukses (misalnya kepala) atau gagal sama untuk 100 pelemparan.

Bila uang logam diatas sempurna maka p = ½ dan 1 – p = q = ½ tetapi bila uang logam di atas tidak sempurna. Maka p ≠ ½ tetapi bila uang logam di atas tidak sempurna, maka p ≠ ½

c. Setiap percobaan harus bersifat berdiri sendiri (independent) probabilitas setiap hasil eksperimen dapat dihitung dengan mempergunakan azas perkalian

d. Jumlah percobaan yang merupakan komponen dari eksperimen binomial haruslah tertentu. Dengan kata lain jumlah n dari pada percobaan binomial haruslah tertentu.

Pelemparan sebuah uang logam sebanyak 100 kali memiliki n = 100. Adakalanya, eksperimen yang terdiri dari percobaan yang jumlahnya tidak tertentu misalnya pada pelemparan sebuah dadu hingga jatuh pada mata 6, jumlah percobaan merupakan variable random dan bukan merupakan jumlah yang tertentu.

Kaidah peluang ini memiliki ruang contoh yang terdiri dari dua unsur, masing-masing dengan peluang timbul sebesar 2 dan (1 – q). kalau unsur-unsur ruang contoh itu dijabarkan sebagai 1 dan 0 sehingga H = {0, 1}, maka fungsi peluang Bernouli dapat dibatasi sebagai :

. , 0 1 , 2 0 , 1 ) ( selainnya x x q x p

Rumus ini dapat ditulis dalam bentuk yang lebih pekat sebagai : p ( x ) = qx ( 1 – q )1-q, x = 0,1 ) 1 ( 2 q q qdan x x

Jika sebagai akibat dilakukannya suatu tindakan tertentu akan timbul salah satu dari dua macam kejadian, maka kejadian ini dinamakan kejadian Bernouli. Menetasnya ayam jantan atau betina merupakan suatu kejadian Bernouli.

37

3. Sebaran Binomial.

Peristiwa yang disertai pelemparan mata uang dimana hanya akan terjadi 2 macam peristiwa, yaitu jatuhnya pada gambar atau kalau tidak pada permukaan huruf. Kalau peristiwa pertama mempunyai 2 macam out come ini, maka dia dikatakan sebagai Binomial.

Apabila x1, x2...xn masing-masing merupakan perubahan acak yang bebas stokastik terhadap sesamanya, serta menyebar secara Bernouli, maka x = x1 + x2 +...+ xn merupakan perubah acak yang menyebar menurut kaidah peluang binomium. Oleh karena itu ruang contoh kaidah peluang binomium haruslah sama dengan :

n

H

0

,

1

,

2

...

...

Timbulnya suatu nilai x = x disebabkan oleh timbulnya nilai buah nilai xk= 1 sebanyak x kali untuk berbagai nilai k, serta (n – x) buah nilai Xk = 0 karena ke-n buah perubah acak ini bebas stokastik terhadap sesamanya, maka timbulnya suatu kombinasi nilai-nilai perubahan acak x1, x2...xn tertentu yang menyebabkan bahwa jumlahnya sama dengan x, memiliki peluang sebesar qx (1-q)n-1. Karena banyak kombinasi nilai-nilai yang menyebabkan X = x sama dengan C (n, x), maka peluang timbulnya kejadian X = x sebanyak n kali percobaan ialah :

p (n, x) = c = (n.X) qx (1 – q)n – x, x = 0, 1, 2 ...n disini C (n, x) juga disebut sebagai koefisien binomial yang besarnya :

) (n x x N C_xN 1 ) , ( 0f n x CN x

Bahwa q bukanlah suatu bilangan negatif tidaklah perlu diterangkan lagi, oleh karena itu q adalah probabilitas terjadi dengan sukses di dalam satu kali percobaan, yaitu suatu nilai yang tidak mungkin merupakan bilangan negatif.

Teladan 1. Berapakah probabilitas untuk mendapatkan 3 huruf dalam pelemparan 10 mata uang.

Jawab :

N = 10 x = 3 dan p = q = ½ Disubstitusikan dalam rumus

P (10, 3 ) = C

3

10

. ½ 3. ½ 7

1

/

2

3

1

/

2

10 3

3

10

= 120 x ½ 3. ½ 7

38

= _0,117 1024 120 1024 1 120x

Teladan 2. Misalnya di dalam teladan ini ingin diketahui probabilitas untuk masing-masing kemungkinan jatuhnya pada permukaan 6. Jika satu dadu dilempar 4 kali.

Jawab :

Marilah kita misalkan di sini bahwa jumlah kalinya mata 6 itu keluar di dalam pemutaran yang empat kali itu ditunjukkan oleh x. variable random x hanya dapat mengambil nilai……..

0, 1, 2, 3 dan 4 P = 1/6 dan q = 1 – 1/6 = 5/6 F(f) = (4 : x) = x x

x

4

6

5

6

1

4

Sesudah menghitung nilai f (n, x) itu untuk setiap nilai x yang mungkin, seperti baru saja dilakukan dapatlah disusun daftar pencaran probabilitas dan pada keluarnya x kali tentu 6 kali permukaan sebuah dadu 4 kali.

Daftar sebaran tersebut ditunjukkan oleh daftar :

X F(x) 0 1 2 3 4 0,482 0,386 0,116 0,015 0,001 Jumlah 1,000

Bila nilai n adalah kecil, maka perhitungan probabilitas mengenai sebaran persoalan distribusi binomial dapat dengan mudah dilakukan secara rekursif. Secara rekursif menghubungkan nilai-nilai f (x) secara berturut-turut sebagai berikut :

x n x

_q

p

x

n

x

f

(

)

1 1

1

)

1

(

p

x

q

n x

x

n

x

f

39

Bila dua persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk perbandingan kita akan memperoleh persamaan sebagai berikut :

q P x x x n q P x x n x n q p x n q p x n x f x f x n x x n x 1 1 1 ) ( ) 1 ( 1 1

Atau dapat dipersingkat sebagai berikut :

x f q P x x n x f . . 1 1

Teladan : Hitunglah teladan yang baru lalu dengan metode rekursif sesuai dengan formasi di atas, kita peroleh

x

f

x

x

n

x

f

.

5

1

.

1

4

1

Nilai f (0) = 4

6

5

= 0,482, sehingga bagi nilai-nilai lain kita peroleh :

386

,

0

0

.

5

1

.

1

0

0

4

1

0

f

f

116

,

0

1

.

5

1

.

1

1

1

4

1

1

f

f

015

,

0

2

.

5

1

.

1

2

1

4

1

2

f

f

001

,

0

3

.

5

1

.

1

3

3

4

1

3

f

f

Jika suatu distribusi frekuensi mempunyai parameter masing-masing, maka tidaklah mengherankan jika distribusi binomial juga mempunyai ukuran tertentu seperti angka rata-rata dan variasi standar. Parameter yang

40

telah dapat ditentukan terlebih dahulu ialah H dan P. Jadi setelah diadakan pembuktian matematika, maka dapatlah :

Rata-rata :

p

n.

Standar deviasi :

q

p

n .

.

Soal :

1. Berapakah probabilitas mendapatkan 4 laki-laki dari 5 kelahiran? 2. Berapakah rata-rata mendapatkan 3anak perempuan dari 4 kelahiran

anak ?

3. Probabilitas mendapatkan anak berambut keriting sebesar 0,3. Berapa probabilitas dari 8 kelahiran mendapatkan anak berambut keriting sejumlah 4 anak? Berapakah rata-rata mendapatkan anak keriting?

4. Sebaran Poisson

Distribusi binomial atau fungsi kepekaan binomial memiliki peranan penting sekali dalam analisa statistik. Pada umumnya, formulanya seperti dipakai secara operatif untuk menghitung nilai-nilai f ( x | n,p ) dimana x = 0, 1, 2…….., n bila secara perbandingan, parameter n ternyata besar sekali (lebih besar dari 50) sedangkan p kecil sekali (lebih kecil dari pada 0,1) sehingga hasil perkalian np menjadi moderat, maka perhitungan f (x) tidak mudah dilakukan. Kita dapat membayangkan betapa sukarnya untuk menghilangkan nilai. 96 4

100

99

.

100

1

4

100

100

1

,

100

4

f

Dalam keadaan yang sedemikian itu, pemecahan f ( x | n,p )akan lebih mudah dilakukan dengan cara pendekatan poisson. Bila kita mempersamakan n np= m, maka distribusi Poisson yang aproksimatif tersebut dapat diberikan sebagai berikut :

p

n

x

p

x

e

x

f

x

,

)

(

41

x dapat merupakan nilai 0, 1, 2, ………..n dan e = 2,7188 kita melihat terlebih dahulu parameter yang dipunyainya. Untuk rata-rata yang berlambang µ = n . p sedangkan deviasi standar (σ) = hingga dengan demikian maka variannya adalah sama dengan rata-rata dari distribusi Poisson. Pembuktian pada buku teori probabilitas dan analisa statistik (Tjan They An, 1967 pada hal. 132)

Teladan : Bila 5 buah uang logam dilemparkan sebanyak 64 kali berapakah probabilitas memperoleh 5 kepala sebanyak 5 kali Pemecahan : Bila soal dinilai probabilitas di atas dapat didekati dengan

menggunakan formula di atas sebagai berikut : n = 64, p = ( ½ )5 = 1/32 µ = 64 ( 1/32 ) = 2 Sehingga : 036 , 0 5 2 5 dim 2 ) ( 2 5 2 e u ana x e x f x

Pada hakekatnya, fungsi Poisson memberikan kita perhitungan yang lebih mudah dari pada fungsi binomial, karena pada fungsi Poisson, kita hanya memakai parameter u sedangkan pada fungsi binomial, kita harus menghadapi variasi dari parameter n / p.

Soal :

1. Probabilitas sifat hidung mancung diturunkan dengan p = 0,02. Apabila dari 100 kelahiran disuatu daerah ingin diketahui probabilitas mendapatkan kelahiran maksimum 5 anak berhidung mancung?

2. Probabilitas sumbing diturunkan sebesar 0,04. Berapa kemungkinan dari 50 kelahiran mendapatkan sumbing sejumlah 2 anak?

42

3. Sebaran Hipergeometrik.

Pada suatu keadaan dimana diambilnya suatu benda dari sejumlah benda, maka keadaan akan berlainan dengan apakah benda yang telah diambil diletakkan kembali atau tidak. Kalau setelah diambil dan diamati, benda itu dikembalikan ke dalam kumpulannya, serta kemudian diadakan pemeriksaan sekali lagi dan seterusnya hingga n kali, dengan catatan bahwa keadaan itu tetap dikembalikan ke dalam kumpulannya setelah setiap penarikan maka timbulnya benda A x kali dari n ulangan penarikan ini akan mengikuti kaidah peluang binomium. Akan tetapi jika sesudah setiap penarikan tidak diadakan pemulihan benda yang ditarik ke dalam universum, maka persoalan menjadi berlainan.

Dalam bentuk yang lebih umum, jika dari N buah benda terdapat M buah dari jenis A, dan oleh karena itu (N – M) buah dari jenis B, maka dari n tarikan tanpa pemulihan, peluang untuk mendapatkan x buah benda dari golongan A, serta (n – x) buah benda dari golongan B ialah :

)

,

(

)

,

(

)

(

)

(

n

N

C

x

n

M

N

C

Mx

C

x

X

p

N = 1, 2, 3,………….. X = 0, 1, 2,…………..min (M.n) M = 0, 1, 2, …………..N

Fungsi peluang ini dinamakan fungsi peluang hipergeometrik

Teladan : Jika suatu bejana terdiri dari 5 bola putih dan 10 bola merah, berapakah perobabilitas terambilnya 2 bola putih dan 3 bola merah, jika pengambilan ke 5 bola dari bejana ini diambil dengan tidak meletakkan bola yang telah diambil terlebih dahulu.

Jawaban : yang tepat dalam hal ini adalah :

40 , 0 . 3 , 2 ₁₅ 5 10 3 5 2 C C C merah putih

4. Fungsi Peluang Geometris

Apabila suatu kejadian Bernouli ditimbulkan berulang-ulang sedang X dibatasi sebagai jumlah kejadian x = 1 yang timbul sebelum kejadian x = 0 timbul maka :

43

X = 0, 1, 2 serta dinamakan fungsi peluang geometric 2 2 2 ) 1 /( ) 1 /( q dan q q q x Teladan :

Berapa peluang agar suatu keluarga mendapatkan 4 anak laki-laki terlebih dahulu sebelum mendapatkan seorang bayi perempuan ?

Jawab :

Kalau peluang mendapatkan bayi laki-laki sama dengan q = ½ maka peluang yang ditanyakan ialah :

32

/

1

2

1

2

1

4

4

p

5. Sebaran normal

Sebaran normal merupakan distribusi probabilitas teoritis bagi variable yang kontinyu yang juga dinamakan sebaran Gauss.

Bentuk umum dari pada sebaran normal sebagian besar menyerupai kurva yang berbentuk lonceng dan simetris serta memanjang secara tidak terbatas ke arah sisi positif dan negatif. Meskipun demikian, tidak semua sebaran yang berbentuk lonceng dan simetris merupakan sebaran normal. Pengertian sebaran normal merupakan dasar guna mempelajari berbagai cara penafsiran dan pengujian statistik yang sebenarnya berhubungan dengan sebaran luas (area) yang berada di bawah kurva.

Bila x merupakan variabel random yang kemungkinan nilai-nilai lainnya merupakan bilangan – bilangan riel antara – S dan + S maka x dinamakan variabel random normal yang standar, bila dan hanya bila probabilitas pada interval dari a ke b merupakan luas dari a ke b antara sumbu x dan kurva normal dan persamaannya dapat diberikan sebagai berikut:

e

x

x

_1/2 2 2 / 1

//

2

1

)

(

Fungsi yang dirumuskan ini dinamakan fungsi kepadatan normal (normal density function) dan sering diberi notasi fn(x)

Grafik dari (x) merupakan kurva yang berbentuk lonceng dan simetris seperti yang terlihat pada gambar. Pada gambar tersebut, misal yang berbeda dipakai pada kedua sumbu. Nilai maksimal bagi (x) adalah (2) -1/2 _{0,399 sehingga dalam sebuah sistem cartesius biasa, kurva y = (x)} seharusnya lebih mendasar.

44

Dengan jalan membuat tabel dan persamaan kurva normal akan memberikan titik-titik koordinat pada sebuah kurva normal bagi nilai-nilai x atara -4,5 hingga + 4,5 bila titik koordinat (x, y = (x)) digambar kemudian menarik sebuah kurva yang rata melalui titik-titik tersebut, maka akan diperoleh sebuah kurva normal.

3 2 1 0 1 2 3

0,1 0,2 0,3

0,4 y (x)

Seluruh luas yang dibatasi oleh grafik f (x) sumbu x harus sama dengan 1 unit. Secara matematis :

1 ) (x dx f S S

Hal ini sebenarnya memberikan pernyataan bahwa probabilitas x yang merupakan nilai dalam interval dari x = a hingga x = b adalah sama dengan luas yang dibatasi oleh kurva normal, sumbu x dan garis vertikal x = a dan x = b. luas tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah ini :

b 0 a _x y

)

(

)

(

a

x

b

A

x

P

Penentuan luas A (x) dari pada sebuah kurva normal yang standar dimana µ = 0 dan x2 1 tidaklah sukar. Sesuai dengan definisi di atas, luas di bawah kurva normal = 1, setiap bagian dari pada luas kurva dapat dihitung atau diperkirakan dengan empat persegi panjangnya. Meskipun demikian, perhitungan luas tersebut lebih mudah dicari dengan bantuan tabel A (x) kurva normal standar.

Teladan : berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai 0 dan 1, 2

Jawab :

45

Sesuai dengan tabel A (x), maka hasil A (1) = 0,3413. Ini berarti kurang lebih 34 % dari pada seluruh probabilitas tersebut terletak antara 0 dan 1, dan secara simetris, kurang lebih 68% harus terletak antara -1 dan 1 Teladan : Kalau Z merupakan perubah acak normal baku (standar

disingkat dengan catatan Z & N (0,1).

a. Berapakah peluang bahwa Z mencapai nilai yang lebih besar atau sama dengan 1,60?

b. Berapakah nilai Z0 agar p (0 < Z < Z0) = 0,40? c. Berapakah nilai p (-1 < Z < +1) Jawab : a. P(0 ≥ 1,60) = 0,500 – p(0 < z < 1,60) = 0,500 – 0,445 = 0,055 b. P (0<z<1,28) = 0,40 sehingga dari daftar haruslah zo = 1,28 c. P (-1 < z < + 1) = 2p (0 < z < +1) = 2 (0,3413) = 0,6826

Secara umum distribusi normal yang kontinyu dengan rata-rata µ dan variance τ2 _{dapat dinyatakan dalam sebuah rumus sebagai berikut :}

2 2 2 1 2 1 ) ( u x e x FN Untuk x < + S

Karena pada kenyatakan kurva normal dapat dimiliki µ dan

τ

2 yang berbeda-beda dan tidak mesti µ = 0 dan

τ

2= 1 seperti pada kurva normal baku / standar guna penentuan luas kurva bagi tiap µ dan

τ

2 yang tertentu. Pada hakekatnya, hal demikian itu tidaklah perlu. Luas kurva normal dapat dicari dengan jalan menggunakan (transformasi) variable random x yang normal dengan sebaran rata-rata µ dan sebaran deviasi standar

τ

ke dalam persamaan Z = x - µ serta kemudian menghitung nilainya dengan bantuan tabel

F

_N (x) atau A (x).

Perubah acak kontinyu x akan mengambil nilai diantaranya dan ± harus sama dengan 1, karena kejadian ini adalah kejadian yang pasti akan

46

terjadi. Hal ini diperlihatkan pada gambar dengan menetapkan bahwa luas seluruh daerah di bawah kurva adalah 1 atau 100 %

x 2 1 e 2 1

P(x=a)=0

Jika luas daerah di bawah kurva ini dipergunakan sebagai ukuran peluang, maka peluang bahwa perubahan acak x akan mengambil suatu nilai tertentu a, sama dengan nol. Dengan perkataan lain, bagi suatu perubahan acak x yang kontinyu haruslah p (x = a) = 0

Pada gambar terlihat bahwa kurva f(x) dari persamaan di atas mula-mula hampir mendatar lalu naik dengan kecepatan yang meningkat sampai setinggi 1 pada nilai x =

µ – τ

kemudian kurva ini terus naik tetapi dengan laju yang berkurang sampai setinggi 1 pada nilai x = u, setelah itu kurva mulai turun dengan cepat sampai kembali setinggi

e

2

1

pada nilai x =

µ – τ

Kurva terus turun, tetapi dengan kecepatan yang berkurang sampai akhirnya hampir mendatar makin mendekati sumbu x

Apa yang akan terjadi jika nilai

τ

makin besar? Titik belah akan makin jauh dari y =

µ

dan nilai f (x) akan makin kecil, yang berarti bahwa puncak kurva ini makin rendah. Hal ini menunjukkan bahwa keragaman perubahan acak x makin besar, atau kenyataan lagi bahwa

τ

2 merupakan ukuran penyebaran bagi suatu perubahan acak.

Suatu hal yang menarik akan terjadi jika

µ = 0 dan τ

2 = 1 khusus bagi hal demikian, perubahan acak normal ini dilambangkan dengan huruf z (jadi bukan (x) dan Q dipergunakan sebagai lambang bagi fungsi kepekatan sebagai pengganti dari f yang telah diuraikan di depan.

47

Teladan : Jika diketahui bahwa tinggi mahasiswa pria Indonesia merubah acak normal dengan nilai tengah 160 cm dan ragam 16 cm, berapakah peluang bahwa tinggi badan mahasiswa pria yang dijumpai secara acak ada di antara 158 dan 164 cm

Jawab :

Kalau diumpamakan bahwa tinggi badan sama dengan perubahan acak x, maka x s N (160,16) yang dinyatakan ialah p (158 < x < 164) nilainya dapat ditentukan dari daftar dengan terlebih dahulu mengadakan suatu transformasi perubahan normal baku z sebagai berikut :

533 , 0 341 , 0 192 , 0 ) 000 , 1 0 ( ) 000 , 1 500 , 0 ( 4 160 164 4 160 4 160 158 ) 164 158 ( Z p Z p x p x p Teladan :

Berapa peluang dari p(X<30), jika rata-rata 28 dan standar deviasi 2 dari distribusi normal :

P(X<30) = p( (30-28)/2) = p(Z<1,0) = 0,3413+0,5 = 0,8413//

Melihat Tabel Normal

Untuk membuat interval, maka terlebih dahulu harus ditentukan nilai tabel z

Jika tingkat keyakinan = 95%, maka di badan tabel dilihat

4750 , 0 2 / 95 , 0 2 0,4750 95% = 1,96 2 05 , 0 Z

48

Tabel : Z (Daerah-daerah di bawah Kurva Normal)

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,9 1,0 0,3159 0,3413 ,3186 ,3438 ,3212 ,3461 ,3238 ,3485 ,3264 ,3508 ,3289 ,3531 0,3315 0,3554 ,3340 ,3577 ,3365 ,3599 ,3389 ,3621 1,1 0,3643 ,3665 ,3686 ,3708 ,3729 ,3749 0,3770 ,3790 ,3810 ,3830 1,2 0,3849 ,3869 ,3888 ,3907 ,3925 ,3944 0,3962 ,3980 ,3997 ,4015 1,3 0,4032 ,4049 ,4066 ,4082 ,4099 ,4150 0,4131 ,4147 ,4162 ,4177 1,4 0,4192 ,4207 ,4222 ,4236 ,4251 ,4265 0,4279 ,4292 ,4306 ,4319 1,5 0,4332 ,4345 ,4357 ,4370 ,4382 ,4394 0,4406 ,4418 ,4429 ,4441 1,6 0,4452 ,4463 ,4474 ,4484 ,4495 ,4505 0,4515 ,4525 ,4535 ,4545 1,7 0,4554 ,4564 ,4573 ,4582 ,4591 ,4599 0,4608 ,4616 ,4625 ,4633 1,8 0,4641 ,4649 ,4656 ,4664 ,4671 ,4678 0,4686 ,4693 ,4699 ,4706 1,9 0,4713 ,4719 ,4726 ,4732 ,4738 ,4744 0,4750 ,4756 ,4761 ,4767 Contoh :

Diameter umbi tanaman bawang merah berdistribusi normal dengan = 5 mm. Diambil sampel sebanyak n = 36 buah umbi dan diukur diameternya

diperoleh rata-rata

x

= 30 mm. Buat interval rata-rata diameter bawang merah secara keseluruhan dengan menggunakan tingkat keyakinan 1 – = 90% atau = 10%

64

,

1

4500 , 0 2 90 , 0

z

Z

0,4500 90%

49

Z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09 1,0 ,3413 ,3438 ,3461 ,3485 ,3508 ,3531 ,3554 ,3577 ,3599 ,3621 1,1 ,3643 ,3665 ,3686 ,3708 ,3729 ,3749 ,3770 ,3790 ,3810 ,3830 1,2 ,3849 ,3869 ,3888 ,3907 ,3925 ,3944 ,3962 ,3980 ,3997 ,4015 1,3 ,4032 ,4049 ,4066 ,4082 ,4099 ,4150 ,4131 ,4147 ,4162 ,4177 1,4 ,4192 ,4207 ,4222 ,4236 ,4251 ,4265 ,4279 ,4292 ,4306 ,4319 1,5 ,4332 ,4345 ,4357 ,4370 ,4382 ,4394 ,4406 ,4418 ,4429 ,4441 1,6 ,4452 ,4463 ,4474 ,4484 ,4495 ,4505 ,4515 ,4525 ,4535 ,4545 1,7 ,4554 ,4564 ,4573 ,4582 ,4591 ,4599 ,4608 ,4616 ,4625 ,4633 1,8 ,4641 ,4649 ,4656 ,4664 ,4671 ,4678 ,4686 ,4693 ,4699 ,4706 1,9 ,4713 ,4719 ,4726 ,4732 ,4738 ,4744 ,4750 ,4756 ,4761 ,4767 Kemudian hitung Sehingga P ( 30 – 1,37 < µ < 30 + 1,37 ) = 90% P ( 28,63 < µ < 31,37 ) = 90%

Artinya : jika rata-rata sampel diameter umbi adalah 30 mm, kita yakin 90% bahwa rata-rata diameter umbi secara keseluruhan adalah antara 28,63 - 31,37

Membuat interval dengan menggunakan tabel z diatas dilakukan jika populasi diketahui (dilihat dari diketahuinya ).

Jika populasi tidak diketahuinya , maka nilai simpangan baku yang digunakan adalah nilai simpangan baku sampel s dan tabel yang digunakan adalah tabel t.

Dengan nilai tabel 2,n 1

t

dimana ? = 1 – dan derajat kebebasan df = n-1. Persamaannya menjadi ) ( 1 , 2 1 , 2 n S t x n S t x P n n Jika digambarkan 36 5 4500 , 0 2 n z zr 37 , 1 36 5 64 , 1

50

Sehingga besarnya penyimpangan adalah

Melihat Tabel t

Untuk membuat interval, maka terlebih dahulu harus ditentukan nilai tabel t

Jika tingkat keyakinan = 95%, maka = 0,05 dan

2

0

,

025

Misalkan n = 10, maka df = n-1 = 10 – 1 = 9

Kemudian lihat di atas di 0,025 dan disamping 9, diperoleh nilai t = 1,96

1-α α/2 α/2

n

S

t

_{,n 1} 2

2

n

S

t

_{,n 1} 2 95%

===

1

0,025

=

9 , 025 , 0

t

= 2,2622

51

df t 0,1 t 0,05 t 0,025 t 0,01 t 0,005 1 3,0777 6,3137 12,7062 31,8210 63,6559 2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 Contoh :

Suatu sampel berukuran n = 10 dengan rata-rata

x

= 9,5 dan s = 3,24. Dengan tingkat keyakinan 90% buat interval penaksiran rata-rata populasi.

Tingkat keyakinan = 90%, maka = 0,1 dan 20,05 N = 10, maka df = n-1 = 10 = 1 = 9

Kemudian lihat diatas di 0,05 dan di samping 9, diperoleh nilai t = 1,8331

90%

0,025

52

df t 0,1 t 0,05 t 0,025 t 0,01 t 0,005 1 3,0777 6,3137 12,7062 31,8210 63,6559 2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 Kemudian hitung Sehingga ( 2, 1 2, 1 n) S t x n S t x P n a n a P ( 9,5 – 1,88 < µ < 9,5 + 1,88 ) = 90% P ( 7,62 < µ < 11,38 ) = 90%

Artinya : jika rata-rata sampel adalah 9,5, kita yakin 90% bahwa rata-rata secara keseluruhan adalah antara : 7,62-11,38

10

24

,

3

9 , 05 , 0 1 , 2

t

n

S

t

n

88

,

1

10

24

,

3

8331

,

1