ELLIPSOID

Bagian Kedua

GD2211 IHG 2

GEOMETRI

ELLIPSOID

Dosen :

Kosasih Prijatna

Wedyanto Kuntjoro

ELLIPS dan ELLIPSOID

b a x y z b a

1

2

2

2

2

=

+

b

z

a

x

1

2

2

2

2

2

=

+

+

b

z

a

y

x

Menggambar ellips secara grafis

lingkaran berjari-jari a (sb. panjang) lingkaran berjari-jari b (sb. pendek) ellips

E L L I P S O I D

b a Kutub Utara ekuator a

Rotational Biaxial

Ellipsoid

Parameter-parameter bentuk dan dimensi ellipsoid : Sumbu pendek : b

Sumbu panjang : a

Pegepengan : f = (a-b)/a

ELLIPS dan ELLIPSOID

2

2

2

2

a

b

a

e

=

−

2

2

2

2

'

b

b

a

e

=

−

F dan F’ masing-masing adalah titik fokus ellips.

Eksentrisitas pertama :

Eksentrisitas kedua :

meridi an mer idia n Q

konstan

=

′

+

F

Q

FQ

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jumlah jarak yang tetap ke kedua titik fokusnya.

Hubungan antar parameter ellipsoid

pegepengan eksentrisitas pertama eksentrisitas kedua

2

2

2

2

'

b

b

a

e

=

−

2

2

2

2

a

b

a

e

=

−

a

b

a

f

=

−

2

2

2

1

e

e

e

−

=

′

1

)

1

)(

1

(

−

e

2

+

e

′

2

=

2

2

2

2

₂

1

e

f

f

e

e

=

−

′

+

′

=

_f

₌

₁

₋

₁

₋

_e

2

2

2

₎

₁

₂

1

(

−

e

=

−

f

+

f

Beberapa Ellipsoid Referensi

Thn. Nama a (m) b (m) 1/f 1830 Airy 6377563 6356257 299.325 1830 Everest 6377276 6356075 300.802 1841 Bessel 6377397 6356079 299.153 1866 Clarke 6378206 6356584 294.978 1907 Helmert 6379200 6356818 298.300 1909 Hayford 6378388 6356912 297.000 1927 NAD-27 6378206.4 6356912 294.9786982 1948 Krassovsky 6378245 6356863 298.300 1960 WGS-60 6378165.0 6356783.3 298.3 1966 WGS-66 6378145 6356760 298.25 1967 GRS-67 6378160.0 6356774.5 298.247167427 1972 WGS-72 6378135.0 6356751 298.26 1980 GRS-80 6378137.0 6356752 298.257222101 1984 WGS-84 6378137.0 6356752 298.257223563 Kosasih Prijatna, 2005

BENTUK dan UKURAN BUMI

PENAMPANG EKUATORIAL

dari bumi (geoid global). Pada gambar ini, perbedaan dengan ellipsoid diperbesar sekitar 10000 kali; a adalah sumbu panjang ellipsoid referensi, Sekitar 6378 km.

Ref. Vanicek & Krakiwsky, 1986

BENTUK dan UKURAN BUMI

PENAMPANG MERIDIAN NOL

dari bumi (geoid global). Pada gambar ini, perbedaan dengan ellipsoid diperbesar sekitar 10000 kali; a adalah sumbu panjang ellipsoid referensi, Sekitar 6357 km.

Ref. Vanicek & Krakiwsky, 1986

SISTEM KOORDINAT GEODETIK

Z X Y Q greenw ich Kutub λ_Q ϕQ h_Q Y_Q X_Q Z_Q ellip soid

Parameter sistem koordinat :

• Lokasi titik nol sistem koordinat • Orientasi sumbu-sumbu koordinat • Besaran yang digunakan untuk

mendefinisikan posisi titik pada sistem koordinat tersebut

) Z , Y , X ( _{Q Q Q} Koordinat kartesian : Koordinat geodetik : ) h , , (ϕ_Q λ_{Q Q} Pusat ellipsoid Q Q Q Q (N h )cos cos X = + ϕ λ Q Q Q Q (N h )cos sin Y = + ϕ λ Q Q Q [N( e ) h ]sin Z = 1− 2 + ϕ ϕ = lintang geodetik λ = bujur geodetik h = tinggi geodetik

LINTANG GEODETIK

z

x

ϕ

Q

90o₊ϕ z_Q x_Q norm_al

ϕ

= lintang geodetik

ϕ

−

ϕ

=

2

2

_sin

1

cos

e

a

x

ϕ

−

ϕ

−

=

2

2

2

sin

1

sin

)

1

(

e

e

a

z

merid ian

ϕ

−

=

ϕ

+

=

tan(

90

o

)

cot

dx

dz

LINTANG REDUKSI

O z Q₁ Q Q₂ a θ ϕ a b ellips_oid bola θ = lintang reduksi

a

b

Q

Q

QQ

=

2

1

2

x

θ

=

=

OQ

₂

a

cos

x

θ

=

=

Q

₁

Q

₂

a

sin

z

LINTANG GEOSENTRIK

z ψ r Q O ellips_oid a b ψ = lintang geosentrik x

ψ

=

r

cos

x

ψ

=

r

sin

z

2

2

_z

x

r

=

+

Hubungan antar Lintang

Berdasarkan hubungan sebagai berikut :

x

z

=

ψ

tan

dapat diturunkan :

( )

−

ϕ

=

θ

−

=

ψ

1

tan

1

tan

tan

e

2

e

2

ϕ

−

=

θ

1

tan

tan

e

2

_ϕ

_{: lintang geodetik}

ψ

: lintang reduksi

θ

: lintang geosentrik

θ

+

=

ϕ

1

'

tan

tan

e

2

RADIUS KELENGKUNGAN

Dari kalkulus, kelengkungan sebuah kurva y = f (x) :

( )

[

₁

_y

2

]

3

2

y

′

+

′′

=

κ

dx

dy

y

′

=

2

2

dx

y

d

y

′′

=

• kurva dengan kelengkungan tinggi Î κ besar • kurva dengan kelengkungan kecil Î κ kecil Radius kurva di satu titik :

κ

=

1

R

Soal :

Perlihatkan bahwa lingkaran yang berjari-jari R mempunyai kelengkungan κ = 1/R !

Irisan Normal pada Ellipsoid

Bidang normal adalah sebuah bidang yang berimpit dengan garis normal ellipsoid di satu titik dan memotong permukaan ellipsoid.

garis normal irisan

normal

P

Umumnya, radius kelengkungan irisan normal di satu titik pada permukaan ellipsoid tidak sama, tergantung orientasi dari bidang normalnya.

Irisan normal adalah kurva yang dibentuk oleh perpotongan antara bidang normal dengan permukaan ellipsoid.

ellip soid

Radius kelengkungan irisan normal di setiap titik pada permukaan bola adalah sama, tak tergantung dari orientasi bidang normalnya.

Irisan Normal pada Ellipsoid

Untuk mengetahui kelengkungan kurva irisan normal berdasarkan formula kalkulus, perlu diketahui terlebih dahulu model fungsi kurva tersebut.

Fungsi kurva di setiap titik di permukaan ellipsoid dan di setiap orientasi adalah berbeda-beda.

Untuk menentukan kelengkungan kurva di setiap titik dan pada berbagai orientasi dengan menggunakan formula kalkulus, terlebih dahulu fungsi kurva irisan normalnya harus diketahui Î tidak praktis !

Pada setiap titik ada nilai kelengkungan kurva minimum dan maksimum. Kelengkungan maksimum Î pada meridian

Radius kelengkungan Î minimum

Kelengkungan minimum Î pada bidang normal yang tegak lurus terhadap meridian (vertikal utama) Radius kelengkungan Î maksimum

Irisan Normal pada Ellipsoid

Radius lengkung meridian (M) : Minimum di ekuator Maksimum di kutub

Radius lengkung vertikal utama (N) : Minimum di ekuator Maksimum di kutub

Radius kelengkungan kurva irisan normal yang orientasinya di antara arah meridian dan irisan vertikal utama dapat ditentukan melalui formula Euler sebagai berikut :

α

+

α

=

₂

₂

cos

sin

N

M

MN

R

α

= asimut

Radius Lengkung Meridian

ϕ

−

=

cot

dx

dz

1 2 2 2 2

sin

1

sin

1

−













ϕ

ϕ

=

ϕ

ϕ

=

d

dx

dx

d

dx

z

d

(

)

)

1

(

sin

sin

1

2 3 2 3 2 2 2 2

e

a

e

dx

z

d

−

ϕ

ϕ

−

−

=

ellip_soi d 2 2 2 3 2

1

dx

z

d

dx

dz

M





























+

=

( )

(

2

2

)

3

2

2

sin

1

1

ϕ

−

−

=

e

e

a

M

Radius Lengkung Vertikal Utama

ellips_oid ellips_oid

x

Menurut teorema Meusnier :

(

₁

₋

2

_sin

2

_ϕ

)

1

2

=

e

a

N

(

−

ϕ

)

=

ϕ

=

N

sin

90

N

cos

x

o

Perbandingan antara

M

dengan

N

x

M

N

>

Pada umumnya : Kecuali di kutub :

M

N

=

ellips_oid

Perbandingan antara

M

dengan

N

( )

2

0

a

1

e

M

=

−

Di ekuator (ϕ = 0o_{) :}

a

N

₀

=

b

a

M

₉₀

=

2

Di kutub (ϕ = 90o _atau ϕ _{= -90}o_{) :}

b

a

N

₉₀

=

2

0

90

M

M

>

dan

N

₉₀

>

N

₀

Soal : Hitung besaran-besaran di atas dengan menggunakan ellipsoid Bessel, GRS67, dan WGS84 !

Radius−radius lainnya

Radius rata-rata Gauss :

NM

d

R

R

_G

α

=

π

=

2

∫

π

0

2

1

R : radius Euler

α

: asimut Radius rata-rata sumbu ellipsoid :

3

b

a

a

R

_m

=

+

+

Radius bola (luas bola = luas ellipsoid) :

2

L

R

π

















−

−

−

−

=

π

=

...

3024

67

360

17

6

1

4

6

4

2

e

e

e

a

L

R

_L

luas bola :

4

L : luas ellipsoid Radius bola (volume bola = volume ellipsoid) :

3

3

4

V

R

π

a

2

b

3

4

_π

3 2

_a

_b

Panjang Busur Meridian

panjang busur dS_ϕ :

ϕ

=

ϕ

M

d

dS

KU O merid_ian

ϕ

ϕ

+d

ϕ

d

ϕ

M M ϕ

dS

∫

∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

ϕ

=

−

ϕ

2 1 2 1

3

2

₎

1

(

W

d

e

a

d

M

S

3

2

2

3

₁

_sin

_











₋

_ϕ

=

e

W

dengan panjang busur S_ϕ :

Bentuk integral eliptik !

Integral di atas tidak dapat langsung diintegrasikan secara elementer. Salah satu solusinya adalah dengan terlebih dahulu menguraikan W-3

Panjang Busur Meridian

Deret Taylor : ... ) ( ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 + ′′′ − + ′′ − + ′ − + = f x_o x x_o f x_o x xo f x_o x xo f x_o x f

Deret MacLaurin adalah bentuk khusus dari Deret Taylor, yaitu untuk x_o= 0 : ... ) 0 ( ! 3 ) 0 ( ! 2 ) 0 ( ) 0 ( ) ( 3 2 + ′′′ + ′′ + ′ + = f x f x f x f x f

Uraian deret MacLaurin untuk f(x) = sin(x) Contoh : ... ! 9 ! 7 ! 5 ! 3 )

sin(x = x − x3 + x5 − x7 + x9 − (x dalam radian) Soal : Uraikan W-3 _{dengan menggunakan deret MacLaurin !}

Panjang Busur Meridian

Multiple angle formulas :

x x cos2 2 1 2 1 sin2 = − x x x sin3 4 1 sin 4 3 sin3 = − x x x cos4 8 1 2 cos 2 1 8 3 sin4 = − + x x x x sin5 16 1 3 sin 16 5 sin 8 5 sin5 = − + x x x x cos6 32 1 4 cos 16 3 2 cos 32 15 16 5 sin6 = − + − x 7

sin sin8 x sin9 x ……. ! Soal : Tentukan pula

Panjang Busur Meridian

Apabila W -3 _{diuraikan dengan deret MacLaurin, diperoleh :}

. ... sin 128 315 sin 16 35 sin 8 15 sin 2 3 1 1 _{2 2 4 4 6 6 8 8} 3 = + e ϕ + e ϕ+ e ϕ + e ϕ+ W

Untuk mempermudah integrasi, gunakan

multiple angle formulas

: ... ... 10 cos 8 cos 6 cos 4 cos 2 cos 1 3 = A − B ϕ+ C ϕ − D ϕ + E ϕ− F ϕ + W

Sehingga panjang busur meridian antara ϕ₁ dan ϕ₂ adalah :

(

)

(

)



 _{ϕ − ϕ − ϕ − ϕ + ϕ − ϕ}

− =

ϕ a ( 1 e2) A 2 1 B₂ sin 2 2 sin 2 1 C₄ (sin4 2 sin 4 1)

S

(

)

(

)

(

sin10 sin10

)

]

... 10 8 sin 8 sin 8 6 sin 6 sin 6 ϕ2 − ϕ1 + ϕ2 − ϕ1 − ϕ2 − ϕ1 + − D E F

Panjang Busur Meridian

... 65536 43659 16384 11025 256 175 64 45 4 3 1+ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + = e e e e e A . ... 65536 72765 2048 2205 512 525 16 15 4 3 _{2 + 4 + 6 + 8 + 10 +} = e e e e e B .. ... 16384 10395 2048 2205 256 105 64 15 _{4 + 6 + 8 + 10 +} = e e e e C .. ... 131072 31185 2048 315 512 35 _{6 + 8 + 10 +} = e e e D .. ... 65536 3465 16384 315 _{8 + 10 +} = e e E .. ... 131072 693 _{10 +} = e F

Panjang Busur Paralel

KU λ₂ λ₁ para_lel λ₂−λ₁

λ

S

p p O merid_ian N ϕ p KU lingkaran paralel

ϕ

=

N

cos

p

Radius lingkaran paralel :

(

λ

−

λ

)

=

(

λ

−

λ

)

ϕ

=

λ

2

1

p

2

1

N

cos

S

Panjang busur paralel :

Luas Permukaan Ellipsoid

Luas elemen permukaan

ϕ d M λ ϕd N cos

dL

paralel m er_id ia_n

λ

ϕ

ϕ

=

MN

d

d

dL

cos

(

)

_∫

∫ ∫

ϕ

ϕ

λ

λ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

λ

−

λ

=

λ

ϕ

ϕ

=

2 1 2 1 2 1

cos

cos

d

d

₂

₁

MN

d

MN

L

1

2

2

2

2

sin

1

sin

1

ln

2

1

sin

1

sin

2

cos

2 1

ϕ

ϕ













ϕ

−

ϕ

+

+

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

ϕ

∫

ϕ

ϕ

e

e

e

e

b

d

MN

Luas setengah permukaan ellipsoid (

λ

₂

−

λ

₁

=

2

π

ϕ

₁

=

0

ϕ

₂

=

π

₂

) :









−

+

+

−

π

=

−

_e

_e

e

e

b

L

1

1

ln

2

1

1

1

2

2

90

0

o o o o

₉₀

0

2

₋

=

L

L

_ellipsoid

IRISAN NORMAL

z

(

_{2 2}

)

1/2 2 sin 1 sin p p n e ae z ϕ − ϕ =

Umumnya, irisan normal dari arah P₁ ke P₂ tidak berimpit dengan irisan normal dari arah kebalikannya (P₂ ke P₁).

Bidang normal di P₁ : P₁ – n₁ – P₂ Bidang normal di P₂ : P₂ – n₂ – P₁

∆ ′′

Bila kedua titik tidak terletak pada bujur dan lintang yang sama, maka : 2 1 n n z z < _untuk ϕ_p1 < ϕ_p2 2 1 n n z z > _untuk ϕ_p1 > ϕ_p2

IRISAN NORMAL

Sudut perbedaan antara dua bidang normal (

direct & inverse

) dapat dihitung melalui persamaan sebagai berikut :

2 2 1 p p m ϕ + ϕ = ϕ 2 1 2 p p N N jarak + × = σ       _{σ ϕ α} ρ ′′ = ∆ ′′ cos sin2 _{1 2} 4 1 _{2 2 2} p p m e Contoh :

6

3

.

0

′′

=

∆ ′′

Kondisi maksimum (ϕ_m = 0o dan α_p1p2 = 45o), jarak 200 km :

A

C

Arah pengukuran sudut-sudut segitiga maupun asimut di permukaan ellipsoid dari dua arah yang berbeda akan tidak konsisten ! Kenapa ? Pada praktisnya (poligon dsb), keadaan tersebut dapat diabaikan.

Geodesik atau Garis Geodetik

Geodesik adalah garis hubung terpendek antara dua titik di permukaan ellipsoid.

Di setiap titik sepanjang geodesik, arah vektor radius berimpit dengan arah

normal ellipsoid.

Perbedaan antara jarak sepanjang irisan normal dengan jarak sepanjang geodesik (∆s) dapat dihitung melalui :

5 4 12 2 4 cos 2 sin 360 α ϕ σ = ∆s ae _m

Untuk jarak = 600 km, ∆s adalah sekitar 9x10-6 _meter.