PEMBUATAN WEBSITE UNTUK PENYELESAIAN MASALAH
INTEGRAL
Hariyanto Wijaya, Tjwanda Putera Gunawan
Jurusan Teknik Informatika,Sekolah Tinggi Teknik Surabaya
e-mail: busters_86@yahoo.com, tjwanda@stts.edu
ABSTRAK
Pada saat ini telah dikenal ilmu matematika yang sering sekali digunakan dalam pendidikan SMU maupun untuk Universitas, yaitu integral. Karena generasi muda yang mengenyam pendidikan pada SMU dan Universitas semakin lama menjadi semakin banyak, maka kebutuhan untuk menyelesaikan permasalahan integral juga meningkat. Karya ilmiah ini dibuat suatu website yang dapat menyelesaikan permasalahan integral. Website ini akan memproses ekspresi matematika yang diberikan oleh user dan mencoba untuk menyelesaikannya dengan cara menampilkan langkah-langkah penyelesaian hingga jawaban akhirnya. Kemampuan penyelesaian dari website saat ini dikhususkan untuk pembelajaran para siswa pada tingkat SMA.
Kata kunci: integral SMU, website penyelesaian integral, langkah-langkah penyelesaian integral.
1. PENDAHULUAN
Saat ini telah banyak dikenal ilmu matematika yang disebut dengan integral. Integral di dalam proses perhitungan telah banyak digunakan pada banyak disiplin ilmu (seperti teknik sipil, teknik informatika, teknik perkapalan, dan sebagainya), sehingga kebutuhan terhadap penyelesaian masalah integral juga meningkat. Salah satu masalah yang dihadapi saat akan menyelesaikan integral adalah mengetahui jenis penyelesaian untuk integral itu. Banyak cara penyelesaian yang dapat dikerjakan untuk menyelesaikan suatu soal integral, tetapi ada pula soal yang hanya diselesaikan menggunakan satu jenis cara saja (tidak bisa dengan cara yang lainnya).
Jenis-jenis penyelesaian integral yang dimaksudkan disini adalah yang saat ini umum digunakan oleh masyarakat. Penyelesaian ini dibagi menjadi 5 bagian, yaitu integral dasar, integral dasar untuk trigonometri, integral substitusi, integral parsial, dan integral fungsi pecahan. Dengan tuntutan yang ada saat ini, diharapkan komputer juga dapat memiliki kemampuan seperti seorang manusia untuk menyelesaikan salah satu dari permasalahan matematika.
2. TEORI PENUNJANG
Terdapat empat teori yang mendukung tugas akhir ini. Berikut akan dijelaskan secara singkat mengenai trigonometri, Differensial, Integral, dan MathML.
2.1. Trigonometri
Trigonometri merupakan suatu ilmu pasti yang memiliki berbagai rumus–rumus dalam
penggunaannya. Trigonometri ini diperlukan untuk menyelesaikan integral trigonometri, karena pada umumnya integral trigonometri akan melibatkan perubahan rumus-rumus trigonometri hingga menjadi ekspresi yang siap untuk diintegralkan
2.2. Differensial
Differensial atau biasa sering disebut turunan, penting untuk diperhatikan dan dipelajari, karena hal ini sangat berhubungan erat dengan integral substitusi. Prinsip dasar turunan adalah memiliki prinsip yang terbalik dengan integral, dimana suatu ekspresi matematika yang diturunkan menjadi suatu ekspresi lain, akan dapat kembali ke ekspresi yang semula dengan melakukan integral. Differensial ini terbagi menjadi dua, yaitu differensial untuk aljabar dan untuk trigonometri. Differensial akan dibutuhkan untuk melakukan teknik pengintegralan, yaitu teknik integral
substitusi dan integral parsial. Integral substitusi bisa dilakukan jika dalam ekspresi soal terdapat faktor yang dapat digantikan dengan turunan dari faktor yang lainnya. Sedangkan integral parsial bisa dilakukan jika faktor dalam suatu ekspresi bisa dipecah untuk diturunkan dan diintegralkan secara terpisah.
2.2.1. Diferensial Aljabar
Prinsip dasar dari turunan aljabar ini adalah mengkalikan pangkat dari suatu variabel dengan koefisien variabel tersebut, kemudian pangkat dari variabel tersebut dikurangi 1. Jika suku yang akan diturunkan tidak memiliki variabel (hanya angka saja), maka suku tersebut akan hilang setelah diturunkan. Berikut ini adalah salah satu contoh dari turunan aljabar: Ekspresi: 8x4+5x3+4x+9 Ekspresi Turunan : 328x3+15x2+4
2.2.2. Diferensial Trigonometri
Turunan dari trigonometri tidak sesederhana turunan aljabar. Hal ini disebabkan karena trigonometri yang diturunkan akan berubah menjadi trigonometri yang lain. Berikut ini rumus-rumus turunan untuk trigonometri :
• sin x => cos x • cos x => − sin x
• tan x => sec2 x. Prinsip dari turunan trigonometri adalah pangkat, isi, dan bagian dalam. Pangkat adalah pangkat dari trigonometri tersebut diturunkan seperti pada turunan aljabar. Isi adalah trigonometri itu sendiri yang diturunkan menjadi trigonometri yang lain. Bagian dalam adalah sudut dari trigonometri itu yang diturunkan. Hasil akhir adalah pangkat, isi, dan bagian dalam itu yang dikalikan semuanya. Contoh berikut ini akan lebih memperjelas. Ekspresi : 2 Sin4 (x2 + 1) Pangkat : 8 Sin3 (x2 + 1) Isi : Cos2 (x2 + 1) Bagian dalam : 2x Ekspresi turunan : 8 Sin3 (x2 + 1) (Cos2 (x2 + 1))(2x) 2.3. Integral
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, bahwa integral memiliki prinsip yang terbalik jika dibandingkan dengan turunan. Artinya jika suatu ekspresi diturunkan, maka ekspresi tersebut akan dapat kembali jika diintegralkan. Akan tetapi pada kenyataannya, tingkat kesulitan antara 2 turunan
dan integral berbeda jauh. Hal ini disebabkan karena untuk turunan tidak perlu melihat sesuatu yang dibutuhkan untuk menurunkannya, sedangkan integral kebanyakan membutuhkan sesuatu untuk memprosesnya.
2.4. MathML
Dalam website, proses penanganan inputan dilakukan dengan menggunakan komponen seperti pada microsoft equation. Akan tetapi pada saat pemrosesan dilakukan, inputan tersebut akan diterjemahkan ke dalam bentuk mathml. Mathml dapat dikatakan sebagai xml yang secara khusus menangani penyimpanan informasi untuk matematika. Dengan menggunakan mathml, kita dapat menyimpan semua bentuk ekspresi matematika yang ada, karena ekspresi– ekspresi tersebut akan diterjemahkan ke dalam bentuk xml yang terstruktur dan mudah untuk dibaca.
Dalam penggunaannya, mathml dapat dikatakan adalah xml, karena mathml tidak berbeda dengan penggunaan xml untuk beberapa kasus. Mathml juga bisa dikatakan sebagai salah satu penggunaan xml untuk menangani kasus yang berhubungan dengan ekspresi matematika. Kegunaan mathml pada saat pertama kali ditemukan adalah tidak lain untuk menciptakan keseragaman dalam hal penulisan ekspresi matematika, terutama di dalam internet. Hal ini diperlukan karena kebanyakan orang merasa mengalami kesulitan untuk membentuk ekspresi matematika di dalam tag html yang kurang mendukungnya, terutama untuk ekspresi yang tergolong kompleks.
Dengan adanya mathml, pembuat web site tidak lagi mengalami kebingungan karena mathml yang ditulis akan dapat dibaca oleh html maupun semua aplikasi yang dapat membaca xml. Kegunaan mathml untuk dipakai dalam penanganan ekspresi inputan dari user adalah kecepatan dan kemudahan untuk mengubah inputan menjadi bentuk xml yang terstruktur dengan aturan – aturan penamaan tertentu. Penamaan untuk tag – tag dalam mathml sudah diatur dan ditetapkan oleh W3C, agar tercipta keseragaman untuk penulisan ekspresi matematika. Untuk menambah kejelasan, dapat kita lihat pada contoh mathml berikut:
Ekspresi : ∫ 3x2 + 5x + 7
MathML : <math> <mrow>
<mo>∫</mo> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>7</mn> </mrow> </mrow> </math> 3. ARSITEKTUR
Website ini memiliki 3 komponen utama, yaitu penerima input, solving engine, dan pembuat output.
Gambar 1. Arsitektur Sistem
Penerima input akan disajikan dalam bentuk yang sudah umum digunakan saat menulis ekspresi matematika, yaitu seperti pada microsoft equation dalam microsoft word. Proses ini akan digabungkan dengan teknologi ActiveX untuk pemakaian komponen Formulator Express agar dapat menulis ekspresi matematika seperti pada microsoft equation. Teknologi lain yang digunakan adalah AJAX. Dengan menggunakan teknologi ini, maka ekspresi input yang dimasukkan oleh user tidak hilang saat terjadi kesalahan terhadap ekspresi yang diinputkan atau terjadi kegagalan dalam proses penyelesaiannya. Solving engine bertugas untuk menyelesaikan ekspresi matematika yang diberikan dan membuat langkah-langkah penyelesaian. Solving Engine yang bisa juga
disebut sebagai “otak” dari website ini memiliki kerja yang cukup unik. Komputer memiliki perbedaan kemampuan yang jelas dibandingkan dengan manusia dalam hal penglihatan.
Komputer tidak bisa melihat ekspresi matematika yang diinputkan oleh user, sehingga untuk mengerjakan soal tersebut juga akan mengalami kesulitan. Inputan dari user telah diterjemahkan menjadi MathML oleh Formulator, akan tetapi jika bentuk tersebut langsung diproses, akan memakan banyak waktu dan tidak efisien dalam pengerjaannya, karena pengaksesan yang digunakan tentu saja adalah teks file.
Untuk mengefisiensi kerja dari komputer, maka MathML itu akan diubah menjadi bentuk XML Tree oleh komponen Chilkat XML, sehingga pengaksesan dan pembacaan untuk ekspresi inputan tersebut menjadi mudah. Cara kerja dari solving engine ini adalah membaca dan mengubah XML Tree tersebut, hingga menjadi jawaban akhir yang merupakan penyelesaian dari soal yang diinputkan.
Hal lain yang harus diingat adalah pada saat pemrosesan, website juga harus menampilkan semua langkah-langkah penyelesaian soal hingga menuju ke jawaban akhir, sehingga setiap langkah jawaban yang penting harus disimpan agar dapat ditampilkan ke user nantinya. Pembuat output akan membaca penyelesaian solving engine dan menampilkan hasil langkah-langkah tersebut untuk dibaca oleh user.
Output yang dihasilkan adalah berupa gambar yang akan ditampilkan di dalam website dan berupa file pdf yang dapat disimpan ke dalam komputer user secara langsung.
4. IMPLEMENTASI
Penjelasan singkat untuk implementasi ini mengacu kepada proses utama saja, karena dengan menjelaskan proses utama akan memberikan gambaran yang cukup terhadap cara kerja dari solving engine.
Proses utama dapat dikatakan sebagai proses yang menggabungkan semua proses penyelesaian yang ada di dalam solving engine menjadi satu kesatuan dan bekerja sama untuk menyelesaikan input yang diberikan user hingga menjadi output yang ditampilkan ke user. Yang dimaksud dengan proses utama ini bukan kerja sistem secara keseluruhan mulai dari menampilkan halaman website, menampilkan input, dll.
Gambar 2. Proses Utama Solving Engine Proses utama baru dimulai pada saat user selesai memasukkan ekspresi input dan menekan tombol proses dari website. Hal lain yang diperhatikan adalah proses percabangan dari tiap integral. Percabangan itu akan mengecek apakah flag penanda suatu integral perlu dilakukan atau tidak. Jika dilakukan, proses dari integral itu akan dipanggil. Yang diperhatikan adalah alur setelah pemanggilan proses itu.
Setelah melakukan suatu integral, alur kerja selanjutnya tidak langsung menuju ke akhir program, tetapi justru akan kembali ke program utama lagi. Hal ini disebabkan karena ada kemungkinan suatu soal akan membutuhkan dua atau lebih proses integral sekaligus. Sebagai contoh, integral fungsi pecahan pada umumnya akan melakukan integral substitusi untuk menggantikan faktor dari penyebut yang telah dipisahkan.
Karena itu saat integral ini selesai dilakukan, akan langsung dilakukan pengecekan untuk integralintegral selanjutnya.
5. Uji Coba
Uji coba terbagi menjadi 2 bagian, yaitu uji coba untuk solving engine dan uji coba untuk user. 5.1. Uji Coba Solving Engine
Uji coba untuk solving engine dilakukan untuk mengetahui kelayakan dari jawaban yang ditampilkan ke user. Uji coba ini dilakukan dengan cara memberikan berbagai jenis soal ke dalam website untuk mengetahui seberapa besar akurasi atau ketepatan dari solving engine untuk menyelesaikan soal dengan benar.
Yang dimaksud dengan akurasi disini adalah kemampuan website untuk menampilkan semua langkah jawaban dengan benar. Jadi, jika ternyata jawaban yang diberikan oleh solving engine menghasilkan hasil akhir benar, tetapi dalam langkah penyelesaiannya kurang tepat, akan dianggap belum akurat untuk penyelesaian jawaban soal itu.
Gambar 3. Tingkat Akurasi Solving Engine Uji coba ini dilakukan dengan 85 jenis soal. Hasil detail untuk setiap soal yang diujikan telah disertakan di dalam lampiran. Hasil akhir dari uji coba ini menunjukkan tingkat akurasi untuk solving engine berkisar antara 80%-90%. Kisaran ini dimaksudkan karena jenis soal yang bervariasi.
Jika dilihat dari hasil uji coba diatas, dapat dikatakan bahwa akurasi dari website adalah 81 / 85 * 100% 95,294%. Akan tetapi, nilai akurasi tersebut tidak dianggap pasti akurat, karena
mungkin ada jenis soal lain yang belum dapat dikerjakan.
Jadi, tidak bisa jika dikatakan akurasi pasti mencapai suatu angka tertentu, karena jika soal yang diinputkan jenisnya berbeda, ada kemungkinan solving engine bisa mengerjakannya atau justru memberikan jawaban yang salah. 5.2. Uji Coba User
Uji coba user berguna untuk mengetahui apakah website ini sudah cukup bagus untuk dioperasikan ke user. Dengan melakukan uji coba ini, kita dapat mengetahui keefektifan website untuk menyelesaikan soal yang diberikan oleh beberapa orang user. Uji coba ini dilakukan terhadap 10 orang user, dimana 5 orang user adalah siswa dari SMU, dan 5 orang user yang lain adalah mahasiswa.
Uji coba ini memberikan kesan atau tanggapan yang baik terhadap website yang telah dibuat. Selain itu, website ini juga mendapatkan tanggapan yang cukup antusias dari user, terutama dari para siswa. Mereka juga meminta agar kemampuan dari solving engine lebih ditingkatkan agar dapat menyelesaikan berbagai jenis integral yang belum dapat dilakukan, seperti integral substitusi trigonometri misalnya. Dalam uji coba ini juga didapatkan saran dari user agar melakukan penambahan fitur dalam inputan di website, agar inputan itu lebih bersifat fleksibel.
Contoh kasus fleksibel yang dimaksud adalah jika kita ingin memasukkan identifier yang berpangkat ataupun tidak, maka kolom pengisian untuk pangkat sebaiknya tetap ada, sehingga jika user yang tidak menginginkan pangkat secara otomatis akan membiarkan isian tersebut menjadi kosong, tetapi user yang ingin mengisi pangkat tidak perlu repot untuk menekan tombol pangkat yang diberikan dalam website.
KESIMPULAN
Mekanisme penyelesaian integral dari input menuju output adalah bersifat iteratif dengan pemberian heuristic untuk mengoptimalkan hasil yang didapatkan. Kadang kala suatu soal harus diselesaikan dengan dua atau lebih jenis integral, sehingga setiap kali satu jenis integral selesai dilakukan, harus dilakukan pengecekan untuk integral jenis yang lain.
Untuk melakukan suatu jenis integral, terlebih dulu harus dilakukan pengecekan ataupun preprocessing untuk mengetahui apakah ekspresi
yang diinputkan oleh user dapat diselesaikan dengan integral jenis itu.
Pada umumnya preprocessing untuk suatu jenis integral memiliki langkah dan kerja yang lebih panjang daripada integralnya sendiri, karena preprocessing ini harus menyiapkan ekspresi input untuk bisa diintegral, dan juga melakukan pengecekan apakah suatu jenis integral dapat dilakukan ke ekspresi tersebut.
Pada preprocessing untuk trigonometri yang dilakukan dengan menggunakan algoritma DFS yang bersifat recursive memiliki kelebihan dapat menghasilkan jawaban yang terbaik, tetapi membutuhkan waktu yang lebih lama, karena website harus melakukan pengecekan terhadap semua kemungkinan jawaban.
Lama proses ini akan terlihat jelas saat ekspresi yang diinputkan membutuhkan penyelesaian trigonometri yang kompleks dan memiliki langkah penyelesaian yang lebih dari 10 baris. Selain itu, penggunaan MathML yang digabungkan dengan komponen Chilkat XML akan menghasilkan XML Tree yang berguna untuk membantu proses pembacaan sebuah ekspresi matematika, karena dengan menggunakan tree akan mempermudah dan mempercepat proses navigasi MathML, yang secara otomatis juga mempercepat kerja proses-proses dalam solving engine.
DAFTAR PUSTAKA
1. w3c.org, 2007, Mathematical Markup Language
(MathML) 2.0.
http://www.w3.org/TR/MathML, 2007. 2. Stefan Waner and Steven R. Costenoble, 2002 Finite Mathematics & Applied Calculus, http://people.hofstra.edu/Stefan_Waner/ real World/tccombop.html, 2002. 3. Wolfram Research. Integrator, 2007 http://integrals.wolfram.com/index.jsp,
4. Quick Math, 2007, Automatic Math Solutions, http://www.hostsrv.com/webmab/app1/ MSP/quickmath/02/pageGenerate?site= quickmath &s1=calculus&s2=integrate& s3=basic.
5. Marthen Kanginan, 2005, Cerdas Belajar
Matematika, Grafindo Media Pratama,
