ISBN 978-602-1034-06-4 233
PENERAPAN ESTIMATOR
ROBUST
RMCD PADA GRAFIK
PENGENDALI
T
2HOTELLING UNTUK PENGAMATAN
INDIVIDUAL BIVARIAT DAN TRIVARIAT
Angelita Titis Pertiwi1), Adi Setiawan2), Bambang Susanto3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga Surel: 1)atitis37@gmail.com
2)3)
Dosen Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga
Surel: 2)adi_setia_03@yahoo.com,
3)
bsusanto5@gmail.com
Abstrak
Untuk memonitor proses atau kualitas produk secara multivariat, biasa digunakan grafik pengendali T2 Hotelling. Grafik pengendali T2 Hotelling sensitif terhadap titik-titik ekstrim (outliers) karena grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Untuk itu digunakan estimator robust (tegar) RMCD (Reweighted Minimum Covariance Determinant) pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual supaya grafik pengendali T2 Hotelling yang didapat lebih tegar terhadap outliers di phase I. Dalam tulisan ini akan diuraikan tentang penerapan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (dua variabel) dan trivariat (tiga variabel), karena studi kasus dilakukan pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari
perusahaan “X” yang mempunyai tiga variabel. Variabel yang digunakan adalah karakteristik
kualitas yang diukur dalam memonitor kualitas produk parfum remaja, yaitu pH parfum remaja, refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas, dan masa jenis parfum remaja. Dari penerapan didapat grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD bivariat dan trivariat yang hanya memerlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I.
Kata Kunci – Hotelling’s T2 Control Chart; Robust Estimator; RMCD; Multivariate
Statistical Process Control
A. Pendahuluan
Grafik pengendali kualitas atau yang disebut control chart merupakan salah satu alat yang digunakan dalam usaha mengendalikan kualitas proses karena dalam grafik pengendali dapat diketahui kapan proses di luar kendali (out of control). Sering kali dalam pengendalian kualitas tidak cukup dengan pengamatan univariat namun harus secara multivariat. Menurut Montgomery (2009), grafik pengendali T2 Hotelling paling banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat untuk memonitor vektor rata-rata proses karena dalam grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Padahal vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel sangat sensitif terhadap titik ekstrim (outliers). Karena itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi populasi yang tegar untuk membuat grafik pengendali T2 Hotelling. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang robust (tegar), estimator
ISBN 978-602-1034-06-4 234 untuk pengamatan individual menggunakan estimator RMCD ini selanjutnya disebut dengan grafik pengendali .
Permasalahannya adalah bagaimanakah menerapkan grafik pengendali
bivariat dan trivariat? Studi kasus pun dilakukan untuk menerapkan grafik pengendali bivariat dan trivariat. Studi kasus dilakukan menggunakan Data Karakteristik
Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2011 yang diperoleh dari Lampiran I Puspitoningrum (2011). Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi pembaca tentang penerapan estimator robust khususnya RMCD pada grafik pengendali
T2 Hotelling untuk pengamatan individual dalam pengendalian kualitas produk atau proses.
B. Tinjauan Pustaka
Puspitoningrum (2011) menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling untuk memonitor vektor rata-rata proses secara multivariat karena dalam grafik pengendali T2
Hotelling menggunakan rata-rata vektor dan matriks kovariansi dari sampel. Pengestimasian parameter pengendali pada phase I, dalam hal ini vektor rata-rata dan matriks kovariansi Ʃ dari distribusi normal multivariat N(,Ʃ) adalah hal yang paling penting. Asumsi in control pada data historis phase I tidak selalu benar, maka dari itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang lebih tegar terhadap
outliers dibanding vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan estimator RMCD untuk diterapkan dalam grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual.
Chenouri dkk (2009) mengusulkan RMCD sebagai estimator rata-rata vektor dan matriks kovariansi yang tegar karena RMCD merupakan estimator yang affine equivariant dengan titik breakdown yang tinggi, laju konvergensi n-1/2, efisiensi tinggi, dan memiliki algoritma aproksimasi yang baik untuk tujuan komputasional. Penjelasan tentang affine equivariant, titik breakdown, laju konvergensi, efisiensi secara statistik dan efisiensi secara komputasi dapat dilihat pada Zhang (2011) dan Vanpaemel (2013). Algoritma aproksimasi untuk estimator RMCD yang baik untuk tujuan komputasional adalah MCD yang diberikan oleh Rousseeuw dan van Driessen (1999). FAST-MCD sudah diterjemahkan ke dalam software R dalam paket rrcov, robust dan
robustbase, dapat dilihat dalam Hubert dkk (2008).
Sudah dibuktikan oleh Chenouri dkk (2009) bahwa grafik pengendali lebih
tegar dibanding grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual biasa ketika terdapat outliers pada proses selama phase I. Penelitian juga dilakukan oleh Prastyowati (2009) yang membandingkan ketegaran grafik pengendali T2 Hotelling berbasis overlapping groups menggunakan estimator RMCD dengan grafik pengendali . Penelitian lain dilakukan Variyath dan Vattathoor (2013) yang mengemukakan
bahwa pada phase I, grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan estimator RMCD baik untuk data dengan jumlah pengamatan dan dimensi (variabel) yang lebih besar dari pada grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan estimator RMVE (Reweighted Minimum Volume Ellipsoid). Penelitian tentang grafik pengendali dilakukan pula oleh Mohammadi dkk (2010) dan penelitian tentang ketegaran grafik pengendali
ISBN 978-602-1034-06-4 235 C. Metode Penelitian
1. Estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD)
Estimator RMCD merupakan pengembangan dari estimator Minimum Covariance Determinant (MCD), yaitu dengan pembobotan, karena itu perlu mengestimasi estimator MCD terlebih dahulu kemudian barulah mengestimasi estimator RMCD. Algoritma yang terkenal dalam menaksir estimator MCD adalah FAST-MCD yang diusulkan oleh Rousseuw dan van Driessen (1999). Penelitian ini menggunakan Algoritma FAST-MCD yang sudah diterjemahkan ke dalam fungsi CovMcd() pada paket rrcov yang ditulis oleh Todorov (2007) dalam software R. Estimator RMCD untuk vektor rata-rata dan matriks kovariansi adalah vektor rata-rata yang diberi
bobot
(1)
dan matriks kovariansi
(2)
pembobotan berdasar pada jarak
(3)
sehingga bobot ditentukan dengan persamaan (4)
(4)
dan merupakan quantil ke- dari distribusi chi kuadrat. Chenouri dkk (2009)
mengusulkan untuk menggunakan =0,975 yang dianjurkan dan digunakan oleh
Rousseeuw dan van Driessen (1999). Dengan menggunakan
membuat konsisten dibawah distribusi normal multivariat. Faktor adalah
koreksi sampel terbatas (finite sample correction) yang diberikan oleh Pison dkk (2002) pada (5)
(5)
ISBN 978-602-1034-06-4 236 Menurut Pison dkk (2002) bernilai sangat kecil ketika ukuran sampel m
kecil, dan untuk p tertentu naik secara monoton ke 1 ketika m mendekati tak hingga. Dalam penelitian ini faktor koreksi sampel terbatas belum digunakan
dalam penghitungan , sehingga dianggap .
2. Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD
Pengamatan dikatakan individual apabila ukuran masing-masing sampel n=1. Diberikan m pengamatan individual dengan p karakteristik kualitas yang disusun ke dalam matriks berukuran pada persamaan (6)
(6)
dengan , i=1,2,...,m menunjukkan pengamatan ke-i dari p-variat dan diasumsikan vektor pengamatan in control, adalah vektor random identik, independen, dan berdistribusi normal multivariat dinotasikan sebagai .
Bagian yang terpenting dari phase I penerapan grafik pengendali T2 Hotelling adalah mengestimasi parameter vektor rata-rata populasi dan matriks kovariansi
populasi . Estimator dari dan adalah vektor rata-rata sampel dan matriks
kovariansi sampel S, sehingga diperoleh statistik T2 Hotelling pada persamaan (7)
. (7)
Karena asumsi vektor pengamatan in control tidak selalu benar, serta dan S sangat sensitif terhadap outliers, jadi estimator klasik ( dan S) digantikan oleh estimator RMCD yang tegar. Didapat statistik T2 Hotelling baru yang diberikan oleh persamaan (8)
(8)
ISBN 978-602-1034-06-4 237 (9)
dengan nilai estimasi Least-Square parameter regresi dan diberikan oleh Chenouri dkk (2009) pada Tabel 1 halaman 264. Sedangkan BPB (Batas Pengendali Bawah) sama dengan grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual biasa, BPB = 0.
3. Langkah-langkah Penerapan Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD
Phase I
a. Menggunakan data phase I untuk menaksir vektor rata-rata dan matriks kovariansi menggunakan estimator MCD kemudian dilanjutkan dengan menaksir estimator
robust RMCD sehingga didapat dan . b. Menghitung dengan menggunakan persamaan (8).
c. Menentukan titik breakdown atau 0,25 dan =0,01 atau 0,001 untuk
memilih estimasi least square dan dari Chenouri dkk. (2009)
pada Tabel 1 halaman 264, kemudian menghitung BPA dari persamaan (9).
d. Mengkonstruksi grafik pengendali dengan memetakan nilai-nilai pada
langkah 2 dengan batas pengendali atas pada langkah 3.
e. Membuang pengamatan yang dengan asumsi penyebab diketahui.
f. Melakukan iterasi dari langkah 1 sampai langkah 5 hingga tercapai kondisi in control.
Phase II
a. Menghitung menggunakan pengamatan baru dari dan yang
sudah didapat dari phase I.
b. Memetakan ke dalam grafik pengendali dengan batas pengendali yang sudah
diperoleh pada Phase I (langkah 4).
c. Mendeteksi pengamatan-pengamatan atau titik-titik di luar kendali (out of control points), yaitu jika , atau polanya. Mendiagnosa proses jika diperlukan.
ISBN 978-602-1034-06-4 238 baru untuk phase II. Pengolahan data dan komputasi menggunakan software R 3.0.1 dan Matlab R2009a. Penelitian dilakukan dengan menerapkan estimator RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (p=2, yaitu kombinasi dua dari tiga variabel) dan trivariat (p=3). Grafik pengendali yang sudah didapat kemudian diamati dan diidentifikasi titik-titik di luar kendali.
D. Hasil dan Pembahasan
Sebut variabel adalah karakteristik kualitas pH, adalah karakteristik kualitas
refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas, dan adalah karakteristik kualitas masa jenis. Uji chi-square menunjukkan bahwa data karakteristik kualitas parfum remaja periode April-Desember 2010 berdistribusi normal multivariat.
1. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat
Hasil penerapan phase I dari grafik pengendali bivariat dengan memilih
=0,01; =0,5 diberikan oleh Tabel 1. Menurut Davies dalam Chenouri dkk (2009)
kemungkinan titik breakdown tertinggi dari suatu estimator yang affine equivariant
adalah . Dipilih =0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik
breakdown tertinggi yang diperoleh adalah .
Tabel 1. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali Bivariat
ISBN 978-602-1034-06-4 239 kendali
BPA 9,7006 9,7055 9,7006
Dari Tabel 1 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control pada prosedur phase I grafik pengendali bivariat di semua kombinasi variabel, yaitu dan , dan , serta dan . Sesuai pada prosedur phase I
dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1 didapat estimator MCD dari paket rrcov software R yang diberikan oleh Todorov (2007). Dari estimator MCD dapat dihitung estimator RMCD ( dan ). iterasi I untuk semua
kombinasi secara berurutan adalah , dan .
iterasi I untuk semua kombinasi secara berurutan adalah
dan
.
dan digunakan untuk menentukan nilai sesuai langkah 2
menurut persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih =0,01; =0,5. Karena sudah diketahui p=2, sehingga digunakan nilai estimasi
1387,415 dan 1,6321. Dengan menggunakan persamaan (9)
didapatkan BPA untuk setiap kombinasi sama, yaitu 9,6958 karena pada iterasi I jumlah pengamatan masih sama (160 pengamatan) untuk setiap kombinasi. Untuk mendapatkan grafik pengendali dilakukan pemetaan dan BPA, grafik pengendali
bivariat iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3.
Gambar 1. Grafik pengendali
iterasi I phase I untuk variabel dan
Gambar 2. Grafik pengendali iterasi I phase I untuk
ISBN 978-602-1034-06-4 240 Gambar 3. Grafik pengendali
iterasi I phase I untuk variabel dan
Dari grafik pengendali iterasi I pada Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3 dapat diketahui ada titik-titik di luar kendali ( ). Pada kombinasi pertama ( dan
) terdapat satu titik di luar kendali di indeks ke-155 dengan nilai .
Pada kombinasi kedua ( dan ) terdapat dua titik di luar kendali di indeks 23 dan 39
dengan nilai dan . Pada kombinasi ketiga ( dan
) terdapat titik di luar kendali di indeks 155 dengan nilai .
Titik-titik di luar kendali ini kemudian dihapus dengan asumsi penyebab diketahui.
Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai 5. Pada iterasi II estimator RMCD vektor rata-rata,
yang baru untuk semua kombinasi, secara berurutan yaitu ,
dan . Sedangkan yang baru untuk semua kombinasi secara
berurutan yaitu:
.
Dengan menggunakan dan yang baru dihitung kembali nilai-nilai
. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada
iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan pada iterasi I. Didapat BPA yang baru untuk kombinasi pertama hingga ketiga, secara berurutan yaitu 9,7006; 9,7055; dan 9,7006. BPA untuk kombinasi pertama dan ketiga sama karena jumlah titik di luar kendali yang dihapus sama. Kemudian dilakukan pemetaan dan BPA. Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai > BPA atau dengan kata lain tidak ada titik
ISBN 978-602-1034-06-4 241 Gambar 4. Grafik pengendali
bivariat iterasi II phase I untuk variabel dan
Gambar 5. Grafik pengendali bivariat
iterasi II phase I untuk variabel dan
Gambar 6. Grafik pengendali bivariat
iterasi II phase I untuk variabel dan
Pada langkah 7 dihitung dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320)
mengunakan dan yang sudah didapat pada kondisi in control phase I. Kemudian dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat grafik pengendali bivariat baru.Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi dengan grafik pengendali bivariat pada phase II ini. Grafik pengendali
bivariat phase II untuk semua kombinasi secara berurutan diberikan oleh Gambar
7, Gambar 8, dan Gambar 9. Hasil penerapan estimator RMCD pada grafik pengendali bivariat phase II diberikan oleh Tabel 3.
Gambar 7. Grafik pengendali bivariat
phase II untuk variabel dan
Gambar 8. Grafik pengendali
ISBN 978-602-1034-06-4 242
Gambar 9. Grafik pengendali bivariat phase II untuk variabel dan
Tabel 3. Hasil Penerapan Prosedur Phase II Grafik Pengendali Bivariat
Kombinasi Jumlah Titik di Luar Kendali
Indeks Titik di Luar
Kendali Nilai Titik di Luar Kendali
dan 3 32 ;94;123 22,25; 10,64; 23,41
dan 6 61;73;78;93;103;104 11,09; 17,49; 20,92; 18,39; 28,55; 26,59
dan 2 32;123 24,11; 23,22
Dari Tabel 3 diketahui bahwa pada grafik pengendali bivariat phase II untuk
variabel dan yang diberikan oleh Gambar 7, ada tiga titik di luar kendali, yaitu
pada indeks 32, 94, dan 123, dengan nilai secara berurutan adalah 22,25; 10,64;
dan 23,41. Diketahui pula pada grafik pengendali bivariat phase II untuk variabel
dan yang diberikan oleh Gambar 8, ada enam titik di luar kendali, yaitu pada
indeks 61,73,78,93,103, dan 104, dengan nilai secara berurutan adalah 11,09;
17,49; 20,92; 18,39; 28,55; dan 26,59. Pada grafik pengendali bivariat phase II
untuk variabel dan yang diberikan oleh Gambar 9, ada dua titik di luar kendali,
yaitu pada indeks 32 dan 123, dengan nilai secara berurutan adalah 24,11 dan
23,22.
2. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Trivariat
Masih dipilih =0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi
yang diperoleh adalah . Hasil penerapan
prosedur phase I dari grafik pengendali trivariat dengan memilih =0,01 ;
ISBN 978-602-1034-06-4 243
Tabel 4. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali Trivariat
Pembeda Iterasi
I II
Jumlah Titik di
Luar Kendali 3 0(in control)
Indeks Titik di
Luar Kendali 23;39;155 -
Nilai
Titik di Luar Kendali
16,46; 15,58; 17,51 -
BPA 14,5162 14,6166
Dari Tabel 4 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control pada prosedur phase I grafik pengendali trivariat ( , , dan ). Sesuai pada prosedur phase I dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1 didapat estimator MCD dari paket rrcovsofware R. Dari estimator MCD dapat dihitung estimator RMCD, dan secara berurutan yaitu:
; .
dan digunakan untuk menentukan nilai sesuai langkah 2 menurut
persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih =0,01 ;
=0,5. Karena sudah diketahui p=3, sehingga digunakan nilai estimasi
13533,973 dan . Sesuai langkah 3 digunakan persamaan (9) untuk
mendapatkan BPA=14,5162. Berikutnya dilakukan pemetaan dan BPA untuk
mendapatkan grafik pengendali trivariat. Grafik pengendali trivariat
iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 10.
ISBN 978-602-1034-06-4 244 Dari grafik pengendali trivariat iterasi I phase I pada Gambar 10 dapat
diketahui ada tiga titik di luar kendali pada indeks 23, 39, dan 155 dengan nilai
secara berturutan adalah 16,46; 15,58; dan 17,51. Sesuai langkah 5, titik-titik di luar kendali ini dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai 5. Pada iterasi II diperoleh estimator RMCD yang baru secara berurutan adalah
dan .
Dengan menggunakan dan yang baru dihitung kembali nilai-nilai
sesuai langkah 2. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter
yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan pada iterasi I. Dari langkah 3 didapat BPA yang baru, yaitu 14,6166. Kemudian dilakukan pemetaan dan BPA sesuai langkah 4. Ternyata
pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai-nilai > BPA. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase I selesai dilakukan dan dilanjutkan dengan prosedur phase II, langkah 7 sampai langkah 9. Grafik pengendali trivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I ditunjukkan oleh Gambar 11.
Gambar 11. Grafik pengendali trivariat iterasi II phase I
Pada langkah 7 dihitung dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320)
mengunakan dan yang sudah didapat pada kondisi in control phase I. Kemudian dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat grafik pengendali baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi dengan grafik pengendali trivariat pada phase II ini. Grafik pengendali
ISBN 978-602-1034-06-4 245
Gambar 12. Grafik pengendali trivariat phase II
Pada Gambar 12 diketahui ada sebanyak delapan titik di luar kendali, yaitu pada indeks 32 , 46 , 73, 78, 93, 103, 104, dan 123 dengan nilai , secara berurutan yaitu
27,19415; 15,37344; 20,58837; 24,71327; 24,29873; 34,98609; 31,98614; dan 26,98379.
E. Simpulan dan Saran
Sudah diterapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat pada data karakteristik kualitas Parfum Remaja periode April-Desember 2010. Ternyata hanya diperlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I baik pada grafik pengendali
bivariat maupun grafik pengendali trivariat. Puspitoningrum (2011)
menyebutkan bahwa seluruh data memenuhi batas spesifikasi perusahaan, berarti semakin sedikit titik di luar kendali semakin tegar grafik pengendali T2 Hotelling. Dapat dilihat bahwa titik di luar kendali pada grafik pengendali lebih sedikit
dibandingkan dengan hasil penelitian Puspitoningrum (2011) yang menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling biasa. Perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan faktor koreksi sampel terbatas ( ) pada dan perlu juga penelitian lanjutan mengenai
ketegaran grafik pengendali pada banyaknya outliers.
F. Daftar Pustaka
Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 2009. A Multivariate Robust Control Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology, Vol 41, No. 3, 259-271.
Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Aelst, Stefan. 2008. High-Breakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science 2008, Vol. 23, No. 1, 92–119. DOI: 10.1214/088342307000000087.
Johnson, R.A. and Wichern, D.W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis. Third Edition. New Jersey: Prentice Hall.
ISBN 978-602-1034-06-4 246 Mohammadi, Mandana, Midi, Habshah dan Arasan, Jayanthi. 2010. Re-weighted
Robust Control Charts for Individual Observations. Proceedings of the 6th IMT-GT Conference on Mathematics, Statistics and its Applications (ICMSA2010) Universiti Tunku Abdul Rahman. Kuala Lumpur.
Montgomery D.C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth Edition.United States of America: John Wiley and Sons.
Pison, G.,van Alest, S., Willems, G. 2002. Small Sample Corrections for LTS and MCD. Metrika 55, 111-123.
Prastyowati, Retno. 2009. Diagram Kontrol T2 Hottelling Berbasis Overlapping Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program Magister Bidang Keahlian Perencanaan dan Evaluasi Pendidikan Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Puspitoningrum, Fitria. 2011. Penerapan Grafik Hotelling T2 pada Karakteristik
Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X”. Skripsi. Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Matematika. Salatiga: Univ. Kristen Satya Wacana.
Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien. 1999. A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics, Vol 41, No. 3, 212-223. Vanpaemel, Dina. 2013. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value,
Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Doctor in Science. Arenberg Doctoraatsschool, Groep Wetenschap & Technologie. Heverlee: Katholieke Universiteit Leuven.
Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 2013. Robust Control Charts for Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations.
Journal of Quality and Reliability Engineering, Volume 2013, Article ID
542305. Hindawi Publishing Corporation.
(http://dx.doi.org/10.1155/2013/54230, diakses 8 Oktober 2014).
