MATEMATIKA DASAR 2A MODUL 13 VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI DISKRIT. Tim Matematika

(1)

MATEMATIKA DASAR 2A

MODUL 13 – VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI DISKRIT

Tim Matematika

TAHAP PERSIAPAN BERSAMA

INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA – LAMPUNG SELATAN

2019

(2)

TAHAP PERSIAPAN BERSAMA | 2018/2019 1

PENDAHULUAN

Bidang statistika berurusan dengan penarikan inferensi tentang populasi dan sifat populasi. Percobaan yang dilakukan memberikan hasil yang berkemungkinan.

Pelemparan sejumlah koin merupakan suatu contoh percobaan statistika, suatu istilah yang memberikan setiap proses yang menghasilkan pengamatan yang berkemungkinan.

Mengetahui bahwa distribusi variabel acak memberi tahu kita semua tentang variabel acak. Namun, dalam praktiknya, sering kali tidak mungkin atau tidak perlu untuk mengetahui semua peluang distribusi dari variabel acak yang menggambarkan eksperimen acak tertentu. Sebagai gantinya, mungkin cukup untuk menentukan beberapa kuantitas karakteristik, seperti nilai rata-rata dan ukuran yang menggambarkan penyebaran di sekitar nilai rata-rata.

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama keberhasilan atau kegagalan. Hal ini terjadi, misalnya pada pengujian barang produksi, dengan tiap pengujian atau usaha menunjukkan apakah suatu barang cacat atau tidak cacat. Dalam modul ini juga akan dibahas mengenai distribusi binomial.

Modul 13 ini memberikan materi Variabel Acak dan Distribusi Diskrit. Perlu diketahui bahwa dalam mempelajari variabel acak dan distribusi diskrit dibutuhkan pemahaman tentang konsep dari modul-modul sebelumnya terutama tentang turunan, integral, ruang sampel, dan peluang.

Berdasarkan penjelasan di atas, tujuan instruksional yang harus dicapai mahasiswa pada pembelajaran ini antara lain mahasiswa:

1

• Mampu menghitung peluang suatu kejadian melalui variabel acak diskrit

2

• Mampu menghitung dan menggambar suatu fungsi distribusi diskrit

3

• Mampu menghitung nilai harapan (mean) dan variansi untuk suatu variabel acak yang diberikan atau suatu ruang sampel diskrit

4

• Dapat menghitung peluang kasus diskrit dan menggunakan tabel distribusi

binomial

(3)

1. VARIABEL ACAK DISKRIT

Hasil percobaan acak sering kali adalah bilangan real, seperti banyaknya jumlah gambar dalam percobaan melempar koin, banyaknya jumlah biji yang dihasilkan dalam persilangan antara dua tanaman, atau masa hidup serangga. Hasil numerik seperti itu dapat dijelaskan oleh variabel acak. Variabel acak adalah fungsi dari ruang sampel ke dalam himpunan bilangan real. Variabel acak biasanya dilambangkan dengan , , atau , atau huruf kapital lain. Misalnya,

menjelaskan variabel acak sebagai peta dari ruang sampel ke dalam kumpulan bilangan real. Pengambilan data acak tervariabel secara acak untuk mengaturnya. Jika X mengambil kumpulan nilai konkrit (terbatas atau tidak terbatas), disebut variabel acak diskrit. Jika mengambil rentang nilai kontinu, misalnya, nilai yang berkisar pada suatu interval disebut variabel acak kontinu. Variabel acak diskrit adalah topik yang dibahas pada modul ini, variabel acak kontinu akan dibahas pada modul selanjutnya.

Dalam contoh di bagian ini, kita melihat variabel acak yang mengambil nilai diskrit adalah himpunan yang terbatas.

Contoh 1.

Percobaan pelemparan sebuah koin sebanyak tiga kali. Misalkan menjadi variabel acak yang menghitung banyaknya bagian gambar di setiap hasil percobaan pelemparan yang keluar. Dengan G adalah hasil percobaan munculnya bagian gambar dan A adalah hasil percobaan munculnya bagian angka.

Ruang sampel adalah

* + dan variabel acak

dengan mengambil nilai 0 untuk hasil percobaan tidak munculnya bagian gambar dalam

tiga kali pelemparan, nilai 1 untuk hasil percobaan munculnya bagian gambar sebanyak

satu kali dalam tiga kali pelemparan, nilai 2 untuk hasil percobaan munculnya bagian

gambar sebanyak dua kali dalam tiga kali pelemparan, nilai 3 untuk hasil percobaan

munculnya gambar sebanyak tiga kali dalam tiga kali pelemparan.

(4)

Misalnya,

( ) ( ) ( ) ( )

Bagaimana cara menetapkan peluang (kemungkinan/ probabilitas) ke nilai yang berbeda dari variabel acak ? Biasanya, perlu dibatasi untuk kasus ketika variabel acak terbatas.

Pada

contoh 1, pelemparan sebuah koin. Ini berarti bahwa setiap hasil pelemparan

memiliki peluang yang sama, yaitu, 1/8. Kita dapat menerjemahkan kumpulan peluang ini menjadi peluang untuk . Misalnya,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (* +) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Sehingga perhitungan untuk semua nilai seperti pada Tabel 1 berikut,

Tabel 1.

( )

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

Fungsi ( ) ( ) disebut fungsi kepadatan peluang (fungsi massa

probabilitas). Perhatikan bahwa ( ) dan ∑ ( ) adalah sifat-sifat yang

mendefinisikan fungsi kepadatan peluang.

(5)

Definisi.

Sebuah variabel acak disebut variabel acak diskrit jika variabel itu mengambil nilai diskrit terbatas atau tidak terbatas. Peluang distribusi dapat digambarkan dengan fungsi kepadatan peluang ( ) yang memiliki sifat-sifat berikut:

1. ( )

2. ∑ ( ) , di mana jumlahnya lebih dari semua nilai dengan ( ) 3. ( ) ( )

Fungsi kepadatan peluang adalah salah satu cara untuk menggambarkan peluang distribusi dari variabel acak diskrit. Fungsi penting lainnya yang menggambarkan peluang distribusi dari variabel acak adalah fungsi distribusi kumulatif ( ) ( ). Fungsi ini didisain untuk setiap variabel acak, tidak hanya diskrit.

Definisi.

Fungsi distribusi kumulatif ( ) dari variabel acak didefinisikan sebagai

( ) ( ) ∑ ( )

"fungsi distribusi kumulatif," biasanya hanya disebut "fungsi distribusi."

Fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi adalah cara yang setara untuk menggambarkan peluang distribusi dari variabel acak diskrit, dan kita dapat memperoleh satu dari yang lain, seperti yang diilustrasikan dalam contoh 2 dan contoh 3 berikut.

Contoh 2.

Misalkan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak diskrit diberikan oleh Tabel 2.

Tabel 2.

( )

-1 0.1

0 0.2

1.5 0.05

3 0.15

5 0.5

(6)

Tentukan dan gambarkanlah grafik fungsi distribusi ( ) yang sesuai.

Jawab.

Fungsi ( ) didefinisikan untuk semua nilai . Untuk contoh,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Fungsi distribusi ( ) adalah fungsi yang ditentukan secara terpisah (sepotong demi sepotong). Sehingga diperoleh,

( ) {

Grafik ( ) ditunjukkan pada Gambar 1 berikut,

Gambar 1. Fungsi Distribusi ( )

(7)

Pada Gambar 1, kita melihat bahwa grafik ( ) adalah fungsi yang tidak menurun dan konstan-satu yang mengambil lompatan pada nilai-nilai di mana ( ) . Fungsi ( ) adalah benar kontinu; yaitu, untuk setiap ,

( ) ( )

Fungsi tersebut tidak kontinu kiri di mana-mana, karena, pada nilai di mana ( ) ,

( ) ( ) Misalnya, ketika ,

( ) ( )

Selanjutnya, fungsi distribusi memiliki karakteristik tambahan sebagai berikut:

( ) dan

( )

Dimungkinkan untuk mendapatkan fungsi kepadatan peluang dari fungsi distribusi.

Mari kita lihat fungsi distribusi dari Contoh 2. Fungsi melompat ketika dan tinggi lompatan adalah 0.15. Karena ( ) ( ), sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Kita melihat bahwa fungsi distribusi melompat pada nilai dimana ( ) . Tinggi lompatan kemudian sama dengan peluang bahwa mengambil nilai tersebut.

Contoh 3.

Misalkan fungsi distribusi dari variabel acak diskrit diberikan oleh

( ) {

Tentukan fungsi kepadatan peluang yang sesuai.

Jawab.

Kita perlu melihat titik di mana ( ) melompat. Titik-titik di mana ( ) ( ) . Tinggi lompatan sama dengan peluang bahwa mengambil nilai tersebut. Diperoleh,

( ) ( ) ( ) ( )

(8)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Sehingga fungsi kepadatan peluang dari variabel acak diskrit pada Tabel 3 berikut.

Tabel 3.

( )

-5 0.2

2 0.4

3 0.1

6.5 0.3

Tidak ada nilai di mana ( ) . Kita dapat memeriksa hasil dengan menjumlahkan peluang yang baru saja ditemukan:

( ) ( ) ( ) ( )

Penjumlahannya menjadi 1, yang menunjukkan bahwa tidak ada nilai lain di mana ( ) .

2. DISTRIBUSI DISKRIT 2.1 Nilai Harapan

2.1.1 Nilai Rata-rata (Mean) dari Variabel Acak Diskrit

Nilai rata-rata disebut harapan matematika atau nilai harapan variabel acak dari (ekspektasi), atau mean, dan dilambangkan dengan ( ). Nilai harapan adalah jumlah yang sangat penting. Berikut ini definisinya:

Jika adalah variabel acak diskrit, maka nilai harapan, atau mean, dari adalah ( ) ∑ ( )

dengan penjumlahannya melebihi semua nilai dengan ( ) .

(9)

Ketika rentang adalah terbatas, jumlah dalam definisi selalu ditentukan. Ketika kisaran tidak terbatas, kita harus menjumlahkan jumlah istilah yang tidak terbatas.

Jumlah seperti itu bisa terbatas atau tidak terbatas, tergantung pada distribusi . Nilai harapan dari didefinisikan hanya jika keduanya yaitu ∑

( ) dan

∑

( ) adalah terbatas. Oleh karena itu, kita akan membatasi permasalahan untuk kasus-kasus di mana jumlahnya terbatas.

Contoh 4.

Ukuran sarang burung dapat dianggap sebagai variabel acak. Misalkan menunjukkan banyaknya telur per sarang yang diletakkan oleh spesies burung tertentu, dan menganggap bahwa distribusi dijelaskan oleh fungsi kepadatan peluang berikut:

( )

1 0.05

2 0.1

3 0.2

4 0.3

5 0.25

6 0.1

Nilai rata-rata telur per sarang dihitung sebagai nilai rata-rata jumlah tertimbang yaitu ( ) ∑ ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

Jadi, ukuran sarang burung rata-rata adalah 3.9.

Dalam

Contoh 5 akan memperkenalkan gagasan tentang frekuensi relatif, yang

memberi tahu seberapa sering suatu nilai muncul dalam sampel relatif terhadap ukuran sampel total.

Contoh 5.

Tabel berikut berisi banyaknya daun per tanaman selasih dalam 25 sampel tanaman selasih:

16 15 13 16 16

(10)

14 16 15 18 17

16 18 16 14 16

16 16 15 15 16

15 18 16 16 15

Untuk menemukan distribusi frekuensi relatif, kita harus menghitung seberapa sering setiap nilai terjadi dan kemudian dibagi dengan ukuran sampel, yaitu 25 dalam kasus ini. Hasilnya dirangkum dalam tabel berikut:

Banyak Daun 13 14 15 16 17 18

Frekuensi Relatif

Kita tafsirkan frekuensi relatif sebagai peluang. Jika variabel acak menunjukkan banyaknya daun per tanaman dengan distribusi peluang yang diberikan oleh distribusi frekuensi relatif, maka nilai harapan dari banyaknya daun per tanaman adalah

( )

Perhatikan bahwa meskipun banyaknya daun per tanaman adalah bilangan bulat, nilai rata-rata daun per tanaman tidak. Kita benar-benar akan kehilangan informasi berharga jika membulatkan angka rata-rata ke bilangan bulat terdekat.

Penting untuk dipahami bahwa nilai harapan dari variabel acak bilangan bulat tidak

perlu berupa bilangan bulat. Untuk menekankan hal ini, pertimbangkan nilai rata-rata

harapan kelahiran seumur hidup oleh wanita berusia 18 hingga 34 tahun pada tahun

1992. (Data yang diambil adalah data dari Biro Sensus AS, yang diterbitkan pada tahun

1994) Banyaknya harapan kelahiran seumur hidup oleh seorang wanita yang bukan

lulusan sekolah menengah adalah 2.393, sedangkan angka yang sesuai untuk wanita

dengan gelar sarjana atau profesional adalah 1.990. Jika kita membulatkan angka-angka

ini ke bilangan bulat terdekat, akan sama, yaitu, 2; kita tidak akan lagi melihat

perbedaan antara kedua kelompok perempuan itu.

(11)

Kita dapat mengubah definisi nilai harapan ke nilai harapan fungsi . Misalkan ( ) adalah fungsi . Sehingga

, ( )- ∑ ( ) ( )

Contoh 6.

Hitunglah ( ) untuk variabel acak dalam Contoh 4.

Jawab.

Dengan menggunakan fungsi kepadatan peluang yang diberikan dalam

Contoh 4,

diperoleh

( ) ∑ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2.1.2 Ragam (Variansi) dari Variabel Acak Terpisah

Kuantitas penting lainnya yang menjadi ciri distribusi variabel acak adalah ragam (variansi). Variansi tersebut menggambarkan bagaimana penyebaran rentang variabel acak. Untuk memotivasi definisi, mari kita lihat dua variabel acak dan , dengan fungsi kepadatan peluang seperti berikut:

( ) ( )

-10 0 0.2

-1 0.2 0

0 0.6 0.6

1 0.2 0

10 0 0.2

Kita gambarkan dua distribusi ini seperti pada Gambar 2 berikut:

(12)

TAHAP PERSIAPAN BERSAMA | 2018/2019 11 Gambar 2. Fungsi kepadatan peluang dan . Distribusi lebih tersebar daripada distribusi .

Kedua variabel acak memiliki rata-rata 0, tetapi rentang jauh lebih tersebar daripada kisaran .

Untuk menangkap ide ini dalam kuantitas tunggal, kita akan menghitung variansi, yang didefinisikan sebagai rata-rata tertimbang dari jarak kuadrat ke rata-rata:

Untuk setiap variabel acak dengan rata-rata , variansi didefinisikan sebagai ( ) ,( ) -

Jika adalah variabel acak diskrit, maka

( ) ∑( ) ( )

Karena variansi adalah nilai rata-rata dari jarak kuadrat, nilainya selalu tidak negatif.

Kita kembali ke variabel acak dan . Nilai mean keduanya sama dengan 0, begitu juga variansinya adalah

( ) ∑( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(13)

( ) ∑( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Kita melihat bahwa variansi lebih besar dari variansi , mencerminkan fakta bahwa rentang lebih tersebar daripada rentang .

Variansi sering dilambangkan dengan (baca “sigma kuadrat”). Kuantitas yang terkait erat dengan variansi adalah simpangan baku (standar deviasi), dilambangkan dengan s.d. atau . Simpangan baku didefinisikan sebagai akar kuadrat dari variansi

√ ( )

Simpangan baku memiliki keuntungan bahwa ia memiliki unit yang sama dengan mean dan dapat ditafsirkan lebih mudah daripada variansi.

Contoh 7.

Hitung variansi dan simpangan baku dari banyaknya daun per tanaman pada Contoh 5.

Jawab.

Misalkan adalah variabel acak yang menghitung banyaknya daun per tanaman dengan peluang distribusi yang diberikan dalam tabel

Contoh 5. Dalam contoh tersebut,

diperoleh bahwa ( ) . Oleh karena itu, variansi adalah

( ) ∑( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

dan simpangan baku adalah

( ) √ ( ) √

(14)

Kita dapat menggunakan aturan untuk menemukan formula alternatif untuk variansi.

Mulai dengan

( ) kemudian mengalikan harapan pada kedua sisi, diperoleh

( ) ( )

Karena harapan dari penjumlahan adalah jumlah dari harapan, pada sisi kanan dapat disederhanakan menjadi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )-

Karena ( ) , ( ) , ( )- , dan ( ) ( ) , ( )- . Dengan ( ) ( ), diperoleh

( ) ( ) , ( )-

Rumus variansi ini sering lebih nyaman digunakan, karena rumus ini menghasilkan ekspresi yang lebih sederhana secara aljabar. Perhatikan bahwa ( ) , ( )- , kecuali ( ) , dan ( ) , ( )- , karena ( ) . Pada

contoh 8,

diterapkan formula ini ke variabel acak dalam Contoh 4.

Contoh 8.

Gunakanlah variabel acak dalam Contoh 4, hasil dari Contoh 6, dan rumus alternatif variansi untuk menghitung variansi .

Jawab.

Dalam Contoh 4, diperoleh bahwa ( ) . Dalam Contoh 6, kita hitung ( ) dan diperoleh

( ) Sehingga,

( ) ( ) , ( )- ( )

2.2 Distribusi Binomial

Dalam subbab ini, kita akan membahas variabel acak diskrit yang memodelkan

banyaknya keberhasilan di antara banyaknya percobaan. Misalkan melakukan secara

acak percobaan berulang di mana setiap percobaan memiliki dua hasil yang mungkin:

(15)

yaitu berhasil atau gagal. Setiap percobaan tersebut disebut percobaan Bernoulli. Uji coba bersifat independen dan peluang keberhasilan dalam setiap uji coba adalah . Kami mendefinisikan variabel acak , sebagai

{ dengan ( ) ( ) untuk .

Jika kita mengulangi percobaan ini sebanyak kali, kita mungkin ingin mengetahui banyaknya total keberhasilan. Kita menetapkan

banyaknya keberhasilan dalam percobaan Kita dapat mendefinisikan dalam variabel acak sebagai

∑

( ) Karena percobaan adalah bebas (independen), representasi ini menunjukkan bahwa dapat ditulis sebagai penjumlahan dari variabel acak independen, semuanya memiliki distribusi yang sama. Kita akan menggunakan persamaan (1) untuk selanjutnya.

Variabel acak adalah diskrit dan mengambil nilai . Untuk menemukan fungsi kepadatan peluang ( ) ( ), kita berdebat sebagai berikut: Peristiwa

* + dapat direpresentasikan sebagai rangkaian dari nol dan yang memanjang, di mana 0 merupakan kegagalan dan 1 mewakili keberhasilan. Sebagai contoh, jika dan , maka 01101 dapat diartikan sebagai hasil dari lima percobaan, yang pertama menghasilkan kegagalan, diikuti oleh dua keberhasilan, kemudian kegagalan, dan akhirnya keberhasilan. Peluang hasil khusus ini mudah dihitung, karena uji coba bersifat independen. Kita peroleh

( ) ( ) ( ) ( )

Hasil 01101 bukan satu-satunya dengan tiga keberhasilan dalam lima percobaan: Setiap

rangkaian dengan panjang 5 dengan tepat tiga yang memiliki peluang yang sama. Untuk

menentukan banyaknya rangkaian yang berbeda dengan sifat ini, perhatikan bahwa ada

. / cara yang berbeda untuk menempatkan ketiga di lima posisi yang mungkin dan ada

tepat satu cara untuk menempatkan nol di dua posisi yang tersisa. Karenanya, ada

. / . / rangkaian yang berbeda dengan panjang 5 dengan tepat tiga. Ada cara

lain untuk menemukan ini; yaitu, ada 5! cara mengatur tiga yang dan dua nol jika nol

(16)

dan yang dibedakan. Karena nol dan yang dapat disusun ulang di antara itu sendiri tanpa mengubah hasilnya, kita harus membagi dengan urutan. Kemudian menemukan bahwa ada

. /

hasil yang berbeda. Karena semua hasil sama-sama mungkin, diperoleh ( ) . / ( )

Kita dapat menggunakan alasan yang sama untuk memperoleh rumus umum, yang disimpulkan sebagai berikut:

Distribusi Binomial.

Misalkan adalah variabel acak yang menghitung banyaknya keberhasilan dalam uji independen, masing-masing memiliki peluang keberhasilan dan peluang kegagalan . Kemudian dikatakan didistribusikan secara biner dengan parameter dan , dan

( ) ( ) . / ( )

Variabel acak disebut variabel acak binomial, dan distribusinya disebut distribusi binomial.

Contoh 9.

Pelemparan sebuah koin sebanyak empat kali. Tentukan peluang bahwa sebenarnya ada tiga bagian kepala yang muncul.

Jawab.

Misalkan menunjukkan banyaknya bagian kepala yang muncul. Jika bagian kepala menunjukkan keberhasilan, maka peluang keberhasilan adalah . adalah distribusi binomial dengan parameter dan . Sehingga,

( ) . / ( ) ( )

( ) (

)

Jika kita hitung menggunakan tabel distribusi binomial pada Lampiran (hal 21) maka ( ) ( ) ∑ ( )

∑ ( )

(17)

TAHAP PERSIAPAN BERSAMA | 2018/2019 16 Contoh 10.

Dalam pengiriman 10 kotak, setiap kotak memiliki peluang rusak. Tentukan peluang memiliki dua atau lebih kotak yang rusak dalam pengiriman.

Jawab.

Misalkan

menunjukkan banyaknya kotak yang rusak dalam pengiriman.

adalah distribusi binomial dengan parameter dan . Kejadian dua atau lebih kotak yang rusak kemudian dapat ditulis sebagai

. Untuk menghitung (

), kita gunakan rumus

(

) (

) , (

) (

)- 0.

/ ( ) ( )

.

/ ( ) ( ) 1

Jika kita hitung menggunakan tabel distribusi binomial pada Lampiran (hal 21) maka (

) (

)

∑ ( )

Jika kita menggunakan representasi ∑

dari persamaan (1) untuk variabel acak binomial , Bisa langsung digunakan untuk menghitung rata-rata dan variansinya.

Kita peroleh,

( ) ( ) ( )( ) Dan, dengan ( ) ( ) ( ) ( ) , didapatkan

( ) ( ) , ( )- ( )

Karena untuk semua , , memiliki distribusi yang sama, maka dari itu didapatkan

( ) (∑

) ∑

( ) Selain itu, karena bersifat independen,

( ) (∑

) ∑ ( )

( ) ( )

(18)

Kita dapat simpulkan sebagai berikut:

Jika adalah distribusi binomial dengan parameter dan , maka ( ) dan ( ) ( )

Contoh 11.

Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0.4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluang a. antara 2 sampai 4 yang sembuh

b. tentukan nilai harapan dari variabel acak binomial c. tentukan variansi dari variabel acak binomial Jawab.

Misalkan

banyaknya penderita yang sembuh.

adalah distribusi binomial dengan parameter dan . Maka

a. (

) (

) . / ( ) ( )

.

/ ( ) ( )

. / ( ) ( )

Jika kita hitung menggunakan tabel distribusi binomial pada

Lampiran (hal 21)

maka

(

) ∑ ( )

∑ ( )

b. (

) ( )( )

c. (

) ( )( )( )

(19)

RINGKASAN

Diskrit Fungsi Kepadatan

Peluang

( ) ( ) Sifat-sifat:

1. ( )

2. ∑ ( ) , di mana jumlahnya lebih dari semua nilai dengan ( )

3. ( ) ( )

Fungsi Distribusi ( ) ( ) ∑

( ) .

Nilai Harapan

(Mean) dari Variabel Acak

( ) ∑ ( )

, ( )- ∑ ( ) ( )

Variansi dari Variabel Acak

( ) ( ) ∑( ) ( )

( ) ( ) , ( )- ∑ ( ) [∑ ( )]

Simpangan Baku √ ( )

Distribusi Binomial

( ) . / ( )

( ) ∑

( ) dengan tabel distribusi binomial

Nilai Harapan

(Mean) Distribusi Binomial

( )

Variansi Distribusi Binomial

( ) ( )

(20)

LATIHAN

1. Pelemparan sebuah koin sebanyak dua kali. Misalkan merupakan variabel acak yang menghitung banyaknya bagian angka yang muncul di setiap hasil. Tentukan fungsi kepadatan peluang yang menggambarkan distribusi .

2. Misalkan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak diskrit diberikan:

( )

-3 0.2

-1 0.3

1.5 0.4

2 0.1

a. Tentukan fungsi distribusi ( ) yang sesuai,

b. Gambarkanlah grafik fungsi kepadatan peluang ( ) dan fungsi distribusi ( ).

3. Misalkan merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi distribusi

( ) {

Tentukan fungsi kepadatan peluang .

4. Tabel berikut berisi banyaknya daun per tanaman selasih dalam sampel ukuran 25:

19 21 20 13 18

14 17 14 17 17

13 15 12 15 17

15 16 18 17 14

14 14 13 20 13

a. Tentukan distribusi frekuensi relatif,

b. Hitunglah nilai rata-rata menggunakan distribusi frekuensi relatif yang diperoleh dalam (a).

5. Misalkan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak diskrit diberikan oleh tabel:

( )

-2 0.1

-1 0.4

(21)

0 0.3

1 0.2

a. Tentukan ( ), b. Tentukan ( ), c. Tentukan ( ),

d. Tentukan simpangan baku dari , e. Tentukan , ( )-.

6. Pelemparan sebuah koin sebanyak 10 kali. Misalkan

adalah banyaknya bagian gambar yang muncul. Tentukan

a. (

), b. (

), c. (

).

7. Peluang seseorang sembuh dari operasi jantung yang rumit adalah 0.9.

a. Berapakah peluang tepat 5 dari 7 orang yang menjalani operasi ini akan sembuh?

b. Tentukan nilai harapan dari variabel acak binomial tersebut,

c. Tentukan variansi dari variabel acak binomial tersebut.

(22)

Lampiran Tabel Distribusi Binomial ( ) ∑

( )

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

DAFTAR PUSTAKA

Neuhauser, Claudia. Calculus for Biology and Medicine 3

^rd Ed. Prentince Hall. 2011.

Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H. Ilmu Peluang dan Statistika untuk

Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 3. Bandung: Penerbit ITB, 1995.