Bab 2
LANDASAN TEORI
2.1 Perencanaan Produksi
Perencanaan produksi merupakan perencanaan tentang produk apa dan berapa yang akan diproduksi oleh perusahaan yang bersangkutan dalam satu periode yang akan datang. Perencanaan produksi merupakan bagian dari perencanaan operasional didalam perusahaan. Dalam penyusunan perencanaan produksi, hal yang perlu dipertimbangkan adalah adanya optimasi produksi sehingga akan dapat dicapai tingkat biaya yang paling rendah untuk pelaksanaan proses produksi tersebut.
Perencanaan produksi juga dapat didefinisikan sebagai proses untuk memproduksi barang-barang pada suatu periode tertentu sesuai dengan yang diramalkan atau dijadwalkan melalui pengorganisasian sumber daya seperti tenaga kerja, bahan baku, mesin dan peralatan lainnya. Perencanaan produksi menuntut penaksir atas permintaan produk atau jasa yang diharapkan akan disediakan perusahaan di masa yang akan datang.
Dari sudut pandang pabrikasi, perencanaan produksi membantu dalam menentukan berapa peningkatan kapasitas yang dibutuhkan dan penyesuaian-penyesuaian kapasitas apa saja yang perlu dilakukan, dari sudut pandang pemasaran perencanaan produksi menentukan berapa jumlah produk yang disediakan untuk memenuhi permintaan, dari sudut pandang keuangan, perencanaan produksi mengidentifikasikan besarnya kebutuhan dana dan memberikan dasar dalam membuat anggaran.
2.2 Persediaan
2.2.1 Pendahuluan
Persediaan merupakan suatu aktiva yang meliputi barang-barang milik perusahaan dengan maksut untuk dijual dalam suatu periode usaha tertentu, atau persediaan barang-barang yang masih dalam pengerjaan/proses produksi, ataupun persediaan barang baku yang menunggu penggunaannya dalam suatu proses produksi. Jadi persediaan merupakan bahan-bahan, bagian yang disediakan, dan bahan-bahan dalam proses yang terdapat dalam perusahaan untuk proses produksi, serta barang-barang jadi atau produk yang disediakan untuk memenuhi permintaan dari konsumen atau pelanggan setiap waktu.
Prinsip dasar persediaan mempermudah atau memperlancar jalannya operasi perusahaan pabrik yang harus dilakukan secara berturut-turut untuk memproduksi barang-barang serta menyampaikannya kepada para pelanggan atau konsumen.
Persediaan yang diadakan mulai dari bahan baku sampai barang jadi berguna untuk :
1. Menghilangkan resiko keterlambatan datangnya barang. 2. Menghilangkan resiko barang yang rusak.
3. Mempertahankan stabilitas operasi perusahaan. 4. Mencapai penggunaan mesin yang optimal.
5. Memberi pelayanan yang sebaik-baiknya bagi konsumen.
2.2.2 Biaya-Biaya Persediaan
Untuk pengambilan keputusan penentuan besarnya jumlah persediaan, biaya-biaya variabel berikut harus dipertimbangkan.
1. Biaya penyimpanan (holding costs atau carrying costs), yaitu terdiri atas biaya-biaya yang bervariasi secara langsung dengan kuantitas persediaan. Biaya penyimpanan per periode akan semakin besar apabila kuantitas bahan yang dipesan semakin banyak atau rata-rata persediaan semakin tinggi. Biaya-biaya yang termasuk biaya penyimpan adalah :
a. Biaya fasilitas-fasilitas penyimpanan (termasuk penerangan, pendinginan ruangan, dan sebagainya).
b. Biaya modal (opportunity cost of capital), yaitu alternatif pendapatan atas dana yang diinvestasikan dalam persediaan.
c. Biaya asuransi persediaan. d. Biaya pajak persediaan.
e. Biaya penanganan persediaan dan sebagainya.
Biaya-biaya tersebut di atas merupakan variabel apabila bervariasi dengan tingat persediaan. Apabila biaya fasilitas penyimpanan (gudang) tidak variabel, tetapi tetap, maka tidak dimasukkan dalam biaya penyimpanan per unit.
Biaya penyimpanan persediaan biasanya berkisar antara 12 sampai 40 persen dari biaya atau harga barang. Untuk perusahaan-perusahaan manufacturing biasanya, biaya penyimpanan rata-rata secara konsisten sekitar 25 persen.
2. Biaya pemesanan atau pembelian (ordering costs atau procurement cost). Biaya-biaya ini meliputi :
a. Pemrosesan pesanan dan biaya ekspedisi. b. Upah.
c. Biaya telepon.
d. Pengeluaran surat menyurat.
e. Biaya pengepakan dan penimbangan.
f. Biaya pemeriksaan (inspeksi) penerimaan dan sebagainya.
Pada umumnya, biaya pemesanan (di luar biaya bahan dan potongan kuantitas) tidak naik apabila kuantitas pesanan bertambah besar. Tetapi, apabila semakin banyak komponen yang dipesan setiap kali pesan, jumlah pesanan per periode turun, maka biaya pemesanan total akan turun. Ini berarti, biaya pemesanan total periode (tahunan) sama dengan jumlah pesanan yang dilakukan setiap periode dikalikan biaya yang harus dikeluarkan setiap kali pesanan.
3. Biaya penyiapan (manufacturing) atau set-up costs. Hal ini terjadi apabila bahan-bahan tidak dibeli, tetapi diproduksi sendiri “dalam pabrik” perusahaan, perusahaan mengahadapi biaya penyiapan (set-up cost) untuk memproduksi komponen tertentu. Biaya-biaya ini terdiri dari :
b. Biaya persiapan tenaga kerja langsung. c. Biaya penjadwalan.
d. Biaya ekspedisi dan sebagainya.
Seperti halnya biaya pemesanan, biaya penyiapan total per periode sama dengan biaya penyiapan dikalikan jumlah penyiapan per periode.
4. Biaya kehabisan atau kekurangan bahan (stockout) atau shortage costs adalah biaya yang timbul apabila persediaan tidak mencukupi adanya permintaan bahan. Biaya-biaya yang termasuk Biaya-biaya kekurangan bahan adalah sebagai berikut :
a. Kehilangan penjualan. b. Kehilangan pelanggan. c. Biaya pemesanan khusus. d. Biaya ekspedisi.
e. Selisih harga.
f. Terganggunya operasi.
g. Tambahan pengeluaran kegiatan manajerial dan sebagainya.
Biaya kekurangan bahan sulit diukur dalam prakteknya, terutama karena kenyataannya biaya ini sering merupakan opportunity costs yang sulit diperkirakan secara objektif.
2.2.3 Model Persediaan Economic Order Quantity ( EOQ )
Economic Order Quantity (EOQ) adalah model persediaan yang pertama kali
dikembangkan tahun 1915 secara terpisah oleh Ford Harris dan R.H. Wilson. Model ini merupakan kuantitas persediaan yang optimal atau yang menyebabkan biaya persediaan mencapai titik terendah.
Model ini juga merupakan model deterministik yang memperhitungkan dua macam biaya persediaan paling besar,yaitu :
1. Biaya Pesan (BP). 2. Biaya Simpan (BS).
Biaya Total Persediaan = Biaya Pesan + Biaya Simpan
Dalam hal ini :
a. Model ini mengasumsikan bahwa persediaan akan dipesan sebesar 𝑄 unit dan datang serentak.
b. Biaya Pesan (BP) adalah biaya yang harus dikeluarkan oleh organisasi karena pemesanan suatu barang. Semakin sering pemesanan suatu barang dilakukan maka semakin besar biaya pesan itu.
Gambar 2.1 Fungsi Biaya Pesan
Jika,
BP : Biaya Pesan
D : Kebutuhan dalam suatu periode perencanaan
𝑄 : Jumlah barang yang dipesan setiap kali pesanan yang dibuat
S : Biaya yang harus dikeluarkan setiap kali pesanan dibuat
Maka,
𝐵𝑃 = 𝐷𝑄 𝑆 (1) 𝐵𝑃 =𝐷𝑄 𝑆
Biaya pesan semakin rendah bila unit yang dipesan semakin banyak
BP
c. Biaya Simpan harus dikeluarkan oleh organisasi berkaitan dengan penyimpanan persediaan. Semakin banyak dan semakin lama persediaan disimpan maka semakin besar biaya persediaan itu. Karena siklus persediaan adalah datang-digunakan-habis maka volume persediaan didasarkan pada persediaan rata-rata, yaitu (persediaan awal + persediaan akhir) / 2.
Gambar 2.2 Fungsi Biaya Simpan
Jika,
BS :Biaya Simpan
𝑄 :Jumlah barang yang dipesan setiap kali pesanan dibuat
h :Biaya yang harus dikeluarkan untuk menyimpan setiap unit persediaan
Maka,
𝐵𝑆 = 𝑄2 ℎ (2) Karena persediaan datang secara serentak sebesar Q, maka persediaan awal adalah Q dan persediaan akhir adalah nol ketika persediaan habis dipakai sehingga rata-rata adalah Q/2.
Oleh karena itu, BTP = BP + BS, atau 𝐵𝑆 =𝑄2 ℎ
Biaya simpan semakin tinggi bila unit yang disimpan semakin banyak
BP
𝐵𝑇𝑃 =𝐷𝑄 𝑆 +𝑄2 ℎ (3)
Gambar 2.3 Biaya Total Persediaan
Biaya total persediaan akan naik jika semakin banyak unit (Q) yang dipesan maupun semakin sedikit unit yang dipesan. Ketika biaya pesan sama dengan biaya simpan, kondisi minimum biaya total persediaan tercapai.
Secara matematik, 𝐵𝑃 = 𝐵𝑆 atau 𝐷 𝑄 𝑆 = 𝑄 2 ℎ 𝑄2 = 2𝐷𝑆 ℎ 𝑄 = �2𝐷𝑆ℎ (4) 𝑄 BP 𝑄′ Rp BS BTP BTP minimum
Persamaan (4) menunjukkan unit Q pada saat biaya pesan tepat sama dengan biaya simpan dan biaya total persediaan minimum. Kondisi ini sering disebut
Eqonomic Order Quantity (EOQ) atau tingkat pesanan ekonomis.
Untuk membuktikan bahwa (4) akan menghasilkan BTP minimum, kita akan mencari turunan pertama (3) yaitu :
𝐵𝑇𝑃 = 𝐷𝑄 𝑆 =𝑄2 ℎ 𝑑(𝐵𝑇𝑃) 𝑑𝑄 = −𝐷 𝑄2 𝑆 + ℎ 2 Syarat minimum 𝑑(𝐵𝑇𝑃) 𝑑𝑄 = 0 Sehingga −𝐷 𝑄2 𝑆 + ℎ 2 = 0 atau ℎ 2 = 𝐷 𝑄2𝑆 𝑄2 = 2𝐷𝑆 ℎ Jadi, 𝑄 = �2𝐷𝑆ℎ (5)
Dengan demikian, jelas sekali bahwa kondisi minimum Biaya Total Persediaan terjadi tepat ketika Biaya Pesan sama dengan Biaya Simpan seperti terlihat pada gambar 2.3 diatas.
2.2.4 Biaya Total Persediaan Minimum
Q pada (5) adalah Q optimal yang akan menghasilkan biaya total persediaan minimum atau biaya pesan tepat sama dengan biaya simpan. Bila Q pada (5) disubsitusikan ke (3) maka akan dapat menurunkan BTP minimum.
Dari (3), 𝐵𝑇𝑃 =𝐷𝑄 𝑆 +𝑄2 ℎ =2𝐷𝑆2𝑄 +𝑄2𝑄2ℎ =2𝐷𝑆 + 𝑄2𝑄 2ℎ Karena (5), 𝑄 = �2𝐷𝑆ℎ Maka, 𝐵𝑇𝑃 = 2𝐷𝑆 + ��2𝐷𝑆ℎ � 2 ℎ 2�2𝐷𝑆ℎ =2𝐷𝑆 + 2𝐷𝑆 ℎ ℎ 2�2𝐷𝑆ℎ = 2𝐷𝑆 �2𝐷𝑆ℎ [𝐵𝑇𝑃]2 = 4𝐷2𝑆2 2𝐷𝑆 ℎ
= 2𝐷𝑆 Jadi,
𝐵𝑇𝑃 = √2𝐷𝑆ℎ (6) Dengan demikian, (6) adalah fungsi BTP minimum jika Q optimal diperoleh melalui (4) atau (5).
2.2.5 Persediaan Pengaman (Safety Stock)
Persediaan pengaman adalah persediaan tambahan yang diadakan untuk melindungi atau menjaga kemungkinan terjadinya kekurangan bahan (stock out). Persediaan pengaman terjadi apabila penggunaan persediaan melebihi perkiraan. Ada beberapa faktor yang menentukan besarnya persediaan pengaman yaitu :
a. Penggunaan bahan baku rata-rata. b. Faktor waktu.
c. Biaya-biaya yang digunakan.
Ketika pemintaan/demand (D) selama periode kedatangan pesanan/lead time (L) tidak bisa diketahui sebelumnya secara pasti, maka deviasi kapan persediaan dibutuhkan dan kapan persediaan datang harus diketahui. Distribusi Normal akan digunakan untuk menggambarkan perilaku penyimpangan tersebut.
Dengan menggunakan bantuan Kurva Normal, distribusi penyimpangan perilaku permintaan bahan baku dan periode kedatangan pesanan dapat didekati.
Gambar 2.4 Transformasi Penyimpangan dengan Kurva Normal
Jika rata-rata permintaan selama periode kedatangan pesanan ditransformasi ke mean atau m Kurva Normal, maka perilaku penyimpangan tingkat permintaan itu akan menyebar di sekitar m sehingga deviasi penyebaran itu akan dapat digunakan untuk memperkirakan persediaan cadangan/safety stock (SS) yang berdasar pada perilaku penyimpangan variabel-variabel yang mempengaruhinya dan dinyatakan dalam σ.
Gambar 2.5 Penyimpangan Perilaku dan Persediaan Pengaman
L L L 𝑡0 𝜎 𝜎 Waktu % Kehabisan Persediaan Safety Stock (SS) Waktu 𝜎 𝑡0 𝑄
2.2.5.1 Memperkirakan Persediaan Pengaman dengan Kurva Normal
Di dalam statistika, dikenal berbagai distribusi data. Salah satunya yang terkenal dan luas penggunaannya adalah Distribusi Normal. Karakteristik Distribusi Normal dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 2.6 Distribusi Normal
Gambar 2.6 menjelaskan cakupan luas area pada Kurva Normal di mana penyimpangan atau deviasi x terhadap rata-rata 𝑥̅ adalah (𝑥 − 𝑥̅ ) dan dinyatakan dalam standar deviasi 𝜎. Pada dasarnya, 𝜎 menandai cakupan suatu luas area tertentu pada Kurva Normal. Pada kasus persediaan pengaman ini, penyimpangan-penyimpangan 𝑥𝑖 terhadap 𝑥̅ . Dinyatakan dalam 𝜎 melalui :
𝜎 = �∑(𝑥𝑖𝑛− 𝑥̅)2 (7)
Selanjutnya, 𝜎 dari (7) digunakan untuk menemukan luas area dalam Kurva Normal melalui :
𝑧 = 𝑥 − 𝑥̅ 𝜎 (8) Nilai z pada (8) berkaitan dengan 4 digit bilangan di belakang koma yang menjelaskan berapa bagian atau persen luas area yang dicakup pada 𝜎 di (7). Karena luas seluruh area dalam Kurva Normal itu terdiri atas dua bagian yang simetrik sempurna, yaitu di sebelah kiri 𝑥̅ dan di sebelah kanan 𝑥̅ dan tabel itu hanya mewakili
salah satu sisi saja, maka setiap bagian atau area 50% atau 0,5. Sebagai contoh, z = 1,28 meliputi area seluas 0,3997 bagian atau 39,97%. Lihat gambar 2.7.
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,2 0,832 0,3 0,1255 0,4 0,1644 0,5 0,2054 1,1 1,2 1,6 0,4995 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
Gambar 2.7 Tabel Standar Deviasi Distribusi Normal
Dalam hal ini, karena Kurva Normal digunakan sebagai alat bantu untuk mengetahui berapa banyak safety stock (SS) harus disediakan berdasarkan data penyimpangan-penyimpangan masa lalu, maka luas area akan menjadi 50% + 39,97%. Atau, luas area di mana persediaan akan tidak ada atau habis adalah 50% − 39,97% = 11,03% atau 100% − 89,97% = 11,03%.
Gambar 2.8 Proporsi Persediaan Pengaman (Safety Stock)
Untuk memudahkan pemahaman mengenai penggunaan Kurva Normal pada kasus penentuan persediaan pengaman, maka (8) bisa diubah menjadi :
𝑧𝜎 = 𝑥 − 𝑥̅ (9) Dan sebelumnya dapat ditentukan berapa persen (z) kemungkinan kehabisan persediaan sebagai Faktor Keamanan untuk menentukan persediaan cadangan. Karena (𝑥 − 𝑥̅ ) mencerminkan persediaan pengaman, maka besarnya persediaan pengaman/safety stock (SS) adalah :
𝑆𝑆 = 𝑧 × 𝜎 (10)
2.3 Program Linier
2.3.1 Pengertian
Program linier adalah metode atau teknik matematik yang digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Secara umum dapat dikatakan bahwa masalah dengan program linier adalah pengalokasian sumber daya yang terbatas seperti, tenaga kerja, bahan baku, jam, kerja mesin, dan modal dengan cara sebaik mungkin sehingga diperoleh maksimasi yang dapat berupa maksimum keuntungan biaya atau minimasi yang dapat berupa minimum biaya.
89,97% Safety Stock % Kehabisan Persediaan Safety Stock Waktu 𝜎 𝑄 𝑡0
Program linier menggunakan model matematik untuk menjelaskan persoalan yang dihapinya. Program merupakan sinonim untuk perencanaan sedangkan sifat linier memberi arti bahwa seluruh fungsi matematik dalam model ini merupakan fungsi yang linier. Dengan demikian program linier adalah perencanaan aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel.
Suatu penyampaian masalah program linier perlu dibentuk formulasi secara matematik dari masalah yang sedang dihadapi dengan memenuhi syarat sebagai berikut :
1. Adanya variabel keputusan yang dinyatakan dalam simbul matematik dan variabel keputusan ini tidak negatif.
2. Adanya fungsi tujuan dari variabel keputusan yang menggambarkan kriteria pilihan terbaik. Fungsi ini harus dibuat dalam suatu sel fungsi linier yang dapat berupa maksimum atau minimum.
3. Adanya kendala sumber daya yang dibuat dalam satu set fungsi linier.
2.3.2 Aplikasi Model Program Linier
Model program linier dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan berbagai masalah diantaranya yaitu :
a. Masalah product mix atau kombinasi produksi, yaitu menentukan berapa jumlah dan jenis produk yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan maksimum atau biaya minimum dangan memperhatikan sumber daya yang dimiliki.
b. Masalah perencanaan investasi, yaitu berapa banyak dana yang akan ditanamkan dalam setiap alternatif investasi, agar memaksimumkan return on investment atau
net present value dengan memperhatikan kemampuan dana tersedia dan ketentuan
c. Masalah perencanaan produksi dan persediaan, yaitu menentukan berapa banyak produk yang akan diproduksi setiap periode, agar meminimumkan biaya persediaan, sewa, lembur, dan biaya subkontrak.
d. Masalah perencanaan advertensi/promosi, yaitu berapa banyak dana yang akan dikeluarkan untuk kegiatan promosi, agar diperoleh efektivitas penggunaan media promosi.
e. Masalah diet, yaitu berapa banyak setiap sumber makanan digunakan untuk membuat produk makanan baru.
f. Masalah pencampuran, yaitu berapa banyak jumlah setiap bahan yang akan digunakan untuk membuat bahan baru.
g. Masalah distribusi/transportasi, yaitu jumlah produk yang akan dialokasikan ke setiap lokasi pemasaran.
2.3.3 Asumsi Model Program Linier
Terdapat empat asumsi dasar dalam penyelesaian masalah dengan model program linier, yaitu :
a. Liniaritas, yaitu fungsi tujuan (objective function) dan kendala (constraint
equations) dapat dibuat satu set fungsi linier.
b. Divisibility, yaitu nilai variabel keputusan dapat berbentuk pecahan atau bilangan bulat (integer).
c. Nonnegativity, yaitu nilai variabel keputusan tidak boleh negatif atau sama dengan nol.
d. Certainty, yaitu semua keterbatasan maupun koefisien variabel setiap kendala dan fungsi tujuan dapat ditentukan secara pasti.
Keempat asumsi diatas harus dipenuhi apabila ingin menyelesaikan masalah model program linier. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.
2.3.4 Formulasi Model Program Linier
Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
2.3.5 Pembentukan Model Program Linier
Untuk membentuk model program linier atau sering juga disebut model matematik
linear programming, terdapat tiga langkah utama yang harus dilakukan, yaitu :
1. Menentukan variabel keputusan atau variabel yang ingin diketahui dan menggambarkan dalam simbul matematik.
2. Menentukan tujuan dan menggambarkan dalam satu sel fungsi linier dari variabel keputusan yang dapat berbentuk maksimum atau minimum.
3. Menentukan kendala dan menggambar dalam bentuk persamaan linier atau ketidaksamaan linier dari variabel keputusan.
Didalam model program linier dikenal dua macam fungsi yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi batasan (constraint function). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran di dalam permasalahan.
Program Linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya agar diperoleh keuntungan maksimal atau biaya yang minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai z.
Dalam pembahasan model program linier digunakan simbol-simbol sebagai berikut :
m : macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia
n : macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut
i : nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tesedia (i : 1,2,3,….,m)
j : nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (j : 1,2,3,…,n)
𝑥𝑗 : tingkat kegiatan ke j (j : 1,2,3,…,n)
𝑎𝑖𝑗 : banyak sumber yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran atau output kegiatan j (i : 1,2,3,…,m dan j : 1,2,3,…,n)
𝑏𝑖 : banyak sumber (fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (i: 1,2,3,…,n)
z : nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum)
𝑐𝑗 : kenaikan nilai z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai z
Tabel 2.1 Data Untuk Model Program Linier
Pemakaian sumber per unit (keluaran) 1 2 3 ... n Kapasitas produksi 1 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ... 𝑎1𝑛 𝑏1 2 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ... 𝑎2𝑛 𝑏2 3 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ... 𝑎3𝑛 𝑏3 ... ... ... ... ... ... ... M 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 .... 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 Kegiatan Sumber
∆z : pertambahan tiap unit
Tingkat kegiatan
𝑐1 𝑐2 𝑐3 .... 𝑐𝑛
𝑥1 𝑥2 𝑥3 ... 𝑥𝑛
Atas dasar pengertian diatas maka dapat dirumuskan model matematis sebagai berikut : Fungsi Tujuan : Maksimasi/Minimasi 𝑧 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ 𝑐3𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 (1) Batasan-batasan : 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥1+ 𝑎13𝑥1+ ⋯ + 𝑎1𝑚𝑥𝑛 ≤/=/≥ 𝑏1 (2) 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥1+ 𝑎23𝑥1+ ⋯ + 𝑎2𝑚𝑥𝑛 ≤/=/≥ 𝑏2 (3) 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥1+ 𝑎𝑚3𝑥1+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤/=/≥ 𝑏𝑚 (4) 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 ≥ 0 2.3.6 Penyelesaian Program Linier
2.3.6.1 Penyelesaian Program Linier dengan Metode Simpleks
Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam program linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).
Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (j ika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persama an (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum program linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum program linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu : 1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi
persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.
3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum, ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).
Maksimum : 𝑧 = 3𝑥1+ 5𝑥2+ 4𝑥3 Contoh kasus Kendala : 𝑥1+ 2𝑥2+ 3𝑥3 ≤ 10 2𝑥1+ 3𝑥2+ 𝑥3 ≤ 16 3𝑥1+ 2𝑥2+ 𝑥3 ≤ 20 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
Bentuk di atas adalah bentuk umum program liniernya. Kedalam bentuk baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi :
Maksimum : 𝑧 = 3𝑥1+ 5𝑥2+ 4𝑥3+ 0𝑠4+ 0𝑠5+ 0𝑠6 Kendala : 𝑥1+ 2𝑥2+ 3𝑥3+ 𝑠4 = 10
2𝑥1+ 3𝑥2+ 𝑥3+ 𝑠5 = 16 3𝑥1+ 2𝑥2+ 𝑥3+ 𝑠6 = 20 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑠4, 𝑠5, 𝑠6 ≥ 0
𝑠4, 𝑠5, 𝑠6 merupakan variabel slack
Tabel 2.2 Iterasi 0 Penyelesaian Program Linier
Basis/C 3 5 4 0 0 0 B 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑠4 𝑠5 𝑠6 𝑠4 0 1 2 3 1 0 0 10 𝑠5 0 2 3 1 0 1 0 16 𝑠6 0 3 2 1 0 0 1 20 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 -3 -5 -4 0 0 0 0 Keterangan :
a. Pada baris 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 : -5 paling minimum, maka 𝑥2 masuk dalam basis b. 𝜃𝑚𝑖𝑛�10
2 , 16
3 , 20
2� = 5 (berarti 𝑠4 keluar dalam basis) c. Baris pivot adalah baris 𝑥2 dikalikan 1
2 d. Baris 𝑠5 yang baru : 𝑠5− 3 kali baris 𝑥2 e. Baris 𝑠6 yang baru : 𝑠6− 3 kali baris 𝑥2
Tabel 2.3 Iterasi 1 Penyelesaian Program Linier Basis/C 3 5 4 0 0 0 B 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑠4 𝑠5 𝑠6 𝑥2 5 0,5 1 1,5 0,5 0 0 5 𝑠5 0 0,5 0 -3,5 -1,5 1 0 1 𝑠6 0 2 0 -2 -1 0 1 10 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 -0,5 0 3,5 2,5 0 0 25 Keterangan :
a. Pada baris 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 : -0,5 paling minimum, maka 𝑥1 masuk dalam basis b. 𝜃𝑚𝑖𝑛�5
0,5, 1 0,5,
10
2� = 2 (berarti 𝑠5 keluar dalam basis) c. Baris pivot adalah baris 𝑥1 dikalikan 2
d. Baris 𝑥2 yang baru : 𝑥2−1
2 kali baris 𝑥1 e. Baris 𝑠6 yang baru : 𝑠6− 2 kali baris 𝑥1
Tabel 2.4 Iterasi 2 Penyelesaian Program Linier
Basis/C 3 5 4 0 0 0 B 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑠4 𝑠5 𝑠6 𝑥2 5 0 1 5 2 -1 0 4 𝑥1 3 1 0 -7 -3 2 0 2 𝑠6 0 0 0 12 5 -4 1 6 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 0 0 4 1 1 0 26
Karena 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 ≥ 0 maka persoalan telah optimal dengan : 𝑧 = 26
2.3.6.2 Penyelesaian Program Linier dengan Software LINDO
Ada banyak software yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier seperti TORA, LINGO, EXCEL, LINDO dan banyak lagi yang lainnya. Adapun salah satu sofware yang sangat mudah digunakan untuk masalah program linier adalah dengan menggunakan LINDO.
LINDO (Linear Ineraktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah program linier. Dengan menggunakan software ini memungkinkan perhitungan masalah program linier dengan n variabel. Prinsip kerja utama LINDO adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Menurut Linus Scharge (1991), Perhitungan yang digunakan pada LINDO pada dasarnya menggunakan metode simpleks.
Kegunaan utama dari program LINDO adalah untuk mencari penyelesaian dari masalah linier dengan cepat dengan memasukan data yang berupa rumusan dalam bentuk linier. LINDO memberikan banyak manfaat dan kemudahan dalam memecahkan masalah optimasi dan minimasi.
Berikut diberikan contoh kasus program linier agar di selesaikan dengan menggunakan software LINDO :
Maksimum : 𝑧 = 3𝑥1+ 5𝑥2+ 4𝑥3 Kendala : 𝑥1+ 2𝑥2+ 3𝑥3 ≤ 10
2𝑥1+ 3𝑥2+ 𝑥3 ≤ 16 3𝑥1+ 2𝑥2+ 𝑥3 ≤ 20 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
Adapun langkah penyelesaian program linier dengan software LINDO adalah sebagai berikut :
1. Keseluruhan formulasi program linier diketikka n ke dalam untitled LINDO
2. Setelah formula diketikkan siap dicari solusinya dengan memilih perintah solve atau mengklik tombol solve pada toolbar. Lindo akan mengkompil (mengoreksi kesalahan) pada formula terlebih dahulu. Jika terjadi kesalahan dalam pengetikan (tidak dapat dibaca oleh komputer) akan muncul kotak dialog dan kursor akan menunjukkan pada baris yang salah.
3. Jika tidak terjadi kesalahan akan muncul status LINDO. Status ini berguna untuk memonitor proses solusi.
4. Selanjutnya tekan close dan pada Lindo akan muncul tampilan baru yang disebut
tampilan report solusi LINDO.
Dan adapun interpretasi report dari hasil LINDO adalah sebagai berikut :
1. Slack or Surplus
Slack or Surplus adalah nilai kelebihan sumber daya yang digunakan pada kondisi
optimum terhadap sumber daya yang tersedia sebagai kendala. Jika nilai slack or
surplus tidak sama dengan nol, maka perubahan kendala sebesar minus slack or surplus belum berpengaruh pada nilai optimum. Dan jika nilai slack or surplus
sama dengan nol, maka variabel terkait menjadi variabel basis.
2. Reduced Cost
Reduced Cost adalah penurunan harga tiap unit variabel keputusan tanpa
berpengaruh pada nilai optimum.
3. Dual Prices
Dual Prices merupakan nilai harga sumber daya yang menunjukkan besarnya
pengaruh terhadap nilai fungsi tujuan, karena penambahan atau pengurangan pada nilai ruas kanan kendala. Nilai dual price pada sumber daya terbatas menunjukkan bahwa setiap penambahan sumber daya sebesar satu-satuan akan meningkatkan nilai fungsi tujuan sebesar nilai dual pricenya, sedangkan nilai dual price negatif pada sumber daya terbatas menunjukkan bahwa setiap penambahan sumber daya sebesar satu-satuan akan menurunkan nilai fungsi tujuan sebesar nilai dual price tersebut. Sumber daya dengan nilai dual price sama dengan 0 menunjukkan bahwa sumber daya tersebut berstatus kendala tidak aktif atau berlebih, dimana penambahan atau pengurangan ketersediaan pada sumber daya tersebut tidak akan mempengaruhi nilai pada fungsi tujuan.
