Oleh:
Yohana Agustina Sihombing NIM. 4103230041 Program Studi Matematika
SKRIPSI
DiajukanUntukMemenuhiSyaratMemperolehGelar SarjanaSains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
APLIKASI ALGORITMA ARUS MAKSIMAL ( MAXIMAL FLOW) PADA OPTIMALISASI BIAYA PENDISTRIBUSIAN BAHAN PRODUKSI
DI PT.TOBA PULP LESTARI (TPL) SEKTOR TARUTUNG
Yohana A Sihombing (NIM 4103230041)
Abstrak
Penelitian ini adalah untuk mengetahui apakah algoritma arus maksimal (Maximal Flow) dapat digunakan dalam menentukan nilai optimal biaya distribusi pada jaringan distribusi bahan produksi di PT. Toba Pulp Lestari Sektor Tarutung. yang dipakai sebagai data masukan adalah daftar harga distribusi bahan produksi yang dikeluarkan dari setiap cabang ke pusat. Algoritma arus maksimal (Maximal Flow) sangat baik digunakan dalam penelitian, karena dapat menghasilkan nilai yang paling optimal yang harus dikeluarkan oleh setiap cabang ke sektor pusat.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembaran Pengesahan i
Riwayat Hidup ii
Abstrak iii
Kata Pengantar iv
Daftar Isi vi
Daftar Gambar viii
BAB I : PENDAHULUAN 1
1.1. Latar Belakang Masalah 1
1.2. Rumusan Masalah 5
1.3. Batasan Masalah 5
1.4. Tujuan Penelitian 5
1.5. Manfaat Penelitian 5
BAB II : TINJAUAN PUSTAKA 7
2.1. Operasi Riset 7
2.1.1. Tahap – tahap dalam Operasi Riset 7
2.2.Teori Graf 8
2.2.1. Definisi Graf 9
2.2.2. Jenis – jenis Graf 10
2.2.2.1.Berdasarkan ada tidaknya Gelang atau Sisi Ganda 10 2.2.2.2.Berdasarkan Arah dan Bobot 12 2.2.2.3.Berdasarkan Sifat Keterhubungan 14 2.3. Fungsi Dan Flow pada sebuah Network 15
2.3.1. Definisi Flow 15
2.3.2. Definisi Network 16
2.4.Arus Maksimal (Maximal Flow) 16
2.4.1. Pengertian Arus Maksimal(Maximal Flow) 16
2.5. Program Excel 22
BAB III : METODE PENELITIAN 26
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian 26
3.2. Jenis Penelitian 26
3.3. Prosedur penelitian 26
BAB IV : HASIL DAN PEMBAHASAN 29
4.1. Data Awal 29
4.2. Pengidentifikasian Masalah 30 4.3. Penyusunan dan Pengembangan Model 30
4.4. Analisa Model 32
4.5. Pengesahan Model 33
4.6. Implementasi Hasil Akhir 40
BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN 41
5.1. Kesimpulan 41
5.2. Saran 41
DAFTAR PUSTAKA 43
Lampiran Data Penelitian 45
ix
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Contoh Perhitungan Gaji Karyawan 24 Tabel 4.1. Daftar jalur dan Besar Biaya Distribusi 29
Bahan Produksi sektor Tarutung
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1. Contoh sebuah Graf 9
Gambar 2.2 : Contoh Graf Sederhana 10
Gambar 2.3 : Contoh Graf Ganda 11
Gambar 2.4 : Contoh Graf Semu 11
Gambar 2.5. Graf Tidak Berarah dan Tidak Berbobot 12 Gambar 2.6. Graf Berarah dan Berbobot 13 Gambar 2.7. Graf Berbobot dan Tidak Berarah 13 Gambar 2.8. Graf Tidak Berbobot dan Tidak Berarah 14
Gambar 2.9. Sebuah Network 16
Gambar 2.10. Contoh Kasus Arus Maksimal 18
Gambar 2.11.Tampilan Windows 22
Gambar 2.12. Gambar 2.12. Tampilan Excel 23 Gambar 2.13. Contoh Daftar Gaji Karyawan dalam Tampilan Excel 24 Gambar 2.14 : Gambar Perhitungan dengan mengggunakan Excel 25 Gambar 2.15 : Hasil Akhir Jumlah total Gaji Karyawan 25 Gambar 4.1 Gambar Jaringan / Alur Peta Pendistribusian Barang 31
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah
Dalam kehidupan di dunia, manusia tidak lepas dari berbagai permasalahan. Permasalahan-permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, yang dalam penyelesaiannya diperlukan suatu pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu. Salah satunya adalah ilmu matematika. Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah. Dalam bahasan matematika, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan. Untuk keperluan tersebut, pertama dicari pokok masalahnya, kemudian dibuat rumusan atau model matematikanya. Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang tidak dapat dilepaskan dari ilmu lainnya (Hasanah, 2007:1).
Salah satu cabang ilmu matematika yang bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah teori graf. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang diperkenalkan pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736. Ide besarnya muncul sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg. Di Konigsberg (sebelah timur Prussia, Jerman) sekarang bernama Kaliningrad terdapat sungai Pregal yang mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua anak sungai tersebut. Ada tujuh jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai tersebut. Masalahnya adalah
“Apakah mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing tepat satu kali,
Saat ini teori graf semakin berkembang dan menarik karena banyak sekali penerapannya, yang dapat disajikan sebagai titik ( vertex) dan sisi (edge). Misalnya teori graf dalam matematika dapat menyelesaikan suatu permasalahan pencarian lintasan terpendek, permasalahan pengiriman surat (The Postman problem), permasalahan pengaturan lampu lalu lintas (Traffic Light), permasalahan pembuatan peringkat dalam suatu pertandingan, permasalahan pemaksimuman pengiriman barang dan lain-lain. Permasalahan seperti inilah yang dapat dimodelkan dalam bentuk graf berbobot (network) dimana simpul-simpul pada graf berkorespondensi dengan tempat-tempat yang berbeda dan dua simpul pada graf dihubungkan dengan satu sisi atau jalur jika dan hanya jika dua tempat yang berkorespondensi dengan dua simpul tersebut dihubungkan dengan sebuah jalan (http: // deepblue. lib. umich. edu/ bitstream /2027. 42 /30217/ 1/ 0000 609.pdf , diakses 23 Maret 2012).
Pada permasalahan pemaksimuman pengiriman barang, barang-barang dari suatu tempat ke tempat yang lain dikirim melalui banyak jalan dengan kapasitas yang berbeda. Tentu saja, jumlah barang yang dikirim lewat jalan tertentu tidak boleh melebihi kapasitas jalan tersebut. Permasalahannya adalah bagaimana strategi pengiriman yang dilakukan agar total barang yang dikirim dari suatu tempat ke tempat lain maksimum dan sedemikian hingga biaya pengiriman yang dikeluarkan minimal. Pengoptimalan pendistribusian produk ini dapat berhubungan dengan masalah meminimalkan biaya pendistribusian produk dengan memilih jalur terpendek dari peta pendistribusian produk. Selain berhubungan dengan masalah meminimalkan biaya, juga berhubungan dengan masalah memaksimalkan jumlah produk yang didistribusikan, yaitu dengan memilih rute pendistribusian yang mengangkut produk dengan jumlah yang maksimal. Namun dalam hal ini, dibatasi pada mencari nilai nominal yang maksimal yang harus di keluarkan oleh pihak perusahaan.
3
untuk menyelesaikan permasalahan yang terdapat didalamnya diantaranya ada algoritma arus maksimal, algoritma incremental, algoritma augmenting path. Semua algoritma diatas mempunyai kelebihan dan kekurangannya masing – masing. Penulis menggunakan algoritma arus maksimal (Maximal Flow) karena proses penyelesaiannya bersifat menyerderhanakan, dan dapat dipakai pada permasalahan – permasalahan pemaksimuman dalam kasus yang besar, sementara algoritma incremental dan augmenting path tidak dapat dipakai untuk kasus besar. Untuk itulah, mencari aliran maksimal pada suatu jaringan digunakan algoritma aliran maksimal (Maximal Flow).
Penerapan Algoritma Arus Maksimal merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai aliran optimal pada jaringan distribusi. Permasalahan dalam menentukan aliran maksimal dapat ditinjau dari sudut pandang jaringan pada graf yang tersusun. Nilai aliran maksimal pada sebuah jaringan distribusi dapat diperoleh dengan menggunakan langkah-langkah penyelesaian dengan algoritma Arus maksimal. Setelah diperoleh penyelesaian besar kapasitas maksimum pengiriman bahan produksi setiap jalur/peta pendistribusian bahan produksi ke pusat, selanjutnya dapat diterapkan algoritma arus maksimal untuk mengetahui berapa nilai aliran optimal dari suatu jaringan distribusi bahan produksi ( http : // blackpearlvida. wordpress. com /2009 /04 /07 /algoritma-arus-maksimal//).
Lokasi pabrik terletak di desa Sosorladang, kecamatan Parmaksian, kabupaten Toba Samosir, Sumatera Utara ini berstatus PMA (Penanaman Modal Asing) yang dioperasikan berdasarkan surat keputusan bersama Menteri Negara Riset dan Teknologi / Ketua BPPT dan Menteri Negara Kependudukan dan Lingkungan Hidup No. SK/681/M/BPPT/XI/1986 dan No. KEP-43/MNKLH/11/1986 tertanggal 13 November 1986, berdasarkan surat keputusan Menteri Investasi / Ketua Badan Koordinasi Penanaman Modal.
Dalam upaya mendukung kegiatan produksi, PT. Toba Pulp Lestari, Tbk mendapat izin Usaha Pemanfaatan Hasil Hutan Kayu pada Hutan Tanaman (IUPHHK-HT) yang didasari SK. Menteri Kehutanan SK-58/Menhut-11/2011 tertanggal 28 February 2011 tentang pemberian Hak Pengusahaan Hutan Tanaman Industri kepada Perusahaan dengan luas 188.055 Ha. Konsensi hutan kayu tersebar pada beberapa sektor hutan yaitu Aek Nauli, Habinsaran, Sarulla, Aekraja, Tele dan Padang Sidempuan yang termasuk dalam delapan Kabupaten di Propinsi Sumatera Utara – Indonesia. (http : //www. wikipedia. Org/ 2006/06/23/profil-PT-TPL//).
Berdasarkan kegiatan wawancara yang telah dilakukan pada 25 Februari 2014 dengan Bapak M. Nababan selaku kepala bagian administrasi mengatakan bahwa biaya pendistribusian yang harus dikeluarkan untuk mengirimkan bahan produksi dari setiap sektor ke pusat adalah sebesar laporan yang diterima dari pihak pendistribusi barang, artinya biaya yang dikeluarkan bisa saja sewaktu-waktu mengalami kenaikan yang cukup signifikan. Oleh karenanya, peneliti berpendapat bahwa, perusahaan tersebut mengalami beberapa masalah yang harus diselesaikan, khususnya dalam hal menetapkan atau memutuskan berapa biaya optimal yang dikeluarkan oleh sektor dalam hal pendistribusian bahan produksi ke pusat.
5
bahan acuan dalam perhitungan biaya distribusi. Dengan demikian, penulis merumuskan judul yakni : APLIKASI ALGORITMA ARUS MAKSIMAL (MAXIMAL FLOW) PADA OPTIMALISASI BIAYA PENDISTRIBUSIAN BAHAN PRODUKSI DI PT. TOBA PULP LESTARI (TPL) SEKTOR TARUTUNG.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang masalah maka rumusan masalah dari penelitian ini adalah Apakah Algoritma Arus Maksimal (Maximal Flow Algorithm) dapat mengoptimalkan biaya pendistribusian bahan produksi PT. Toba Pulp Lestari Sektor Tarutung?
1.3. Batasan Masalah
Untuk tetap menjaga kedalaman pembahasan materi, penulisan ini dibatasi pada algoritma arus maksimal (Maximal Flow Algorithm) pada sebuah jaringan dan penerapannya pada jalur atau peta pendistribusian bahan produksi di PT. Toba Pulp Lestari (TPL) Sektor Tarutung.
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka yang menjadi tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui apakah algoritma arus maksimal (Maximal Flow) dapat digunakan dalam menentukan nilai optimal biaya distribusi pada jaringan distribusi bahan produksi di PT. Toba Pulp Lestari Sektor Tarutung.
1.5. Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat, yaitu :
b. Untuk menambah pengalaman bagi penulis dalam penelitian model matematika tentang graf pada riset operasi yakni mengetahui bahwa algoritma arus maksimal dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pengoptimalan biaya distribusi bahan produksi .
c. Memberikan informasi yang dapat dijadikan pertimbangan dan acuan dalam menentukan biaya optimal dari suatu pendistribusian bahan produksi bagi perusahaan yang terkait.
d. Dapat digunakan sebagai informasi atau acuan dalam pengambilan keputusan bagi pihak perusahaan.
e. Sebagai sarana dan informasi bagi lembaga pendidikan serta sebagai kontribusi keilmuan bagi lembaga terkait.
41 BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Aplikasi Algoritma arus maksimal ini terbukti dapat menentukan nilai optimal biaya distribusi pada PT. Toba Pulp Lestari (TPL) Sektor Tarutung. Dengan merepresentasikan jarak tempuh setiap cabang yang dilalui sebagai jalur – jalur dan setiap cabang di anggap menjadi simpul dari suatu graf berbobot, algoritma arus maksimal (Maximal Flow) dapat menentukan atau menghitung ogkos distribusi yang paling maksimal yang harus di keluarkan dari graf berbobot tersebut dan terbukti memberikan hasil baik dalam perhitungan ongkos distribusi bahan produksi khusunya di PT. Toba Pulp Lestari Sektor Tarutung ini.
Laporan pengeluaran bulan Juni 2014 dalam hal ongkos distribusi yang di terima pihak perusahaan adalah Rp. 13.595.215,00. Hasil yang diperoleh dengan
menggunakan algoritma arus maksimal (Maximal Flow) adalah sebesar
Rp. 3. 491.893,00. Jadi, selisih biaya yang keluar dalam hal pendistribusian bahan produksi adalah sebesar Rp. 10.103.322,00. Sehingga perhitungan biaya pendistribusian yang di pakai oleh pihak perusahaan khususnya PT. Toba Pulp Lestari (TPL) Sektor Tarutung belum optimal.
5.2 Saran
Dalam tulisan ini penulis meneliti bagian pendistribusian bahan produksi yang telah digunakan oleh pihak perusahaan khususnya di PT. Toba Pulp Lestari Sektor Tarutung ini belum optimal. Dengan mengaplikasikan algoritma arus maksimal (Maximal Flow) pada perhitungan biaya pendistribusian bahan produksi diperoleh
DAFTAR PUSTAKA
Aminudin. 2005. Prinsip – Prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga
Agustini, D H dan Rahmadi, Y E. 2004. Riset Operasional (Konsep-Konsep Dasar). Jakarta : Rineka Cipta
Chartrand, G and Lesniak, L. 1986. Graphs and Digraphs. Second edition. California: a Division of Wadsworth, Inc
Efrat, A. 2001. Introduction To Algorithms. http:// www.cs.arizona.edu/classes /cs445/ spring05/ network-flow.pdf (diakses pada 17 Februari 2014)
FMIPA Universitas Negeri Medan. (2012). Pedoman Penulisan Proposal dan Skripsi Mahasiswa Program Studi Nonkependidikan. FMIPA UNIMED:
Medan.
Hasanah. 2007. Graph Theory and its applications. http://emis.library.cornell.edu/ journals/AUA/acta8/Pop_Hasanah.pdf (diakses 19 Maret 2014)
Hillier, F S and Lieberman, G J.1990. Introduction to Operation Research. Fifth edition.New York : Mc Grew Hill International
Imanah, N. 2011. http : // blackpearlvida. wordpress. com /2009 /04 /07 /analisis –graf – perfect – pada – arus – maksimal //.
Munir, R. 2010. Matematika diskrit. Edisi keempat. Bandung : Informatika.
Mulyono, S. 2002. Riset Operasi. Penerbit FEUI: Jakarta.
Nugraha, W D. 2011. http: // deepblue. lib. umich. edu/ bitstream /2027. 42 /30217/ 1/ 0000 609.pdf , (diakses 23 Maret 2012).
Ralph, G. 1994. Discrete and combinaturial. United States of America : Addison-Wesley Publishing Company, Inc
Sitinjak, T J R. 2006. RISET OPERASI Untuk Pengambilan Keputusan Manajerial dengan Aplikasi Excel. Yogyakarta : Graha Ilmu.
Taha, H A. (1996). Operasi Riset Jilid Satu. Penerbit Binarupa Aksara: Tangerang.
Taha, H A. 2003. Operations Research(An Introduction). Seventh edition. New Delhi : Universitas of Arkansas, Fayetteville, Prentice Hall of India http : //www. wikipedia. Org/ 2006/06/23/profil-PT-TPL// ( diakses pada 28 april
