• Tidak ada hasil yang ditemukan

PERBANDINGAN LUAS ANTARA SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "PERBANDINGAN LUAS ANTARA SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL"

Copied!
10
0
0

Teks penuh

(1)

1

PERBANDINGAN LUAS ANTARA SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL

Yulia Rahmi1*, Hasriati2, M. Natsir2

1

Mahasiswa Program S1 Matematika

2

Dosen JurusanMatematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya 28293 Indonesia

*yuliarahmi_90@yahoo.com ABSTRACT

This paper discusses how to determine the length of excentral triangle sides through the relation of the excentral triangle sides and original triangle sides. Ratio between the excentral triangle area and original triangle area can be obtained by Heron formula. In addition, the paper also discusses how to obtain the comparison between the radius of incircle and radius of circumcirlcle of excentral triangle and original triangle.

Keywords: collinier, comparation of area, comparation of incircle radius,

comparationof circumcircle radius, excentral triangle.

ABSTRAK

Artikel ini membahas bagaimana menentukan panjang sisi segitiga excentral menggunakan hubungan antara sisi segitiga excentral dengan sisi segitiga asal dan perbandingan luas segitiga excentral dengan segitiga asal menggunakan formula Heron. Pembahasan ini dilanjutkan dengan menentukan perbandingan jari-jari lingkaran dalam segitiga excentral dengan segitiga asal dan perbandingan jari-jari lingkaran luar segitiga

excentral dengan segitiga asal.

Kata kunci : kolinieritas, perbandingan luas segitiga, perbandingan jari-jari

lingkaran dalam, perbandingan jari-jari lingkaran luar, segitiga excentral.

1. PENDAHULUAN

Suatu bidang datar yang memiliki tiga titik sudut dan tiga sisi, , , dan , disebut segitiga ( ). Suatu memiliki titik konkurensi yaitu incenter,

circumcenter, dan excenter yang masing-masing merupakan titik pusat dari lingkaran

dalam, lingkaran luar [1, h.503], dan lingkaran singgung luar suatu segitiga [2, h.24]. Pada terdapat tiga buah excenter sehingga terdapat tiga buah lingkaran singgung. Misalkan titik pusat masing-masing lingkaran singgung adalah , , dan , sehingga dengan menghubungkan ketiga titik pusat lingkaran tersebut dapat dibentuk

(2)

2

I

segitiga baru yaitu yang dinamakan segitiga excentral dengan , , dan sebagai sisi-sisinya [4].

Gambar 1. Segitiga excentral .

Weisstein, E.W [4] telah menentukan panjang sisi dan luas segitiga excentral. Pada artikel ini, penulis memperoleh panjang sisi segitiga excentral dengan menggunakan dalil Phytagoras yang berlaku pada panjang garis dari excenter ke titik puncak segitiga dan menjumlahkan panjang garis tersebut dengan panjang garis dari

excenter lainnya ke titik puncak segitiga yang sama. Selanjutnya, diperoleh luas segitiga excentral tersebut menggunakan formula Heron [5, h.302] dan perbandingan luasnya

dengan luas . Dari luas yang diperoleh penulis juga menentukan perbandingan jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar dari dengan .

2. SEGITIGA EXCENTRAL

Masing-masing sisi segitiga excentral memuat salah satu titik puncak segitiga asal. Sisi menyinggung titik puncak pada titik , sisi menyinggung titik , dan sisi menyinggung titik .Dibuktikan ketiga titik tersebut kolinier dengan menggunakan Teorema Transversal Menelaus [3, h.256].

Teorema1. Jika titik , , dan berada pada perpanjangan sisi , , dan , maka , , dan adalah kolinier jika dan hanya jika

(3)

3

Gambar 2. Titik , , dan adalah kolinier.

Bukti : Perhatikan , tarik garis dari titik ke , misalkan pada titik , sedemikian hingga . Perhatikan dan

karena maka

dan

Dari kesebangunan Sd-Sd-Sd [1, h.336] maka , sehingga diperoleh perbandingan sisi

Seperti memperoleh persamaan , ditunjukkan sehingga diperoleh

Dari persamaan dan diperoleh

Jika segmen garis searah jarum jam akan bernilai positif dan jika berlawanan arah akan bernilai negatif maka , , dan , sehingga persamaan menjadi

Untuk membuktikan sebaliknya, misalkan hasil kali perbandingan ketiga garis bernilai maka ditunjukkan bahwa titik , , dan kolinier. Misalkan garis , dan

berpotongan dititik , sehingga titik , , dan kolinier dengan dengan menggabungkan persamaan Teorema Transversal Menelaus dengan persamaan diperoleh

Diperoleh , maka titik dan titik merupakan titik yang sama. Jadi titik , , dan adalah kolinier. ∎

Pada bagian ini, Teorema Transversal Menelaus digunakan untuk membuktikan bahwa titik , , dan kolinier, begitu juga dengan titik , , dan serta titik , , dan . Pada Gambar 1, perhatikan . Tarik garis sejajar dari titik ke , misalkan pada titik , sedemikian hingga . Selanjutnya, perhatikan dan ,

(4)

4 karena maka dan

Dari kesebangunan Sd-Sd-Sd, maka , sehingga diperoleh perbandingan sisi

Seperti memperoleh persamaan , ditunjukkan sehingga diperoleh

Dari persamaan dan diperoleh

Sehingga dapat disimpulkan bahwa titik , , dan adalah kolinier. Dengan cara yang sama maka titik , , dan serta titik , , dan adalah kolinier.

Kemudian, ditentukan panjang sisi-sisi , , , dan , menggunakan hubungan sisi segitiga excentral dengan segitiga asal.

Gambar 3. tegak lurus terhadap perpanjangan sisi .

Pada misalkan panjang sisi , , dan dan dari Gambar 3 garis merupakan jari-jari lingkaran singgung, ,

Dari persamaan dan diperoleh

(5)

5

Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik diluar lingkaran mempunyai panjang yang sama [1, h. 454], sehingga

dengan dan Dengan menjumlahkan persamaan dan diperoleh

Sehingga

Untuk mengetahui panjang dan , misalkan

maka

Dengan menggunakan persamaan diperoleh

karena nilai menyatakan nilai dan maka

dan

Dari persamaan dan , dapat ditentukan panjang menggunakan dalil Phytagoras, sehingga

Berdasarkan formula Heron, maka nilai luas pada berlaku

Dengan mensubstitusikan persamaan ke diperoleh

Dengan cara yang sama memperoleh persamaan , untuk panjang diperoleh

Dengan menjumlahkan persamaan dan maka

(6)

6 Dengan menggunakan cara yang sama memperoleh persamaan diperoleh

dan

3. PERBANDINGAN LUAS ANTARA SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL

Pada bagian 2 telah diperoleh panjang sisi-sisi segitiga excentral. Akan digunakan formula Heron untuk menentukan luas . Misalkan merupakan setengah keliling maka

Untuk memudahkan dalam menentukan luas , misalkan

dan Substitusikan persamaan , , dan ke maka diperoleh

Selanjutnya akan ditentukan luas dengan menggunakan formula Heron, sehingga diperoleh

Dengan mensubstitusikan persamanaan , , dan ke maka diperoleh

(7)

7

Substitusikan persamaan , , dan ke maka diperoleh

Dari persamaan , perbandingan luas antara segitiga excentral dengan segitiga asal dapat dinyatakan

4. PERBANDINGAN JARI-JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA

EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL

Lingkaran yang berada didalam sebarang segitiga dan menyinggung ketiga sisi segitiga dinamakan lingkaran dalam segitiga. Titik pusatnya adalah incenter suatu segitiga. Pada bagian ini, akan ditentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga asal dan segitiga excentral, dan kemudian akan ditentukan perbandingannya.

Gambar 4. Titik merupakan titik pusat lingkaran dalam .

Jarak titik terhadap ketiga sisi adalah sama yaitu , dan adalah jari-jari, . Selanjutnya teorema berikut memberikan persamaan umum jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga.

Teorema 2. Diberikan sebarang dengan panjang sisi , , dan . Jari-jari lingkaran dalam dinotasikan dengan , dinyatakan dengan

(8)

8

Bukti : Pada Gambar 4, luas dapat dihitung dengan menjumlahkan luas dari , , dan .

karena , substitusikan ke persamaan maka diperoleh

∎ Pada dengan panjang sisi , , dan dan jari-jari lingkaran dalam dinotasikan dengan maka dengan menggunakan cara yang sama dalam menentukan jari-jari lingkaran dalam , diperoleh

Gambar 5. merupakan jari-jari lingkaran dalam .

Akan ditentukan hubungan antara jari-jari lingkaran dalam dengan . Substitusikan persamaan ke maka diperoleh

karena , maka

Dari persamaan , perbandingan jari-jari lingkaran dalam antara segitiga excentral dengan segitiga asal dapat dinyatakan

(9)

9

5. PERBANDINGAN JARI-JARI LINGKARAN LUAR SEGITIGA

EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL

Suatu lingkaran yang melalui ketiga titik sudut suatu segitiga dinamakan sebagai lingkaran luar segitiga. Titik pusatnya adalah circumcenter suatu segitiga.

Gambar 6. Lingkaran luar dengan circumcenter .

Teorema berikut memberikan persamaan umum jari-jari lingkaran luar suatu segitiga, Teorema 3. Diberikan sebarang dengan panjang sisi , , dan . Jari-jari lingkaran luar yang dinotasikan dengan dan dinyatakan dengan

Bukti : Pada Gambar 6, misalkan tegak lurus terhadap dan merupakan garis yang melalui titik pusat , sehingga . Jika titik dan dihubungkan, maka karena menghadap busur setengah lingkaran sehingga

karena dan menghadap busur maka

. Dari kesebangunan Sd-Sd, diperoleh

dan diperoleh perbandingan sisi

karena maka maka

∎ Dengan menggunakan cara yang sama dalam menentukan jari-jari lingkaran luar , maka pada dengan panjang sisi-sisinya , , dan , jari-jari lingkaran luarnya adalah

(10)

10

Gambar 7. merupakan jari-jari lingkaran luar . Substitusikan persamaan ke sehingga diperoleh

Dari persamaan perbandingan jari-jari lingkaran luar antara segitiga excentral dengan segitiga asal dapat dinyatakan

6. KESIMPULAN

Semakin besar nilai sisi-sisi segitiga asal maka nilai sisi-sisi segitiga excentral akan semakin lebih besar. Sehingga luas segitiga excentral lebih besar dibanding segitiga asal. Sama halnya dengan lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga excentral dan segitiga asal, dengan menentukan jari-jari lingkaran segitiga tersebut diperoleh bahwa segitiga excentral akan memiliki jari-jari yang lebih besar dibanding jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga asal.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Down Jr., F.L.1964. Geometry. Addison-Wesley Publishing Company, INC., Reading.

[2] Godfray, C & Siddons, A.W. 1908. Modern Geometry. Cambridge University Press, London.

[3] Mashadi. 2012. Geometri. Pusbangdik. Universitas Riau. Pekanbaru.

[4] Weisstein, E.W. 2013. Excentral Triangle. Math World. http://mathworld. wolfram.com/ExcentralTriangle.html, 18 November 2013. pk.08.05.

[5] Yiu, P. 2003. Recreational Mathematics.1119 hal.http://math.fau.edu/yiu/ RecreationalMathematics.2003.pdf, 20 Desember 2013. pk. 10.50.

Gambar

Gambar 1. Segitiga excentral    .
Gambar 2. Titik  ,  , dan   adalah kolinier.
Gambar 3.          tegak lurus terhadap perpanjangan sisi        .
Gambar 4. Titik   merupakan titik pusat lingkaran dalam     .
+4

Referensi

Dokumen terkait

Kondisi demikian oleh para ahli disebut arousal, yaitu kondisi umum kesiapan bertanding ketika dikendalikan oleh pengaktifan psikologis (Abernethy et al., 1997). Bagi

Abstract: The objective of the research was to analyze both internal and external factors influencing the strategy of sustainable soybean development to increase

Kemajuan dan prestasi dalam bidang ilmu, teknologi, dan filsafat sama seperti dinasti-dinasti besar sebelumnya. Ini disebabkan bangsa turki usmani terlalu

Hasil penelitian yang telah kami lakukan terhadap peningkatan peran kader jumantik pada 25 orang responden yang tersebar di 5 wilayah kerja puskesmas Lembo, Sawa,

Ketersediaan sumber daya air merupakan salah satu masalah yang sering dihadapi khususnya di daerah yang memiliki kepadatan penduduk yang tinggi seperti daerah perkotaan,

penghubung yaitu kata yang dibutuhkan sebagai pelengkap kalimat atau pemanis penam- pilan. 3) Penonjolan Huruf Tebal Cara lain untuk menarik perhatian agar komunikasi

‘Sudah hamba-Mu ceritakan semuanya, o, Tuhan yang Mahabesar, lagi Pengasih dan Penyayang, Adil dan Mahatahu.’ Haji Saleh yang sudah kuyu mencobakan siasat merendahkan diri dan

maka dibutuhkan adanya penerapan sistem kinerja manajemen rumah sakit yang lebih baik sesuai dengan paham kontemporer seperti layaknya metode balanced scorecard pada