3 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Kajian Teori 1. Hakikat Belajar
Menurut kaum konstruktivisme, belajar merupakan proses aktif siswa mengkonstruksi pengertian teks, dialog maupun pengalaman fisik mereka.
Belajar juga merupakan proses mengasilmilasi dan menghubungkan pengalaman atau bahan yang dipelajari dengan pengertian yang sudah dipunyai seseorang sehingga pengertianya dikembangkan (Paul Suparno, 1997:61).
Sehubungan dengan itu, masih menurut Paul Suparno ada beberapa ciri atau prinsip dalam belajar yang diuraikan seperti berikut.
a. Belajar berarti mencari makna. Makna diciptakan oleh siswa dari sesuatu yang mereka lihat, dengar, rasakan dan juga mereka alami.
b. Mengkonstruksi makna adalah proses berkelanjutan.
c. Belajar bukan merupakan kegiatan mengumpulkan fakta, tetapi belajar merupakan pengembangan pemikiran dengan membuat pengertian yang baru. Belajar bukan juga hasil perkembangan, tetapi perkembangan itu sendiri yang disebut belajar.
d. Hasil belajar dipengaruhi oleh pengalaman siswa saat belajar dengan dunia fisik dan lingkunganya.
e. Hasil belajar seseorang tergantung pada yang telah diketahui, siswa saat belajar, tujuan, motivasi yang mempengaruhi proses interaksi dengan bahan yang sedang siswa pelajari.
Pendapat serupa juga disampaikan oleh Yager, et al (2012).
Taylor et al. have pointed out that constructivism stresses individual knowledge construction, while also recognizing the processes of negotiation with others as a way of assessing the viability of knowledge. Critical theory is founded on the ideas that knowledge is legitimized through socio-cultural means. It encourages individual
freedom from the repressive conditions which frequently exist within the social context found in typical school science. Negotiation takes place in classrooms among students as well as students and teachers.
Constructivist theory indicates the processes by which individual learners construct understan-ding in science. This learning is in conjunction with the prior knowledge of students.
Maksud kutipan tersebut yaitu konstruktivisme menekankan konstruksi pengetahuan individu, sementara juga mengakui proses negosiasi dengan orang lain sebagai cara untuk menilai kelayakan pengetahuan. Serta teori konstruktivis menunjukkan proses peserta didik membangun pemahaman dalam ilmu pengetahuan. Pembelajaran ini dalam hubungannya dengan pengetahuan yang dimiliki oleh siswa sebelumnya.
Dari definisi tersebut belajar dapat diartikan sebagai proses aktif yang dilakukan oleh siswa untuk mengkonstruksi sendiri pengetahuan dari apa yang dipelajari melalui pengalaman dengan dunia fisik dan interaksi dengan lingkungan belajarnya.
2. Hakikat Matematika
Menurut Sri Wardhani(2008:9) tujuan utama matematika diajarkan di sekolah adalah agar siswa memiliki kemampuan:
a. Memahami konsep matematia, menjelaskna keterkaitan antar konsep, dan mengaplikasikan konsep ata algoritma secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah.
b. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.
c. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model, dan menafsirkan penyelesaian yang diperoleh.
d. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah.
e. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan yaitu rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.
Menurut James dalam Erman Suherman, dkk. (2003:16), matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep- konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang yaitu aljabar, analisis, dan geometri.
Sedangkan menurut Johnson dan Myklebust dalam Mulyono Abdurahman (2003:252), matematika adalah bahasa simbolis yang fungsi praktisnya untuk mengekspresikan hubungan-hubungan kuantitatif dan keruangan sedangkan fungsi teoritisnya adalah untuk memudahkan dalam berpikir.
Suparni dan Ibrahim (2008:2) memaparkan beberapa penjelasan tentang hakekat matematika. Adapun hakekat tersebut dinyatakan seperti berikut.
a. Matematika sebagai ilmu deduktif
Matematika disebut sebagai ilmu deduktif karena dalam matematika tidak menerima generalisasi yang berdasarkan pada observasi, eksperimen, induktif seperti ilmu pengetahuan alam dan ilmu-ilmu pengetahuan lainya.
b. Matematika sebagai ilmu pola dan hubungan
Matematika adalah ilmu tentang pola dan hubungan karena dalam matematika sering dicari keseragaman seperti keterurutan, dan keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu sehingga dapat dibuat generalisasinya untuk selanjutnya dibuktikan kebenaranya secara deduktif.
c. Matematika sebagai bahasa
Matematika adalah bahasa karena matematika merupakan sekumpulan simbol yang memiliki makna atau dikatakan sebagai bahasa simbol.
d. Matematika sebagai ilmu tentang struktur
Matematika merupakan ilmu terstruktur karena berkembang mulai dari unsur yang tidak didefinisikan pada aksioma maupun teorema.
e. Matematika sebagai seni
Matematika adalah seni karena matematika terlihat adanya unsur keteraturan, keterurutan, dan konsisten.
f. Matematika sebagai aktivitas manusia.
Pengertian matematika dalam penelitian ini adalah bahasa simbolis yang fungsi praktisnya untuk mengekspresikan hubungan-hubungan kuantitatif dan keruangan sedangkan fungsi teoritisnya adalah untuk memudahkan dalam berpikir yang terbagi ke dalam tiga bidang yaitu aljabar, analisis, dan geometri.
3. Penalaran Matematis
Menurut Fadjar Shadiq dalam Sri Wardhani (2008:11) penalaran adalah suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau proses berpikir dalam rangka membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya.
Menurut Ball dan Bass dalam Elly Susanti (2012) dua proses penting dalam penalaran pada saat mengintegrasikan sejumlah ide menjadi satu kesatuan yang koheren adalah pertama membuat langkah-langkah berbeda yang bergerak dibaris penalaran yang terhubung satu sama lain (tidak harus analitik atau deduktif); dan kedua membuat hubungan antara alasan-alasan mengapa satu gerakan mengikuti gerakan yang lain dan bagaimana sejumlah gerakan datang bersama-sama untuk membentuk suatu alasan dalam memecahkan masalah.
Selanjutnya Douek dalam Elly Susanti (2012) menyatakan hasil dari proses penalaran adalah teks, baik lisan maupun tulisan, menyajikan
kesimpulan yang alasannya dapat diterima oleh masyarakat. Komunikasi merupakan bagian integral terpenting proses penalaran. Steen dalam Elly Susanti (2012) penalaran matematika adalah penalaran tentang objek matematika, namun hubungan antara penalaran matematika dan matematika tidak jelas, sehingga diperlukan beberapa proses elaborasi.
Penalaran matematis menurut Ball dan Bass dalam Elly Susanti (2012) adalah ketrampilan dasar dari matematika yang diperlukan untuk beberapa tujuan, untuk memahami konsep matematika, menggunakan ide-ide matematika dan prosedur fleksibel, dan untuk merekontruksi pemahaman matematika. Sedangkan kilpatrick dalam Elly Susanti (2012) mengatakan bahwa penalaran matematis memungkinkan siswa untuk mengembangkan pemahaman konseptual dan disposisi produktif. Siswa dapat memanfaatkan konsep-konsep matematika dalam situasi lain dan mengalami matematika sebagai sesuatu yang bermakna.
English (2004:13) menjelaskan bahwa penalaran matematis adalah suatu kegiatan perhitungan, mengumpulkan fakta-fakta, menganalisis data, memperkirakan, menjelaskan, membuat suatu kesimpulan.
Pengertian penalaran matematis juga disampaikan oleh Houssart dan Sams (2006) sebagai berikut.
Mason, Burton and Stacey attach particular importance to generalising, describing it as the essence of mathematical thinking.
iscussing the place of reasoning and proof in schools, Mason (2002) argues that even young importance of generalisation has long been highlighted by mathematicians such as Polya, and this tradition also underlines the significance of the process of conjecturing and the importance of
open to revision. Lampert builds on this work to suggest that it is possible to establish a classroom in which children are encouraged to offer and modify conjectures.
Maksud kutipan tersebut yaitu generalisasi menggambarkan sebagai inti dari pemikiran matematis. Mereka berpendapat bahwa generalisasi dimulai ketika merasakan pola yang mendasari, bahkan jika anda tidak bisa membuat kesimpulan. Dalam membahas tentang penalaran, pentingnya proses conjecturing dan pentingnya bersedia untuk memodifikasi dugaan seseorang.
Mendefinisikan dugaan sebagai 'menebak sadar', menekankan bahwa dugaan harus terbuka untuk perbaikan.
Indikator yang menunjukkan penalaran matematis menurut Fadjar Shadiq (2009:14) dinyatakan seperti berikut.
a. Menyajikan pernyataan matematika secara lisan, tertulis, gambar, dan diagram
b. Mengajukan dugaan (conjectures) c. Melakukan manipulasi matematika
d. Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap beberapa penyelesaian
e. Menarik kesimpulan dari pernyataan f. Memeriksa kesahihan suatu argumen
g. Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi.
Pengertian penalaran matematis dalam penelitian ini adalah suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk melakukan perhitungan, dugaan (conjectures), manipulasi matematika, dan menarik kesimpulan.
4. Pemecahan Masalah
Ruseffendi (1991:169) mengemukakan bahwa suatu persoalan merupakan masalah bagi siswa bila (1) siswa belum mempunyai prosedur atau logaritma tertentu untuk menyelesaikannya; (2) siswa harus mampu menyelesaikannya; (3) ada niat menyelesaikanya. Sedangkan, Sumardyono
(2007: 2) mengemukakan bahwa terdapat lima tipe masalah dalam matematika, yaitu sebagai berikut.
a. Masalah yang menguji ingatan (memory).
b. Masalah yang menguji ketrampilan (skills).
c. Masalah yang membutuhkan penerapan ketrampilan pada situasi yang biasa (familliar).
d. Masalah yang membutuhkan penerapan ketrampilan pada situasi yang tidak biasa (unfamiliar).
e. Masalah yang membutuhkan ekstensi (perluasan) ketrampilan atau teori yang kita kenal sebelum diterapkan pada situasi yang tidak biasa (unfamiliar).
Berdasarkan pendapat tersebut, dapat disimpulkan bahwa suatu pertanyaan atau soal merupakan masalah bagi siswa, apabila siswa tersebut belum mempunyai cara tertentu yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan masalah tetapi siswa mempunyai pengetahuan dan kemampuan dalam menyelesaikannya. Sedangkan, masalah dalam penelitian ini adalah soal cerita pada materi faktorisasi suku aljabar. Soal bentuk cerita adalah soal mengenai penerapan dari konsep matematika dalam masalah kehidupan sehari-hari dan disajikan dalam bentuk cerita pendek.
Menurut Sri Wardhani (2008:18) pemecahan masalah adalah proses menerapkan pengetahuan yang telah diperoleh sebelumnya ke dalam situasi baru yang belum dikenal. Dengan demikian ciri dari pertanyaan atau penugasan berbentuk pemecahan masalah adalah: (1) ada tantangan dalam materi tugas atau soal, (2) masalah tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan prosedur rutin yang sudah diketahui penjawab. Selanjutnya indikator siswa memiliki kemampuan dalam pemecahan masalah adalah mampu.
a. Menunjukkan pemahaman masalah,
b. Mengorganisasi data dan memilih informasi yang relevan dalam pemecahan masalah,
c. Menyajikan masalah secara matematik dalam berbagai bentuk, d. Memilih pendekatan dan metode pemecahan masalah secara tepat, e. Mengembangkan strategi pemecahan masalah,
f. Membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah dan g. Menyelesaikan masalah yang tidak rutin.
Menurut Muhtadi dalam Dwi Priyo Utomo (2012:148) mengungkapkan bahwa pemecahan masalah adalah suatu proses dimana seorang siswa atau kelompok siswa menerima tantangan yang berhubungan dengan persoalan matematika dimana penyelesaiannya dan cara adanya tindakan langsung bisa ditentukan dengan mudah dan penyelesaiannya memerlukan ide matematika.
Pengertian pemecahan masalah matematika dalam penelitian ini adalah proses atau langkah yang digunakan siswa sebagai subjek penelitian dalam memecahkan soal matematika yang diberikan.
5. Penalaran Matematis dalam Pemecahan Masalah
Penalaran merupakan bagian penting dari pemecahan masalah. Siswa memperdalam pengetahuan dan pemahaman ketika mereka mengembangkan, memperbaiki, dan menggunakan proses-proses dalam melakukan matematika.
Penalaran merupakan komponen utama dalam matematika, terutama dalam pemecahan masalah matematika dan yang harus ditekankan sebagai pondasi dalam matematika adalah penalaran, jika kemampuan penalaran tidak dikembangkan pada siswa, maka matematika hanya menjadi masalah bagi siswa saat mengikuti serangkaian prosedur dan meniru contoh tanpa berpikir tentang mengapa matematika masuk akal.
Lithner dalam Elly Susanti (2012) mengemukakan bahwa dalam situasi bermasalah siswa cenderung bergantung pada pengalaman yang berasal dari situasi yang dibentuk disekolah, sehingga membuat kemampuan matematika mereka menjadi dangkal. Mereka jarang menggunakan strategi yang didasarkan pada konsep-konsep matematika yang relevan. Beberapa kasus, dimana siswa menggunakan penalaran matematika yang konsisten masih didominasi memori individu tentang gambar dan rutinitas sehari-hari.
Ketika siswa menghadapi kesulitan semacam ini, seharusnya siswa dapat memilih strategi apa yang harus dilakukan dalam rangka memecahkan masalah matematika.
Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang hubungan antara objek-objek baik nyata maupun abstrak dan merupakan disiplin ilmu yang berkaitan dengan setiap aspek kehidupan (NCTM, 2000). Salah satu bagian penting dari belajar matematika, adalah bagaimana siswa mampu membuat alasan matematis dalam setiap pemecahan masalah matematika. Dalam belajar matematika, siswa harus bisa mengkonstruksi pengetahuan matematika, dan mengembangkan kebiasaan berpikir tentang pemecahan masalah matematika.
Kebiasaan berpikir matematis mencakup ketrampilan dalam memberikan alasan secara matematis, bisa mengkomunikasikan matematika kepada orang lain, dan kemampuan membuat hubungan antar untaian konsep dalam matematika dan matematika dengan disiplin ilmu lain. NCTM (2000) menerbitkan prinsip siswa harus belajar matematika dengan pemahaman, secara aktif membangun pengetahuan baru dari pengalaman dan pengetahuan sebelumnya.
Pengertian penalaran matematis dalam pemecahan masalah matematika yang dimaksud dalam penelitian ini adalah proses atau langkah yang digunakan siswa sebagai subjek penelitian dalam memecahkan soal matematika yang diberikan, dimulai dengan bagaimana siswa memahami
masalah, melakukan perhitungan, dugaan (conjectures), manipulasi matematika, dan menarik kesimpulan.
Dari beberapa pendapat tentang penalaran matematis, peneliti mengambil indikator penalaran matematis dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Memahami masalah
Memahami masalah dalam penelitian ini diartikan sebagai proses atau langkah yang digunakan siswa sebagai subyek penelitian dalam memecahkan soal matematika yang diberikan yaitu dengan menuliskan informasi yang diketahui maupun yang ditanyakan dalam permasalahan.
b. Menyajikan pernyataan matematika dan melakukan perhitungan
Menyajikan pernyataan dalam penelitian ini diartikan sebagai proses atau langkah yang digunakan siswa sebagai subyek penelitian dalam memecahkan soal matematika yang diberikan dengan menuliskan persamaan matematika dari permasalahan dan melakukan perhitungan dengan operasi penjumlahan, pengurangan maupun perkalian dalam aljabar.
c. Mengajukan dugaan dan melakukan manipulasi matematika
Mengajukan dugaan dalam penelitian ini diartikan sebagai proses atau langkah yang digunakan siswa sebagai subyek penelitian dalam memecahkan soal matematika yang diberikan dengan menuliskan dugaan jawaban untuk menyelesaikan pertanyaan berikutnya dan langkah-langkah penyelesaian masalah yang dilakukan oleh siswa dalam menyelesaikan permasalahan.
d. Menarik kesimpulan
Menarik kesimpulan diartikan sebagai proses atau langkah yang digunakan siswa sebagai subyek penelitian dalam memecahkan soal matematika yang diberikan dengan menuliskan kesimpulan dari beberapa penyelesaian permasalahan yang diberikan.
B. Kerangka Berpikir
Proses pembelajaran matematika yang diharapkan adalah siswa membangun sendiri konsep matematika yang sedang mereka pelajari dengan begitu pengetahuan yang diharapkan akan mudah dipahami oleh siswa. Guru memfasilitasi proses pembelajaran agar terjadi konstruksi konsep matematika dengan benar agar pengetahuan yang akan dipelajari dapat diserap dengan baik oleh siswa. Siswa akan mudah memahami konsep matematika yang mereka akan pelajari dengan pola-pola yang terstruktur karena siswa akan mengetahui bagaimana konsep tersebut mereka bangun. Penalaran matematis sangat penting dalam pembelajaran matematika pada materi aljabar. Penalaran merupakan proses berpikir yang abstrak dalam menyelesaikan permasalahan matematika. Penalaran matematis yang diharapkan adalah penalaran dalam perhitungan atau numerik dalam menyelesaikan permasalahan.
Penelitian ini melihat proses penalaran matematis siswa dalam memecahkan masalah pada setiap tingkatan kemampuan diperoleh dari wawancara dengan teknik think aloud method. Dari wawancara didapat data sementara tentang proses penalaran matematis. Selanjutnya dilakukan wawancara terhadap subjek lain untuk memperoleh hasil data yang lain, dan dikumpulkan dengan data wawancara sebelumnya. Dari wawancara akan diperoleh data berupa percakapan. Data tersebut direduksi dengan cara mengambil percakapan yang terkait dengan penalaran matematis siswa, reduksi ini menghasilkan data yang mewakili setiap kemampuan.
