BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini dibahas tentang proses Poisson tak homogen majemuk, dan sifat-sifat proses Poisson tak homogen majemuk beserta pembuktiannya.
4.1. Proses Poisson Tak Homogen Majemuk
Poisson tak homogen {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} memiliki fungsi intensitas 𝜆(𝑡), 𝑡 > 0.
Fungsi intensitas 𝜆(𝑡) pada penelitian ini menggunakan fungsi pangkat, sehingga untuk menurunkan proses Poisson tak homogen majemuk memerlukan empat asumsi penting sebagai berikut.
a. Variabel random {𝑋𝑖, 𝑖 ≥ 1} adalah variabel random independen dan berdistribusi identik.
b. Proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah proses Poisson tak homogen pada interval [0, ∞) dengan fungsi intensitas 𝜆(𝑡) tidak diketahui.
c. Fungsi intensitas berbentuk fungsi pangkat, yaitu 𝜆(𝑡) = 𝑎𝑡𝑏 untuk nilai 𝑎, 𝑏 > 0 dan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ dengan 𝑎 menyatakan kemiringan (slope) dari fungsi pangkat dan nilai 𝑏 merupakan konstanta.
d. Variabel random {𝑋𝑖, 𝑖 ≥ 1} independen terhadap 𝑁(𝑡), untuk setiap 𝑡 ≥ 0.
Sesuai asumsi-asumsi tersebut diperoleh proses Poisson tak homogen majemuk yaitu
𝑌(𝑡) = ∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
. 𝑡 ≥ 0 (1)
4.2. Sifat-sifat Proses Poisson Tak Homogen Majemuk
Berikut sifat-sifat proses Poisson tak homogen majemuk.
a. Mean dan Variansi.
Terdapat kasus khusus untuk jumlahan variabel random yang independen identik yaitu pada penggunaan ekspektasi bersyarat dan variansi
bersyarat. Berikut akan dibuktikan teorema untuk mean dan variansi proses Poisson tak homogen majemuk.
Teorema 4.2.1. Jika {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas 𝜆(𝑡) dan 𝑌(𝑡) adalah variabel random Poisson tak homogen majemuk maka nilai ekspektasi 𝐸(𝑌(𝑡)) adalah ( 𝑎
𝑏+1𝑡𝑏+1) 𝜇1. Bukti. Akan dibuktikan nilai ekspektasi dari proses Poisson majemuk adalah ( 𝑎
𝑏+1𝑡𝑏+1) 𝜇1.
Andaikan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} merupakan proses Poisson tak homogen dan {𝑋𝑖, 𝑖 ≥ 1} merupakan variabel random independen dan berdistribusi iden- tik, dengan menggunakan sifat ekspektasi bersyarat 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝐸(𝑋|𝑌)) yang ditunjukkan pada Teorema 2.2.3. dan Definisi 2.2.1 sehingga
𝐸(𝑌(𝑡)) = 𝐸 (∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
) = 𝐸 (𝐸 (∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡)))
= 𝐸 (𝐸(∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡) = 𝑛))
= 𝐸(𝐸(∑𝑛𝑖=1𝑋𝑖|𝑁(𝑡) = 𝑛))
= ∑ 𝐸 (∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
) 𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
∞
𝑛=0
= ∑ ∑ 𝐸(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
∞
𝑛=0
= ∑ 𝑛𝐸(𝑋1)𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
∞
𝑛=0
= (∑ 𝑛𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
∞
𝑛=0
) 𝐸(𝑋1)
= 𝐸(𝑁(𝑡)) 𝐸(𝑋1).
Misal 𝑁(𝑡) merupakan variabel random yang berdistribusi Poisson untuk setiap 𝑡 ≥ 0 dengan fungsi intensitas 𝜆(𝑡) sehingga 𝐸(𝑁(𝑡)) = ∫ 𝜆(𝑡)0𝑡 𝑑𝑡.
Menurut asumsi 𝜆(𝑡) = 𝑎𝑡𝑏, untuk 𝑎, 𝑏 > 0 , ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
Selanjutnya diperoleh 𝐸(𝑌(𝑡)) = 𝐸 (∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
) = 𝐸(𝑁(𝑡)) 𝐸(𝑋1)
= (∫ 𝑎𝑡𝑏
𝑡 0
𝑑𝑡) 𝐸(𝑋1)
= ([ 𝑎
𝑏 + 1𝑡𝑏+1]
0 𝑡
) 𝐸(𝑋1)
= ( 𝑎
𝑏 + 1𝑡𝑏+1) 𝐸(𝑋1).
Jika 𝐸(𝑋1) = 𝜇1 maka diperoleh
𝐸(𝑌(𝑡)) = 𝐸 (∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
) = ( 𝑎
𝑏 + 1𝑡𝑏+1) 𝜇1. (2) Selanjutnya dibuktikan teorema variansi.
Teorema 4.2.2. Jika {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas 𝜆(𝑡) dan 𝑌(𝑡) adalah variabel random Poisson tak homogen majemuk maka nilai variansi 𝑣𝑎𝑟(𝑌(𝑡)) adalah ( 𝑎
𝑏+1𝑡𝑏+1) 𝜇2. Bukti. Akan dibuktikan variansi dari proses Poisson majemuk adalah ( 𝑎
𝑏+1𝑡𝑏+1) 𝜇2.
Berdasarkan Teorema 2.2.6., diperoleh 𝑣𝑎𝑟(𝑌(𝑡)) = 𝑣𝑎𝑟 (∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
)
= 𝐸 (𝑉𝑎𝑟 (∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡))) +𝑉𝑎𝑟(𝐸(∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡))) Selanjutnya menghitung 𝐸 (𝑉𝑎𝑟 (∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡))) berdasarkan sifat eks- pektasi bersyarat 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝐸(𝑋|𝑌)) yang ditunjukkan pada Teorema 2.2.3. dan Definisi 2.2.1 sehingga
𝐸 (𝑉𝑎𝑟 (∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡))) = 𝐸 (𝑉𝑎𝑟(∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡) = 𝑛))
= 𝐸(𝑉𝑎𝑟(∑𝑛𝑖=1𝑋𝑖|𝑁(𝑡) = 𝑛))
= ∑ 𝑉𝑎𝑟 (∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
)
∞
𝑛=0
𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
= ∑ ∑ 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
∞
𝑛=0
= ∑ ∑ 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
∞
𝑛=0
= ∑ 𝑛𝑉𝑎𝑟(𝑋1)𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
∞
𝑛=0
= (∑ 𝑛𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑛)
∞
𝑛=0
) 𝑉𝑎𝑟(𝑋1)
= 𝐸(𝑁(𝑡))𝑉𝑎𝑟(𝑋1)
Selanjutnya menentukan 𝑉𝑎𝑟 (𝐸[∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡)]) berdasarkan Definisi.
2.2.3. dan Teorema 2.2.6. sehingga
𝑉𝑎𝑟 (𝐸 [∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
|𝑁(𝑡)]) = 𝑉𝑎𝑟 (𝐸(𝑁(𝑡)) 𝐸(𝑋1))
= 𝐸 ((𝐸(𝑁(𝑡)) 𝐸(𝑋1))2) − (𝐸 (𝐸(𝑁(𝑡)) 𝐸(𝑋1)))
2
= 𝐸 ((𝐸(𝑁(𝑡)))2(𝐸(𝑋1))2) − (𝐸 (𝐸(𝑁(𝑡))))
2
(𝐸(𝑋1))2
= 𝐸 (𝐸(𝑁(𝑡)))2(𝐸(𝑋1))2− (𝐸 (𝐸(𝑁(𝑡))))
2
(𝐸(𝑋1))2
= (𝐸(𝑋1))2(𝐸 (𝐸(𝑁(𝑡)))2 − (𝐸 (𝐸(𝑁(𝑡))))
2
)
= (𝐸(𝑋1))2(𝐸(𝑁(𝑡))2 − (𝐸(𝑁(𝑡)))2)
= (𝐸(𝑋1))2𝑉𝑎𝑟(𝑁(𝑡)).
Jika {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} merupakan proses Poisson maka 𝐸(𝑁(𝑡)) = 𝑉𝑎𝑟(𝑁(𝑡)) sehingga
𝑉𝑎𝑟 ((∑𝑁(𝑡)𝑖=1 𝑋𝑖|𝑁(𝑡))) = (𝐸(𝑋1))2𝐸(𝑁(𝑡))
Selanjutnya,
𝑣𝑎𝑟(𝑌(𝑡)) = 𝑣𝑎𝑟 (∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
) = 𝐸(𝑁(𝑡))𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + (𝐸(𝑋1))2𝐸(𝑁(𝑡))
= 𝐸(𝑁(𝑡)) [𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + (𝐸(𝑋1))2]
= 𝐸(𝑁(𝑡)) [𝐸(𝑋12) − (𝐸(𝑋1))2+ (𝐸(𝑋1))2]
= 𝐸(𝑁(𝑡))𝐸(𝑋12).
Selanjutnya diperoleh,
𝑣𝑎𝑟(𝑌(𝑡)) = 𝑣𝑎𝑟 (∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
) = 𝐸(𝑁(𝑡))𝐸(𝑋12)
= (∫ 𝑎𝑡𝑏
𝑡 0
𝑑𝑡) 𝐸(𝑋12)
= ([ 𝑎
𝑏 + 1𝑡𝑏+1]
0 𝑡
) 𝐸(𝑋12)
= ( 𝑎
𝑏 + 1𝑡𝑏+1) 𝐸(𝑋12) Jika 𝐸(𝑋12) = 𝜇2 maka diperoleh
𝑣𝑎𝑟(𝑌(𝑡)) = 𝑣𝑎𝑟 (∑ 𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
) = ( 𝑎
𝑏 + 1𝑡𝑏+1) 𝜇2. (3) b. Estimasi mean dan variansi.
Pada persamaan (2) diperoleh 𝐸(𝑌(𝑡)) = ( 𝑎
𝑏+1𝑡𝑏+1) 𝜇1 dan dan pada persamaan (3) 𝑣𝑎𝑟(𝑌(𝑡)) = ( 𝑎
𝑏+1𝑡𝑏+1) 𝜇2, estimasi mean dan varian- si dibagi menjadi tiga estimasi, yaitu estimasi 𝜇1, estimasi 𝜇2, dan estimasi 𝑎. Estimasi diperoleh dari rata-rata nilai variabel random yang bersesuaian dengan banyaknya kejadian dalam selang [0, 𝑛], yaitu
𝐸(𝑁(𝑡)) = 𝐸(𝑁([0, 𝑛])) = ∫ 𝜆(𝑡)
𝑛 0
𝑑𝑡
= ∫ 𝑎𝑡𝑏
𝑛 0
𝑑𝑡
= [ 𝑎
𝑏 + 1𝑡𝑏+1]
0 𝑛
= 𝑎
𝑏 + 1𝑛𝑏+1, karena 𝐸(𝑁([0, 𝑛])) = 𝑁([0, 𝑛]), sehingga diperoleh
𝑁([0, 𝑛]) = 𝑎
𝑏 + 1𝑛𝑏+1.
Selanjutnya nilai estimasi 𝜇1, dengan 𝜇1 = 𝐸(𝑋1) =𝑛1∑𝑛𝑖=1𝐸(𝑋𝑖), sehingga diperoleh
𝜇̂1,𝑛 = 1
𝑁([0, 𝑛]) ∑ 𝑋𝑖
𝑁([0,𝑛])
𝑖=1
, (4)
saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0 maka 𝜇̂1,𝑛 = 0.
dan estimasi 𝜇2, dengan 𝜇2 = 𝐸(𝑋12) = 1
𝑛∑𝑛𝑖=1𝐸(𝑋𝑖2), diperoleh 𝜇̂2,𝑛 = 1
𝑁([0, 𝑛]) ∑ 𝑋𝑖2
𝑁([0,𝑛])
𝑖=1
, (5)
saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0 maka 𝜇̂2,𝑛 = 0.
Selanjutnya estimasi 𝑎 yaitu
𝑎̂𝑛,𝑏= 𝑏 + 1
𝑛𝑏+1 𝑁([0, 𝑛]). (6)
Dari persamaan estimasi 𝜇1, estimasi 𝜇2, estimasi 𝑎 yang telah di- peroleh sehingga dapat ditentukan estimasi mean dan variansi. Jika estimasi mean dinotasikan dengan 𝜓̂(𝑡) dan estimasi variansi dinotasikan dengan 𝜗̂(𝑡) maka diperoleh
𝜓̂𝑛,𝑏(𝑡) = (𝑎̂𝑛,𝑏
𝑏 + 1𝑡𝑏+1) 𝜇̂1,𝑛
= ( 𝑏 + 1
𝑛𝑏+1 𝑁([0, 𝑛])
𝑏 + 1 𝑡𝑏+1) 1
𝑁([0, 𝑛]) ∑ 𝑋𝑖
𝑁([0,𝑛])
𝑖=1
=𝑏 + 1 𝑛𝑏+1
𝑡𝑏+1
𝑏 + 1𝑁([0, 𝑛]) 1
𝑁([0, 𝑛]) ∑ 𝑋𝑖
𝑁([0,𝑛])
𝑖=1
= 𝑡𝑏+1
𝑛𝑏+1 ∑ 𝑋𝑖
𝑁([0,𝑛])
𝑖=1
. (7)
dan
𝜗̂𝑛,𝑏(𝑡) = (𝑎̂𝑛,𝑏
𝑏 + 1𝑡𝑏+1) 𝜇̂2,𝑛
= ( 𝑏 + 1
𝑛𝑏+1 𝑁([0, 𝑛])
𝑏 + 1 𝑡𝑏+1) 1
𝑁([0, 𝑛]) ∑ 𝑋𝑖2
𝑁([0,𝑛])
𝑖=1
=𝑏 + 1 𝑛𝑏+1
𝑡𝑏+1
𝑏 + 1𝑁([0, 𝑛]) 1
𝑁([0, 𝑛]) ∑ 𝑋𝑖2
𝑁([0,𝑛])
𝑖=1
= 𝑡𝑏+1
𝑛𝑏+1 ∑ 𝑋𝑖2
𝑁([0,𝑛])
𝑖=1
. (8)
Dengan 𝜓̂𝑛,𝑏(𝑡) = 0 dan 𝜗̂𝑛,𝑏(𝑡) = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0.
4.3. Penerapan Menentukan Ekspektasi Kecelakaan di Perairan dan Pelabuan Laut Baltik dengan Intensitas Fungsi Pangkat
Pada contoh penerapan dari Franciszek [3], tentang pengaplikasian proses Poisson tak homogen majemuk terkait kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik. Apabila {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} merupakan proses stokastik dengan 𝑆 = {0,1,2, … }, mewakili jumlah kecelakaan di Laut Baltik dalam interval [0, 𝑡). Nilai mean yang digunakan pada proses ini adalah 𝐸[𝑁(𝑡)] = ∫ 𝜆(𝑡)0𝑡 𝑑𝑡, dengan fungsi intensitas- nya adalah 𝜆(𝑡) = 𝑎𝑡𝑏. Selanjutnya dari fungsi intensitas dapat ditentukan koefi- sien 𝑎 dan koefisien 𝑏 dengan menggunakan regresi nonlinear model geometris atau power 𝑌𝑖 = 𝑎𝑋𝑖𝑏. Regresi nonlinear model geometris atau power dipilih karena memiliki persamaan umum yang sama dengan fungsi intensitasnya. Berikut ditun- jukkan data terkait kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik pada Tabel 4.1.
Tabel 4. 1Intensitas kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik
No. Tahun Interval [𝑡0, 𝑡1)
Pusat Interval
(𝑋𝑖)
Jumlah kecelakaan
(𝑓𝑖)
(𝑋𝑖. 𝑓𝑖)
Intensitas [ 𝑓𝑖
𝑡1− 𝑡0]
1. 2004 [0,366) 183 133 24339 0,363387978
2. 2005 [366,731) 548,5 146 80081 0,400000000 3. 2006 [731,1096) 913,5 115 105052,5 0,315068493 4. 2007 [1096,1461) 1278,5 118 150863 0,323287671 5. 2008 [1461,1827) 1644 138 226872 0,37704918 6. 2009 [1827,2192) 2009,5 115 231092,5 0,315068493 7. 2010 [2192,2557) 2374,5 127 301561,5 0,347945205 8. 2011 [2557,2922) 2739,5 143 391748,5 0,391780822 9. 2012 [2922,3288) 3105 148 459540 0,404371585 10. 2013 [3288,3653) 3470,5 149 517104,5 0,408219178 TOTAL 18266,5 1332 2488254,5 3,646178606 Berdasarkan tabel Tabel 4.1. intensitas kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik pada tahun 2004-2013 memiliki interval setiap tahunnya 365 hari atau 366 hari. Jumlah kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik pada tahun 2004-2013 adalah 1.332, dengan rata-rata intensitas kecelakaan setiap tahun- nya adalah 0, 3646178606 ≈ 0,40, sehingga setiap 100 hari terjadi 40 kejadian kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik.
Persamaan umum fungsi intensitas adalah 𝑌𝑖 = 𝑎𝑋𝑖𝑏, jika diambil logaritmanya maka diperoleh
𝑙𝑜𝑔 𝑌̂ = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 𝑏 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖 ̂ . 𝑖 (9) Koefisien 𝑎 dan koefisien 𝑏 dapat ditentukan dari
𝑙𝑜𝑔 𝑎 =∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑌𝑖
𝑛 − 𝑏∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖
𝑛 , (10)
dengan
𝑏 =𝑛 (∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑌𝑖) − (∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖)(∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑌𝑖)
𝑛(∑ 𝑙𝑜𝑔2 𝑋𝑖) − (∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖)2 . (11)
Berikut diberikan nilai-nilai yang diperlukan untuk menghitung koefisien 𝑎 dan koefisien 𝑏 pada Tabel 4.2.
Tabel 4. 2 Nilai logaritma 𝑋 dan 𝑌
𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑌𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑌𝑖 𝑙𝑜𝑔2 𝑋𝑖
183 0,363387978 2,26245109 -0,439629444 -0,994640116 5,118684933 548,5 0,400000000 2,739176632 -0,397940009 -1,090027973 7,503088621 913,5 0,315068493 2,960708552 -0,501595024 -1,485076677 8,765795128 1278,5 0,323287671 3,106700732 -0,490410857 -1,523559769 9,65158944
1644 0,37704918 3,215901813 -0,423601999 -1,362262437 10,34202447 2009,5 0,315068493 3,303088011 -0,501595024 -1,65681251 10,91039041 2374,5 0,347945205 3,375572174 -0,458489144 -1,547663195 11,3944875 2739,5 0,391780822 3,437671305 -0,406956827 -1,398983806 11,817584
3105 0,404371585 3,492061605 -0,39321937 -1,373146264 12,19449425 3470,5 0,408219178 3,540392049 -0,389106596 -1,377589899 12,53437586 18266,5 3,646178606 31,43372396 -4,402544294 -13,80976265 100,2325146
Koefisien 𝑏 diperoleh,
𝑏 =𝑛 (∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑌𝑖) − (∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖)(∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑌𝑖) 𝑛(∑ 𝑙𝑜𝑔2 𝑋𝑖) − (∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖)2
= 10 (−13,80976265) − (31,43372396)(−4,402544294) 10(100,2325146) − (31,43372396)2
= −138,0976265− (−138,3883621) 1002,325146− 988,0790021
= 0,290735607 14,24614402
= 0,020408021 ≈ 0,020. (12)
Sedangkan koefisien 𝑎 diperoleh, 𝑙𝑜𝑔 𝑎 =∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑌𝑖
𝑛 − 𝑏∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑋𝑖 𝑛
=−4,402544294
10 − (0,020408021)(31,43372396) 10
=−0,4402544294− (0,020408021)(3,143372396)
=−0,4402544294− (0,06415001)
=−0,50440444
𝑎 = 0,313036919 ≈ 0,313. (13)
Tabel 4. 3 Estimasi Parameter
Persamaan 𝑅 kuadrat 𝐹 Signifikansi Konstanta 𝑏
Power 0,032 0,267 0,619 0,313 0,020
Pada Tabel 4.3 dapat diperoleh informasi tentang besarnya nilai 𝑅 Kuadrat atau koefisien determinasi adalah 0,032 yang menunjukkan seberapa bagus model regresi yang dibentuk oleh interaksi variabel independen (𝑋) terhadap variabel de- penden (𝑌). Kriteria untuk menentukan taraf signifikansi atau linieritas dari regresi dapat ditentukan berdasarkan nilai signifikansi yang diketahui yaitu sebesar 0,619, maka nilai diatas 0,05, sehingga dapat disimpulkan data tidak signifikan atau nonlinier. Pada tabel diketahui nilai 𝐹-hitung sebesar 0,267. Model persamaan regresi diperoleh dari kolom konstantan yang merupakan nilai koefisien 𝑎 dengan nilai 0,313 dan pada kolom 𝑏 yang merupakan nilai koefisien 𝑏 dengan nilai 0,020, sehingga persamaan regresinya diperoleh 𝑌𝑖 = 0,313𝑋𝑖0,020.
Jika persamaan regresi diperoleh 𝑌𝑖 = 0,313𝑋𝑖0,020 maka diperoleh per- samaan (14) yang merupakan intensitas kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik pada 𝑡 ≥ 0,
𝜆(𝑡) = 0,313𝑡0,020. (14)
Selanjutnya ditentukan nilai ekspektasi 𝐸[𝑁(𝑡)] yaitu 𝐸[𝑁(𝑡)] = ∫ 0,313𝑡0,020
𝑡 0
𝑑𝑡 = 0,313
0,020 + 1𝑡0,020+1
= 0,313 1,020𝑡1,020
= 0,307𝑡1,020. (15)
Pada persamaan (15) merupakan ekspektasi banyaknya kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik dalam interval [0, 𝑡) yaitu 𝐸[𝑁(𝑡)] = 0,307𝑡1,020.
Selanjutnya pada persamaan (16) diperoleh nilai rata-rata banyaknya kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik pada tahun 2004-2013 yaitu
𝐸(𝑋1) = 𝜇1 =2488254,5 1332
= 1868,058934 ≈ 1868. (16) Berdasarkan persamaan (15) dan persamaan (16) diperoleh nilai ekspektasi 𝐸[𝑌(𝑡)]
yaitu
𝐸[𝑌(𝑡)] = 𝐸[𝑁(𝑡)]𝐸(𝑋1)
= 0,307𝑡1,0201868
= 573,476𝑡1,020 ≈ 573,5𝑡1,020. (17)
Pada persamaan (17) diperoleh fungsi ekspektasi banyaknya kecelakaan di perairan dan pelabuhan Laut Baltik dalam interval [0, 𝑡).
