Watak Dinamis Sensor. Laila Katriani.

(1)

Watak Dinamis Sensor

Laila Katriani

(2)

Definisi

Fungsi Transfer suatu sistem linear didefinisikan

sebagai perbandingan transformasi Laplace

sinyal output terhadap sinyal input dengan

asumsi semua kondisi awal sama dengan nol.

 

u

t

_kondisikondisi _awalawal _nolnol

L

t

y

L

s

U

s

Y

s

G

 



_ _

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 Output Input

(3)

Sifat-sifat Fungsi Transfer

• Fungsi transfer suatu sistem merupakan model matematik yang mengekpresikan persamaan diferensial yang

menghubungkan variabel output terhadap variabel input.

• Fungsi transfer adalah properti dari sistem itu sendiri, tidak bergantung pada input atau fungsi penggerak.

• Fungsi transfer memiliki besaran yang diperlukan untuk

menghubungkan input dan output. Tetapi tidak memberikan informasi tentang struktur fisik dari suatu sistem. Fungsi

transfer dapat sama (identik) dari bentuk fisik yang berbeda.

• Jika fungsi transfer sistem diketahui, output atau response dapat dipelajari dari berbagai input yang diberikan. Fungsi transfer memberikan deskripsi menyeluruh mengenai

(4)

Fungsi Transfer





















) ( , 0 1 1 1 1 ) ( , 0 1 1 1 1

...

t y output m m m m t u input n n n n

y

a

y

a

y

a

y

b

u

b

u

b

u

b

u

a



_ 







_ 



 

u

t

_kondisikondisi _awalawal _nolnol

L

t

y

L

s

G

 



_ _

)

(

)

(

)

(

0 1 1 1 0 1 1 1

...

)

(

)

(

)

(

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

U

s

Y

s

G

_n n n n m m m m





_    4 • Persamaan diferensial suatu sistem yang menghubungkan

output dengan input

• Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas (Lihat Transformasi Laplace) dengan kondisi awal sama dengan nol

Fungsi Transfer

(5)

Persamaan Karakteristik

• Persamaan karakteristik suatu sistem

(linier) didefinisikan sebagai

denumerator polinomial fungsi transfer

sama dengan nol.

0 )

(

)

(

s



D

s



g

)

(

)

(

)

(

s

D

s

N

s

G



Note: Stabilitas suatu sistem linier SISO (input single-output) ditentukan dengan akar persamaan Fungsi Transfer Persamaan Karakteristik

(6)

Zero dan Pole

Suatu Fungsi Transfer

• Fungsi transfer biasanya direpresentasikan dalam bentuk polinomial pecahan sebagai berikut :

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

)

(

)

(

)

(

2 1 2 1 n m

p

s

p

s

p

s

z

s

z

s

z

s

D

s

N

s

G





) 2 )( 1 ( ) 3 )( 1 ( ) 2 3 ( 3 4 ) ( ) ( ) ( ₂ 2            s s s s s s s s s s s D s N s G 6

• Perhatikan contoh fungsi transfer berikut:

Solusi N(s)=0 disebut zeros (z), karena membuat G(s) bernilai nol. Solusi D(s)=0

disebut poles (p), karena membuat G(s) bernilai tak berhingga

Memiliki zero pada s=1, s=3 dan pole pada s=0, s= 1, s= -2

(7)

Zero dan Pole

dengan MatLab

• MatLab memiliki fungsi built-in “roots” yang dapat digunakan

untuk mencari zero dan pole suatu fungsi transfer :

) ( ) ( d roots poles c roots zeros     s s s s s s s s s s s D s N s G 2 3 3 4 ) 2 3 ( 3 4 ) ( ) ( ) ( ₃ ₂ 2 2 2           

• Perhatikan fungsi transfer berikut:

c adalah vektor koefisien numerator fungsi transfer dan d

vektor koefisien denumerator fungsi transfer >>num=[1 -4 3]; >>den=[1 3 2 0]; >>zeros=roots(num) >>poles=roots(den) • Perintah berikut: zeros = 3 1 poles = 0 -2 -1

(8)

Overview

• Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung pada masukannya.

• Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).

• Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial.

(9)

• Transformasi Laplace mengkonversikan

persamaan differensial (dalam

domain t

)

kedalam persamaan aljabar dalam

domain s

.

• Memungkinkan memanipulasi persamaan

aljabar dengan aturan sederhana untuk

menghasilkan solusi dalam domain s.

• Solusi dalam domain t dapat diperoleh

dengan melakukan operasi

inverse

(10)

Definisi

10

 

t

L

 

F

 

s

f



1

 

_

   

 

_

_

  0

dt

e

t

f

t

f

L

s

F

st Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t) Inverse Transformasi Laplace

Fungsi f(t) haruslah real dan kontinu

sepanjang interval waktu yang akan

dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace

tidak dapat digunakan.

(11)

Teorema Transformasi

Laplace

• Linieritas

 

   

   



f

t

f

t

    

F

s

F

s

L

s

aF

t

af

L

2 1 2 1









 

_{   }

 

_{     }

dt

df

f

s

F

s

dt

t

f

d

L

f

s

sF

dt

t

df

L

0

2 2 2

































 

 

 

dt

s

f

s

F

dt

t

f

L









0  

t

sF

 

s

f

s t



lim



lim

0

 

t

sF

 

s

f

s t

lim

0

lim

  



 



f

t



e

F

 

s

L







s • Differensiasi • Integrasi • Nilai awal • Nilai akhir • Pergeseran waktu

(12)

Contoh:

Solusi Persamaan Differensial

      s s Y y s sY y sy s Y s2  0  ´(0)3 3 (0)2 ( )51

 

_{     }

t f t y dt t dy dt t y d 5 2 3 2 2   

 

) 2 3 ( 5 ) ( 5 ) ( ) 2 3 ( 5 ) ( 2 3 3 2 2 2 2 2 2                   s s s s s s Y s s s Y s s s s s Y s sY s s Y s 12

Diberikan persamaan differensial sbb:

Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace

menghasilkan: Fungsi unit

step dari tabel transformasi Laplace Menggunakan teorema differensiasi transformasi Laplace Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers transformasi Laplace

(13)

) 2 )( 1 ( 5 ) 2 3 ( 5 ) ( 2 2 2             s s s s s s s s s s s Y 2 3 ) 1 ( 5 )] ( ) 2 [( 5 ) 2 ( 5 )] ( ) 1 [( 2 5 ) 2 )( 1 ( 5 )] ( [ 2 2 2 1 2 0                               s s s s s Y s C s s s s s Y s B s s s s s sY A s s s ) 2 )( 1 ( 5 ) 2 ( ) 1 ( ) ( 2            s s s s s s C s B s A s Y

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan

memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:

Ekpansi dalam pecahan parsial,

Dimana A, B dan C adalah koefisien

(14)

14

)

2 (

2

3 )

1 (

5

2

5 )

(







s

Y

t t

e

t

y

2

3

5

2

5 )

(









Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi

(15)

Prosedur Solusi persamaan Diferensial

dengan Transformasi Laplace

1. Transformasi persamaan differensial ke dalam

domain s dengan transformasi Laplace

menggunakan tabel transformasi Laplace.

2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah

ditransformasikan untuk mendapatkan

variabel outputnya.

3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap

persamaan aljabar pada langkah 2.

4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan

tabel transformasi Laplace untuk

(16)

Ekspansi Pecahan Parsial:

Review

• Transformasi Laplace dari suatu persamaan

differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:

)

(

)

(

)

(

s

D

s

N

s

F



) )...( )( ( ) ( ) ( 2 1 s s s sN s s s N s F     16

• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya

(denumerator).

– Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama

N(s) adalah numerator (pembilang) dalam s,

D(s) denumerator (penyebut) dalam s

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk: ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 N N s s K s s K s s K s F        K_i (i=1,…,N) adalah konstanta yang harus dicari

(17)

Ekspansi Pecahan Parsial:

Review

) )...( )( )...( )( ( ) ( )] ( ) [( 1 1 2 1 i i i i i i N i i s s i i s s s s s s s s s s s N s F s s K i                   M n n n n n ns s s s s s s N s F ) 2 ...( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ₂ ₂ 2 2 2 1 2 2 

























• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

M n n M M n n n n s s B s A s s B s A s s B s A s F ) 2 ( ... ) 2 ( ) 2 ( ) ( ₂ ₂ 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1                   

Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:

Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:

Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s

(18)

Ekspansi Pecahan Parsial:

Review

M n n n n n n N s s s s s s s s s s s s s N s F ) 2 ...( ) 2 ( ) 2 )( )...( )( ( ) ( ) ( ₂ ₂ 2 2 2 1 2 2 2 1              18

• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

M n n M M n n n n N N s s B s A s s B s A s s B s A s s K s s K s s K s F ) 2 ( ... ) 2 ( ) 2 ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1                          

(19)

Ekspansi Pecahan Parsial:

dengan software MatLab

• Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s): ) ( ) ( ) ( ... ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( s k n p s n r p s r p s r s D s N _        0 , ... ... ) ( ) ( 0 1 1 1 0 1 1 1            _    m n n n n n m m m m b a a s a s a s a b s b s b s b den num s D s N

• Ekspansi pecahan parsialnya adalah

] ... [ ] ... [ 0 1 0 1 a a a den b b b num n n m m    

• Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya

k(s) adalah direct term

• Perintah

>>[r,p,k]=residue(num ,den)

Perintah ini akan mencari residu, poles

dan direct term dari ekspansi pecahan

(20)

Contoh

20 1 3 3 3 2 ) ( ) ( 2 3 2       s s s s s s D s N

• Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:

Solusi dengan MatLab: >>num=[1 2 3]; >>den=[1 3 3 1]; >>[r,p,k]=residue(num,den) r = 1.0000 0.0000 2.0000 p = -1.0000 -1.0000 -1.0000 k = [] Ekspansi pecahan parsialnya:

3 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) ( ) (       s s s s D s N

(21)

Tabel:

(22)

Kesalaha

an Dinamis

dalam

Sistem

Pengukur

an

(23)

Contoh kesalahan dinamis

Sistem Pengukuran Suhu secara dinamis.

Gambar diatas menunjukkan pengukuran lengkap suatu sistem yang terdiri dari n elemen. Tiap elemen i mempunyai steady-state ideal dan karakteristik dinamis linear dan dapat ditunjukkan oleh sensitivitas steady-state Ki dan fungsi transfer Gi(s).

∆𝑇_𝑇 𝑠 103 1 + 10−4_𝑠 ∆𝑉 𝑡 ∆𝐸 𝑡 ∆𝑇_𝑀 𝑇 𝑇ℎ𝑒𝑟𝑚𝑜𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 25 2,5𝑥10−5_𝑠2₁₀−2_{𝑠 + 1} 𝑒. 𝑚. 𝑓 𝑣𝑜𝑙𝑡 𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 _measured_{𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒} 4 𝑥 10−6 1 + 10𝑠

(24)

Dari Fungsi Transfer untuk Pengukuran Sistem

∆𝑂 𝑠

∆𝐼 𝑠

= 𝐺 𝑠 = 𝐺

1 𝑠 𝐺

2 𝑠 . . . 𝐺

𝑖

𝑠 . . . 𝐺

𝑛

𝑠

[4.41]

Pertamakitacarifungsitransformasi Laplace

∆𝐼 𝑠

dari

∆𝐼 𝑡

kemudianmenggunakanTransformasi Laplace

Output

∆𝑂 𝑠 = 𝐺 𝑠 ∆𝐼 𝑠

Sehingga

[4.42]

Dimana :

ℒ

−1

= invers transformasi Laplace

(25)

Rumus kesalahandinamis :

𝐸 𝑡 = ∆𝑂 𝑡 − ∆𝐼 𝑡

[4.43]

(26)

MisalnyaPada input 20 ℃ .

Maka∆𝑇_𝑇 𝑡 = 20 𝑡 dan ∆𝑇_𝑇 𝑠 = 20 1 𝑠

Denganmenggunakantabel 4.1 danpersamaan [4.30] diperoleh :

(27)

• Kesalahan dinamis dari sistem fungsi transfer subyek ke

input sinusoidal

• Dari gambar [4.9] diperoleh:

(28)

(29)

• Deret Fourier Untuk Sinyal Periodik :

• Dengan input sinyal sistem diberikan oleh persamaan :

Dimana In=bn adalah amplitudo nth frekuensi harmonik nω1.

(30)

• Kita dapat menggunakan prinsip Superposisi, dimana properti dasar sistem linear (misal sistem digambarkan oleh persamaan diferensial linear). Hal ini dapat dituliskan :

• Artinya,jika input total sinyal adalah jumlah dari banyaknya gelombang sinus maka output total sinyal adalah jumlah dari respon tiap

(31)

(32)

Perhitungan

Kesalahan

Dinamis Input

Sinyal Periodik

(33)

Teknik

Kompens

asi

(34)

Dari persamaan [4.55] diperoleh E(t) = 0 untuk sinyal periodik yaitu :

|G( jω1) | = |G( j2ω1) | = . . . = |G( jnω1) | = . . . = |G( jmω1) | = 1

arg G( jω1) = arg G( j2ω1) = . . . = arg G( jnω1) = . . . = arg G( jmω1) = 0 [4.59]

Ket :

G( jω) = frequency response function

(35)

• Dimana m merupakan tingkat tertinggi harmonik signifikan. Untuk sinyal acak dengan frekuensi spektrum kontinu berada antara 0 dan ωMAX , kita memerlukan :

|G(jω)| = 1 dan arg G(jω) = 0 untuk 0 < ω ≤ ω MAX [4.60]

• Kondisi diatas menunjukkan teori ideal yang akan sulit direalisasikan dalam praktek. Selain itu, kriteria dalam praktek adalah limit variasi dalam|G( jω)| untuk frekuensi yang diberikan sinyal.

• Untuk contoh kondisi

0.98 <|G( jω)| < 1.02 untuk 0 < ω ≤ ωMAX [4.61]

Memastikan kesalahan dinamis dibatasi ≈ ±2 persen untuk sinyal yang berisi frekuensi diatas ωMAX/2π Hz (Gambar 4.15)

(36)

• Kriterialain yang digunakanadalahluasbidang. Luasbidangdarisebuahelemenatausistemadalah range frekuensidimana|G( jω)|> 1/ 2. Jadiluasbidangsistem, denganresponfrekuensi yang

ditunjukkanpadagambar4.15 adalah0 sampaiωBrad/s.

• SinyalfrekuensitertinggiωMAX haruskurangdaribesarnyaωB. Karena, bagaimanapun, adareduksi|G(

jω)|dalamωB.Kriterialuasbidanginitidakterlaluberpengaruhdalampengukuranlengkapsistem.

• Luasbidangbiasadigunakandalampenetapanresponamplifier; reduksipada|G( jω)| dari 1 sampai 1/ 2adalahsamadenganperubahandesibelN = 20 log(1/ 2) = −3.0 dB. Tingkat pertama elemen luas bidang berada diantara 0 dan 1/τ rad/s.

• Jikasistemgagaluntukbertemudengan limit spesifikasipadakesalahandinamis, misalnyafungsi transfer

G(s) tidakmemenuhikondisi [4.61],

makalangkahpertamanyaadalahmengidentifikasielemendalamsistemyang didominasiolehlingkungandinamis.

(37)

• Setelahmengidentifikasipengaruhelemensistem, ternyatametode yang paling meningkatkanrespondinamisadalahmodel/pola/bentuk yang melekat.

Dalamhalinitingkatpertama sensor suhudenganτ = MC/UA, τ dapatdiperkecildenganmemperkecilmassa/rasiodaerah M/A.

• Untukcontoh, digunakantermistordalambentukkepingan tipis. Dalamhalinitingkatkedua sensor gayadenganωn = k/m ,

ωndapatdiperbesardenganmemperbesark/m.Contohnyadigunakankekakuank yang

tinggidanmassam yang rendah. Kenaikank,bagaimanapunmenurunkansensitivitassteady-state

(38)

• Dari langkah kedua dan grafik respon frekuensi kita lihat bahwa nilai perbandingan optimal teredam ξ berkisar 0,7. Nilai ini menjamin ketetapan waktu minimum untuk tingkat respon dan |G( jω)|

terdekat dari kesatuan respon frekuensi.

• Metode lain adalah kompensasi dinamis loop-terbuka (gambar 4.16). Diberikan sebuah ketidakseimbangan elemen atau sistem

Gu(s), elemen kompensasi Gc(s) memperkenalkan ke dalam sistem,

seperti keseluruhan transfer fungsi G(s) = GU(s)GC(s) memenuhi

kondisi yang diperlukan (untuk contoh persamaan [4.61]).

• Jadi, jika rangkaian mendahului/tertinggal digunakan termokopel (gambar 4.16), keseluruhan waktu konstan mereduksi τ2 menjadi

|G( jω)| adalah kesatuan akhir terdekat dengan range frekuensi

yang lebih luas. Masalah utama dengan metode ini adalah τ dapat berubah dengan koefisien transfer panas U, sehingga mengurangi keefektifan teknik kompensasi.

(39)

• Metode lain adalah menggabungkan atau mengganti elemen ke dalam sistem loop-tertutup dengan high-gain negative feedback. Contohnya adalah suhu konstan anemometer untuk mengukur kecepatan fluktuasi fluida. Contoh lain adalah loop-tertutup akselerometer ditunjukkan dalam bagan dari diagram blok pada gambar 4.17.

(40)

• Pemakaian percepatan a dihasilkan dalam gaya inersia ma pada massa seismik. Keseimbangan ini diperoleh dari gaya magnet yang tetap pada arus kumparan yang membawa pengaruh arus balik.

• Ketidakseimbangan lain dari gaya dideteksi oleh gaya elastik elemen yang dihasilkan dari sensor posisi menggunakan potensiometer . Output dari tegangan potensiometer adalah amplify, memberikan output arus yang memberi pengaruh arus balik pada kumparan melewati resistor untuk memberikan output tegangan.

(41)

• Jika KA mencapai besarnya maka KA KD KF/k >>1 , sehingga fungsi transfer

sistem dapat dituliskan dalam bentuk :

• Kita lihat bahwa frekuensi natural sistem ωns lebih besar dari gaya elastik

elemen itu sendiri. Perbandingan teredam sistem ξs kurang dari ξ, tapi

pembuatan nilai ξs≈ 0.7 dapat diperoleh. Selanjutnya sensitivitas

steady-state sistem hanya bergantung pada m, KF, dan R, yang dapat dibuat