Metode Pendugaan Area Kecil dengan Teknik Empirical Bayes pada Pendugaan Proporsi Keluarga Miskin di Kota Bogor

RINGKASAN

WAHYU DWI LAKSONO. Metode Pendugaan Area Kecil dengan TeknikEmpirical Bayes pada Pendugaan Proporsi Keluarga Miskin di Kota Bogor. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan FARIT MOCHAMAD AFENDI.

Analisis terhadap data survei dalam menduga proporsi keluarga miskin dengan contoh berukuran kecil seringkali menghasilkan dugaan dengan tingkat akurasi yang rendah. Masalah tersebut dapat diatasi menggunakan pendugaan area kecil (Small Area Estimation, SAE) dengan meningkatkan efektivitas ukuran contoh yang memanfaatkan informasi di luar area, dari dalam area itu sendiri dan dari luar survei. Salah satu teknik yang dikembangkan dalam pendugaan proporsi dengan SAE adalah teknik empirical Bayes (EB). Dalam menduga proporsi keluarga miskin bentuk fungsi sebaran data diasumsikan menyebar beta-binomial, sehingga pendugaan hiperparameter dari fungsi sebaran tersebut didekati dengan menggunakan metode momen atau metode kemungkinan maksimum.

Pada penelitian ini, dugaan EB cukup baik dalam memperbaiki keragaman dari dugaan langsung. Keragaman dugaan EB lebih kecil dibandingkan dengan dugaan langsungnya. Keragaman yang terbentuk pada kriteria kemiskinan Bank Dunia menunjukkan kedua metode pendugaan hiperparameter cukup baik. Metode kemungkinan maksimum memiliki keragaman yang lebih kecil dibandingkan dengan metode momen pada kriteria kemiskinan BPS.

METODE PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN TEKNIK

EMPIRICAL

BAYES

PADA PENDUGAAN PROPORSI KELUARGA MISKIN

DI KOTA BOGOR

WAHYU DWI LAKSONO

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

RINGKASAN

WAHYU DWI LAKSONO. Metode Pendugaan Area Kecil dengan TeknikEmpirical Bayes pada Pendugaan Proporsi Keluarga Miskin di Kota Bogor. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan FARIT MOCHAMAD AFENDI.

Analisis terhadap data survei dalam menduga proporsi keluarga miskin dengan contoh berukuran kecil seringkali menghasilkan dugaan dengan tingkat akurasi yang rendah. Masalah tersebut dapat diatasi menggunakan pendugaan area kecil (Small Area Estimation, SAE) dengan meningkatkan efektivitas ukuran contoh yang memanfaatkan informasi di luar area, dari dalam area itu sendiri dan dari luar survei. Salah satu teknik yang dikembangkan dalam pendugaan proporsi dengan SAE adalah teknik empirical Bayes (EB). Dalam menduga proporsi keluarga miskin bentuk fungsi sebaran data diasumsikan menyebar beta-binomial, sehingga pendugaan hiperparameter dari fungsi sebaran tersebut didekati dengan menggunakan metode momen atau metode kemungkinan maksimum.

Pada penelitian ini, dugaan EB cukup baik dalam memperbaiki keragaman dari dugaan langsung. Keragaman dugaan EB lebih kecil dibandingkan dengan dugaan langsungnya. Keragaman yang terbentuk pada kriteria kemiskinan Bank Dunia menunjukkan kedua metode pendugaan hiperparameter cukup baik. Metode kemungkinan maksimum memiliki keragaman yang lebih kecil dibandingkan dengan metode momen pada kriteria kemiskinan BPS.

METODE PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN TEKNIK

EMPIRICAL

BAYES

PADA PENDUGAAN PROPORSI KELUARGA MISKIN

DI KOTA BOGOR

OLEH :

WAHYU DWI LAKSONO

G14103036

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh

Gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 07 Februari 1986 sebagai anak kedua dari dua bersaudara, anak pasangan Kasmino Pamungkas dan Dwi Haryani.

Pada tahun 1997 penulis lulus dari SD Negeri 03 Mulya Asri, Tulang Bawang Tengah, Lampung dan melanjutkan ke sekolah menengah pertama di SLTP Negeri 1 T.B. Tengah, Lampung dan lulus tahun 2000. Penulis menyelesaikan studi di SMU Negeri 1 Tumijajar, Lampung pada tahun 2003 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga, para sahabat dan umatnya hingga akhir zaman. Karya ilmiah ini berjudul “Metode pendugaan area kecil dengan teknik empirical Bayes pada pendugaan proporsi keluarga miskin di Kota Bogor “. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji pendugaan area kecil pada data biner dengan metode empirical Bayes dengan menggunakan metode momen danmaximum likelihood dalam menduga hiperparameter kemudian menerapkannya pada pendugaan proporsi keluarga miskin di Kota Bogor.

Banyak ilmu, pelajaran dan masukan yang bermanfaat dirasakan oleh penulis selama menyelesaikan karya ilmiah ini, sehingga pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih, kepada :

1. Bapak Anang Kurnia, M.Si dan Bapak Farit M. Afendi, M.Si selaku pembimbing I dan pembimbing II yang telah meluangkan waktu, memberikan arahan dan saran yang sangat bermanfaat bagi penulis serta perhatiannya kepada penulis.

2. Seluruh dosen dan Staf Departemen Statistika IPB.

3. Kepada Bapak & Ibu di Lampung, Papa & Mama di Depok serta istriku Wenny Indriyarti Putri & anakku Daanya Putri Az-Zahra atas dukungan dan semangatnya.

4. Keluarga besar di Lampung dan di Depok .

5. Dauz, Dani A, Aang, Ipunk, Edo, Yudi, Bayu, Wondo, Rahayu dan semua teman-temanku di STK 40.

6. Adik kelas STK 41, 42 atas bantuan saat seminar.

7. Serta semua pihak yang tidak tertuliskan satu per satu yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini.

Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna. Terlepas dari segala kekurangan yang ada, semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membutuhkan.

Bogor, Mei 2008

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

PENDAHULUAN Latar Belakang... 1

Tujuan ... 1

TINJAUAN PUSTAKA Pendugaan Area Kecil... 1

Model Area Kecil... 1

Teknik Empirical Bayes pada Data Biner... 2

Pendugaan Parameter Beta-Binomial dengan Metode Momen ... 2

Pendugaan Parameter Beta-Binomial dengan Metode Kemungkinan Maksimum. 3 MetodeJackknife dalam Menduga Faktor Ketidakpastian ... 3

Penduduk Miskin ... 3

BAHAN DAN METODE Bahan ... 4

Metode ... 4

HASIL DAN PEMBAHASAN Pendugaan Langsung ... 4

Pendugaan Hiperparameter ... 5

PendugaanEmpirical Bayes Menggunakan Kriteria Bank Dunia... 5

PendugaanEmpirical Bayes Menggunakan Kriteria BPS ... 6

KESIMPULAN Kesimpulan ... 6

DAFTAR PUSTAKA ... 7

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1. Hasil Dugaan Langsung dan Dugaan Empirical Bayes Dengan Kriteria Bank Dunia

Serta Nilai RRMSE (%) ... 10

2. Hasil Dugaan Langsung dan Dugaan Empirical Bayes Dengan Kriteria BPS Serta Nilai RRMSE (%) ... 11

3. Nilai Dugaan Parameter

α

dan

β

Menggunakan Metode Momen... 12

4. Nilai MSE Berdasarkan Kriteria Bank Dunia ... 13

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1

.

Garis Kemiskinan Menurut Kriteria BPS ... 4

Tabel 2. Hasil Dugaan Hiperparameterα _ml dan

β

_ml ... 5

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1.Boxplot nilai RRMSE menurut Kriteria Bank Dunia ... 5

Gambar 2. Diagram Garis nilai RRMSE menurut Kriteria Bank Dunia ... 5

Gambar 3.Boxplot nilai RRMSE menurut Kriteria BPS... 6

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Analisis data survei dalam menduga suatu parameter khususnya pada contoh berukuran kecil seringkali diperoleh dugaan yang memiliki akurasi rendah. Usaha untuk meningkatkan akurasi tersebut dapat dilakukan dengan peningkatan efektivitas ukuran contoh yang dikenal dengan istilah pendugaan area kecil (Small Area Estimation, SAE). Pendekatan SAE dilakukan dengan menggunakan tambahan informasi baik dari dalam area, luar area maupun dari luar survei. Salah satu teknik yang dapat digunakan dalam SAE adalah teknikempirical Bayes (EB). Teknik ini digunakan untuk mengatasi pengaruh ketidakstabilan penduga langsung dengan menggunakan tambahan informasi dari area lain.

Parameter yang menjadi perhatian dalam karya ilmiah ini adalah proporsi keluarga miskin di Kota Bogor. Nilai proporsi tersebut dihitung berdasarkan pengeluaran perkapita dari data Survei Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS) dimana objek survei adalah keluarga-keluarga yang tinggal disuatu desa tertentu dengan peubah respon biner (miskin, tidak miskin).

Tujuan Tujuan penelitian ini adalah :

1. Mengkaji pendugaan area kecil pada data biner dengan metode empirical Bayes

dengan menggunakan metode momen dan kemungkinan maksimum dalam menduga hiperparameter.

2. Menerapkan metode area kecil pada pendugaan proporsi keluarga miskin di Kota Bogor.

TINJAUAN PUSTAKA

Penduga Area Kecil

Pendugaan area kecil menjadi sangat penting dalam analisis data survei karena adanya peningkatan permintaan untuk menghasilkan dugaan parameter yang cukup akurat dengan ukuran contoh kecil.

Terdapat dua masalah pokok dalam pendugaan area kecil. Masalah pertama adalah bagaimana menghasilkan suatu dugaan parameter yang cukup baik untuk ukuran contoh kecil pada suatu domain. Kedua, bagaimana mendugamean square error(MSE) dari dugaan parameter tersebut. Kedua masalah pokok tersebut dapat diatasi dengan cara

“meminjam informasi” dari dalam area, luar area maupun dari luar survei (Pfefferman, 2002)

Pendugaan parameter pada suatu domain dalam SAE dapat dilakukan dengan menggunakan pendugaan langsung (direct estimation) dan pendugaan tidak langsung (indirect estimation).

Proses pendugaan langsung merupakan pendu gaan pada suatu doma in berdasarkan data contoh dari domain tersebut. Pendekatan yang digunakan pada proses pendugaan ini adalah pendekatan berbasis rancangan (design-based).

Proses pendugaan tidak langsung merupakan pendugaan pada suatu domain dengan cara menghubungkan informasi pada area tersebut dengan area lain melalui model yang tepat. Hal ini berarti bahwa dugaan tersebut mencakup data dari domain lain (Kurnia & Notodiputro, 2006).

ModelArea Kecil

Model area kecil terdiri atas dua jenis model dasar yaitu basic area level model dan

basic unit level model (Rao, 2003).

a.Basic area level (type A) model yaitu model yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, misalkan xi = (x1i ,xpi)T dan

parameter yang akan diduga i, diasumsikan

mempunyai hubungan dengan xi. Data

pendukung tersebut digunakan untuk membangun model: i = xiT + bivi ,

i =1,…,m dengan vi ~ N(0, 2v), sebagai

pengaruh acak yang diasumsikan normal. Kesimpulan mengenai i, dapat diketahui

dengan mengasumsikan bahwa model penduga langsung yi tersedia yaitu:

yi = i + ei , i =1,…,m dengan sampling error ei ~ N(0, 2ei) dan 2ei diketahui.

Pada akhirnya, kedua model digabungkan dan menghasilkan model gabungan:

yi = xiT + bivi + ei , i =1,…,m dimana bi

diketahui bernilai positif konstan (biasanya bernilai 1).

Model tersebut merupakan bentuk khusus dari model linier campuran (generalized linear mixed model) yang terdiri dari pengaruh tetap (fixed effect) yaitu dan pengaruh acak (random effect) yaitu vi (Saei

& Chambers, 2003).

b. Basic unit level (type B) model yaitu suatu model dimana data-data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, misalxij = (xij1,...,xijp)T, sehingga

yij= xijT + vi + eij; i=1,…,m dan j=1,...,ni

denganvi~ N(0, 2v) dan ei ~ N(0, 2ei).

Pada penelitian ini digunakan modelBasic unit level (type B) untuk respon biner pada setiap keluarga di suatu area tertentu.

TeknikEmpirical Bayes pada Data Biner

i

π menunjukkan proporsi dari individu pada area kecil ke-i yang memiliki karakteristik tertentu, maka i j ij i i _n Y

y =

∑

=

π ……...…....(1) Diasumsikan bahwa contoh diperoleh dari desain dua tahap , Yij merupakan objek atau

individu ke-j pada area kecil ke-i, dimanaj = 1,…,ni dan i = 1,…,m. Langkah pertama

diasumsikan Y_ij|π_i ~bernoulli

(

π

_i

)

. Diketahui

∑

= j ij

i Y

y , maka y_i|π_i ~binomial

(

n

_i

,

π

_i

)

dan fungsi peluangnya adalah :

(

) (

) (

i

)

ni yi

i y i i i i

i Cn y

y

f |π = , π 1−π − ...(2) untuk y_i =0,1,2,...,n_i.

Langkah kedua sebaran prior bagi

π

_i diasumsikan π_i~beta(α,β),α>0,β>0 dengan

fungsi kepekatan peluang bagi

π

_i adalah :

(

)

( ) ( )

(

)

1

(

)

1

1 , | − − − Γ Γ + Γ = _πα _π β β α β α β α

πi i i

h ...(3)

untuk0<π_i <1.

Merujuk pada persamaan 2 & 3, maka diperoleh sebaran posterior bagi π_i adalah

~

,

,

|

α

β

π

_i

y

_i beta - binomial, dengan fungsi sebarannya sebagai berikut :

1 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , , | ( − − + − + ₋ − + Γ + Γ + + Γ

= i ni yi

i y i i i i i i i y n y n y k β α _π π β α β α β α π ...(4)

Berdasarkan fungsi kerugian kuadrat, maka diperoleh penduga Bayes bagi proporsi, B

i π , adalah :

(

π α β

) (

α

)

(

_{α β}

)

π =Ε = + _{+ +} i i i i B i _n y y , , | β α α β α+ + + + + = i i i n n y ...(5)

dan ragamposterior bagi B i

π adalah :

(

)

(

)(

)

(

)(

)

2

1 , , | β α β α β α β α π + + + + + + − + = i i i i i i B i n n y n y y

V .

...

(6)

Parameter dan pada persamaan (4) tidak diketahui sehingga harus diduga. Pendugaan parameter α dan β setidaknya dapat dilakukan dengan dua teknik sederhana

yaitu, pendugaan dengan metode kemungkinan maksimum dan metode momen. Dengan mensubstitusikan hasil dugaan α&β pada

persamaan (5) dan (6) , maka diperoleh pendugaan empirical Bayes bagi proporsi , yaitu ; β α α β α π + + + + + = i i i EB i n n y         + + + + +         + + = β α β α β α α β α i i i i i n n n n y

dengan _{γ =}

(

_{+α +β}

)

i i

i n n dan

β α α , + =

p , maka dugaan empirical Bayes

menjadi :

(

1 _i

)

p,

i i EB

i γ π γ

π = + − ...(7) dan ragamnya ;

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2

1 , , | β α β α β α β α π + + + + + + − + = i i i i i i i n n y n y y V ...(8) EB i

π diperoleh dengan memberi pembobot rata-rata pada penduga langsung,

π

_i, dan pada

penduga sintetik, p, (Rao, 2003)

Pendugaan Parameter Beta-Binomial dengan Metode Momen

Pendekatan yang sederhana dalam pendugaan parameter α dan β pada persamaan (4) dapat dilakukan dengan metode momen. Murphy (2007) mengajukan dugaan

α dan β dengan persamaan sebagai berikut :

( )

yi =ni _αα_+β

E ...(9)

dan

( ) _{( )}

1

2 _{+ +}

+ + + = β α β α β α αβ i i i n n y

V ...(10)

sehingga

( )

₍ ( ₎₍ )₎ 1 2 + + + + + = β α β α β α

α i i

i i n n n y E ...(11)

dengan menggunakan momen contoh

∑

∑

= i i i i n y

m₁ dan

∑

∑

= i i i i n y m 2

2 , maka

diperoleh

α

dan

β

sebagai berikut :

(

)

(

)

(

1

)

2

1 2 1

1m n tm n m m n m m i i i i − + − − = α ...(12)

(

)(

)

(

1

)

2

1 2 1

Pendugaan Parameter Beta-Binomial dengan Metode Kemungkinan Maksimum

Didefinisikan parameter pdan φ pada

( )

α β α

+ =

p dan

1 1 + + = β α

φ , nilainya

diduga dengan metode maximum quasi likelihood menggunakan iterasi Newton-Raphson . Didefinisikan φ φ θ + = 1 sehingga dugaan

likelihoodnya menjadi :

( )

θ π

(

) (

α

( ) ( ) (

β_α

) (

_β α

) (

_{α β}β

)

)

+ + Γ Γ Γ − + Γ + Γ + Γ = i i i i i i i n y n y y n C P

L , ,

(

)

(

)

(

(

)

)

θ π θ π θ π π r r p r p y n C i i i i n r y n r y r i i i + + − + = ₋ = − − = − = 1 1 , ₁ 0 1 0 1

0 ....(14)

Jika

l

( )

p

,

θ

merupakan fungsi logaritma dari

( )

p

,

θ

L

, maka nilai turunan pertama dari fungsi logaritma tersebut dapat didefinisikan sebagai :       = θ d dl dp dl S dimana,

∑ ∑

∑ ∑

− − = − =     + − +     + = i y n r i y r i i i r p r p dp dl 1 0 1 0 1 1 1 θ θ

∑∑

∑ ∑

∑∑

− = − − = − =       + −     + − +     + = i n r i y n r i y r i i i i r r r p r r p r d dl 1 0 1 0 1

0 θ 1 θ 1 θ

θ

serta nilai turunan keduanya dapat didefinisikan sebagai :

              = 2 2 2 2 2 2 θ θ θ d l d dp d l d dpd l d dp l d O dimana ( )

∑ ∑

( )

∑ ∑

₌− + −₌− _{− +} + = i y n r i y r i i i r p r p dp l d 1 0 2 1 0 2 2 2 1 1 1 θ θ ( )

∑ ∑

( )

∑∑

( )

∑∑

− = − − = − = + + + − − + − = i n r i y n r i y r i i i i r r r p r r p r d l d 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 2 2 1

1 θ θ

θ θ

(

)

∑ ∑

(

)

∑∑

− − = − = + + − + − = i y n r i y r i i i r p r r p r dpd l d 1 0 2 1 0 2 2 1 θ θ θ

sehingga parameter

p

dan

θ

dapat diperoleh dengan iterasi sebagai berikut :

1 1 1 1 − − − −

+













=













w w w w

S

O

p

p

θ

θ

...(15)

dengan

w

merupakan jumlah iterasi. (Lau , 2002)

MetodeJackknife dalam Pengukuran Faktor Ketidakpastian

Pendekatanjackknife merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam survei karena konsepnya yang sederhana dan dapat digunakan untuk mengoreksi bias. Metode ini diperkenalkan oleh Tukey pada tahun 1958 dan berkembang sampai sekarang.

Menurut Jiang, Lahiri, & Wan (2002) dalam Lohr & Rao (2003), didapatkan bentuk umum dari penduga jackknife MSE. Penduga

jackknife MSE menggunakan bentuk

orthogonal decomposition,

[ ]

[

( )

]

(

B

)

i EB i i i EB

i E g y E

MSE π = 1 α,β, + π −π

i

i M

M1 + 2

= ...(16) Metodejackknife diperoleh dengan tahapan sebagi berikut:

1. Pada iterasi ke-i, area ke-i dihapus. Data sisa (m-1) digunakan untuk menghitung

( )i i −

− β

α( ), dan ( )

EB i i−

π .

2. Nilai dugaan tersebut digunakan untuk menghitung M1_i&M2_i. Nilai M1i diperoleh

dari persamaan :

(

)

( ) ( )

(

) (

)

(

)

∑

= − − − − − = m j i i i i i i i i i y g y g m m y g M 1 1 1 1 1 , , , , 1 , , β α β α β α ...(17)

dan nilai

i

M2 diperoleh dari persamaan berikut: ( )

(

)

∑

= − − − = m j EB i EB i i i m m M 1 2 1 π π ...(18)

dengan g₁

(

α,β,y_i

)

untuk sebaran beta-binomial adalah sebagai berikut :

(

) (

)(

)

(

)

( )(

)

( )

        + − + + + + − + + + + + + + = β α α β α β α β α β α β β α β α α β α 1 1 1 , , 2 1 i i i i i i i i n n n n n n y g ...(19)

(Lohr & Rao, 2003)

Penduduk Miskin

Metode yang digunakan adalah menghitung garis kemiskinan (GK), yang terdiri atas dua komponen yaitu garis kemiskinan makanan (GKM) dan garis kemiskinan bukan makanan (GKBM). Penghitungan garis kemiskinan dilakukan secara terpisah antara perkotaan dan pedesaan . Penduduk miskin adalah penduduk yang memiliki pengeluaran per kapita per bulan dibawah garis kemiskinan. Pengeluaran perkapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan. (BPS, 2003). Pengeluaran perkapita dapat dirumuskan sebagai berikut :

q

p

x

=

dimana ;

x = pengeluaran perkapita

p = pengeluaran rumah tangga sebulan q = jumlah anggota rumah tangga

Garis kemiskinan menurut BPS tersaji pada Tabel 1. (BPS,2006)

Tabel 1

.

Garis Kemiskinan Daerah Kota menurut Kriteria BPS

Garis Kemiskinan (Rp/Kapita/Bulan)

Waktu GKM GKBM GK

Feb 2005 103,992 46,807 150,799 Maret

2006 126,527 48,797 175,324

Sumber : BPS 2006

Menurut Bank Dunia, penduduk miskin adalah penduduk dengan pengeluaran perkapita perhari sebesar US $ 1. Sehingga bila dikurskan kedalam rupiah menjadi sekitar Rp. 10.000,- perhari perkapita. (Supadi & Nurmanaf, 2004)

BAHAN DAN METODE

Bahan

Sumber data utama yang dgunakan untuk menghitung proporsi kemiskinan di Kota Bogor adalah data SUSENAS (Survei Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2005 untuk wilayah Kota Bogor .

Metode

Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Melakukan perbandingan antara pengeluaran perkapita dengan garis kemiskinan BPS dan garis kemiskinan Bank Dunia. Keluarga dengan pengeluaran perkapita dibawah garis kemiskinan dinyatakan miskin.

2. Memberi kode biner untuk penduduk miskin. Miskin diberi kode 1 dan lainnya 0.

3. Menghitung dugaan langsung proporsi keluarga miskin disetiap desa yang tersurvei dengan metodedirect estimation.

4. Menghitung Mean Square Error (MSE) dengan metodedirect estimation.

5. Menghitung nilai dugaan dan dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum dan metode momen.

6. Menghitung dugaan proporsi keluarga miskin dengan teknikempirical Bayes.

7. Menghitung Mean Square Error (MSE) dengan metodejackknife.

8. Membandingkan hasil dugaan langsung dan dugaan empirical Bayes dengan melihat nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) yang diperoleh dengan perhitungan sebagai berikut :

RRMSE(

p

_i) = Μ Ε

( )

_×100%

i i

p p S

Software yang digunakan adalah MS EXCEL 2003 dan SAS 9.1.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pendugaan Langsung

Pendugaan langsung proporsi penduduk miskin dilakukan pada 37 desa yang ada di Kota Bogor. Setiap desa diambil contoh sebanyak 16 rumah tangga, kecuali untuk Desa Kedung Halang yaitu sebanyak 15 rumah tangga dan Desa Kedung Badak sebanyak 32 rumah tangga.

Berdasarkan kriteria Bank Dunia, hasil pendugaan langsung menunjukkan bahwa ada beberapa desa yang memiliki proporsi kemiskinan yang lebih besar dari setengah, bahkan di Desa Katulampa proporsi kemiskinannya sama dengan satu. Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria Bank Dunia dapat dilihat pada Lampiran 1.

Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria BPS, diperoleh 13 desa yang memiliki proporsi penduduk miskin sebesar nol. Dapat kita katakan bahwa 13 desa tersebut tidak mempunyai keluarga yang dikategorikan miskin. Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria BPS dapat dilihat pada Lampiran 2.

peluangnya mendekati nol atau satu. Metode momen juga menghasilkan pendugaan yang tidak unik. Hasil pendugaan dengan metode momen berbeda antar desa. Hal ini bergantung kepada jumlah contoh yang diambil pada masing – masing desa. Hasil pendugaan dengan metode momen dapat dilihat pada Lampiran 3.

Metode lain yang dapat digunakan adalah metode pendugaan kemungkinan maksimum. Walaupun metode ini cukup rumit dan memerlukan metode iterasi serta tidak robust

dengan sebaran modelnya, tetapi MLE ini cukup baik dalam menduga paramater dan hasil yang diperoleh pun unik. Hasil pendugaan

dengan MLE untukα_ml dan β_ml tersaji pada Tabel 2.

Tabel 2. Hasil Dugaan Hiperparameter

ml

α dan β_ml

Kriteria αml βml

BPS 0.0338 1.0190

Bank Dunia 0.0763 0.0485

PendugaanEmpirical Bayes Menggunakan Kriteria Bank Dunia

Hasil dugaan EB berdasarkan kriteria Bank Dunia nilai proporsi yang cukup besar terdapat pada Desa katulampa, Pamoyanan, Harjasari dan Genteng. Pada metode momen nilai dugaan Desa Pamoyanan yaitu sebesar 0.9741.

Nilai tersebut dapat diartikan ada 974 keluarga miskin dari seribu keluarga yang tinggal didesa tersebut. Sedangkan dengan metode kemungkinan maksimum nilai dugaan EB Desa Pamoyanan yaitu sebesar 0.9970 artinya ada sekitar 997 keluarga miskin dari seribu keluarga yang tinggal didesa tersebut. Perbandingan nilai proporsi dugaan langsung dan dugaan EB dengan kriteria Bank Dunia dapat dilihat pada Lampiran 2.

Nilai RRMSE merupakan persentase dari perbandingan relatif antara galat dugaan dengan nilai dugaan itu sendiri. Nilai RRMSE dapat diartikan, jika nilai RRMSEnya kurang dari atau sama dengan 50% maka mengindikasikan hasil dugaannya cukup baik.

Dugaan EB memiliki nilai RRMSE yang cenderung lebih homogen dibandingkan dengan dugaan langsungnya. Hal ini menunjukkan bahwa dugaan EB cukup stabil dibandingkan dengan dugaan langsung. Nilai RRMSE dari dugaan EB sebagian besar lebih kecil dari nilai RRMSE pada dugaan langsung. Pada dugaan EB dengan kedua metode terdapat 37 nilai RRMSE yang lebih kecil dari 50%.

Hal ini mengindikasikan bahwa hasil dugaan EB dengan kedua metode cukup baik dalam menduga proporsi keluarga miskin.

Perbandingan nilai RRMSE dari penduga langsung dengan dugaan EB tersaji pada Lampiran 1.

R

R

M

S

E

Likelihood_1 Momen_1

Langsun g 180

160 140 120 100 80 60 40 20 0

Boxplot RRMSE Menurut Kriteria Bank Dunia

Gambar 1.Boxplot nilai RRMSE menurut Kriteria Bank Dunia

Pada Gambar 1 dugaan EB, jika dibandingkan antar metode, menunjukkan bahwa pada penelitian ini secara keseluruhan metode kemungkinan maksimum dan metode momen memiliki keragaman yang tidak berbeda. Berdasarkan hal tersebut pada penelitian ini dapat diketahui bahwa dugaan EB dengan kedua metode cukup stabil dalam menduga proporsi keluarga miskin di Kota Bogor.

Desa

R

R

M

S

E

40 30 20 10 0 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Variable

Likelihood_1 Langsung Momen_1 Diagram Garis RRMSE Menurut Kriteria Bank Dunia

Gambar 2. Diagram Garis RRMSE menurut Kriteria Bank Dunia

PendugaanEmpirical Bayes Menggunakan Kriteria BPS

Pada kriteria BPS, hasil dugaan EB proporsi keluarga miskin untuk 13 desa yang dugaan langsungnya nol merupakan nilai proporsi dugaan sintetiknya. Artinya bahwa nilai tersebut merupakan peluang keluarga miskin yang terdapat di Kota Bogor dengan asumsi bahwa setiap desa memiliki karakteristik yang sama. Beberapa nilai dugaan EB proporsi keluarga miskin yang cukup besar berada di Desa Pamoyanan, Katulampa, Cipaku dan Ciparigi. Dengan metode momen nilai dugaan EB pada Desa Pamoyanan yaitu sebesar 0.4145. Nilai tersebut berarti ada sekitar 415 keluarga miskin dari seribu keluarga yang tinggal didesa tersebut. Sedangkan nilai dugaan EB dengan metode kemungkinan maksimum pada Desa Pamoyanan yaitu sebesar 0.4125. Nilai tersebut berarti ada sekitar 413 keluarga miskin dari seribu keluarga yang tinggal didesa tersebut.

Nilai RRMSE merupakan persentase dari perbandingan relatif antara galat dugaan dengan nilai dugaan itu sendiri. Nilai RRMSE dapat diartikan, jika nilai RRMSEnya kurang dari atau sama dengan 50% maka mengindikasikan bahwa hasil dugaannya cukup baik. Evaluasi pendugaan berdasarkan nilai RRMSE menunjukkan bahwa nilai RRMSE dari dugaan EB lebih homogen dari nilai RRMSE dugaan langsung. Hal ini berarti dugaan EB sudah cukup baik dalam memperbaiki keragaman dari dugaan langsung sehingga dugaan EB lebih stabil. Pada dugaan EB dengan metode kemungkinan maksimum ada 19 nilai RRMSE yang lebih kecil dari 50%. Hal ini berarti dugaan EB dengan metode tersebut cukup baik dalam pendugaan proporsi keluarga miskin.

Gambar 3. Boxplot RRMSE menurut Kriteria BPS

Berdasarkan Gambar 3 dapat diketahui bahwa nilai RRMSE dugaan EB dengan kemungkinan maksimum memiliki tingkat

keragaman yang lebih rendah dibandingkan dengan metode momen.

Gambar 4. Diagram Garis RRMSE menurut Kriteria BPS

Berdasarkan Gambar 4. jika dibandingkan antar metode pada dugaan EB menunjukkan bahwa nilai RRMSE dari metode momen cenderung lebih kecil dari nilai dugaan dengan metode kemungkinan maksimum. Hal ini menunjukkan bahwa metode momen lebih

robust terhadap bentuk sebaran modelnya. Akan tetapi nilai RRMSE metode momen memiliki keragaman yang relatif lebih besar. Berdasarkan hal tersebut dalam penelitian ini dugaan EB dengan kedua metode tersebut cenderung cukup baik dalam menduga proporsi kemiskinan di Kota Bogor.

Pada dugaan EB yang proporsi dugaan langsungnya bernilai nol , nilai RRMSE yang dihasilkan sangat besar. Bahkan hanya terdapat empat desa yang memiliki nilai RRMSE kurang dari 200%. Hal ini berarti bahwa nilai dugaan EB tersebut tidak cukup baik untuk digunakan, sehingga diperlukan kajian lebih lanjut dalam pendugaan area kecil untuk area yang tidak memiliki contoh. Berdasarkan hal tersebut nilai RRMSE dugaan langsung tidak ditampilkan di dalam diagram. Perbandingan hasil proporsi dugaan langsung dan dugaan EB serta nilai RRMSE dapat dilihat pada Lampiran 2.

KESIMPULAN

Pada penelitian ini dugaan EB mampu memperbaiki keragaman dari dugaan langsung, meskipun ada beberapa nilai RRMSE yang cenderung sangat besar. Berdasarkan kriteria kemiskinan menurut Bank Dunia, dugaan EB dengan kedua metode menunjukkan hasil yang tidak berbeda. Sedangkan pada kriteria BPS, dugaan EB dengan metode kemungkinan maksimum cenderung lebih baik karena lebih stabil.

R

R

M

S

E

Likelihood _1 Momen _1

55 50 45 40

35 30 25

Boxplot RR MSE Menur ut Kri t er ia BPS

Desa

R

R

M

S

E

40 30 20 10 0 55 50 45 40 35 30 25

Var iable Mo men _1 Likelihood _1

DAFTAR PUSTAKA

[BPS]. Badan Pusat Statistik. 2003. Http://www.bps.go.id/publikasi/2003. [ Agustus 15, 2007].

[BPS]. Badan Pusat Statistik. 2006. Berita Resmi Statistik No. 47/ IX/ 1 September 2006 tentang Tingkat Kemiskinan di Indonesia Tahun 2005-2006. Http://www.bps.go.id/releases/files/kemiski nan-01sep06.pdf . [11 Januari 2008].

Kurnia A. dan K. A. Notodiputro. 2006. Penerapan Metode Jacknife dalam Pendugaan Area Kecil. Forum Statistika dan Komputasi, April 2006, p:12-15

Lau A. 2002. Using Maximum Likelihood Estimator For Identifying Interviewer Effect With Beta-Binomial Model.

Vocational Training Council. HKSAR China . Htpp

://

www.stat.fi/isi99/proceedings/arkist o/varasto/lau_0717.pdf.

[29 September 2007]

Lohr SL. dan JNK. Rao. 2003. Resampling Methods For MSE Estimation With Nonlinier Small Area Models. Challenges in Survey Taking for the Next Decade. Proceeding of Statistics Canada Symposium 2003. Catalogue no. 11 522 -XIE. Statistics Canada. Http://www.statcan.ca/english/freepub/11-522-XIE/2003001/session15/lohr.pdf [13 Desember 2007]

Murphy KP. 2007. empirical bayes for beta-binomial model. Htpp://www.cs.ubc.ca/~murphyk/Teaching/ Stat406-Spring07/reading/ebHandout.pdf. [25 September 2007]

Pfefferman D. 2002. Small area estimation -New developments and directions, International Statistical Review. 70, 1, 125-143.

Htpp://www.ibge.gov.br/amostragem/down load/trabalhodanny.doc. [11 Januari 2008].

Rao JNK. 2003. Small Area Estimation. New York. Jhon wiley & Sons.

Saei A dan Chambers R. 2003. Small Area Estimation : A Review of Methods Based on the application of Mixed Models. S3RI

Methodologi Working Paper M03/16. University of Southampton, UK.

Supadi dan Nurmanaf AR. 2003. Pendapatan Dan Pengeluaran Rumah Tangga Pedesaan Dan Kaitannya Dengan Tingkat Kemiskinan.

Lampiran 1. Hasil Dugaan Langsung Dan Dugaan Empirical Bayes Dengan Kriteria Bank Dunia Serta Nilai RRMSE (%)

Empirical Bayes

Dugaan Langsung Momen

Kemungkinan maksimum

Nama Desa πi RRMSE πi RRMSE πi RRMSE

Lampiran 2. Hasil Dugaan Langsung Dan Dugaan Empirical Bayes Dengan Kriteria BPS Serta Nilai RRMSE (%)

Empirical Bayes

Dugaan langsung Momen

Kemungkinan maksimum

Nama Desa πi RRMSE πi RRMSE πi RRMSE

Lampiran 3

.

Nilai Dugaan Parameter

α

Dan

β

Menggunakan Metode Momen

Kriteria Kemiskinan

Bank Dunia BPS

Nama Desa

α _β α _β

Lampiran 4

.

Nilai MSE Berdasarkan Kriteria Bank Dunia

MSE DugaanEmpirical Bayes

Nama Desa Jml Keluarga

Jml Keluarga

Miskin

Jml Keluarga

Yang Tersurvey

MSE Dugaan Langsung

Momen Kemungkinan maksimum

Pamoyanan 2438 16 16 0.0000 0.0068 0.0734

Genteng 1568 15 16 0.2421 0.0060 0.0644

Harjasari 2686 16 16 0.0000 0.0068 0.0734

Cipaku 2730 14 16 0.3307 0.0052 0.0559

Batutulis 2768 6 16 0.4841 0.0011 0.0100

Empang 4236 4 16 0.4330 0.0007 0.0046

Cikaret 3823 7 16 0.4961 0.0015 0.0137

Sindangrasa 2202 3 16 0.3903 0.0005 0.0028

Katulampa 4657 16 16 0.0000 0.0068 0.0734

Baranangsiang 6029 10 16 0.4841 0.0027 0.0281

Sukasari 2791 12 16 0.4330 0.0039 0.0408

Bantarjati 5082 10 16 0.4841 0.0027 0.0281

Tegalgundil 5930 8 16 0.5000 0.0018 0.0179

Tanahbaru 4326 4 16 0.4330 0.0007 0.0046

Cimahpar 3058 11 16 0.4635 0.0033 0.0342

Cibuluh 4692 5 16 0.4635 0.0009 0.0070

Kedunghalang 4440 6 15 0.4899 0.0007 0.0127

Ciparigi 4691 11 16 0.4635 0.0033 0.0342

Babakanpasar 2545 10 16 0.4841 0.0027 0.0281

Tegallega 4339 9 16 0.4961 0.0023 0.0227

Pabaton 898 1 16 0.2421 0.0004 0.0010

Kebonkelapa 2752 1 16 0.2421 0.0004 0.0010

Pasirmulya 966 6 16 0.4841 0.0011 0.0100

Pasirjaya 4189 10 16 0.4841 0.0027 0.0281

Gunungbatu 4328 3 16 0.3903 0.0005 0.0028

Menteng 3363 6 16 0.4841 0.0011 0.0100

Cilendek Barat 3284 1 16 0.2421 0.0004 0.0010

Sindangbarang 2910 3 16 0.3903 0.0005 0.0028

Situgede 1833 8 16 0.5000 0.0018 0.0179

Semplak 2504 4 16 0.4330 0.0007 0.0046

Kedungwaringin 4377 13 16 0.3903 0.0045 0.0481

Kedungjaya 2680 7 16 0.4961 0.0015 0.0137

Kebonpedes 4871 10 16 0.4841 0.0027 0.0281

Kedungbadak 5941 9 32 0.4496 0.0058 0.0023

Cibadak 3813 8 16 0.5000 0.0018 0.0179

Kayumanis 2272 8 16 0.5000 0.0018 0.0179

Lampiran 5. Nilai MSE Berdasarkan Kriteria BPS

MSE DugaanEmpirical Bayes

Nama Desa Jml Keluarga

Jml Keluarga

Miskin

Jml Keluarga

Yang Tersurvey

MSE Dugaan Langsung

Momen Kemungkinan maksimum

Pamoyanan 2438 7 16 0.4961 0.0107 0.0137

Genteng 1568 5 16 0.4635 0.0055 0.0070

Harjasari 2686 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Cipaku 2730 6 16 0.4841 0.0079 0.0100

Batutulis 2768 3 16 0.3903 0.0022 0.0028

Empang 4236 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Cikaret 3823 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Sindangrasa 2202 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Katulampa 4657 8 16 0.5000 0.0140 0.0179

Baranangsiang 6029 4 16 0.4330 0.0036 0.0046

Sukasari 2791 3 16 0.3903 0.0022 0.0028

Bantarjati 5082 4 16 0.4330 0.0036 0.0046

Tegalgundil 5930 2 16 0.3307 0.0012 0.0016

Tanahbaru 4326 1 16 0.2421 0.0007 0.0010

Cimahpar 3058 5 16 0.4635 0.0055 0.0070

Cibuluh 4692 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Kedunghalang 4440 2 15 0.3399 0.0012 0.0018

Ciparigi 4691 6 16 0.4841 0.0079 0.0100

Babakanpasar 2545 4 16 0.4330 0.0036 0.0046

Tegallega 4339 2 16 0.3307 0.0012 0.0016

Pabaton 898 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Kebonkelapa 2752 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Pasirmulya 966 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Pasirjaya 4189 1 16 0.2421 0.0007 0.0010

Gunungbatu 4328 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Menteng 3363 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Cilendek Barat 3284 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Sindangbarang 2910 2 16 0.3307 0.0012 0.0016

Situgede 1833 1 16 0.2421 0.0007 0.0010

Semplak 2504 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Kedungwaringin 4377 0 16 0.0000 0.0007 0.0010

Kedungjaya 2680 2 16 0.3307 0.0012 0.0016

Kebonpedes 4871 1 16 0.2421 0.0007 0.0010

Kedungbadak 5941 3 32 0.2915 0.0016 0.0011

Cibadak 3813 1 16 0.2421 0.0007 0.0010

Kayumanis 2272 3 16 0.3903 0.0022 0.0028

METODE PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN TEKNIK

EMPIRICAL

BAYES

PADA PENDUGAAN PROPORSI KELUARGA MISKIN

DI KOTA BOGOR

WAHYU DWI LAKSONO

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Analisis data survei dalam menduga suatu parameter khususnya pada contoh berukuran kecil seringkali diperoleh dugaan yang memiliki akurasi rendah. Usaha untuk meningkatkan akurasi tersebut dapat dilakukan dengan peningkatan efektivitas ukuran contoh yang dikenal dengan istilah pendugaan area kecil (Small Area Estimation, SAE). Pendekatan SAE dilakukan dengan menggunakan tambahan informasi baik dari dalam area, luar area maupun dari luar survei. Salah satu teknik yang dapat digunakan dalam SAE adalah teknikempirical Bayes (EB). Teknik ini digunakan untuk mengatasi pengaruh ketidakstabilan penduga langsung dengan menggunakan tambahan informasi dari area lain.

Parameter yang menjadi perhatian dalam karya ilmiah ini adalah proporsi keluarga miskin di Kota Bogor. Nilai proporsi tersebut dihitung berdasarkan pengeluaran perkapita dari data Survei Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS) dimana objek survei adalah keluarga-keluarga yang tinggal disuatu desa tertentu dengan peubah respon biner (miskin, tidak miskin).

Tujuan Tujuan penelitian ini adalah :

1. Mengkaji pendugaan area kecil pada data biner dengan metode empirical Bayes

dengan menggunakan metode momen dan kemungkinan maksimum dalam menduga hiperparameter.

2. Menerapkan metode area kecil pada pendugaan proporsi keluarga miskin di Kota Bogor.

TINJAUAN PUSTAKA

Penduga Area Kecil

Pendugaan area kecil menjadi sangat penting dalam analisis data survei karena adanya peningkatan permintaan untuk menghasilkan dugaan parameter yang cukup akurat dengan ukuran contoh kecil.

Terdapat dua masalah pokok dalam pendugaan area kecil. Masalah pertama adalah bagaimana menghasilkan suatu dugaan parameter yang cukup baik untuk ukuran contoh kecil pada suatu domain. Kedua, bagaimana mendugamean square error(MSE) dari dugaan parameter tersebut. Kedua masalah pokok tersebut dapat diatasi dengan cara

“meminjam informasi” dari dalam area, luar area maupun dari luar survei (Pfefferman, 2002)

Pendugaan parameter pada suatu domain dalam SAE dapat dilakukan dengan menggunakan pendugaan langsung (direct estimation) dan pendugaan tidak langsung (indirect estimation).

Proses pendugaan langsung merupakan pendu gaan pada suatu doma in berdasarkan data contoh dari domain tersebut. Pendekatan yang digunakan pada proses pendugaan ini adalah pendekatan berbasis rancangan (design-based).

Proses pendugaan tidak langsung merupakan pendugaan pada suatu domain dengan cara menghubungkan informasi pada area tersebut dengan area lain melalui model yang tepat. Hal ini berarti bahwa dugaan tersebut mencakup data dari domain lain (Kurnia & Notodiputro, 2006).

ModelArea Kecil

Model area kecil terdiri atas dua jenis model dasar yaitu basic area level model dan

basic unit level model (Rao, 2003).

a.Basic area level (type A) model yaitu model yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, misalkan xi = (x1i ,xpi)T dan

parameter yang akan diduga i, diasumsikan

mempunyai hubungan dengan xi. Data

pendukung tersebut digunakan untuk membangun model: i = xiT + bivi ,

i =1,…,m dengan vi ~ N(0, 2v), sebagai

pengaruh acak yang diasumsikan normal. Kesimpulan mengenai i, dapat diketahui

dengan mengasumsikan bahwa model penduga langsung yi tersedia yaitu:

yi = i + ei , i =1,…,m dengan sampling error ei ~ N(0, 2ei) dan 2ei diketahui.

Pada akhirnya, kedua model digabungkan dan menghasilkan model gabungan:

yi = xiT + bivi + ei , i =1,…,m dimana bi

diketahui bernilai positif konstan (biasanya bernilai 1).

Model tersebut merupakan bentuk khusus dari model linier campuran (generalized linear mixed model) yang terdiri dari pengaruh tetap (fixed effect) yaitu dan pengaruh acak (random effect) yaitu vi (Saei

& Chambers, 2003).

b. Basic unit level (type B) model yaitu suatu model dimana data-data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, misalxij = (xij1,...,xijp)T, sehingga

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Analisis data survei dalam menduga suatu parameter khususnya pada contoh berukuran kecil seringkali diperoleh dugaan yang memiliki akurasi rendah. Usaha untuk meningkatkan akurasi tersebut dapat dilakukan dengan peningkatan efektivitas ukuran contoh yang dikenal dengan istilah pendugaan area kecil (Small Area Estimation, SAE). Pendekatan SAE dilakukan dengan menggunakan tambahan informasi baik dari dalam area, luar area maupun dari luar survei. Salah satu teknik yang dapat digunakan dalam SAE adalah teknikempirical Bayes (EB). Teknik ini digunakan untuk mengatasi pengaruh ketidakstabilan penduga langsung dengan menggunakan tambahan informasi dari area lain.

Parameter yang menjadi perhatian dalam karya ilmiah ini adalah proporsi keluarga miskin di Kota Bogor. Nilai proporsi tersebut dihitung berdasarkan pengeluaran perkapita dari data Survei Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS) dimana objek survei adalah keluarga-keluarga yang tinggal disuatu desa tertentu dengan peubah respon biner (miskin, tidak miskin).

Tujuan Tujuan penelitian ini adalah :

1. Mengkaji pendugaan area kecil pada data biner dengan metode empirical Bayes

dengan menggunakan metode momen dan kemungkinan maksimum dalam menduga hiperparameter.

2. Menerapkan metode area kecil pada pendugaan proporsi keluarga miskin di Kota Bogor.

TINJAUAN PUSTAKA

Penduga Area Kecil

Pendugaan area kecil menjadi sangat penting dalam analisis data survei karena adanya peningkatan permintaan untuk menghasilkan dugaan parameter yang cukup akurat dengan ukuran contoh kecil.

Terdapat dua masalah pokok dalam pendugaan area kecil. Masalah pertama adalah bagaimana menghasilkan suatu dugaan parameter yang cukup baik untuk ukuran contoh kecil pada suatu domain. Kedua, bagaimana mendugamean square error(MSE) dari dugaan parameter tersebut. Kedua masalah pokok tersebut dapat diatasi dengan cara

“meminjam informasi” dari dalam area, luar area maupun dari luar survei (Pfefferman, 2002)

Pendugaan parameter pada suatu domain dalam SAE dapat dilakukan dengan menggunakan pendugaan langsung (direct estimation) dan pendugaan tidak langsung (indirect estimation).

Proses pendugaan langsung merupakan pendu gaan pada suatu doma in berdasarkan data contoh dari domain tersebut. Pendekatan yang digunakan pada proses pendugaan ini adalah pendekatan berbasis rancangan (design-based).

Proses pendugaan tidak langsung merupakan pendugaan pada suatu domain dengan cara menghubungkan informasi pada area tersebut dengan area lain melalui model yang tepat. Hal ini berarti bahwa dugaan tersebut mencakup data dari domain lain (Kurnia & Notodiputro, 2006).

ModelArea Kecil

Model area kecil terdiri atas dua jenis model dasar yaitu basic area level model dan

basic unit level model (Rao, 2003).

a.Basic area level (type A) model yaitu model yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, misalkan xi = (x1i ,xpi)T dan

parameter yang akan diduga i, diasumsikan

mempunyai hubungan dengan xi. Data

pendukung tersebut digunakan untuk membangun model: i = xiT + bivi ,

i =1,…,m dengan vi ~ N(0, 2v), sebagai

pengaruh acak yang diasumsikan normal. Kesimpulan mengenai i, dapat diketahui

dengan mengasumsikan bahwa model penduga langsung yi tersedia yaitu:

yi = i + ei , i =1,…,m dengan sampling error ei ~ N(0, 2ei) dan 2ei diketahui.

Pada akhirnya, kedua model digabungkan dan menghasilkan model gabungan:

yi = xiT + bivi + ei , i =1,…,m dimana bi

diketahui bernilai positif konstan (biasanya bernilai 1).

Model tersebut merupakan bentuk khusus dari model linier campuran (generalized linear mixed model) yang terdiri dari pengaruh tetap (fixed effect) yaitu dan pengaruh acak (random effect) yaitu vi (Saei

& Chambers, 2003).

b. Basic unit level (type B) model yaitu suatu model dimana data-data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, misalxij = (xij1,...,xijp)T, sehingga

yij= xijT + vi + eij; i=1,…,m dan j=1,...,ni

denganvi~ N(0, 2v) dan ei ~ N(0, 2ei).

Pada penelitian ini digunakan modelBasic unit level (type B) untuk respon biner pada setiap keluarga di suatu area tertentu.

TeknikEmpirical Bayes pada Data Biner

i

π menunjukkan proporsi dari individu pada area kecil ke-i yang memiliki karakteristik tertentu, maka i j ij i i _n Y

y =

∑

=

π ……...…....(1) Diasumsikan bahwa contoh diperoleh dari desain dua tahap , Yij merupakan objek atau

individu ke-j pada area kecil ke-i, dimanaj = 1,…,ni dan i = 1,…,m. Langkah pertama

diasumsikan Y_ij|π_i ~bernoulli

(

π

_i

)

. Diketahui

∑

= j ij

i Y

y , maka y_i|π_i ~binomial

(

n

_i

,

π

_i

)

dan fungsi peluangnya adalah :

(

) (

) (

i

)

ni yi

i y i i i i

i Cn y

y

f |π = , π 1−π − ...(2) untuk y_i =0,1,2,...,n_i.

Langkah kedua sebaran prior bagi

π

_i diasumsikan π_i~beta(α,β),α>0,β>0 dengan

fungsi kepekatan peluang bagi

π

_i adalah :

(

)

( ) ( )

(

)

1

(

)

1

1 , | − − − Γ Γ + Γ = _πα _π β β α β α β α

πi i i

h ...(3)

untuk0<π_i <1.

Merujuk pada persamaan 2 & 3, maka diperoleh sebaran posterior bagi π_i adalah

~

,

,

|

α

β

π

_i

y

_i beta - binomial, dengan fungsi sebarannya sebagai berikut :

1 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , , | ( − − + − + ₋ − + Γ + Γ + + Γ

= i ni yi

i y i i i i i i i y n y n y k β α _π π β α β α β α π ...(4)

Berdasarkan fungsi kerugian kuadrat, maka diperoleh penduga Bayes bagi proporsi, B

i π , adalah :

(

π α β

) (

α

)

(

_{α β}

)

π =Ε = + _{+ +} i i i i B i _n y y , , | β α α β α+ + + + + = i i i n n y ...(5)

dan ragamposterior bagi B i

π adalah :

(

)

(

)(

)

(

)(

)

2

1 , , | β α β α β α β α π + + + + + + − + = i i i i i i B i n n y n y y

V .

...

(6)

Parameter dan pada persamaan (4) tidak diketahui sehingga harus diduga. Pendugaan parameter α dan β setidaknya dapat dilakukan dengan dua teknik sederhana

yaitu, pendugaan dengan metode kemungkinan maksimum dan metode momen. Dengan mensubstitusikan hasil dugaan α&β pada

persamaan (5) dan (6) , maka diperoleh pendugaan empirical Bayes bagi proporsi , yaitu ; β α α β α π + + + + + = i i i EB i n n y         + + + + +         + + = β α β α β α α β α i i i i i n n n n y

dengan _{γ =}

(

_{+α +β}

)

i i

i n n dan

β α α , + =

p , maka dugaan empirical Bayes

menjadi :

(

1 _i

)

p,

i i EB

i γ π γ

π = + − ...(7) dan ragamnya ;

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2

1 , , | β α β α β α β α π + + + + + + − + = i i i i i i i n n y n y y V ...(8) EB i

π diperoleh dengan memberi pembobot rata-rata pada penduga langsung,

π

_i, dan pada

penduga sintetik, p, (Rao, 2003)

Pendugaan Parameter Beta-Binomial dengan Metode Momen

Pendekatan yang sederhana dalam pendugaan parameter α dan β pada persamaan (4) dapat dilakukan dengan metode momen. Murphy (2007) mengajukan dugaan

α dan β dengan persamaan sebagai berikut :

( )

yi =ni _αα_+β

E ...(9)

dan

( ) _{( )}

1

2 _{+ +}

+ + + = β α β α β α αβ i i i n n y

V ...(10)

sehingga

( )

₍ ( ₎₍ )₎ 1 2 + + + + + = β α β α β α

α i i

i i n n n y E ...(11)

dengan menggunakan momen contoh

∑

∑

= i i i i n y

m₁ dan

∑

∑

= i i i i n y m 2

2 , maka

diperoleh

α

dan

β

sebagai berikut :

(

)

(

)

(

1

)

2

1 2 1

1m n tm n m m n m m i i i i − + − − = α ...(12)

(

)(

)

(

1

)

2

1 2 1

Pendugaan Parameter Beta-Binomial dengan Metode Kemungkinan Maksimum

Didefinisikan parameter pdan φ pada

( )

α β α

+ =

p dan

1 1 + + = β α

φ , nilainya

diduga dengan metode maximum quasi likelihood menggunakan iterasi Newton-Raphson . Didefinisikan φ φ θ + = 1 sehingga dugaan

likelihoodnya menjadi :

( )

θ π

(

) (

α

( ) ( ) (

β_α

) (

_β α

) (

_{α β}β

)

)

+ + Γ Γ Γ − + Γ + Γ + Γ = i i i i i i i n y n y y n C P

L , ,

(

)

(

)

(

(

)

)

θ π θ π θ π π r r p r p y n C i i i i n r y n r y r i i i + + − + = ₋ = − − = − = 1 1 , ₁ 0 1 0 1

0 ....(14)

Jika

l

( )

p

,

θ

merupakan fungsi logaritma dari

( )

p

,

θ

L

, maka nilai turunan pertama dari fungsi logaritma tersebut dapat didefinisikan sebagai :       = θ d dl dp dl S dimana,

∑ ∑

∑ ∑

− − = − =     + − +     + = i y n r i y r i i i r p r p dp dl 1 0 1 0 1 1 1 θ θ

∑∑

∑ ∑

∑∑

− = − − = − =       + −     + − +     + = i n r i y n r i y r i i i i r r r p r r p r d dl 1 0 1 0 1

0 θ 1 θ 1 θ

θ

serta nilai turunan keduanya dapat didefinisikan sebagai :

              = 2 2 2 2 2 2 θ θ θ d l d dp d l d dpd l d dp l d O dimana ( )

∑ ∑

( )

∑ ∑

₌− + −₌− _{− +} + = i y n r i y r i i i r p r p dp l d 1 0 2 1 0 2 2 2 1 1 1 θ θ ( )

∑ ∑

( )

∑∑

( )

∑∑

− = − − = − = + + + − − + − = i n r i y n r i y r i i i i r r r p r r p r d l d 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 2 2 1

1 θ θ

θ θ

(

)

∑ ∑

(

)

∑∑

− − = − = + + − + − = i y n r i y r i i i r p r r p r dpd l d 1 0 2 1 0 2 2 1 θ θ θ

sehingga parameter

p

dan

θ

dapat diperoleh dengan iterasi sebagai berikut :

1 1 1 1 − − − −

+













=













w w w w

S

O

p

p

θ

θ

...(15)

dengan

w

merupakan jumlah iterasi. (Lau , 2002)

MetodeJackknife dalam Pengukuran Faktor Ketidakpastian

Pendekatanjackknife merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam survei karena konsepnya yang sederhana dan dapat digunakan untuk mengoreksi bias. Metode ini diperkenalkan oleh Tukey pada tahun 1958 dan berkembang sampai sekarang.

Menurut Jiang, Lahiri, & Wan (2002) dalam Lohr & Rao (2003), didapatkan bentuk umum dari penduga jackknife MSE. Penduga

jackknife MSE menggunakan bentuk

orthogonal decomposition,

[ ]

[

( )

]

(

B

)

i EB i i i EB

i E g y E

MSE π = 1 α,β, + π −π

i

i M

M1 + 2

= ...(16) Metodejackknife diperoleh dengan tahapan sebagi berikut:

1. Pada iterasi ke-i, area ke-i dihapus. Data sisa (m-1) digunakan untuk menghitung

( )i i −

− β

α( ), dan ( )

EB i i−

π .

2. Nilai dugaan tersebut digunakan untuk menghitung M1_i&M2_i. Nilai M1i diperoleh

dari persamaan :

(

)

( ) ( )

(

) (

)

(

)

∑

= − − − − − = m j i i i i i i i i i y g y g m m y g M 1 1 1 1 1 , , , , 1 , , β α β α β α ...(17)

dan nilai

i

M2 diperoleh dari persamaan berikut: ( )

(

)

∑

= − − − = m j EB i EB i i i m m M 1 2 1 π π ...(18)

dengan g₁

(

α,β,y_i

)

untuk sebaran beta-binomial adalah sebagai berikut :

(

) (

)(

)

(

)

( )(

)

( )

        + − + + + + − + + + + + + + = β α α β α β α β α β α β β α β α α β α 1 1 1 , , 2 1 i i i i i i i i n n n n n n y g ...(19)

(Lohr & Rao, 2003)

Penduduk Miskin

Metode yang digunakan adalah menghitung garis kemiskinan (GK), yang terdiri atas dua komponen yaitu garis kemiskinan makanan (GKM) dan garis kemiskinan bukan makanan (GKBM). Penghitungan garis kemiskinan dilakukan secara terpisah antara perkotaan dan pedesaan . Penduduk miskin adalah penduduk yang memiliki pengeluaran per kapita per bulan dibawah garis kemiskinan. Pengeluaran perkapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan. (BPS, 2003). Pengeluaran perkapita dapat dirumuskan sebagai berikut :

q

p

x

=

dimana ;

x = pengeluaran perkapita

p = pengeluaran rumah tangga sebulan q = jumlah anggota rumah tangga

Garis kemiskinan menurut BPS tersaji pada Tabel 1. (BPS,2006)

Tabel 1

.

Garis Kemiskinan Daerah Kota menurut Kriteria BPS

Garis Kemiskinan (Rp/Kapita/Bulan)

Waktu GKM GKBM GK

Feb 2005 103,992 46,807 150,799 Maret

2006 126,527 48,797 175,324

Sumber : BPS 2006

Menurut Bank Dunia, penduduk miskin adalah penduduk dengan pengeluaran perkapita perhari sebesar US $ 1. Sehingga bila dikurskan kedalam rupiah menjadi sekitar Rp. 10.000,- perhari perkapita. (Supadi & Nurmanaf, 2004)

BAHAN DAN METODE

Bahan

Sumber data utama yang dgunakan untuk menghitung proporsi kemiskinan di Kota Bogor adalah data SUSENAS (Survei Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2005 untuk wilayah Kota Bogor .

Metode

Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Melakukan perbandingan antara pengeluaran perkapita dengan garis kemiskinan BPS dan garis kemiskinan Bank Dunia. Keluarga dengan pengeluaran perkapita dibawah garis kemiskinan dinyatakan miskin.

2. Memberi kode biner untuk penduduk miskin. Miskin diberi kode 1 dan lainnya 0.

3. Menghitung dugaan langsung proporsi keluarga miskin disetiap desa yang tersurvei dengan metodedirect estimation.

4. Menghitung Mean Square Error (MSE) dengan metodedirect estimation.

5. Menghitung nilai dugaan dan dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum dan metode momen.

6. Menghitung dugaan proporsi keluarga miskin dengan teknikempirical Bayes.

7. Menghitung Mean Square Error (MSE) dengan metodejackknife.

8. Membandingkan hasil dugaan langsung dan dugaan empirical Bayes dengan melihat nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) yang diperoleh dengan perhitungan sebagai berikut :

RRMSE(

p

_i) = Μ Ε

( )

_×100%

i i

p p S

Software yang digunakan adalah MS EXCEL 2003 dan SAS 9.1.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pendugaan Langsung

Pendugaan langsung proporsi penduduk miskin dilakukan pada 37 desa yang ada di Kota Bogor. Setiap desa diambil contoh sebanyak 16 rumah tangga, kecuali untuk Desa Kedung Halang yaitu sebanyak 15 rumah tangga dan Desa Kedung Badak sebanyak 32 rumah tangga.

Berdasarkan kriteria Bank Dunia, hasil pendugaan langsung menunjukkan bahwa ada beberapa desa yang memiliki proporsi kemiskinan yang lebih besar dari setengah, bahkan di Desa Katulampa proporsi kemiskinannya sama dengan satu. Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria Bank Dunia dapat dilihat pada Lampiran 1.

Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria BPS, diperoleh 13 desa yang memiliki proporsi penduduk miskin sebesar nol. Dapat kita katakan bahwa 13 desa tersebut tidak mempunyai keluarga yang dikategorikan miskin. Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria BPS dapat dilihat pada Lampiran 2.

Metode yang digunakan adalah menghitung garis kemiskinan (GK), yang terdiri atas dua komponen yaitu garis kemiskinan makanan (GKM) dan garis kemiskinan bukan makanan (GKBM). Penghitungan garis kemiskinan dilakukan secara terpisah antara perkotaan dan pedesaan . Penduduk miskin adalah penduduk yang memiliki pengeluaran per kapita per bulan dibawah garis kemiskinan. Pengeluaran perkapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan. (BPS, 2003). Pengeluaran perkapita dapat dirumuskan sebagai berikut :

q

p

x

=

dimana ;

x = pengeluaran perkapita

p = pengeluaran rumah tangga sebulan q = jumlah anggota rumah tangga

Garis kemiskinan menurut BPS tersaji pada Tabel 1. (BPS,2006)

Tabel 1

.

Garis Kemiskinan Daerah Kota menurut Kriteria BPS

Garis Kemiskinan (Rp/Kapita/Bulan)

Waktu GKM GKBM GK

Feb 2005 103,992 46,807 150,799 Maret

2006 126,527 48,797 175,324

Sumber : BPS 2006

Menurut Bank Dunia, penduduk miskin adalah penduduk dengan pengeluaran perkapita perhari sebesar US $ 1. Sehingga bila dikurskan kedalam rupiah menjadi sekitar Rp. 10.000,- perhari perkapita. (Supadi & Nurmanaf, 2004)

BAHAN DAN METODE

Bahan

Sumber data utama yang dgunakan untuk menghitung proporsi kemiskinan di Kota Bogor adalah data SUSENAS (Survei Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2005 untuk wilayah Kota Bogor .

Metode

Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Melakukan perbandingan antara pengeluaran perkapita dengan garis kemiskinan BPS dan garis kemiskinan Bank Dunia. Keluarga dengan pengeluaran perkapita dibawah garis kemiskinan dinyatakan miskin.

2. Memberi kode biner untuk penduduk miskin. Miskin diberi kode 1 dan lainnya 0.

3. Menghitung dugaan langsung proporsi keluarga miskin disetiap desa yang tersurvei dengan metodedirect estimation.

4. Menghitung Mean Square Error (MSE) dengan metodedirect estimation.

5. Menghitung nilai dugaan dan dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum dan metode momen.

6. Menghitung dugaan proporsi keluarga miskin dengan teknikempirical Bayes.

7. Menghitung Mean Square Error (MSE) dengan metodejackknife.

8. Membandingkan hasil dugaan langsung dan dugaan empirical Bayes dengan melihat nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) yang diperoleh dengan perhitungan sebagai berikut :

RRMSE(

p

_i) = Μ Ε

( )

_×100%

i i

p p S

Software yang digunakan adalah MS EXCEL 2003 dan SAS 9.1.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pendugaan Langsung

Pendugaan langsung proporsi penduduk miskin dilakukan pada 37 desa yang ada di Kota Bogor. Setiap desa diambil contoh sebanyak 16 rumah tangga, kecuali untuk Desa Kedung Halang yaitu sebanyak 15 rumah tangga dan Desa Kedung Badak sebanyak 32 rumah tangga.

Berdasarkan kriteria Bank Dunia, hasil pendugaan langsung menunjukkan bahwa ada beberapa desa yang memiliki proporsi kemiskinan yang lebih besar dari setengah, bahkan di Desa Katulampa proporsi kemiskinannya sama dengan satu. Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria Bank Dunia dapat dilihat pada Lampiran 1.

Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria BPS, diperoleh 13 desa yang memiliki proporsi penduduk miskin sebesar nol. Dapat kita katakan bahwa 13 desa tersebut tidak mempunyai keluarga yang dikategorikan miskin. Hasil pendugaan langsung berdasarkan kriteria BPS dapat dilihat pada Lampiran 2.

Metode yang digunakan adalah menghitung garis kemiskinan (GK), yang terdiri atas dua komponen yaitu garis kemiskinan makanan (GKM) dan garis kemiskinan bukan makanan (GKBM). Penghitungan garis kemiskinan dilakukan secara terpisah antara perkotaan dan pedesaan . Penduduk miskin adalah penduduk yang memiliki pengeluaran per kapita per bulan dibawah garis kemiskinan. Pengeluaran perkapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan. (BPS, 2003). Pengeluaran perkapita dapat dirumuskan sebagai berikut :

q

p

x

=

dimana ;

x = pengeluaran perkapita

p = pengeluaran rumah tangga sebulan q = jumlah anggota rumah tangga

Garis kemiskinan menurut BPS tersaji pada Tabel 1. (BPS,2006)

Tabel 1

.

Garis Kemiskinan Daerah Kota menurut Kriteria BPS

Garis Kemiskinan (Rp/Kapita/Bulan)

Waktu GKM GKBM GK

Feb 2005 103,992 46,807 150,799 Maret

2006 126,527 48,797 175,324

Sumber : BPS 2006

Menurut Bank Dunia, penduduk miskin adalah penduduk dengan pengeluaran perkapita perhari sebesar US $ 1. Sehingga bila dikurskan kedalam rupiah menjadi sekitar Rp. 10.000,- perhari perkapita. (Supadi & Nurmanaf, 2004)

BAHAN DAN METODE

Bahan

Sumber data utama yang dgunakan untuk menghitung proporsi kemiskinan di Kota Bogor adalah data SUSENAS (Survei Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2005 untuk wilayah Kota Bogor .

Metode

Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Melakukan perbandingan antara pengeluaran perkapita dengan garis kemiskinan BPS dan garis kemiskinan Bank Dunia. Keluarga dengan pengeluaran perkapita dibawah garis kemiskinan dinyatakan miskin.

2. Memberi kode biner untuk penduduk miskin. Miskin diberi kode 1 dan lainnya 0.

3. Menghitung dugaan langsung proporsi keluarga miskin disetiap desa yang tersurvei dengan metodedirect estimation.

4. Menghitung Mean Square Error (MSE) dengan metodedirect estimation.

5. Menghitung nilai dugaan dan dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum dan metode momen.

6. Menghitung dugaan proporsi keluarga miskin dengan teknikempirical Bayes.

7. Menghitung Mean Square Error (MSE) dengan metodejackknife.

8. Membandingkan hasil dugaan langsung dan dugaan empirical Bayes dengan melihat nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) yang diperoleh dengan perhitungan sebagai berikut :

RRMSE(

p

_i) = Μ Ε

( )

_×100%

i i

p p S

Software yang digunakan adalah MS EXCEL 2003 dan SAS 9.1.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pendugaan Langsung

Pendugaan langsung proporsi