EVALUASI KINERJA LINGKUNGAN STOKASTIK
MENGGUNAKAN DATA ENVELOPMENT
ANALISYS
TESIS
Oleh
ROFIIEF HARAHAP
097021067/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
EVALUASI KINERJA LINGKUNGAN STOKASTIK
MENGGUNAKAN DATA ENVELOPMENT
ANALISYS
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ROFIIEF HARAHAP
097021067/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : EVALUASI KINERJA LINGKUNGAN STOKASTIK MENGGUNAKAN DATA ENVELOPMENT ANALISYS Nama Mahasiswa : Rofiief Harahap
Nomor Pokok : 097021067 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi, Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal 14 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
ABSTRAK
Data Envelopment Analysis (DEA) tradisional mengabaikan ketidakpastian un-tuk variabel input-output dengan memperlakukan pengamatan seakan-akan penga-matan tersebut merupakan variabel input-output yang sebenarnya guna memilih unit rujukan untuk penaksiran efisiensi dan penetapan-patokan kinerja. Di ling-kungan stokastik, kerangka tradisional bisa mencakup unit rujukan didominasi stokastik dan mengesampingkan unit rujukan tak didominasi stokastik. Untuk memasukkan ketidakpastian untuk variabel input-output dalam DEA, diajukan kerangka mean-variansi yang dikembangkan dari teori dominasi stokastik. Dari kerangka tersebut dikembangkan perluasan pada model tradisional yang mencegah seleksi unit rujukan didominasi stokastik. Selain itu, dalam pendekatan mean-variansi, batasan variansi bisa dispesifikasi yang mengurangi ketidakpastian untuk kinerja unit yang dievaluasi relatip terhadap unit rujukannya.
ABSTRACT
Traditional Data Envelope Analysis (DEA) neglects uncertainty for the input-output variables by treating the observations as if they were the true input-output variables to select reference units for efficiency estimation and performance benchmarking. In stochastic environments, the traditional framework may include stochastically dominated reference units and exclude stochastically undominated ones. To in-corporate uncertainty for the input-output variables in DEA, we propose a mean-variance framework derived from the theory of stochastic dominance. From that framework an extension to the traditional model is derived that prevents the se-lection of stochastically dominated reference units. In addition, within the mean-variance approach, mean-variance restrictions can be specified that reduce the uncertainty for the performance of the evaluated unit relative to its reference unit.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rah-mat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul ” Evaluasi Kinerja Lingkungan Stokastik Dengan Menggunakan Data Envelopment Analisys. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan kuliah di Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Dalam menyelesaikan tesis ini penulis banyak mendapat dukungan dari berba-gai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih, dan apre-siasi yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Drs. Bahrum Harahap selaku Bupati Padang Lawas Utara yang telah mem-beri bantuan beasiswa kepada penulis untuk kuliah di Universitas Sumatera Utara.
Ali Usman Siregar, S.Pd selaku kepala SMA Negeri 1 Padangbolak yang telah memberi kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan di Pro-gram Studi Magister Matematika MIPA Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan sebagai dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan petunjuk kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.
Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Dekan FMIPA dan sebagai dosen Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, masukan dan motivasi untuk perbaikan dan kesempurnaan tesis ini.
Dra. Mardiningsih, M.Si yang telah banyak memberikan koreksi, bimbingan, masukan dan motivasi untuk perbaikan dan kesempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah membekali penulis ilmu penge-tahuan selama perkuliahan hingga selesai.
Sahabat-sahabat mahasiswa angkatan 2009 atas kerjasama, kekompakan dan kebersamaan yang telah terjalin dengan baik selama perkuliahan hingga selesai. Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi pada Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak membantu ad-ministrasi perkuliahan penulis.
Seluruh keluarga, Ayahanda dan Ibunda, istri tercinta Maulinna dan ananda Risty Amelia Rahmadani Harahap serta teman-teman guru di SMA Negeri 1 Padangbolak yang dengan penuh semangat memberi motivasi internal kepada penulis hingga selesainya pengerjaan tesis ini.
Hanya ucapan syukur dan terima kasih yang dapat penulis sampaikan kepada semua pihak yang telah memberi dukungan, do’a, bantuan moral/spiritual, moti-vasi, bimbingan dan arahan selama perkuliahan hingga penyelesaian tesis ini. Se-moga amal kebajikan yang telah diberikan kepada penulis menjadi amal ibadah dan mendapat ganjaran kebajikan di sisi Allah SWT, Amin.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memer-lukannya.
Medan, 14 Juni 2011
Penulis,
RIWAYAT HIDUP
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP v
DAFTAR ISI vi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 4
1.5 Metode Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
BAB 3 LANDASAN TEORI 6
3.1 Pengertian Kinerja dan Data Envelopment Analisys 6
BAB 4 DATA ENVELOPMENT ANALISYS MEAN-VARIANSI 8
4.1 Kerangka Data Envelopment Analisys Tradisional 8
4.2 Kerangka Data Envelopment Analisys Mean-Variansi Umum 12
BAB 5 KESIMPULAN 26
5.1 Kesimpulan 26
5.2 Saran 26
ABSTRAK
Data Envelopment Analysis (DEA) tradisional mengabaikan ketidakpastian un-tuk variabel input-output dengan memperlakukan pengamatan seakan-akan penga-matan tersebut merupakan variabel input-output yang sebenarnya guna memilih unit rujukan untuk penaksiran efisiensi dan penetapan-patokan kinerja. Di ling-kungan stokastik, kerangka tradisional bisa mencakup unit rujukan didominasi stokastik dan mengesampingkan unit rujukan tak didominasi stokastik. Untuk memasukkan ketidakpastian untuk variabel input-output dalam DEA, diajukan kerangka mean-variansi yang dikembangkan dari teori dominasi stokastik. Dari kerangka tersebut dikembangkan perluasan pada model tradisional yang mencegah seleksi unit rujukan didominasi stokastik. Selain itu, dalam pendekatan mean-variansi, batasan variansi bisa dispesifikasi yang mengurangi ketidakpastian untuk kinerja unit yang dievaluasi relatip terhadap unit rujukannya.
ABSTRACT
Traditional Data Envelope Analysis (DEA) neglects uncertainty for the input-output variables by treating the observations as if they were the true input-output variables to select reference units for efficiency estimation and performance benchmarking. In stochastic environments, the traditional framework may include stochastically dominated reference units and exclude stochastically undominated ones. To in-corporate uncertainty for the input-output variables in DEA, we propose a mean-variance framework derived from the theory of stochastic dominance. From that framework an extension to the traditional model is derived that prevents the se-lection of stochastically dominated reference units. In addition, within the mean-variance approach, mean-variance restrictions can be specified that reduce the uncertainty for the performance of the evaluated unit relative to its reference unit.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada era sekarang ini perusahaan tidak dapat menetapkan secara pasti bahwa suatu aktivitas produksi yang sedang berlangsung dapat selesai dengan tepat waktu, demikian juga dengan hasil yang dihasilkan memiliki kemungkinan untuk menyim-pang dari apa yang telah direncanakan. Untuk mengantisipasi hal ini maka perlu memperkirakan berapa besar probabilitas bahwa suatu aktivitas dapat berlangsung sesuai dengan apa yang di inginkan, juga sebaliknya dapat pula diperkirakan be-rapa besar probabilitas kegagalannya (ISO 14031, 1999). Umumnya dalam proses manufaktur, masing-masing proses yang ada memiliki probabilitas dan distribusi tersendiri, ini disebabkan oleh masing-masing stasiun kerja / mesin pada setiap proses memiliki kemampuan dan akurasi yang berbeda.
Pengukuran kinerja lingkungan adalah bagian penting dari sistem manajemen lingkungan. Ini merupakan ukuran hasil yang dapat diberikan sistem manajemen lingkungan pada perusahaan secara riil dan kongkrit. Pengukuran kinerja ling-kungan ditafsirkan bermacam cara. Antara lain yang melihatnya semata kuanti-tatif, atau hasil proses, atau juga menyertakan kualitatif dan inprocess (ISO 14031, 1999) .
Efisiensi merupakan salah satu parameter kinerja, yang secara teoritis men-dasari seluruh kinerja sebuah perusahaan. Kemampuan menghasilkan output yang maksimal dengan input yang ada, adalah merupakan ukuran kinerja yang diharap-kan. Pada saat dilakukan pengukuran efisiensi, perusahaan dihadapkan pada kon-disi bagaimana mendapatkan tingkat output yang optimal dengan tingkat input yang ada, atau menggunakan tingkat input yang minimum dengan tingkat output tertentu. Dengan diidentifikasi alokasi input dan output, maka dapat dianalisis lebih jauh untuk melihat penyebab ketidakefisiensian (Hadad el al, 2003).
2
tiga pendekatan untuk menghitung efisiensi kinerja lingkungan stokastik, yaitu
stochastic frontier analysis (SFA), distribution free analysis (DFA) dan Data en-velopment Analisys (DEA) (Hadad, 2003). Metode pendekatan SFA dan DFA adalah metode pendekatan menggunakan metode parametrik, sedangkan DEA menggunakan metode non parametrik.
Dalam tesis ini, penulis akan melakukan pendekatan dengan menggunakan metode non parametrik yaitu metode DEA, karena Metode DEA sebagai perangkat untuk mengukur kinerja memiliki keunggulan-keunggulan antara lain:
1. Model DEA dapat mengukur banyak variabelinput dan variabeloutput
2. Tidak memerlukan asumsi mengenai bentuk fungsional dari variabel-variabel yang diukur
3. Variabelinput dan output dapat memiliki satuan yang berbeda
4. Decision Making Units (DMU) dapat dibandingkan secara langsung dengan DMU lain yang sejenis.
Secara garis besar kelebihan pendekatan nonparametrik adalah tidak perlu bentukfungsional eksplisit, miss spesifikasikecil dan pengunaan data input/output lebih banyak tanpa harus dibatasi sedangkan pendekatan parametrik perlu bentuk
fungsional eksplisit, miss spesifikasi cenderung besar dan pengunaan data input dan output kurang bervariasi (Rustam, 2005).
Pendekatan DEA tidak menggunakan informasi, sehingga sedikit data yang dibutuhkan lebih sedikit asumsi yang diperlukan dan sampel yang lebih sedikit dapat dipergunakan. Namun demikian kesimpulan secara statistika tidak dapat diambil jika menggunakan metode nonparametrik (Hadad et al, 2003).
3
tidak diketahui dan harus ditaksir. Dalam banyak kasus penaksiran hanya meng-hasilkan spesifikasi yang tidak akurat, dan ada ketidakpastian tentang variabel input-output yang sebenarnya.
Ketidakpastian parameter sedemikian mempersulit penaksiran efisiensi dan penetapan-patokan kinerja, karena hal itu menyebabkan ketidakpastian untuk ki-nerjaDecision Making Unit (DMU) relatif terhadap DMU lainnya dan relatip ter-hadap kemungkinan-kemungkinan produksi. Selain itu, karena DEA didasarkan pada pemilihan unit rujukan ekstrim, kinerja relatip terhadap unit rujukan bisa ditaksir terlalu rendah. Penaksiran terlalu rendah tersebut bisa meniadakan efek produksi yang tidak efisien oleh unit rujukan, dan menghasilkan penaksiran efisiensi terlalu rendah relatip terhadap kemungkinan-kemungkinan produksi.
Dalam tesis ini menyajikan pendekatan alternatif untuk memasukkan gang-guan stokastik, yang disebut Data Envelopment Analisys Mean-Variansi. Pen-dekatan ini mengandalkan aplikasi syarat mean-variansi yang dikembangkan dari teori dominasi stokastik. Mempresentasikan perluasan pada kerangka tradisional yang mencegah seleksi unit rujukan didominasi stokastik. Selain itu, akan ditun-jukkan bahwa batasan variansi bisa ditetapkan yang mengurangi ketidakpastian untuk kinerja unit yang dievaluasi relatif terhadap unit rujukannya. Dalam hal ini, untuk memilih unit rujukan digunakan fungsi utilitas U(·).
Fungsi utilitas U(·) dapat diartikan sebagai fungsi matematik yang menun-jukkan nilai dari semua alternatif pilihan yang ada. Semakin tinggi nilai suatu alternatif pilihan semakin tinggi utilitas alternatif tersebut.
1.2 Perumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana cara meng-evaluasi kinerja lingkungan stokastik menggunakan data envelopment analisys.
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
Dengan adanya penelitian ini adalah sebagai bahan untuk menambah wawasan keilmuan bagi peneliti, khususnya penelitian bidang matematika, juga diharap-kan dapat bermanfaat bagi perusahaan-perusahaan sehingga dapat mengevaluasi kinerja lingkungan stokastik menggunakan data envelopment analisys. Dengan demikian dapat meningkatkan efisiensi dan peningkatan kinerja potensial relatif agar lebih meningkatkan nilai produksi.
1.5 Metode Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memasukkan ketidakpastian parameter mengharuskan matriks kova-riansi dari kesalahan taksiran dispesifikasi dengan akurat. Spesifikasi bisa di-dasarkan pada teori sebelumnya atau penaksiran empiris. Akan tetapi, di banyak lingkungan penelitian, baik teori maupun data tidak memungkinkan spesifikasi yang akurat. Ketidakpastian yang dihasilkan untuk matriks kovariansi bisa di-masukkan dalam analisa yang analog dengan ketidakpastian untuk variabel input-output.
Pada model DEA tradisional kontraksi semua input hingga faktor yang sama dan produksi setidaknya sama dengan output DMUk mendapat prioritas dimuka. Ini mungkin tidak selalu sesuai dengan jalur yang diinginkan menuju efisiensi. Akan tetapi, fungsi tujuan dan batasan alternatip bisa digunakan (Wong and Beasley 1990, Thompson et al. 1995). Selain itu, unit rujukan bisa dipilih dengan meng-gunakan prosedur keputusan interaktif, sehingga mengurangi persyaratan untuk informasi preferensi sebelumnya (Belton and Vickers 1993, Post and Spronk 1999).
Sementara itu dalam literatur DEA, sejumlah solusi diajukan untuk mena-ngani lingkungan stokastik. Sebagai contoh misalnya, gangguan bisa dimasukkan dengan menggunakan ekuivalensi kepastian dari variabel input-output stokastik (Gong dan Sun. 1995), teknik bootstrap (Atkinson dan Wilson 1995, Gstach 1995, Grosskopf 1996, Lotgren 1997, Simar dan Wilson 1998) atau programming dengan batasan kemungkinan (Land et al. 1994; Olesen dan Petersen 1995; Cooper et al. 1996, 1998). Sebagai alternatif, gangguan bisa disaring dari inefisiensi DEA dengan menaksir struktur kesalahan parametrik, seperti dalam apa yang disebut dengan pendekatan DEA+ (Gstach 1998).
BAB 3
LANDASAN TEORI
3.1 Pengertian Kinerja dan Data Envelopment Analisys
Sebagai wujud yang dicapai perusahaan dalam periode waktu usaha, tidak lepas dari kinerja yang dilakukan pihak perusahaan. Apabila kinerja bagus, akan menghasilkan prestasi kerja yang bagus pula, begitu juga sebaliknya. Menurut Amin (1996) kinerja adalah : Hasil nyata yang dicapai, kadang-kadang dipergu-nakannya untuk menunjukkan dicapainya hasil yang positif.
Pengertian kinerja menurut Bernadin dan Russell (1993) adalah hasil dari prestasi kerja yang telah dicapai seorang karyawan sesuai dengan fungsi tugasnya pada periode tertentu. Sedang evaluasi kinerja lingkungan merupakan ukuran hasil yang dapat diberikan sistem manajemen lingkungan pada perusahaan secara riil dan kongkrit.
Sedangkan kinerja lingkungan menurut ISO 14031, (1999) adalah hasil yang dapat diukur dari sistem manajemen lingkungan, yang terkait dengan kontrol aspek-aspek lingkungannya. Pengkajian kinerja lingkungan didasarkan pada ke-bijakan lingkungan, sasaran lingkungan dan target lingkungan.
sto-7
BAB 4
DATA ENVELOPMENT ANALISYS MEAN-VARIANSI
4.1 Kerangka Data Envelopment Analisys Tradisional
Dalam DEA, kinerja Decision Making Units (DMU) dievaluasi terhadap ap-roksimasi empiris untuk Production Possibility Set (PPS). PPS didefinisikan seba-gai himpunan semua kombinasi dari input x ∈ ℜm
+ dan output y ∈ ℜm+ yang bisa
dicapai dengan teknologi produksi saat ini:
P ={(y, x) :ybisa diproduksi darix} (1)
Himpunan tersebut diaproksimasi dengan menggunakan suatu himpunan penga-matan atas inputx.j = (xij, dan outputy = (yij, . . . , ypj) untuk sebanyak n DMU (j = 1, . . . , n). Pengamatan-pengamatan tersebut digambarkan dengan matriks output Y = (y.1, . . . , y.n) dan matriks input X = (x.1, . . . , x.n). Dalam analisa di bawah ini, kita juga akan menggunakan baris xi. = (xi1, . . . , xin), i = 1, . . . , m
danyr.= (yr1, . . . , yrn), r= 1, . . . , p. Struktur himpunan pengaproksimasi
tergan-tung pada asumsi-asumsi yang ditetapkan pada teknologi produksi dan distribusi pengamatan-pengamatan. Model Charnes et al. (1978) standar didasarkan pada asumsi bahwa teknologi produksi yang sebenarnya dicirikan oleh kembali-ke-skala atau Constant Return to Scale (CRS) konstan, yaitu
(y, x)∈P ⇒K(y, x)∈P, K >0 (2)
Selain itu, diasumsikan bahwa untuk semua kombinasi input-output yang bisa dica-pai, dimungkinkan memproduksi lebih sedikit output, mengkonsumsi lebih banyak input, atau keduanya. Dengan memisalkan s′
= (s′
1. . . s
′
p)T dan s = (s1. . . sm)T
masing-masing merupakan output slack dan input slack, sehingga asumsi menjadi
9
Terakhir, model standar mengasumsikan bahwa semua pengamatan tercakup di dalam PPS, yaitu
(Y, X)∈P (4)
Himpunan pengaproksimasi yang bersesuaian dengan asumsi ini adalah himpunan semua kombinasi linier positip dari pengamatan-pengamatan, dan semua kombinasi input-output yang memproduksi lebih sedikit output, mengkonsumsi lebih banyak input, atau keduanya. Dengan menggunakan λ = (λ1. . . λn)T untuk menyatakan
vektor intensitas (n×1), yang ditetapkan sebagai:
PCCR =
(
(y, x) : Y
−X
!
λ− S
′
S
!
y
−x
!
;λ, S′, S,≥0
)
(5)
Dengan asumsi produksi dan distribusi standar, semua kombinasi input-output yang termuat di dalam himpunan pengaproksimasi ini juga termuat di dalam PPS, dan akibatnya bisa dicapai dengan adanya teknologi produksi. Akan tetapi, jika asumsi ini dilanggar, aproksimasi CCR bisa mencakup kombinasi input-output yang tidak bisa dicapai. Namun demikian, metodologi DEA menawarkan fleksibi-litas yang berarti untuk menetapkan asumsi produksi alternatip. Sebagai contoh, model DEA standar diperluas untuk mencakup sifat kembali-ke-skala tidak tetap.
10
khusus dari himpunan tersebut tergantung pada preferensi manager pengevaluasi. Umumnya sulit menguraikan preferensi managemen secara handal dan, selain itu, memasukkan preferensi dengan tepat dalam masalah optimisasi. Akan tetapi, de-ngan menggunakan asumsi tertentu tentang ciri-ciri umum dari struktur preferensi, masalah keputusan bisa disederhanakan. Asumsi yang implisit dalam sebagian be-sar model DEA adalah bahwa evaluator lebih menyukai output penetapan rujukan dan kurang menyukai input. Ini adalah asumsi yang sah, karena tujuan unit ru-jukan adalah untuk menilai inefisiensi dan peningkatan kinerja potensial relatip terhadap kemungkinan-kemungkinan produksi dan, selain itu, unit memberikan gambaran yang lebih tepat dari kemungkinan-kemungkinan tersebut jika output-nya lebih tinggi dan input-output-nya lebih rendah. Jika asumsi di atas berlaku, semua unit gabungan yang didominasi unit lainnya, yaitu unit yang memproduksi lebih banyak output dengan input yang sama atau lebih kecil atau sebagai alternatip mengkonsumsi lebih sedikit input untuk output yang sama atau lebih banyak, bisa dicoret sebagai alternatip keputusan. Hanya unit yang tidak didominasi yang boleh dipertimbangkan sebagai unit rujukan potensial. Unit tersebut bisa dikatakan juga sebagai himpunan diperbolehkan-CCR. Secara lebih formal, himpunan tersebut didefinisikan sebagai
Dalam rumus ini, τ menyatakan vektor intensitas (n×1), dan e′ dan e masing-masing menyatakan vektor satuan (p×1) dan (m×1).
11
M in ϕ,λj,Si,S′γ
θ−ε
" m X
i=1
Si+ P
X
γ=1
Sγ′
#
n
X
j=1
λjyrj−Sr′ =yrk, r= 1, . . . , p;
Dengan batasan (7)
n
X
j=1
λjxrj +Si =θxik, i= 1, . . . , m;
λj ≥0, j = 1, . . . , n;
Sr′ ≥0, r = 1, . . . , S;
Si ≥ 0, i= 1, . . . , m.
Dimana:
θ = faktor kontraksi radial ε = kuantitas non-Archimedean λ = vektor intensitas
S′
= output slack S = input slack
Koreksi slack ”non-Archimedean” dimaksudkan untuk mencegah pemilihan unit rujukan yang didominasi unit gabungan lainnya, yaitu yang juga mengkonsumsi paling banyak sebesar fraksi minimal untuk semua input dan memproduksi paling sedikit sebesar output DMUk, tetapi menggunakan lebih sedikit input tertentu, atau memproduksi lebih banyak output tertentu. Koreksi ini membatasi dengan efektif unit rujukan potensial pada himpunan yang dapat diterima (6).
12
θFk =Min
θ {θ : (yk, θxk)∈P} (8)
Kebaikan penyelesaian untuk model CCR terorientasi-input (7) sebagai estimator untuk ukuran ini tergantung pada sifat sebenarnya dari teknologi produksi dan dis-tribusi pengamatan. Seperti yang telah disebutkan di atas, jika asumsi produksi dan distribusi standar dipenuhi, semua kombinasi linier positip dari pengamatan-pengamatan termuat dalam PPS. Ini menyatakan secara tidak langsung bahwa efisiensi tidak bisa ditaksir terlalu rendah. Akan tetapi, efisiensi bisa ditaksir ter-lalu tinggi, sekalipun asumsi standar dipenuhi. Jika kumpulan data tidak memuat pengamatan-pengamatan dari mana kombinasi linier positip bisa disusun yang menggambarkan produksi potensial untuk unit yang dievaluasi, efisiensi ditaksir terlalu tinggi. Secara lebih formal, unit rujukan tidak efisien dan efisiensi ditaksir terlalu tinggi jika
(
(x, y)∈PCCR : y
−x
!
≥ yk −θF
kxk
!)
=θ (9)
Ini berlaku terutama untuk sampel kecil, jumlah variabel input-output yang re-latip tinggi dan untuk distribusi efisiensi yang tipis dekat frontier yang sebenarnya (yaitu, fraksi besar dari pengamatan yang tidak efisien). Di lingkungan sedemikian, praktek terbaik yang diamati tidak mencapai kinerja potensial setidaknya untuk sebagian pengamatan, dan karenanya inefisiensi ditaksir terlalu tinggi untuk penga-matan tersebut.
4.2 Kerangka Data Envelopment Analisys Mean-Variansi Umum
13
digunakan sebagai taksiran untuk efisiensi, relatif terhadap kemungkinan produksi. Selain itu, sebab-sebab dan perbaikan-perbaikan untuk inefisiensi ditelusuri dengan membandingkan proses produksi unit yang dievaluasi dan proses produksi unit ru-jukan. Karena itu, diasumsikan bahwa fungsi utilitas didefinisikan atas perbedaan antara variabel input-output unit rujukan dan variabel input-output unit yang dievaluasi, yaitu
U(·) =U(Y∗
λ−y∗
k, X
∗
λ−x∗
k) (10)
Dalam rumus ini, matriksY∗(p×n) dan matriksX∗(m×n) merupakan nilai yang
sebenarnya untuk variabel input-output. Seperti yang telah disebutkan di atas, nilai hasil pengamatan bisa menyimpang dari nilai ini karena gangguan stokastik.
Selain itu, untuk memenuhi asumsi standar bahwa unit rujukan dibatasi pada himpunan kombinasi-kombinasi pengamatan yang bisa dicapai secara tek-nis dengan asumsi-asumsi yang ditetapkan pada teknologi produksi. Dalam hal ini, ditetapkan asumsi standar CRS (2), produksi tidak efisien (3) dan pemuatan pengamatan (4) dan selanjutnya membatasi unit rujukan pada himpunan semua kombinasi linier positif. Dengan asumsi-asumsi ini, masalah pemilihan unit rujukan bisa dinyatakan sebagai
Max
λ ≥0 U(Y
∗
λ−y∗
k, X
∗
λ−x∗
k) (11)
14
Untuk menyelesaikan masalah keputusan (11), variabel input-output yang sebenarnya harus dispesifikasi. Berbeda dengan pendekatan tradisional, dalam tesis ini mengasumsikan secara eksplisit bahwa variabel input-output terganggu dan tidak bisa dispesifikasi secara akurat. Namun, diasumsikan bahwa hanya tak-siran yang tidak akurat yang menyimpang secara acak dari nilai sebenarnya yang ada tersedia. Dalam analisa di bawah ini, misalkan Y(X) menotasikan taksiran untuk output (input). Dalam DEA tradisional notasi ini digunakan untuk nilai hasil pengamatan. Akan tetapi, dengan tergantung pada teori tertentu dan data yang ada, estimator alternatif bisa digunakan, seperti mean sampel pengamatan ganda. Jika taksiran alternatif digunakan dalam model mean-variansi, di asum-sikan demi penyederhanaan bahwa model tradisional juga menggunakan taksiran ini (dan bukan pengamatan). Selain itu, gunakan W’ (W) untuk kesalahan pe-naksiran output (input). Secara lebih formal, gunakan struktur berikut untuk taksiran input-output:
Y =Y∗+W
(12)
X =X∗+W
Jika taksiran ini digunakan dan bukan nilai yang sebenarnya untuk variabel input-output, pemilihan unit rujukan merupakan masalah pilihan dengan ketidakpastian, karena ini melibatkan ketidakpastian parameter. Dengan asumsi-asumsi di atas, ini sesuai dengan aksioma-aksioma Von Neumann dan Morgenstern (1967) untuk unit rujukan optimal yang akan diberikan oleh penyelesaian untuk masalah maksimisasi berikut:
Max λ>0 E
h
U(Y −W)λ−yk −wk′,((X −W)λ−(xk −wk))i
=Max λ>0
R
D(W′,W)
(Y −W)λ− yk −w′ k
,((X −W)λ−(xk −wk))
∂FW′, W (13)
Dalam rumus ini,w′
.k(w.k) menotasikan kolom ke-k dari W ′
(W). Dengan analogi, dalam analisa di bawah ini, akan kita gunakan w′
15
ke-r(ke-i) dariW′(W). Selain itu,f(W′, W) danD(W′, W) masing-masing meno-tasikan fungsi distribusi multivariat dan domain untuk kesalahan penaksiran.
16
Untuk masalah evaluasi kinerja, mengasumsikan ketiadaan kepuasan berse-suaian dengan mengasumsikan bahwa utilitas naik monoton dalam output dan turun monoton dalam input. Ini tampaknya merupakan asumsi yang sah, karena semakin tinggi output dan semakin rendah input, semakin didekatilah frontier dan semakin tinggilah peningkatan kinerja potensial yang ditunjukkan. Selain itu, ke-tiadaan kepuasan diasumsikan secara implisit dalam model standar dan evaluator adalah penghindar risiko yang tidak suka ketidakpastian untuk variabel input-output. Menurut hematnya, asumsi ini dapat dipertahankan, misalnya karena ganjaran yang dikaitkan manager pengevaluasi pada peningkatan kinerja unit yang dievaluasi, dan selain itu manager pengevaluasi menghindari risiko demi kekayaan pribadinya. DARA bisa juga menjadi asumsi yang dapat dipertahankan, yang menghasilkan kriteria TSD paling kuat. Akan tetapi, dalam literatur SD tidak ada algoritma operasional sederhana untuk pencocokan kriteria ini dengan data diskrit empiris. Karena itu, diajukan penggunaan SSD yang kurang kuat. Aturan keputusan tersebut bisa dengan mudah dioperasionalisasikan dengan menggunakan asumsi distribusi umum.
Pada umumnya, variabel acak mendominasi variabel lainnya secara stokastik dengan orde dua, jika dan hanya jika, untuk setiap nilai yang dipilih, yang dise-but terakhir mempunyai massa probabilitas kumulatif yang lebih besar daripada yang disebut pertama. Secara lebih formal, dengan memisalkanG(·) menotasikan kepadatan probabilitas kumulatip untuk variabel acak A dan H(·) untuk B, A mendominasiB secara stokastik dengan orde-dua, jika dan hanya jika
c
Z
−∞
H(z)∂z>
c
Z
−∞
G(z)∂z∀c∈ ℜ (14)
Jika syarat ini dipenuhi, semua perkiraan utilitas yang memaksimalkan ketiadaan kepuasan dan pengambil-keputusan penghindar risiko akan lebih menyukaiA ke-timbangB.
17
Ini merupakan asumsi mudah yang membantu menyederhanakan analisa, karena untuk variabel acak berdistribusi normal, SSD ekuivalen dengan dominasi mean-variansi, yaitu suatu variabel mendominasi variabel lainnya secara stokastik dengan orde dua jika variabel tersebut mempunyai mean yang lebih tinggi dan variansi yang lebih rendah. Selain itu, asumsikan bahwa kesalahan-kesalahan yang saling bebas atas variabel input-output. Ini merupakan asumsi yang berguna, karena un-tuk fungsi distribusi multivariat SSD bersesusian dengan SSD unun-tuk semua vari-abel asalkan varivari-abel-varivari-abel yang saling bebas. Akan tetapi, asumsi saling be-bas mengesampingkan efek dari korelasi antara kesalahan-kesalahan input-output. Asumsi ini dapat dipertahankan untuk kesalahan pengukuran, gangguan acak dan outlier, karena sifatnya yang unik. Namun demikian, saling ketergantungan bisa terjadi jika variabel input-output ganda dipengaruhi oleh sumber eksternal umum ketidakpastian. Sebagai contoh misalnya, kenaikan suku bunga yang tidak di-antisipasi meningkatkan pendapatan bunga maupun biaya bunga untuk bank. Ini menyebabkan korelasi positip antara pendapatan bunga dan biaya bunga. De-ngan mengabaikan saling ketergantuDe-ngan ini akan menghasilkan penaksiran sis-tematik terlalu tinggi atas risiko suku bunga. Generalisasi untuk kasus di mana dimungkinkan korelasi sedemikian akan mengharuskan batasan yang menjelaskan saling ketergantungan sedemikian. Sebagai alternatip, faktor-faktor risiko eksternal bisa dimasukkan sebagai variabel input-output tambahan, atau dengan mengko-reksi variabel input-output untuk ketidakpastian sistematik, yang hanya menyisa-kan ketidakpastian unik.
Secara lebih formal, andaikan P′
(P
18
rlj(σilj) menyatakan kovariansi antara kesalahan penaksiran penga-matanj dan pengamatan l untuk output r (input i). Dalam analisa di bawah ini, akan digunakan σ′
rl.(σil.) untuk menotasikan kolom ke-l dari matriks kovariansi untuk output r (input i).
Yang jelas, keabsahan asumsi-asumsi distribusi di atas (normalitas, mean nol dan saling bebas) tergantung pada estimator tertentu yang digunakan untuk variabel input-output. Satu cara membenarkannya adalah dengan mengasum-sikan bahwa variabel input-output diganggu oleh gangguan dari distribusi yang memenuhi asumsi ini, dan selain itu bahwa variabel-variabel ditaksir dengan mean sampel dari sampel T pengamatan yang berdistribusi identik dan secara bebas. Dalam kasus tersebut, kesalahan penaksiran juga merupakan variabel acak bebas dengan distribusi normal mean-nol, dengan matriks kovariansi yang diberikan se-bagai 1/T kali matriks kovariansi gangguan.
Karena kesalahan penaksiran mengikuti distribusi normal bebas, kesalahan penaksiran untuk perbedaan input-output,W′
λ−w′
.k dan W λ−w.k, juga adalah variabel acak dengan distribusi normal bebas. Variansi kesalahan penaksiran ini besarnya adalah:
Dengan menggunakanσ′
19
untuk menyatakan vektor standar deviasi yang bersesuaian, danN
untuk pergan-daan vektor elemen-per-elemen, kesalahan penaksiran bisa dinyatakan sebagai
W′
dan z = (z1. . . zn) menyatakan vektor variabel acak dengan
distribusi normal standar bebas F(z′, z). Saling bebas menyatakan secara tidak langsung bahwa distribusi multivariat sama dengan produk distribusi marginal F(z′
Dengan mensubstitusi (17) dan (18) ke dalam (13) dihasilkan rumus berikut untuk perkiraan utilitas:
Dalam rumus ini, perkiraan utilitas hanya tergantung pada taksiran perbedaan input-output dan variansi kesalahan. Karena itu, masalah keputusan bisa dinya-takan dengan:
20
DEA tradisional mengasumsikan bahwa evaluator suka yang lebih banyak untuk input dan yang lebih sedikit untuk input. Asumsi ini bersesuaian dengan asumsi ketiadaan kepuasan. Seperti yang telah dibahas di atas ketiadaan kepuasan tampaknya merupakan asumsi yang sah untuk evaluasi kinerja. Akan tetapi, dalam kasus ketidakpastian parameter, umumnya tidak cukup membatasi unit rujukan pada himpunan CCR yang dapat diterima (6), karena variansi kesalahan juga harus dipertimbangkan. Pendekatan tradisional mengasumsikan secara implisit bahwa suku-suku ini bisa diabaikan, atau yang ekuivalen dengan hal ini, bahwa pengamatan tidak terganggu, atau sebagai alternatif bahwa evaluator adalah ne-tral risiko. Sebaliknya, selain ketiadaan kepuasan kita asumsikan bahwa evaluator penghindar risiko. Penghindaran risiko menyatakan secara tidak langsung bahwa perkiraan utilitas adalah turun monoton dalam variansi kesalahan. Karena itu, himpunan yang dapat diterima bisa berkurang untuk semua unit gabungan yang tidak didominasi dalam suku mean-variansi, yaitu tidak ada unit alternatip yang memberikan taksiran output (input) yang lebih tinggi (lebih rendah) dan variansi yang lebih rendah. Secara lebih formal, hal ini berarti
AM V =
han berlebih, yaitu perbedaan antara variansi kesalahan dari unit-unit gabungan yang dicirikan oleh vektor intensitasτ dan λ.
21
Evaluator netral-resiko bisa memilih unit rujukan dari himpunan ini, karena elemen-elemennya tidak didominasi dalam suku taksiran input-output. Akan tetapi, un-tuk evaluator penghindar-risiko himpunan ini tidak dipakai, karena didominasi dalam suku variansi kesalahan. Berbeda dengan himpunan CCR, himpunan mean-variansi mencakup semua unit yang didominasi dalam suku taksiran input-output, tetapi tidak di dalam suku variansi kesalahan, yaitu
Semua evaluator netral-risiko tidak menggunakan asumsi ini, karena kumpulan data memuat unit alternatif dengan taksiran input-output yang lebih baik. Akan tetapi, evaluator penghindari-risiko bisa memilih unit rujukan dari himpunan ini, karena unit tersebut tidak didominasi dalam suku variansi kesalahan.
Dengan menggunakan himpunan mean-variansi (21) dan bukan himpunan CCR (6), masalah keputusan (11) bisa dinyatakan sebagai
M ax
22
alternatif dengan menggunakan prosedur keputusan interaktif. Sebagai contoh mi-salnya, dengan memenuhi asumsi standar bahwa evaluator lebih menyukai unit rujukan yang menggunakan fraksi terkecil yang mungkin dari input unit yang di-evaluasi untuk memproduksi setidaknya sama dengan outputnya, model (7) bisa diperluas sebagai berikut:
Fungsi tujuan dari model ini mencakup koreksi variansi ”non-Archimedean” selain koreksi slack yang digunakan dalam model tradisional. Koreksi variansi tersebut dimasukkan untuk mengesampingkan pemilihan unit rujukan yang didominasi oleh unit lainnya yang memberikan penurunan input radial yang identik, tetapi mem-punyai variansi kesalahan yang lebih kecil, yaitu elemen dari himpunan (21). Unit yang didominasi dalam suku taksiran input-output tetapi tidak didominasi dalam suku variansi kesalahan, yaitu elemen dari himpunan (22), bisa dicoret di sini, karena kontraksi input dan produksi output DMUk diberi prioritas dimuka ke-timbang penurunan variansi. Karena itu, koreksi variansi efektif membatasi unit rujukan pada himpunan mean-variansi.
23
gunakan untuk menyelesaikan (25). Lebih tepatnya, tahap pertama adalah mencari nilai optimal untuk dengan menyelesaikan masalah berikut:
Min
Tahap kedua menggunakan penyelesaian optimal, katakanlah θ∗, untuk menen-tukan nilai optimal untuk slack dengan menyelesaikan masalah berikut:
24
Jika kumpulan data tidak memuat unit rujukan ganda dengan nilai input-output optimal, koreksi variansi tidak berdampak pada penyelesaian optimal. Akan tetapi, jika kumpulan data memuat lebih dari satu unit rujukan sedemikian, maka semua evaluator penghindar-risiko lebih menyukai unit rujukan dengan variansi terkecil.
25
si ≥0, i= 1, . . . , m;
Akan tetapi, taksiran efisiensi bisa dipengaruhi oleh batasan sedemikian, karena kumpulan data mungkin tidak memuat unit yang menggunakan fraksi optimal yang sama dari input dan memproduksi setidaknya sama dengan output DMUk, dan selain itu mempunyai variansi kesalahan yang memenuhi batasan. Karena penam-bahan batasan pada masalah minimisasi menyatakan secara tidak langsung penu-runan penyelesaian masalah, taksiran efisiensi akan meningkat. Karena itu, jika efisiensi ditaksir terlalu tinggi, seperti yang berlaku di lingkungan deterministik, batasan variansi meningkatkan kesalahan penaksiran. Akan tetapi, di lingkungan stokastik efisiensi unit yang dinilai relatip terhadap unit rujukan bisa ditaksir ter-lalu rendah.
Penulis menganggap penaksiran terlalu rendah sedemikian sering terjadi di lingkungan stokastik, karena metodologi DEA didasarkan pada pemilihan unit eks-trim. Penaksiran inefisiensi terlalu rendah, relatip terhadap unit rujukan, bisa membatalkan efek produksi yang tidak efisien oleh unit rujukan, dan menghasilkan penaksiran efisiensi yang terlalu rendah, relatip terhadap kemungkinan produksi. Ternyata, outlier tunggal bisa menyebabkan penaksiran terlalu rendah yang berarti untuk semua pengamatan.
Jika efisiensi ditaksir terlalu rendah, batasan variansi bisa mengurangi ke-salahan penaksiran. Sayangnya, tidak banyak diketahui tentang distribusi skor efisiensi DEA di lingkungan stokastik. Karena itu, penulis tidak dapat mengem-bangkan syarat-syarat secara formal dengan mana batasan variansi meningkatkan taksiran efisiensi.
BAB 5
KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Dalam tesis ini, dipresentasikan kerangka mean-variansi untuk memasukkan ketidakpastian parameter dan penghindaran risiko dalam DEA. Kerangka terse-but sesuai dengan perilaku pilihan rasional untuk struktur preferensi umum dan distribusi gangguan umum, dan karenanya melanggengkan sifat konservatif dari kerangka tradisional. Ditunjukkan bahwa DEA tradisional sesuai dengan dominasi stokastik hanya jika variabel input-output dispesifikasi dengan akurat atau sebagai alternatip jika evaluator netral risiko berkenaan dengan ketidakpastian parame-ter. Jika variabel input-output tidak pasti dan evaluator menghindari risiko, maka pendekatan tradisional bisa mencakup unit rujukan yang didominasi stokastik dan tidak mencakup unit yang tidak didominasi stokastik. Sebaliknya, dengan meng-gunakan himpunan mean-variansi yang bisa diterima sebagai pengganti himpunan tradisional, semua unit yang tak didominasi stokastik dimasukkan dan semua unit didominasi stokastik dicoret. Ditunjukkan bagaimana memasukkan koreksi variansi dalam fungsi tujuan bisa menetapkan himpunan mean-variansi.
Selain dari memilih unit rujukan didominasi stokastik, model tradisional menghasilkan taksiran efisiensi yang bisa mengalami bias dan variansi serius jika variabel input-output ditaksir dengan kesalahan. Ditunjukkan bahwa batasan va-riansi bisa dispesifikasi vava-riansi di dalam kerangka mean-vava-riansi yang mengurangi ketidakpastian untuk kinerja unit yang dievaluasi relatip terhadap unit rujukannya.
5.2 Saran
27
DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, S., P. W. Wilson. 1995. Comparing mean efficiency and productivity scores from small samples: a bootstrap methodology. J. Productivity Anal. 6 137-152
Belton, V., S. P. Vickers. 1993. Demystifying DEA: A visual inter-active approach based on Multi Criteria Analysis. J. Opera Res. Soc. 44, 883-896.
Bernadin, H. John & Joyce E.A. Russell. 1993, Human resource management, In-ternational edition, Singapura : McGraw Hill,Inc.
Charnes, A., E. Rhodes. 1978. Measuring the efficiency of decision making units.
Eur. J. Oper. Res. 2(6) 429-444
Cooper, W. W., Z. M. Huang, V. Lelas, S. Xi, O. B. Olesen. 1998. Chance Con-strained Programming formulations for stochastic characterizations of effi-ciency and dominance in DEA.J. Productivity Anal. 9(1) 53-79
Cooper, W. W., Z. M. Huang, V. Lelas, S. X. Li. 1996. Satisficing DEA models under chance constraints. Ann. Oper. Res.
Gong, L., B. Sun. 1995. Efficiency measurement of produc-tion operations under uncertainty.Internat. J. Production Econom. 39 55-66.
Grosskopf, S. 1996. Statistical inference and nonparametric efficiency: A selective survey.J. Productivity Anal. 7 161-176.
Gstach, D. 1995. Comparing structural efficiency of unbalanced subsamples: a re-sampling adaptation of Data Envelopment Analysis. Empirical Econom. 20 531-542.
Gstach, D. 1998. Another Approach to Data Envelopment Analysis in Noisy Envi-ronments: DEA+.J. Productivity Anal. 9(2) 161-176.
Hadad, Muliaman D, Santoso, Wimboh, Mardanugraha, Eugenia dan Ilyas, Daniel. (2003).Pendekatan Parametrik Untuk Efisiensi Perbankan Indonesia. Univer-sitas Indonesia.
ISO, ISO 14031: Environmental Performance Evaluation - Guidelines, International Organization for Standardization, Switzerland, 1999
Land, K. C., A. K. Lovell, S. Thore. 1994. Chance-constrained Data Envelopment Analysis.Managerial Decision Econom. 14 541-554.
Lodtgren, M. 1997. Essays on efficiency and productivity: Contributions on boot-strap, DEA and stochastic fron-tier models. Stockholm School of Economics, Stockholm, Sweden.
Olesen, 0. B., N. C. Petersen. 1995. Chance constrained efficiency evaluation. Man-agement Sci. 41 442-457.
29
Rustam, Rinaldi, 2005, Analisis Efisiensi Teknis Bank Devisa Nasional Dengan Mengunakan Metode Non Parametrik : Data Envelopment Analysis/DEA, Jurnal Media Ekonomi, Vol. 11 No. 2 Agustus 2005 Hal. 173-188.
Simar, L., P. Wilson. 1998. Sensitivity analysis of efficiency scores: how to bootstrap in nonparametric frontier models. Management Sci. 44(1) 49-61.
Thompson, R. G., L. N. Langemeier, C.-T. Lee, E. Lee, R. M. Thrall. 1990. The role of multiplier bounds in efficiency anal-ysis with application to Kansas farming. J. Econometrics. 46 93-108.
Von Neumann, J., 0. Morgenstern. 1967. Theory of Games and Economic Behaviour.
Wiley, New York.
Wong, Y., Beasley, J. E. 1990. Restricting weight flexibility in Data Envelopment Analysis. J. Opera Res. Soc. 41 829-835.
J. 1996. The application of data envelopment analy-sis with financial ratios for bank performance evaluation, J. Opera Res. Soc. 47 980-988.
