OPTIMALISASI PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN FUZZY CRITICAL PATH METHOD (FUZZY CPM)
BERDASARKAN METRIC DISTANCE RANK PADA BILANGAN FUZZY
SKRIPSI
AULIA RIZKY PUTRI 100803078
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
OPTIMALISASI PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN FUZZY CRITICAL PATH METHOD (FUZZY CPM)
BERDASARKAN METRIC DISTANCE RANK PADA BILANGAN FUZZY
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
AULIA RIZKY PUTRI 100803078
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : Optimalisasi Penjadwalan Proyek
Menggunakan Fuzzy Critical Path Method (Fuzzy CPM) Berdasarkan Metric Distance Rank pada Bilangan Fuzzy
Kategori : Skripsi
Nama : Aulia Rizky Putri Nomor Induk Mahasiswa : 100803078
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2014
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Rosman Siregar, M.Si Dr. Esther S.M.Nababan, M.Sc NIP. 19610107 198601 1 001 NIP. 19610318198711 2 001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
OPTIMALISASI PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN FUZZY CRITICAL PATH METHOD (FUZZY CPM)
BERDASARKAN METRIC DISTANCE RANK PADA BILANGAN FUZZY
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya
Medan, Juli 2014
AULIA RIZKY PUTRI
PENGHARGAAN
Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Esa, karena
dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi
ini dengan judul Optimalisasi Penjadwalan Proyek Menggunakan Fuzzy Critical
Path Method (Fuzzy CPM) Berdasarkan Metric Distance Rank pada Bilangan
Fuzzy.
Dalam Kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih
sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu
1. Dr. Esther S M Nababan, M.Sc. dan kepada Drs. Rosman Siregar, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah memberikan banyak bimbingan
dalam penyempurnaan Tugas Akhir ini
2. Dr. Parapat Gultom, M.SIE. dan Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc. selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan dalam
penyempurnaan Tugas Akhir ini
3. Semua Dosen dan Pegawai Departemen Matematika FMIPA USU
4. Ayahanda Sumpeno dan Ibunda Septimiati yang telah banyak membantu
atas doa, dukungan moril dan materi yang diberikan selama ini
5. Saudara Kandung Rizky Amelia
6. Rekan kuliah Nurlita, Fitri, Rara dan teman-teman seperjuangan dijurusan
matematika 2010 atas kebersamaan selama ini
7. Serta Semua Pihak yang tidak dapat ditulis satu persatu
Semoga segala kebaikan dalam bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat
OPTIMALISASI PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN FUZZY CRITICAL PATH METHOD (FUZZY CPM)
BERDASARKAN METRIC DISTANCE RANK PADA BILANGAN FUZZY
ABSTRAK
Penjadwalan adalah hal yang penting dalam penyelenggaraan suatu proyek konstruksi. Penjadwalan dilakukan untuk memprediksi durasi waktu yang diperlukan dalam penyelesaian proyek. Metode Lintasan Kritis (Critical Path Method) adalah alat yang penting untuk perencanaan dan pengontrolan pada proyek yang kompleks. Keberhasilan dari metode lintasan kritis tersebut terlihat dari terselesaikannya setiap aktivitas dengan durasi waktu yang telah ditentukan. Dalam dunia nyata selalu ada ketidakpastian dalam menentukan durasi waktu setiap aktivitas dalam suatu jaringan proyek, dalam hal ini dihadirkan suatu bilangan fuzzy trapezoidal sebagai durasi waktu aktivitas yang fuzzy. Penelitian kali ini dihadirkan sebuah metode metric distance rank untuk menemukan lintasan kritis dari suatu jaringan proyek dan membandingkannya dengan menggunakan metode centroid. Adapun hasil perhitungan yang diperoleh dengan menggunakan metode yang diusulkan yaitu lebih efektif dalam menentukan aktivitas kritis dan menemukan lintasan kritis dari suatu jaringan proyek fuzzy.
Kata Kunci : Fuzzy Critical Path Method, Trapezoidal Fuzzy Number,
OPTIMIZATION PROJECT SCHEDULING USING FUZZY CRITICAL PATH METHOD (FUZZY CPM) BASED ON
METRIC DISTANCE RANK OF FUZZY NUMBERS
ABSTRACT
One of important things in executing project construction is scheduling, which is required in order to predict the total duration of the project should be accomplished. The Critical Path Method is a vital tool for the planning and control of complex projects. The successful implementation of Critical Path Method requires the availability of a clear determined time duration for each activity. However, in the real world there is always uncertainty about determined time durations of activities in a fuzzy project network. Hence, a trapezoidal fuzzy number is represented as time duration of each activity. In this paper a simple method namely metric distance rank for fuzzy numbers to a critical path method for fuzzy project network and also using centroid method. The comparison reveal that the method proposed in this paper is more effective in determining the activity criticalities and finding the critical path in a fuzzy project network.
Keywords : Fuzzy Critical Path Method, Trapezoidal Fuzzy Number,
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Pernyataan iii
Penghargaan iv
Abstrak v
Abstract vi
Daftar Isi vii
Daftar Tabel ix
Daftar Gambar x
Bab 1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Batasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Kontribusi Penelitian 4
1.6 Metodologi Penelitian 4
Bab 2. Landasan Teori
2.1 Penjadwalan Proyek 6
2.2 Critical Path Method (CPM) 7
2.2.1 Jaringan Kerja CPM 8
2.2.2 Perhitungan Maju 11
2.2.3 Perhitungan Mundur 12
2.3 Teori Himpunan Fuzzy 14
2.4 Bilangan Fuzzy 16
2.5 Derajat Keanggotaan untuk Durasi Aktivitas 18
2.6 Peringkat Bilangan Fuzzy 21
2.7 Ukuran Fuzziness Menggunakan Metric Distance 22
2.7.1 Hamming Distance 23
2.7.2 Euclidean Distance 24
2.8 Metric Distance Rank 24
2.9 Formula De-fuzzifikasi dengan Menggunakan Metode
Centroid 26
Bab 3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Fuzzy CPM Berdasarkan Metric Distance Rank pada
Bilangan Fuzzy 28
3.2 Algoritma Optimalisasi Penjadwalan Proyek Menggunakan
Fuzzy CPM Berdasarkan Metric Distance Rank pada
Bilangan Fuzzy 30
3.3 Contoh Numerik 31
Bab 4. Kesimpulan Dan Saran
4.1 Kesimpulan 74
4.2 Saran 75
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.1 Tabel Keterangan Waktu Setiap Aktivitas Fuzzy 32
Tabel 3.2 Tabel Metric Distance Rank Total Kelonggaran Waktu
Fuzzy (Fuzzy Float Time) untuk Setiap Lintasan dalam
Jaringan Proyek Fuzzy 72
Tabel 3.3 Tabel Nilai Fuzzifikasi Kelonggaran Waktu (Float time)
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Kegiatan Activity on Arrow 9
Gambar 2.2 Kegiatan Activity on Node 9
Gambar 2.3 Bentuk merge event yang menggabungkan beberapa
aktivitas 11
Gambar 2.4 Bentuk burst event yang mengeluarkan beberapa aktivitas 12
Gambar 2.5 Bilangan Fuzzy Trapezoidal � = ���,�,�,��� 19
Gambar 2.6 Bilangan Fuzzy Triangular � = (��,�,��) 20
Gambar 2.7 Himpunan Fuzzy � 22
Gambar 2.8 Himpunan Fuzzy �′ 23
Gambar 2.9 Himpunan Fuzzy � dan hubungannya pada
Himpunan Crisp 23
OPTIMALISASI PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN FUZZY CRITICAL PATH METHOD (FUZZY CPM)
BERDASARKAN METRIC DISTANCE RANK PADA BILANGAN FUZZY
ABSTRAK
Penjadwalan adalah hal yang penting dalam penyelenggaraan suatu proyek konstruksi. Penjadwalan dilakukan untuk memprediksi durasi waktu yang diperlukan dalam penyelesaian proyek. Metode Lintasan Kritis (Critical Path Method) adalah alat yang penting untuk perencanaan dan pengontrolan pada proyek yang kompleks. Keberhasilan dari metode lintasan kritis tersebut terlihat dari terselesaikannya setiap aktivitas dengan durasi waktu yang telah ditentukan. Dalam dunia nyata selalu ada ketidakpastian dalam menentukan durasi waktu setiap aktivitas dalam suatu jaringan proyek, dalam hal ini dihadirkan suatu bilangan fuzzy trapezoidal sebagai durasi waktu aktivitas yang fuzzy. Penelitian kali ini dihadirkan sebuah metode metric distance rank untuk menemukan lintasan kritis dari suatu jaringan proyek dan membandingkannya dengan menggunakan metode centroid. Adapun hasil perhitungan yang diperoleh dengan menggunakan metode yang diusulkan yaitu lebih efektif dalam menentukan aktivitas kritis dan menemukan lintasan kritis dari suatu jaringan proyek fuzzy.
Kata Kunci : Fuzzy Critical Path Method, Trapezoidal Fuzzy Number,
OPTIMIZATION PROJECT SCHEDULING USING FUZZY CRITICAL PATH METHOD (FUZZY CPM) BASED ON
METRIC DISTANCE RANK OF FUZZY NUMBERS
ABSTRACT
One of important things in executing project construction is scheduling, which is required in order to predict the total duration of the project should be accomplished. The Critical Path Method is a vital tool for the planning and control of complex projects. The successful implementation of Critical Path Method requires the availability of a clear determined time duration for each activity. However, in the real world there is always uncertainty about determined time durations of activities in a fuzzy project network. Hence, a trapezoidal fuzzy number is represented as time duration of each activity. In this paper a simple method namely metric distance rank for fuzzy numbers to a critical path method for fuzzy project network and also using centroid method. The comparison reveal that the method proposed in this paper is more effective in determining the activity criticalities and finding the critical path in a fuzzy project network.
Keywords : Fuzzy Critical Path Method, Trapezoidal Fuzzy Number,
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi membuat matematika
menjadi sangat penting artinya, bahkan dapat dikatakan bahwa perkembangan
ilmu pengetahuan dan teknologi tersebut tidak lepas dari peranan matematika.
Hampir dapat dipastikan bahwa setiap bagian dari ilmu dan teknologi baik dalam
unsur kajian umum ilmu murni maupun terapannya memerlukan peranan
matematika sebagai ilmu bantunya.
Analisis jaringan kerja merupakan salah satu bagian dari ilmu matematika
terapan yang saat ini sedang marak digunakan dan dikembangkan oleh
orang-orang. Analisis jaringan kerja bisa digunakan untuk menggambarkan interrelasi
diantara elemen-elemen proyek atau memperlihatkan seluruh aktivitas (kegiatan)
yang terdapat di dalam proyek serta logika ketergantungannya satu sama lain
(Dimyati dan Dimyati, 1999).
Sehubungan dengan pengelolaan proyek-proyek berskala besar yang
berhasil memerlukan suatu perencanaan, penjadwalan, dan pengoordinasian yang
hati–hati dari berbagai aktivitas yang saling berkaitan. Tahap perencanaan dan
penjadwalan adalah tahap yang paling menentukan berhasil atau tidaknya suatu
proyek karena penjadwalan adalah tahap ketergantungan antar aktivitas yang
membangun proyek secara keseluruhan. Penjadwalan sendiri harus disusun secara
sistematis dengan penggunaan sumber daya secara efektif dan efisien agar tujuan
proyek bisa tercapai secara optimal. Pemecahan masalah penjadwalan yang baik
dari suatu proyek merupakan salah satu faktor keberhasilan dalam pelaksanaan
proyek untuk selesai tepat pada waktunya yang merupakan tujuan pokok dan
CPM (Critical Path Method) adalah suatu alat atau metode yang penting
untuk perencanaan dan penjadwalan proyek-proyek yang kompleks. CPM ini
bertujuan untuk mengidentifikasi aktivitas kritis pada lintasan kritis dalam rangka
untuk mengurangi waktu panjang proyek.
Dalam prakteknya, CPM ini biasanya terlalu sulit untuk dipenuhi karena
banyak aktivitas yang akan dilaksanakan pada waktu pertama kali. Oleh karena
itu, selalu ada ketidakpastian tentang durasi waktu aktivitas di dalam perencanaan
jaringan kerja (network planning). Adapun masalah ketidakpastian tentang durasi
waktu aktivitas tersebut pada perkembangannya dibahas di dalam Fuzzy Critical
Path Method (Fuzzy CPM).
Sebuah cara alternatif dengan waktu aktivitas yang fuzzy dapat
menggunakan konsep fuzziness (kekaburan) dalam penyelesaiannya dan dapat
diwakili dengan bilangan fuzzy. Bilangan fuzzy digunakan untuk menggambarkan
durasi aktivitas yang fuzzy (tidak pasti), mencerminkan ketidakjelasan
(samar-samar), ketidaktepatan, kesubjektivitasan dalam perhitungannya.
Bilangan fuzzy diekspresikan sebagai sebuah himpunan fuzzy yang
ditentukan oleh sebuah interval fuzzy dalam bilangan riil Ʀ, dimana himpunan
fuzzy tersebut harus memenuhi beberapa kondisi persyaratan yaitu himpunan
fuzzy-nya konveks dan normal, fungsi keanggotaannya merupakan fungsi yang
kontinu, dan didefinisikan ke dalam bilangan riil Ʀ.
Adapun untuk ukuran fuzziness (kekaburan) dinyatakan sebagai sebuah
indeks kekaburan (index of fuzziness) yang didefinisikan secara terminologi
sebagai sebuah metric distance (Hamming distance atau Euclidean distance) A
untuk setiap himpunan crisp terdekat (crisp sets) C (Klir dan Folger, 1988).
Pada penelitian ini dihadirkan pendekatan lain untuk menganalisis lintasan
kritis di sebuah jaringan proyek dengan waktu aktivitas fuzzy, dimana waktu
durasi setiap aktivitas diwakili oleh bilangan fuzzy trapezoidal. Adapun dalam
menentukan suatu lintasan kritis dengan menggunakan Fuzzy Critical Path
time) dari setiap kemungkinan lintasan aktivitas fuzzy berdasarkan metric distance
rank dan kemudian membandingkannya dengan pendekatan metode centroid.
Perbandingan metode yang diusulkan dalam penelitian ini adalah lebih efektif
dalam menemukan lintasan kritis dan kemungkinan terselesaikannya proyek fuzzy
dalam waktu yang ditentukan hasilnya lebih akurat.
Dengan mempertimbangkan kelebihan di atas, metode ini diharapkan
dapat membantu para kontraktor maupun pemilik dalam mengoptimalkan waktu
dan biaya agar tidak menimbulkan kerugian untuk kedua belah pihak. Untuk
itulah penulis memilih judul, “Optimalisasi Penjadwalan Proyek Menggunakan Fuzzy Critical Path Method (Fuzzy CPM) Berdasarkan Metric Distance Rank pada Bilangan Fuzzy”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi rumusan masalah dalam
penelitian ini adalah :
Bagaimana menemukan semua kemungkinan lintasan aktivitas fuzzy dan
memeringkatkan total kelonggaran waktu fuzzy di setiap lintasan aktivitas fuzzy
tersebut berdasarkan metric distance rank pada Euclidean distance untuk mencari
lintasan kritis dalam suatu jaringan proyek.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis hanya membatasi :
1. Durasi waktu aktivitas fuzzy menggunakan jenis bilangan fuzzy trapezoidal.
2. Menemukan lintasan kritis pada aktivitas fuzzy hanya untuk
mengoptimalisasi waktu keseluruhan pengerjaan jaringan proyek, tidak
menghitung biaya.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menemukan suatu lintasan kritis dengan
cara memeringkatkan total kelonggaran waktu dari setiap aktivitas berdasarkan
metric distance rank menggunakan jenis bilangan fuzzy trapezoidal sebagai durasi
waktu aktivitas yang fuzzy. Dengan mengetahui suatu lintasan kritis, diharapkan
dapat mengoptimalkan waktu pengerjaan aktivitas-aktivitas kritis yang terdapat
dalam lintasan kritis.
1.5 Kontribusi Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Membantu penulis dalam menerapkan ilmu dan pengetahuan yang didapat
selama masa perkuliahan ke dalam dunia nyata.
2. Dengan menggunakan “Fuzzy Critical Path Method Berdasarkan Metric
Distance Rank pada Bilangan Fuzzy” diharapkan dapat diketahui suatu
aktivitas kritis fuzzy pada jaringan proyek dan mengoptimalkan pengerjaan
aktivitas kritis fuzzy tersebut agar dapat memperpendek durasi waktu
penyelesaian keseluruhan proyek.
3. Membantu para kontraktor maupun pemilik dalam mengoptimalkan waktu
agar tidak menimbulkan kerugian untuk kedua belah pihak.
4. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk
pembaca, terlebih lagi bagi mahasiswa yang akan melakukan penelitian
serupa.
1.6 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur, yaitu dengan melakukan penelitian literatur
dan mengumpulkan data-data dari referensi buku dan jurnal-jurnal yang diperoleh
pembimbing untuk memperoleh bahan-bahan yang berkaitan dengan
permasalahan yang dihadapi. Adapun langkah-langkah yang penulis lakukan
adalah sebagai berikut :
Langkah 1 : Menunjukkan gambaran dari suatu jaringan proyek dengan
menggunakan data numerik.
Langkah 2 : Menghitung ���� dan ���� untuk setiap aktivitas fuzzy, dengan node
awal ���� = (0 0 0), untuk i = A.
Langkah 3 : Menghitung ���� dan ���� untuk setiap aktivitas fuzzy.
Langkah 4 : Menghitung ��� untuk setiap aktivitas (i, j).
Langkah 5 : Menemukan semua kemungkinan lintasan dan menghitung total
kelonggaran waktu fuzzy dari setiap lintasan.
Langkah 6 : Memeringkatkan total kelonggaran waktu fuzzy dari setiap lintasan
menggunakan metric distance rank.
Langkah 7 : Menemukan lintasan aktivitas fuzzy yang memiliki peringkat
paling minimum. Selanjutnya lintasan yang memiliki peringkat
paling minimum tersebut dikatakan sebagai suatu lintasan kritis.
Langkah 8 : Menarik kesimpulan.
dimana :
Ẽ�� : waktu paling cepat dimulainya aktivitas fuzzy.
Ẽ��∶waktu paling cepat diselesaikannya aktivitas fuzzy.
���� ∶ waktu paling lama diselesaikannya aktivitas fuzzy.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Penjadwalan Proyek
Penjadwalan proyek merupakan salah satu elemen hasil perencanaan. Penjadwalan proyek adalah kegiatan menetapkan jangka waktu kegiatan proyek yang harus diselesaikan, bahan baku, tenaga kerja serta waktu yang dibutuhkan oleh setiap aktivitas. Penjadwalan atau scheduling adalah pengalokasian waktu yang tersedia untuk melaksanakan masing–masing aktivitas dalam rangka menyelesaikan suatu proyek hingga tercapai hasil optimal dengan mempertimbangkan keterbatasan yang ada.
Adapun suatu penjadwalan diperlukan untuk menunjukkan hubungan tiap aktivitas lainnya dan terhadap keseluruhan proyek, mengidentifikasikan hubungan yang harus didahulukan diantara aktivitas, menunjukkan perkiraan biaya dan waktu yang realistis untuk tiap aktivitas, dan membantu penggunaan tenaga kerja, uang dan sumber daya lainnya dengan cara yang optimal pada suatu proyek.
Soeharto (2005) mengemukakan bahwa jaringan kerja merupakan metode yang dianggap mampu menyediakan teknik dasar dalam menentukan urutan dan kurun waktu aktivitas unsur proyek, dan pada giliran selanjutnya dapat dipakai memperkirakan waktu penyelesaian proyek secara keseluruhan. Diantara berbagai versi analisis jaringan kerja yang amat luas pemakaiannya adalah Metode Lintasan Kritis (Critical Path Method – CPM), Teknik Evaluasi dan Review Proyek (Project Evaluation and Review Technique – PERT), dan Metode Diagram Preseden (Preceden Diagram Method - PDM).
2.2 CPM (Critical Path Method)
perangkat yang dikembangkan oleh J.E. Kelly dari Remington Rand dan M.R. Walker dari duPont untuk membantu pembangunan dan pemeliharaan pabrik kimia di duPont (Heizer dan Render, 2009).
CPM merupakan metode yang menggunakan satu angka estimasi durasi kegiatan tertentu (deterministik) atau perkiraan waktu (durasi) tunggal untuk setiap aktivitas (Single Duration Estimate). Metode CPM atau dikenal juga dengan metode lintasan kritis, banyak digunakan kalangan industri atau proyek engineering konstruksi. Cara ini digunakan apabila durasi aktivitas dapat diketahui dengan akurat dan tidak terlalu berfluktuasi.
CPM (Critical Path Method) adalah metode penjadwalan proyek yang diaplikasikan dalam bentuk diagram panah dimana dalam diagram ini status aktivitas ditentukan dan digambarkan dalam jaringan kerja (network). Urutan aktivitas yang digambarkan dalam diagram jaringan tersebut menggambarkan ketergantungan suatu aktivitas terhadap aktivitas yang lain, dimana setiap aktivitas memiliki kurun waktu pelaksanaan yang sudah ditentukan (deterministic) (Laksito, 2005).
Pada diagram CPM dapat dilihat secara spesifik bahwa hubungan logika ketergantungan yang dipakai pada semua item pekerjaan yaitu Finish to Start (FS). Begitu juga dengan waktu penyelesaian proyek yang dapat diperkirakan karena dihitung secara matematis. Selain itu pada metode CPM juga dapat dilihat adanya lintasan kritis pada suatu jadwal proyek sehingga apabila terjadi keterlambatan pada pekerjaan proyek, prioritas pekerjaan yang akan dievaluasi menjadi lebih mudah dilakukan. Item-item pekerjaan yang dilalui oleh lintasan kritis tersebut akan diawasi secara ketat agar tidak mengalami keterlambatan karena dapat menyebabkan keterlambatan proyek secara keseluruhan.
Selain kelebihan CPM di atas, ada juga kelemahan pada metode CPM. Hal ini terjadi jika terdapat item aktivitas yang tumpang tindih pada metode CPM suatu proyek dan terdapat item aktivitas yang berulang sehingga penggunaan dummy menjadi berlebihan. Begitu juga bila tedapat hubungan logika ketergantungan Start to Start yang menyebabkan suatu item pekerjaan dibuat dalam beberapa segmen karena dalam metode CPM hanya mengenal hubungan logika ketergantungan Finish to Start (FS) sehingga membuat CPM yang merupakan suatu alat penjadwalan proyek menjadi sulit untuk dimengerti oleh banyak orang.
pekerjaan yang mulai dikerjakan sebelum pekerjaan yang mendahuluinya selesai. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa CPM tidak dapat mempertahankan kontinuitas tingkat produktifitas aktivitas berulang sehingga terjadi inefisiensi penggunaan alokasi sumber daya akibat terdapatnya penumpukan pekerjaan pada suatu waktu.
2.2.1 Jaringan Kerja CPM (Critical Path Method)
Untuk meningkatkan kualitas perencanaan dan pengendalian dalam menghadapi jumlah aktivitas dan kompleksitas proyek yang cenderung bertambah, salah satu usahanya dengan menggunakan analisis jaringan kerja yang merupakan penyajian perencanaan dan pengendalian khususnya jadwal kegiatan proyek secara analitis dan sistematika. Jaringan kerja ini merupakan jaringan yang terdiri dari serangkaian kegiatan untuk menyelesaikan suatu proyek berdasarkan urutan– urutan dan ketergantungan aktivitas satu dengan aktivitas lainnya.
Untuk menyikapi jaringan proyek secara lengkap, dalam arti siap pakai untuk tugas–tugas perencanaan, menyusun jadwal pekerjaan dan tolak ukur pengendalian, dibutuhkan proses yang panjang dan bertingkat–tingkat. Hal ini diawali dengan teknik membuat jaringan kerja dan diakhiri dengan meningkatkan kualitasnya serta memasukkan faktor–faktor lain. Diantaranya yang terpenting adalah:
1. Model Kegiatan
Kegiatan-kegiatan yang merupakan komponen proyek dan hubungan antara satu dengan yang lainnya disajikan dengan menggunakan tanda-tanda, yaitu:
a. Kegiatan pada anak panah, atau Activity on Arrow (AOA). Kegiatan
digambarkan dengan anak panah yang menghubungkan dua lingkaran yang
mewakili dua peristiwa. Ekor anak panah adalah awal dan ujungnya adalah
akhir kegiatan.
Peristiwa terdahulu Peristiwa berikut nya
Kegiatan
Kurun waktu
Gambar 2.1. Kegiatan Activity on Arrow
b. Kegiatan ditulis dalam kotak atau lingkaran, yang disebut Activity on Node (AON). Anak panah menjelaskan hubungan ketergantungan diantara kegiatan-kegiatan.
Garis Penghubung
Gambar 2.2. Kegiatan Activity on Node
2. Notasi yang digunakan
Untuk memudahkan perhitungan penentuan waktu digunakan notasi–notasi sebagai berikut:
TE = earliest event occurence time, yaitu saat paling cepat terjadinya event.
TL = latest event occurence time, yaitu saat paling lama terjadinya event..
ES = earliest activity start time, yaitu saat paling cepat dimulainya aktivitas.
EF = earliest activity finish time, yaitu saat paling cepat diselesaikannya aktivitas.
LS = latest activity start time, yaitu saat paling lama dimulainya aktivitas.
LF = latest activity finish time, yaitu saat paling lama diselesaikannya aktivitas.
t = activity duration time, yaitu waktu yang diperlukan untuk suatu aktivitas (biasa dinyatakan dalam hari).
S = total float / total slack.
3. Asumsi dan cara perhitungan
Dalam melakukan perhitungan penentuan waktu digunakan tiga buah asumsi dasar, yaitu:
a. Proyek hanya memiliki satu initial event dan satu terminal event.
b. Saat paling cepat terjadinya initial event adalah hari ke–nol.
c. Saat paling lama terjadinya terminal event adalah TL = TE untuk event ini.
Adapun cara perhitungan yang harus dilakukan terdiri atas dua cara, yaitu cara perhitungan maju (forward computation) dan perhitungan mundur (backward computation). Pada perhitungan maju, perhitungan bergerak mulai dari initial event menuju ke terminal event. Maksudnya ialah menghitung saat paling cepat terjadinya events dan saat paling cepat dimulainya serta diselesaikannya aktivitas– aktivitas (TE, ES dan EF).
Pada perhitungan mundur, perhitungan bergerak dari terminal event menuju ke initial event. Tujuannya ialah untuk menghitung saat paling lama terjadinya events dan saat paling lama dimulainya dan diselesaikannya aktivitas– aktivitas (TL, LS dan LF). Dengan selesainya kedua perhitungan ini, barulah float dapat dihitung.
2.2.2 Perhitungan Maju
Ada tiga langkah yang dilakukan pada perhitungan maju, yaitu:
1.Saat paling cepat terjadinya initial event ditentukan pada hari ke–nol sehingga
untuk initial event berlaku TE = 0. (Asumsi ini tidak benar untuk proyek yang
berhubungan dengan proyek–proyek lain.)
2.Jika initial event terjadi pada hari yang ke-nol, maka:
��(�,�) = ��(�) = 0
��(�,�) = ��(�,�) + �(�,�) (2. 1)
��(�,�) = ��(�) + �(�,�) (2. 2)
3. Event yang menggabungkan beberapa aktivitas (merge event).
��(�1,�)
��(�2,�)
���(�3,�)
Gambar 2.3. Bentuk merge event yang menggabungkan beberapa aktivitas
Sebuah event hanya dapat terjadi jika aktivitas–aktivitas yang mendahuluinya telah diselesaikan. Maka saat paling cepat terjadinya sebuah event sama dengan nilai terbesar dari saat paling cepat untuk menyelesaikan aktivitas–aktivitas yang berakhir pada event tersebut.
��(�) = max���(��,�),��(��,�), … ,��(��,�)� (2. 3)
2.2.3 Perhitungan Mundur
Seperti halnya pada perhitungan maju, pada perhitungan mundur juga terdapat tiga langkah yaitu:
1. Pada terminal event berlaku TL = TE.
2. Saat paling lama untuk memulai suatu aktivitas sama dengan saat paling lama
untuk menyelesaikan aktivitas itu dikurangi dengan duration aktivitas
tersebut.
��= �� − � (2. 4)
��(�,�) =����������= �� ; maka
��(�,�) =��( �)− �(�,�) (2. 5)
3. Event yang “mengeluarkan” beberapa aktivitas (burst event).
��(�,�1)
��(�,�2)
��(�,�3)
Gambar 2.4. Bentuk burst event yang mengeluarkan beberapa aktivitas
Setiap aktivitas hanya dapat dimulai apabila event yang mendahuluinya telah terjadi. Oleh karena itu, saat paling lama terjadinya sebuah event sama dengan nilai terkecil dari saat–saat paling lama untuk memulai aktivitas–aktivitas yang berpangkal pada event tersebut.
��( �) = min���(�,�1),��(�,�2), … ,��(�,��)� (2. 6)
2.2.4 Perhitungan Kelonggaran Waktu (F loat atau Slack)
Setelah perhitungan maju dan perhitungan mundur selesai dilakukan, maka berikutnya harus dilakukan perhitungan kelonggaran waktu (float / slack) dari aktivitas (i, j) yang terdiri atas total float dan free float.
Total float adalah jumlah waktu dimana waktu penyelesaian suatu aktivitas dapat diundur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari penyelesaian proyek secara keseluruhan. Karena itu, total float ini dihitung dengan cara mencari selisih antara saat paling lama dimulainya aktivitas dengan saat paling cepat dimulainya aktivitas (LS – ES), atau bisa juga dengan mencari selisih antara saat paling lama diselesaikannya aktivitas dengan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (LF-EF), dalam hal ini cukup dipilih salah satu saja.
Jika akan menggunakan persamaan �=�� − �� , maka total float aktivitas (�,�) adalah :
�(�,�) = ��(�,�)− ��(�,�) (2. 7)
Dari perhitungan mundur diketahui bahwa ��(�,�) = ��( �)− �(�,�).
Sedangkan dari perhitungan maju ��(�,�) = ��( �). Maka:
�(�,�) = ��( �)− �(�,�) − ��( �) (2. 8)
Jika akan menggunakan persamaan �=�� − ��, maka total float aktivitas (�,�) adalah:
�(�,�) = ��(�,�)− ��(�,�) (2. 9)
Dari perhitungan maju diketahui bahwa ��(�,�) = ��( �)+ �(�,�).
Sedangkan dari perhitungan mundur ��(�,�) = ��( �). Maka:
�(�,�) = ��( �)− ��( �)− �(�,�) (2. 10)
2.3 Teori Himpunan F uzzy
Pada awal tahun 1965, Lotfi Asker Zadeh, seorang professor di Universitas California di Barkley memberikan sumbangan yang berharga untuk teori pembangunan sistem yaitu teori himpunan fuzzy (samar). Teori ini dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang, antara lain: algoritma kontrol, diagnosa medis, sistem pendukung keputusan, ekonomi, teknik, psikologi, lingkungan, keamanan dan ilmu pengetahuan (Setiadji, 2009).
Klir dan Folger (1988) mengemukakan bahwa himpunan crisp ditegaskan dengan membagi individu ke dalam dua bagian kelompok di dalam semesta pembicaraannya, yaitu: anggota (yang termasuk di dalam himpunan) dan bukan anggota (yang tidak termasuk di dalam himpunan). Kejelasan dan ketidaksamaran yang ada diantara anggota dan bukan anggota dari suatu kelas atau kategori dihadirkan dalam sebuah himpunan crisp.
Lee (2005) mengemukakan bahwa konsep himpunan fuzzy merupakan pengembangan dari sebuah himpunan crisp. Sebuah himpunan semesta � didefinisikan ke dalam suatu semesta pembicaraan dan dimasukkan ke dalam semua kemungkinan elemen–elemen yang berhubungan dengan persoalan yang diberikan. Jika didefinisikan sebuah himpunan � dalam suatu himpunan semesta
�, maka � merupakan himpunan bagian dari �.
� ⊆ �
Dalam kasus ini, dikatakan bahwa himpunan � tersebut termasuk ke dalam himpunan semesta �. Jika �tidak termasuk ke dalam �, hubungan ini dinotasikan sebagai berikut:
� ⊈ �
Definisi (Himpunan Fuzzy) Andaikan � adalah himpunan semesta dimana
elemennya dinotasikan sebagai �. Maka himpunan fuzzy � dinotasikan �̃
dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut.
�̃= {(�,���(�))|� ∈ �} (2. 11)
µA�∶ � → [0 , 1]. (2. 12)
Nilai fungsi µA� (�) menyatakan derajat keanggotaan unsur � ∊ � dalam himpunan fuzzy A�. Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, dan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota himpunan fuzzy tersebut (Susilo, 2006).
��(�) =�
1, � ∈ �
0, � ∉ �
(2. 13)
2.4 Bilangan Fuzzy
Definisi (Bilangan Fuzzy) Susilo (2006) Secara formal suatu bilangan fuzzy �̃
didefinisikan sebagai himpunan fuzzy dalam semesta himpunan semua bilangan
riil Ʀ yang memenuhi empat sifat sebagai berikut:
1. �� haruslah himpunan fuzzy yang normal
2. ������������������������������
3. �������������� − ��������ℎ�������������������Ʀ
4. �̃�����ℎ�������
Definisi (Himpunan Fuzzy Normal)
Bector dan Chandra (2005) Andaikan �̃ adalah suatu himpunan fuzzy dalam X.
Tinggi ℎ(�̃) dari suatu himpunan fuzzy �̃ didefinisikan sebagai berikut :
ℎ��̃�= sup�∈� ���(�) (2. 14)
Jika ℎ��̃�= 1,����ℎ�������������̃ dikatakan sebagai himpunan fuzzy
yang normal, akan tetapi dikatakan subnormal apabila 0 <ℎ��̃�< 1, dan
himpunan fuzzy subnormal dapat dijadikan himpunan fuzzy normal dengan cara mendefinisikan ulang fungsi keanggotaan ���(�)/ ℎ��̃� ,� ∈ �.
Definisi (Pendukung Himpunan Fuzzy). Andaikan �̃ adalah sebuah himpunan
fuzzy dalam �. Maka Pendukung �̃, dinotasikan oleh �(�̃), adalah himpunan
crisp yang memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai derajat keanggotaan tak nol dalam �̃, yaitu :
Definisi (� − ���). Andaikan �̃ adalah sebuah himpunan fuzzy dalam � dan
� ∈(0,1].
� − �������ℎ�������������̃�����ℎℎ�������������̃������ ∶
�̃� = { � ∈ � ∶ ���(�) ≥ �}. (2. 16)
Definisi (Himpunan Fuzzy Konveks). Suatu himpunan fuzzy
�̃�����Ʀ� dikatakan sebuah himpunan fuzzy yang konveks apabila � − ���
�̃� nya adalah himpunan crisp yang konveks untuk semua �∈(0, 1].
Definisi (Himpunan Fuzzy Terbatas). Suatu himpunan fuzzy �̃�����Ʀ�
dikatakan himpunan fuzzy yang terbatas apabila � − ��� �̃�−nya adalah
himpunan crisp yang terbatas untuk semua �∈(0, 1].
Bector dan Chandra (2005) mengungkapkan bahwa suatu himpunan fuzzy
�̃ dalam Ʀ� yang konveks dan yang terbatas disebut juga sebagai himpunan fuzzy
konveks dan terbatas. Teorema berikut memberikan sebuah definisi yang ekuivalen dengan himpunan fuzzy konveks.
Teorema 2.1 Suatu himpunan fuzzy �̃�����Ʀ� adalah himpunan fuzzy konveks
jika dan hanya jika untuk semua �1,�2 ∈ Ʀ���� 0≤ � ≤1,
µ��(��1+ (1− �)�2 ) ≥min(µ��(�1),µ��(�2)) (2. 17)
Bukti. Andaikan �̃ adalah himpunan fuzzy konveks berdasarkan definisi.
������ = µ��(�1)≤ µ��(�2). �����1 ∈ �̃� ,�2 ∈ �̃�, ��1+ (1− �)�2 ∈ �̃� ���ℎ������������̃�. Oleh karena itu,
µ��(��1+ (1− �)�2 ) ≥ �= min(µ��(�1),µ��(�2)).
Sebaliknya, jika derajat keanggotaan µ�� dari himpunan fuzzy �̃ dipenuhi dalam pertidaksamaan Teorema 1, dengan mengambil � = µ��(�1), �̃� dapat dipandang sebagai himpunan di semua titik �2 yang mana µ��(�2)≥ �=µ��(�1).
Oleh karena untuk semua �1,�2 ∈ �̃� ,
µ��(��1+ (1− �)�2 ) ≥min(µ��(�1),µ��(�2)) = µ��(�1) = �,
yang menyatakan bahwa ��1+ (1− �)�2 ∈ �̃�. Oleh karenanya �̃� merupakan himpunan konveks untuk setiap � ∈ (0,1].
normal. Derajat keanggotaannya dipetakan dari bilangan riil Ʀ ke interval tertutup
[0,1], yang mana digambarkan sebagai berikut:
(2. 18)
dimana ��� ∶ [�,�] → [0, 1] ������ ∶ [�,�] → [0, 1] .
2.5 Derajat Keanggotaan untuk Durasi Aktivitas (Kegiatan)
Banyak derajat keanggotaan dapat didefinisikan berdasarkan definisi di atas. Dua jenis bilangan fuzzy yang paling populer adalah bilangan fuzzy trapezoidal dan bilangan fuzzy triangular.
Definisi (Bilangan Fuzzy Trapezoidal)
Bector dan Chandra (2005) Suatu bilangan fuzzy � dikatakan bilangan fuzzy
trapezoidal jika derajat keanggotaan �� diberikan sebagai berikut :
(2. 19)
Bilangan fuzzy trapezoidal � dinotasikan sebagai quadruplet
Gambar 2.5. Bilangan Fuzzy Trapezoidal �= ���,�,�,���
Andaikan � = ���,�,�,��� dan �= ���,�,�,��� adalah dua buah bilangan fuzzy trapezoidal, maka operasi aritmetikanya dapat disajikan sebagai berikut :
Operasi Penjumlahan
A (+) B = (�� + ��, �+ �, � + �, �� + ��)
Operasi Pengurangan
A (−) B = (�� −��, �−�, �−�, ��−��)
Demeulemeester dan Herroelen (2002) mengemukakan bahwa bilangan fuzzy triangular merupakan suatu bilangan fuzzy trapezoidal yang khusus (spesial) dengan syarat �= � dan biasanya dinotasikan � = ���,�,�,��� atau � = (��,�,��). Kelebihan dengan menggunakan bilangan fuzzy trapezoidal ataupun bilangan fuzzy triangular, adalah operasi aritmetikanya yang lebih sederhana. Dalam bilangan fuzzy, operator yang digunakan sangat berbeda seperti pada kasus bilangan crisp klasik.
Definisi (Bilangan Fuzzy Triangular)
Bector dan Chandra (2005) Suatu bilangan fuzzy � dikatakan bilangan fuzzy
(2. 20)
Bilangan Fuzzy Triangular � yang dinotasikan oleh triplet �= (��,�,��)
memiliki bentuk segitiga seperti berikut :
Gambar 2.6. Bilangan Fuzzy Triangular � = (��,�,��)
Andaikan �= (��,�,��) ����= (��,�,��) adalah dua buah bilangan fuzzy triangular, maka operasi aritmetika disajikan sebagai berikut:
Operasi Penjumlahan
A (+) B = (��+ ��, a + b, ��+ ��)
Operasi Pengurangan
2.6 Peringkat Bilangan Fuzzy
Dalam banyak aplikasi, peringkat bilangan fuzzy adalah komponen penting dari proses pembuatan keputusan. Dalam prakteknya, banyak permasalahan dunia nyata yang membutuhkan penanganan dan pengevaluasian data yang fuzzy untuk membuat suatu keputusan. Untuk mengevaluasi dan membandingkan pilihan alternatif–alternatif yang berbeda, maka perlu memeringkatkan bilangan fuzzy. Dalam penambahannya, konsep optimal atau pilihan terbaik secara lengkap diselesaikan berdasarkan pada pemeringkatan atau perbandingan.
Susilo (2006) mengungkapkan bahwa dalam banyak kejadian, hasil pengukuran terhadap data yang dianalisis seringkali disajikan dalam bentuk bilangan–bilangan fuzzy. Kalau hasil pengukuran tersebut terdiri dari beberapa alternatif yang harus dipilih untuk mengambil suatu keputusan, maka diperlukan cara untuk membandingkan alternatif-alternatif itu. Salah satu cara yang dapat dipakai adalah dengan menyusun peringkat bilangan–bilangan fuzzy yang dibandingkan itu dengan aturan tertentu.
Bilangan–bilangan fuzzy diketahui hanya dapat diurutkan secara parsial sehingga bilangan fuzzy tersebut tidak dapat dibandingkan. Jadi untuk membandingkan bilangan–bilangan fuzzy, terlebih dahulu harus ditransformasikan menjadi bilangan riil yang tegas. Oleh karenanya proses penyusunan peringkat bilangan fuzzy biasanya diawali dengan proses penegasan (defuzzification) yang mengubah bilangan fuzzy menjadi bilangan tegas yang kemudian diurutkan dengan aturan tertentu. Karena ada berbagai metode penegasan yang dapat dipakai, maka pemeringkatan bilangan fuzzy juga sangat bervariasi. Metode penegasan yang berbeda akan menghasilkan pemeringkatan yang berbeda pula untuk bilangan–bilangan fuzzy yang sama.
Dalam literatur terdapat banyak cara yang diusulkan untuk membandingkan bilangan–bilangan fuzzy, masing – masing dengan kelebihan dan kekurangannya. Terdapat 3 cara yang umum digunakan yaitu dengan potongan- �, dengan jarak Hamming dan dengan nilai integral (Susilo, 2006).
2.7 Ukuran Fuzziness Menggunakan Metric Distance
distance) A untuk setiap himpunan crisp terdekat (crisp sets) C (Klir dan Folger, 1988).
��(�) = 0 ������(�)≤ 12 (2. 21)
��(�) = 1 ������(�) > 12 (2. 22)
Gambar 2.7. Himpunan Fuzzy �
Gambar 2.8. Himpunan Fuzzy �′
Gambar 2.9. Himpunan Fuzzy �dan hubungannya pada Himpunan Crisp C
Lee (2005) mengemukakan bahwa jika himpunan crisp � didefinisikan dengan selayaknya, maka suatu ukuran fuzziness adalah sebuah distance (jarak) antara himpunan fuzzy � dan himpunan crisp �. Untuk ukuran distance, bisa
menggunakan Hamming distance atau Euclidean distance.
2.7.1 Hamming Distance
Andaikan �̃����� merupakan dua buah bilangan fuzzy, maka dengan menggunakan Hammming distance yang disimbolkan dengan � (�̃,��), dapat didefinisikan sebagai berikut:
����, ��� =
∑
�=1� ,�|
µ
��(
�
�)
−
µ
��(
�
�)|
� ∈� (2. 23)
Hamming distance secara matematis memuat sebagai berikut: 1. � (�,�) ≥0.
2. � (�,�) = � (�,�)(komutatif)
3. � (�,�) ≤ � (�,�) + � (�,�) (transitif)
4. � (�,�) = 0.
Definisi (Hamming distance) Lee (2005) Ukuran fuzziness f(A) dinyatakan sebagai berikut :
�
(
�
) =
∑
�∈�|
µ
�(
�
)
−
µ
�(
�
)|
(2. 24)2.7.2 Euclidean Distance
Definisi (Euclidean distance) Lee (2005) Jika himpunan crisp C didefinisikan
sedemikian hingga, maka ukuran fuzziness adalah distance (jarak) diantara
himpunan fuzzy A dan himpunan crisp C. Ukuran fuzziness �(�) adalah
2.8 Metric Distance Rank
Chen dan Cheng (2005) mengusulkan sebuah metode metric distance untuk memeringkatkan bilangan fuzzy.
Andaikan �� dan �� merupakan dua buah bilangan fuzzy yang didefinisikan sebagai berikut:
(2. 26 )
dimana ��� dan ��� adalah nilai mean dari �̃ dan ��. Metric distance diantara �̃ dan �� dapat dihitung sebagai berikut:
(2. 27 )
dimana ����, ����, ����, dan ���� adalah fungsi invers dari ����, ����, ����, dan ��� secara berturut-turut.
Jika bilangan fuzzy ��= 0, maka metric distance diantara �̃ dan 0 dihitung sebagai berikut:
(2. 28 )
Nilai yang lebih besar dari ���̃, 0� merupakan peringkat yang lebih baik dari �̃.
(2. 29 )
dimana µ dan � dihitung sebagai berikut:
�
=
2 (�4−�1)+�3−�24 (2. 30 )
µ
=
�1+�2+�3+�44 (2. 31)
Jika �2 = �3, maka �̃ menjadi bilangan fuzzy triangular, dimana �̃ = (�1,�2,�4)
dan µ dan σ dapat dihitung sebagai berikut:
�
=
�4−�12 (2. 32 )
µ
=
�1+2�2+�44 (2. 33 )
Fungsi invers ���� ������� �������� ������� secara berturut-turut, ditunjukkan sebagai berikut:
����(�) = (µ − �) +� ×� (2. 34 )
����(�) =(µ+ �)− � ×� (2. 35 )
2.9 Formula De-fuzzifikasi dengan Menggunakan Metode Centroid Definisi (Derajat Keanggotaan Bilangan Fuzzy Triangular)
disebut sebagai sebuah bilangan fuzzy triangular �̃= (�,�,�).
Teorema 2.2 Andaikan �̃= (�,�,�) merupakan bilangan fuzzy triangular, maka:
Centroid����=�+�+�
�
(2. 36 )
Definisi (Derajat Keanggotaan Bilangan Fuzzy Trapezoidal)
Suatu bilangan fuzzy dengan derajat keanggotaan berbentuk:
disebut sebagai sebuah bilangan fuzzy trapezoidal �̃= (�,�,�,�).
Teorema 2.3 Andaikan �̃= (�,�,�,�) adalah sebuah bilangan fuzzy trapezoidal, maka:
Centroid����= ��
�+��+���−���+��+���
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Fuzzy CPM Berdasarkan Metric Distance Rank pada Bilangan Fuzzy
Operasi waktu untuk setiap aktivitas dalam jaringan proyek fuzzy dihadirkan
dengan bilangan fuzzy trapezoidal positif. Fuzzy CPM pada dasarnya sama dengan
CPM biasa dalam hal Activity On Arrow (AOA) diagram dan dalam
perhitungannya, yang membedakannya adalah karakteristik durasi waktu dari
setiap aktivitas. Durasi dari aktivitas i ke aktivitas j dinyatakan dalam tiga jenis
nilai karakteristik yang berbeda, yaitu: nilai batas bawah, nilai yang paling
mungkin, dan nilai batas atas. Adapun nilai batas bawah menyatakan nilai durasi
waktu tercepat yang tidak mungkin untuk dapat dilakukan dalam penyelesaian
suatu aktivitas, nilai paling mungkin adalah suatu nilai durasi waktu penyelesaian
proyek yang paling mungkin terjadi, sedangkan nilai batas atas adalah suatu nilai
durasi waktu terlama yang tidak mungkin untuk ditempuh dalam penyelesaian
suatu aktivitas. Dalam Fuzzy CPM mengasumsikan bahwa durasi waktu untuk
setiap aktivitasnya dinyatakan dalam bilangan fuzzy trapezoidal.
Sama halnya dengan perhitungan CPM biasa, perhitungan maju fuzzy
earliest-start times (saat paling cepat dimulainya aktivitas fuzzy) dan fuzzy
earliest-finish times (saat paling cepat diselesaikannya aktivitas fuzzy) dapat
dihitung sebagai berikut:
���� = max
�∈� (�) { ���� ⊕ �̃�} = ���(�) (3. 1)
��(�,�)
� = ��
(��,�)⊕ �̃(�,�) (3. 2)
= ���(�) ⊕ �̃(�,�) (3. 3)
dimana ���� adalah fuzzy earliest-start time (saat paling cepat dimulainya aktivitas
earliest-finish times (saat paling cepat diselesaikannya aktivitas fuzzy) dengan ���� sama
dengan waktu terselesaikannya keseluruhan proyek fuzzy yang dapat juga
disimbolkan dengan �� pada node akhir �= �,�(�) adalah himpunan predecessors untuk aktivitas i, dan �̃� adalah waktu operasi untuk aktivitas i (Int. Journal of
Math. Analysis, 2010).
Perhitungan mundur dilakukan untuk menghitung fuzzy latest - start times
(saat paling lama dimulainya aktivitas fuzzy) dan fuzzy latest - finish times (saat
paling lama diselesaikannya aktivitas fuzzy).
���� = min�∈� (�) {������̃�} = ������������= ���. (3. 4)
���� = �� � ���̃
� (3. 5)
���(�,�) = ���(�)��̃(�,�) (3. 6)
dimana ���� adalah fuzzy latest–finish time (saat paling lama diselesaikannya
aktivitas fuzzy) dengan ���� = �� pada node akhir �= �,���� adalah fuzzy latest - start
times (saat paling lama dimulainya aktivitas fuzzy) dan �(�) adalah himpunan
successors untuk aktivitas I (Int. Journal of Math. Analysis, 2010).
Untuk setiap ����,����,����,������� ditentukan untuk aktivitas ke–�, maka fuzzy float time (kelonggaran waktu fuzzy) dapat dihitung sebagai berikut:
��� = ���� ����� (3. 7)
atau
��� = �� � ����
�� (3. 8)
Menurut Int. Journal of Math. Analysis (2010) perhitungan mundur
diketahui bahwa ��(��,�) = ���(�)��̃(�,�). Sedangkan dari perhitungan maju ���� = ���(�), maka:
Total kelonggaran waktu aktivitas fuzzy dari semua kemungkinan lintasan
adalah:
��(�
�) = ∑1≤�<�≤� �(��,�) �,� ∈ ��
(3. 10)
dengan �� merupakan banyaknya lintasan ke node k (Information and
Management Sciences, 2004).
Dalam Crisp CPM (CPM biasa), aktivitas �dikatakan suatu aktivitas
kritis jika float time–nya sama dengan nol. Pada tulisan ini, dijelaskan bahwa
naiknya aktivitas kritis berbanding lurus dengan menurunnya fuzzy float time
( kelonggaran waktu fuzzy).
3.2 Algoritma Optimalisasi Penjadwalan Proyek Menggunakan Fuzzy Critical Path Method (Fuzzy CPM) Berdasarkan Metric Distance Rank pada Bilangan Fuzzy
Berdasarkan uraian pada Sub-bab 3.1 maka dapat disimpulkan algoritma
penyelesaian Fuzzy Critical Path Method (Fuzzy CPM) berdasarkan Metric
Distance Rank pada bilangan fuzzy adalah sebagai berikut:
1. Menunjukkan gambaran dari suatu jaringan proyek dengan durasi waktu
aktivitasnya yang fuzzy menggunakan jenis bilangan fuzzy trapezoidal.
2. Menghitung ���� dan ���� untuk setiap aktivitas fuzzy, dengan node awal
���� = (0 0 0 0), untuk i = A.
3. Menghitung ���� dan ���� untuk setiap aktivitas fuzzy.
4. Menghitung ��� untuk setiap aktivitas (i, j).
5. Menemukan semua kemungkinan lintasan dan menghitung total
kelonggaran waktu fuzzy dari setiap lintasan.
6. Memeringkatkan total kelonggaran waktu fuzzy dari setiap lintasan
7. Menemukan lintasan aktivitas fuzzy yang memiliki peringkat paling
minimum. Selanjutnya lintasan yang memiliki peringkat paling minimum
tersebut dikatakan sebagai suatu lintasan kritis.
8. Menarik kesimpulan.
3.3 Contoh Numerik
Berikut disajikan sebuah contoh numerik yang diambil dari Int. J. Contemp. Math.
Sciences, Vol. 5, 2010, no. 20, 953 – 962.
Langkah 1 : Sebuah jaringan proyek dengan durasi waktu aktivitas
menggunakan jenis bilangan fuzzy trapezoidal dihadirkan sebagai
berikut:
D
A E
B F I
C G H
J
Gambar 3.1. Gambaran dari Suatu Jaringan Proyek Fuzzy
1
3
5
6 4
Waktu aktivitas fuzzy yang disajikan dalam bentuk bilangan fuzzy
trapezoidal dengan satuan waktu yang digunakan adalah bulan, dapat dilihat
dalam tabel berikut:
Tabel 3.1. Keterangan Waktu Setiap Aktivitas Fuzzy
Kode ��������� ����� ���������
����� (�����)
Grafik Derajat Keanggotaan
B 1−2 ( 2, 2, 3, 4)
A 1−3 ( 2, 3, 3, 6)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 1 2 3 4 5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
C 1−5 ( 2, 3, 4, 5)
F 2−4 ( 2, 2, 4, 5)
G 2−5 ( 2, 4, 5, 8)
E 3−4 ( 1, 1, 2, 2)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 1 2 3 4 5 6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 1 2 3 4 5 6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 2 4 6 8 10
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
D 3−6 ( 7, 8, 11, 15)
H 4−5 ( 2, 3, 3, 5)
I 4−6 ( 3, 3, 4, 6)
J 5−6 ( 1, 1, 1, 2)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 5 10 15 20
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 2 4 6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 2 4 6 8
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Langkah 2 : Menghitung ���� dan ���� untuk setiap aktivitas fuzzy, dengan node awal ���� = (0 0 0 0), untuk i = A. Dengan rumusan sebagai berikut :
���� = max
�∈� (�) { ���
� ⊕ �̃
�} = ���(�)
��(�,�)
� = ��
(��,�)⊕ �̃(�,�)
= ���(�) ⊕ �̃(�,�)
Rumusan di atas untuk menghitung saat tercepat dimulainya aktivitas (����) dan
saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) dengan menggunakan perhitungan
maju (forward computation).
1. PERHITUNGAN MAJU Untuk aktivitas � − �
Waktu pelaksanaan aktivitas fuzzy 1−2 adalah (2, 2, 3, 4) ℎ���, sehingga saat paling cepat diselesaikannya aktivitas 1−2 adalah (2,2, 3, 4) ℎ��� atau ��(�1−2) =
(2,2, 3, 4). Karena aktivitas 1 adalah satu–satunya aktivitas yang memasuki node
2, maka saat paling cepat terjadinya event node 2 juga (2,2, 3, 4) atau ���(2) = (2,2, 3, 4).
���� = max�∈� (�) { ���� ⊕ �̃�} = ���(�)
��1� = max �∈� (�) { ��2
� ⊕ �̃ 2}
��1� = max�∈� (�) { (0, 0, 0, 0) ⊕ (2,2, 3, 4)}
��1� = max�∈� (�) { (2,2, 3, 4)}
Sedangkan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) untuk aktivitas
1 – 2 dihadirkan sebagai berikut:
��(�,�)
� = ��
(��,�)⊕ �̃(�,�)
= ���(�) ⊕ �̃(�,�)
��(1−2)
� = ��
(�1−2) ⊕ �̃(1−2)
=���(1) ⊕ �̃(1−2)
= (0, 0, 0, 0) ⊕ (2,2, 3, 4)
= (2,2, 3, 4).
Untuk aktivitas � − �
Sama halnya seperti aktivitas 1−2, waktu pelaksanaan aktivitas fuzzy 1−3
adalah (2, 3,3, 6) ℎ���, sehingga saat paling cepat diselesaikannya aktivitas 1−3
adalah (2, 3,3, 6) ℎ��� atau ��(�1−3) = (2,3, 3, 6). Karena aktivitas 1 adalah satu – satunya aktivitas yang memasuki node 3, maka saat paling cepat terjadinya event
node 3 juga (2,3, 3, 6) atau ���(3) = (2, 3, 3, 6).
���� = max
�∈� (�) { ���
� ⊕ �̃
�} = ���(�)
��1� = max�∈� (�) { ��3� ⊕ �̃3}
��1� = max�∈� (�) { (0, 0, 0, 0) ⊕ (2, 3, 3, 6)}
��1� = max�∈� (�) { (2, 3, 3, 6)}
Sedangkan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) untuk aktivitas
1 – 3 dihadirkan sebagai berikut:
��(�,�)
� = ��
(��,�)⊕ �̃(�,�)
= ���(�) ⊕ �̃(�,�)
��(1−3)
� = ��
(�1−3) ⊕ �̃(1−3)
=���(1) ⊕ �̃(1−3)
= (0, 0, 0, 0) ⊕ (2, 3, 3, 6)
= (2, 3, 3, 6).
Untuk aktivitas � − �
Untuk mengisi node 5 harus berhati – hati karena node 5 merupakan suatu merge
event.
���� = max
�∈� (�) { ���
� ⊕ �̃
�} = ���(�)
��1� = max�∈� (�) { ��5� ⊕ �̃5}
��1� = max�∈� (�)����1−2� ⊕ �̃2−5�; ���1−5� ⊕ �̃1−5�; ���3−4� ⊕ �̃4−5��
��1� = max�∈� (�)��(2, 2, 3, 4) ⊕ (2, 4, 5, 8)�; �(0, 0, 0, 0)
⊕ (2, 3, 4, 5)�; �(4, 4, 7, 9) ⊕ (2, 3, 3, 5)��
��1� = max�∈� (�) { (4, 6, 8, 12); (2, 3, 4, 5); (6, 7, 10, 14)}
��1� = max
��1� = max�∈� (�){(4, 6, 8, 12); (6, 7, 10, 14)}
���(5) = (6, 7, 10, 14).
Sedangkan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) untuk aktivitas
1 – 5 dihadirkan sebagai berikut:
��(�,�)
� = ��
(��,�)⊕ �̃(�,�)
= ���(�) ⊕ �̃(�,�)
��(1−5)
� = ��
(�1−5) ⊕ �̃(1−5)
=���(1) ⊕ �̃(1−5)
= (0, 0, 0, 0) ⊕ (2, 3, 4, 5)
= (2, 3, 4, 5).
Untuk aktivitas � − �
���� = max
�∈� (�) { ���
� ⊕ �̃
�} = ���(�)
��2� = max�∈� (�) { ��4� ⊕ �̃4}
��2� = max�∈� (�)����1−2� ⊕ �̃2−4�; ���1−3� ⊕ �̃3−4��
��2� = max�∈� (�)��(2, 2, 3, 4) ⊕ (2, 2, 4, 5)�; �(2, 3, 3, 6) ⊕ (1, 1, 2, 2)��
��2� = max�∈� (�) { (4, 4, 7, 9); (3, 4, 5, 8)}
Sedangkan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) untuk aktivitas
2 – 4 dihadirkan sebagai berikut:
��(�,�)
� = ��
(��,�)⊕ �̃(�,�)
= ���(�) ⊕ �̃(�,�)
��(2−4)
� = ��
(�2−4) ⊕ �̃(2−4)
=���(2) ⊕ �̃(2−4)
= (2, 2, 3, 4) ⊕ (2, 2, 4, 5)
= (4, 4, 7, 9).
Untuk aktivitas � − �
���� = max
�∈� (�) { ���
� ⊕ �̃
�} = ���(�)
��2� = max�∈� (�) { ��5� ⊕ �̃5}
��2� = max�∈� (�)����1−2� ⊕ �̃2−5�; ���1−5� ⊕ �̃1−5�; ���3−4� ⊕ �̃4−5��
��2� = max�∈� (�)��(2, 2, 3, 4) ⊕ (2, 4, 5, 8)�; �(0, 0, 0, 0)
⊕ (2, 3, 4, 5)�; �(4, 4, 7, 9) ⊕ (2, 3, 3, 5)��
��2� = max�∈� (�) { (4, 6, 8, 12); (2, 3, 4, 5); (6, 7, 10, 14)}
��2� = max�∈� (�) { �(4, 6, 8, 12); (2, 3, 4, 5)�; (6, 7, 10, 14)}
��2� = max�∈� (�){(4, 6, 8, 12); (6, 7, 10, 14)}
Sedangkan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) untuk aktivitas
2 – 5 dihadirkan sebagai berikut:
��(�,�)
� = ��
(��,�)⊕ �̃(�,�)
= ���(�) ⊕ �̃(�,�)
��(2−5)
� = ��
(�2−5) ⊕ �̃(2−5)
=���(2) ⊕ �̃(2−5)
= (2, 2, 3, 4) ⊕ (2, 4, 5, 8)
= (4, 6, 8, 12).
Untuk aktivitas � − �
���� = max�∈� (�) { ���� ⊕ �̃�} = ���(�)
��3� = max�∈� (�) { ��4� ⊕ �̃4}
��3� = max�∈� (�)����1−2� ⊕ �̃2−4�; ���1−3� ⊕ �̃3−4��
��3� = max�∈� (�)��(2, 2, 3, 4) ⊕ (2, 2, 4, 5)�; �(2, 3, 3, 6) ⊕ (1, 1, 2, 2)��
��3� = max�∈� (�) { (4, 4, 7, 9); (3, 4, 5, 8)}
���(4) = (4, 4, 7, 9).
Sedangkan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) untuk aktivitas
3 – 4 dihadirkan sebagai berikut:
��(�,�)
� = ��
= ���(�) ⊕ �̃(�,�)
��(3−4)
� = ��
(�3−4) ⊕ �̃(3−4)
=���(3) ⊕ �̃(3−4)
= (2, 3, 3, 6) ⊕ (1, 1, 2, 2)
= (3, 4, 5, 8).
Untuk aktivitas � − �
���� = max
�∈� (�) { ���
� ⊕ �̃
�} = ���(�)
��3� = max�∈� (�) { ��6� ⊕ �̃6}
��3� = max�∈� (�)����1−3� ⊕ �̃3−6�; ���1−5� ⊕ �̃5−6�; ���2−4� ⊕ �̃4−6��
��3� = max�∈� (�)��(2, 3, 3, 6) ⊕ (7, 8, 11, 15)�; �(6, 7, 10, 14)
⊕ (1, 1, 1, 2)�; �(4, 4, 7, 9) ⊕ (3, 3, 4, 6)��
��3� = max
�∈� (�) { (9, 11, 14, 21); (7, 8, 11, 16); (7, 7, 11, 15)}
��3� = max�∈� (�) { �(9, 11, 14, 21); (7, 8, 11, 16)�; (7, 7, 11, 15)}
��3� = max�∈� (�){(9, 11, 14, 21); (7, 7, 11, 15)}
���(6) = (9, 11, 14, 21).
Sedangkan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) untuk aktivitas
��(�,�)
� = ��
(��,�)⊕ �̃(�,�)
= ���(�) ⊕ �̃(�,�)
��(3−6)
� = ��
(�3−6) ⊕ �̃(3−6)
=���(3) ⊕ �̃(3−6)
= (2, 3, 3, 6) ⊕ (7, 8, 11, 15)
= (9, 11, 14, 21).
Untuk aktivitas � − �
���� = max
�∈� (�) { ���
� ⊕ �̃
�} = ���(�)
��4� = max�∈� (�) { ��5� ⊕ �̃5}
��4� = max�∈� (�)����1−2� ⊕ �̃2−5�; ���1−5� ⊕ �̃1−5�; ���3−4� ⊕ �̃4−5��
��4� = max�∈� (�)��(2, 2, 3, 4) ⊕ (2, 4, 5, 8)�; �(0, 0, 0, 0)
⊕ (2, 3, 4, 5)�; �(4, 4, 7, 9) ⊕ (2, 3, 3, 5)��
��4� = max�∈� (�) { (4, 6, 8, 12); (2, 3, 4, 5); (6, 7, 10, 14)}
��4� = max�∈� (�) { �(4, 6, 8, 12); (2, 3, 4, 5)�; (6, 7, 10, 14)}
��4� = max�∈� (�){(4, 6, 8, 12); (6, 7, 10, 14)}
���(4) = (6, 7, 10, 14).
Sedangkan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (����) untuk aktivitas
��(�,�)
� = ��<