Teori Peluang dan Statistika Hazard Rate (1)

(1)

Some Special Distribution

Indira Puteri Kinasih(20110006)

Tugas III - TEORI PELUANG DAN STATISTIKA (AK5103)

Sumber : Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition Dosen Pengampu : Prof. DR. Sutawanir Darwis

(Halaman 159, Latihan 3.3.26)

1. Misalkan suatu variabel acak kontinu X memiliki fungsi distribusi kumulatif (CDF) F

 

x dan fungsi kepadatan peluang (pdf) f

 

x . Laju hazard atau laju kerusakan atau force of mortality didefinisikan sebagai berikut :

 







     

 

x X x X x P x

r

0

lim

Dalam hal ini, X merepresentasikan waktu kerusakan dari suatu unit, sedangkan formula probabilitas diatas, menunjukkan kerusakan suatu unit pada selang waktu usia



x,x



, dengan kondisi ai masih bertahan hingga usia x. Dengan definisi ini, r

 

x disebut sebagai rate of instantaneous failure pada waktu x0

a. Tunjukkan bahwa

 



 



x F

x f x

r

 

1

Bukti :

Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat, kita dapat menuliskan :

 















 









 





X x



P

x X P x

X P

x X P

x X P x

X x P

x X P

x X x

X x P

x X x X x P x

r

 

 

   

 

   

 

     



     

 

. lim

.

, lim

lim

0 0 0 0

Ingat bahwa dalam ilmu peluang, kita tahu P



X x



F

 

x , sehingga formula diatas dapat ditulis ulang menjadi

 







 









  

 



F x



x F x

F

x X P

x X P x

X P x

r

 

   

 



 

   

 

1 . lim

0 0

Dengan menggunakan teorema nilai tengah (mean value theorem), yang menyatakan bahwa

 



  

h c f h c f c

f

h

  



0

(2)

Some Special Distribution

Perhatikan bahwa bentuk



  



   



x F x

F

0

lim dapat dituliskan menjadi

 

dx x dF x

F  , sedangkan kita tahu bahwa turunan fungsi distribusi kumulatif

adalah fungsi kepadatan peluang, yaitu

 

f

 

x dx

x dF

 , maka kita dapat menuliskan :

 







 



 





 





terbukti

x F

x f

x F

x F x

F x

r

, 1

1

1 . lim

0

 

  

 

   

 

b. Jika r

 

x c, dengan c merupakan konstanta positif, tunjukkan bahwa distribusi yang berkorespondensi dengan laju hazard tersebut adalah distribusi eksponensial yang memiliki laju kerusakan konstan setiap waktu.

Bukti :

Kita dapat menggunakan formula yang telah selesai dibuktikan pada poin (a) untuk menyelesaikan pembuktian ini. Sebelumnya, ingat bahwa kita dapat mendefinisikan fungsi keandalan (survival) dari X, yaitu



X x



P



X x



F

 

x

P  1  1 , dengan demikian, formula r

 

x akan ditulis ulang, sebagai berikut :

 



 



 





 



S x



dx d

x S

x S dx

x S d

x S dx

x dF

x F

x F x

r

ln 1 1

 

  

  

  

Karena kita akan mencoba mendapatkan distribusi dari variabel acak X yang fungsi hazardnya adalah r

 

x c, maka dari formula diatas, akan dicari formula dari fungsi keandalan (survival)S

 

x , untuk kemudian didapatkan fungsi distribusi kumulatif F

 

x , kemudian akhirnya diperoleh fungsi kepadatan peluang f

 

x , sehingga kita dapat menyimpulkan, distribusi apa yang mendasari r

 

x c. Sekarang, perhatikan bahwa :

 





 







 







 



 

   

x dt t r x

e x S dt t r x

S x

S dx

d x

r 0

0 ln

(3)

Some Special Distribution

Ingat bahwa, sebelumnya telah diketahui bahwa r

 

x c, sehingga bentuk diatas dapat ditulis ulang sebagai

 

cx dt c

dt t r

e e e x S

x x

  

  

 

0 0

Artinya, sekarang kita dapat menuliskan F

 

x 1S

 

x 1ecx. Sebenarnya, bentuk distribusi kumulatif F

 

x 1ecx telah cukup membuktikan bahwa distribusi yang mendasari r

 

x c merupakan distribusi eksponensial yang berparameter c0. Namun, kita juga dapat menggunakan penemuan ini untuk mendapatkan bentuk fungsi kepadatan peluang, yaitu

 



 





 



   

x e

c dx

e d dx

x dF x

f cx

cx

0 , 1

Dengan demikian, terbukti bahwa X , dengan r

 

x c, berdistribusi eksponensial.

c. Jika r

 

x cxb, dengan c dan b adalah konstanta positif, buktikan bahwa X berdistribusi Weibull dengan fungsi kepadatan peluang (pdf) yaitu :

 

   

   

  

 

  



lainnya x

x b

cx cx

x f

b b

, 0

0 , 1 exp

1

Bukti :

Kita tetap masih dapat menggunakan formula pada poin (b), mengenai keterkaitan antara fungsi hazard dengan fungsi keandalan (survival) untuk menyelesaikan pembuktian di atas. Karena disini, yang berubah hanyalah bentuk r

 

x -nya saja. Perhatikan bahwa,

 

  _

  

 

     

   

1 exp

1

0 0

b cx e

e x S

b dt

ct dt

t r

x b x

Dengan cara yang sama, fungsi distribusi kumulatif dapat dituliskan sebagai bentuk berikut :

 

_

  

 

    

 

1 exp

1 1

1

b cx x

S x

F

b

(4)

Some Special Distribution

 

_

  

 

  

   

 

  

     

 

   

 

   

  



1 exp

1 1 1

exp 1

1 1

1

b cx cx

b b dx

b cx d

dx x dF x f

b b

b

Formula ini berlaku untuk 0 x, c0, dan b0. Dengan demikian, telah terbukti bahwa variabel acak X dengan r

 

x cxb, ternyata berdistribusi Weibull dengan dua parameter c dan b.

d. Jika r

 

x cebx, tunjukkan bahwa X berdistribusi Gompertz yang sering dipakai

oleh para aktuaris sebagai distribusi ‘lama hidup’, dengan fungsi distribusi kumulatif F

 

x sebagai berikut :

 





   

   

  



 _

 

lainnya x

x e

b c x

F

bx

, 0

0 , 1

exp 1

Bukti :

Kita kembali akan menggunakan cara pengerjaan di poin (b) dengan merujuk pada formula fungsi hazard pada poin (a). Perhatikan,

 





  



 _

    

     

   bx

x bt dt

ce dt

t r

e b c e

b c e

e x S

x bt x

1 exp exp

0

0 0

Sehingga dengan mudah, bentuk fungsi distribusi kumulatif dapat kita tuliskan sebagai :

 







  



 _

  

 bx

e b c x

S x

F 1 1 exp 1

Tentunya, formula tersebut berlaku untuk 0 x, dan akan bernilai 0 untuk x lainnya. Dengan demikian, terbukti bahwa suatu variabel acak X dengan

 

bx

ce x