Aplikasi Model Program Linier Dengan Program Dinamik Untuk Menentukan Jumlah Produksi Optimun Pada Turangie Oil Mill

APLIKASI MODEL PROGRAM LINIER DENGAN PROGRAM

DINAMIK UNTUK MENENTUKAN JUMLAH PRODUKSI

OPTIMUM PADA TURANGIE OIL MILL

SKRIPSI

NOVITA HANDAYANI SIMANJUNTAK

050803014

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS DUMATERA UTARA

APLIKASI MODEL PROGRAM LINIER DENGAN PROGRAM DINAMIK UNTUK MENENTUKAN JUMLAH PRODUKSI

OPTIMUM PADA TURANGIE OIL MILL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

NOVITA HANDAYANI SIMANJUNTAK 050803014

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : APLIKASI MODEL PROGRAM LINIER DENGAN

PROGRAM DINAMIK UNTUK MENENTUKAN JUMLAH PRODUKSI OPTIMUM PADA TURANGIE OIL MILL

Kategori : SKRIPSI

Nama : NOVITA HANDAYANI SIMANJUNTAK

Nomor Induk Mahasiswa : 050803014

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

Diluluskan di

Medan, Desember 2009

Komisi Pembimbing :

Pembimbing II, Pembimbing I,

Drs. Rosman Siregar, M.Si Drs.H. Haluddin Panjaitan

NIP: 196101071986011001 NIP: 194603091979021001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP: 196401091988031004

PERNYATAAN

APLIKASI MODEL PROGRAM LINIER DENGAN PROGRAM DINAMIK UNTUK MENENTUKAN JUMLAH PRODUKSI

OPTIMUM PADA TURANGIE OIL MILL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Desember 2009

PENGHARGAAN

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang yang telah melimpahkan anugrah dan karunia-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.

ABSTRAK

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii Penghargaan iv

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Gambar viii

Daftar Tabel ix

Bab I Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 3

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Pembatasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Metodologi Penelitian 4

1.7 Tinjauan Pustaka 5

Bab II Landasan Teori 6

2.1 Program Linier 6

2.1.1 Sifat Dasar Program Linier 7

2.1.2 Model Program Linier 7

2.1.3 Asumsi-Asumsi Dasar Program Linier 8 2.1.4 Penyelesaian Program Linier dengan Metode Grafik 9

2.2 Program Dinamik 10

2.2.1 Prinsip Dasar Program Dinamik 11

2.2.2 Konsep Sub-Optimasi 12

2.2.3 Pendekatan Penyelesaian secara Rekursif 12 2.2.4 Pendekatan Penyelesaian secara Rekursif Maju 13

2.2.4 Persamaan Rekursif Mundur 14

2.3 Formulasi Program Linier Menjadi Program Linier 16 2.4 Langkah-Langkah Rekursif Mundur dengan Kendala Banyak 17 2.5 Langkah-Langkah Penyelesaian Program Linier dengan Program

Dinamik 18

Bab III Pengumpulan dan Pengolahan Data 22

3.1 Pengumpulan Data 22

3.2 Pengolahan Data 24

3.3 Perhitungan Berdasarkan Pola Produksi Perusahaan 28

5.1 Kesimpulan 31

5.2 Saran 31

Daftar Pustaka 33

DAFTAR GAMBAR

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.1 Harga Pokok CPO dan Kernel Tahun 2008 22

Tabel 3.2 Persediaan Bahan Baku Tahun 2008 23

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Sebuah organisasi harus membuat suatu keputusan mengenai cara mengalokasikan sumber-sumbernya, dan tidak ada organisasi yang beroperasi secara permanen dengan sumber yang tidak terbatas. Akibatnya manajemen harus secara terus menerus mengalokasikan sumber yang langka untuk mencapai tujuan yang optimal. Tiap organisasi mencoba untuk mencapai tujuan tertentu sesuai dengan batasan sumber berupa bahan baku, peralatan, mesin, waktu, biaya, dan tenaga kerja.

Setiap pengambil keputusan selalu memperhatikan keadaan yang dihasilkan oleh keputusan sebelumnya, untuk mendapatkan hasil yang optimal dari sejumlah sasaran dan tujuan. Karena pengambil keputusan sering mengalami kesulitan dalam menentukan hasil keputusan, maka pengambil keputusan selalu mencari metode yang lebih mudah untuk mendapatkan hasil yang diinginkan.

Dalam tulisan ini, masalah program linier akan diselesaikan menggunakan program dinamik dengan terlebih dahulu memformulasikan masalah program linier ke dalam model program dinamik. Oleh karena itu, penulis memilih judul “Aplikasi Model Program Linier dengan Program Dinamik untuk Menentukan Jumlah Produksi

Optimum pada Turangie Oil Mill”.

Program dinamik merupakan suatu teknik matematika yang digunakan untuk mengoptimalkan proses pengambilan keputusan secara bertahap. Program dinamik memberikan prosedur yang sistematis untuk penentuan kombinasi pengambilan keputusan yang mengoptimalkan keseluruhan efektifitas. Berbeda dengan program linier, dalam program dinamik tidak ada rumusan (formulasi) matematis standar. Program dinamik lebih merupakan suatu pendekatan umum untuk pemecahan masalah, dan persamaan-persamaan khusus yang akan digunakan harus dikembangkan sesuai dengan situasi yang dihadapi.

Inti dari teknik program dinamik adalah membagi satu persoalan atas beberapa bagian persoalan yang disebut tahap, kemudian memecahkan tiap tahap dengan mengoptimalkan keputusan tiap tahap sampai seluruh persoalan terpecahkan. Pendekatan program dinamik didasarkan pada prinsip optimisasi Bellman (1950) yang menyatakan: “ Suatu kebijakan optimal mempunyai sifat bahwa apa pun keadaan dan keputusan awal, keputusan berikutnya harus membentuk suatu kebijakan optimal dengan memperhatikan keadaan dari hasil keputusan pertama”. Prinsip ini mengandung arti bahwa:

1. Pengambil keputusan diperkenankan untuk mengambil keputusan yang layak bagi tahap persoalan yang masih tersisa tanpa melihat kembali keputusan-keputusan pada tahap sebelumnya.

2. Dalam rangkaian keputusan yang telah diambil, hasil dari masing-masing tergantung pada hasil keputusan sebelumnya.

Secara umum pendekatan penyelesaian program dinamik terdiri dari tiga langkah, yaitu:

b. Pemecahan masing-masing sub masalah dimulai dengan menyelesaikan masalah terakhir.

c. Konstruksi nilai optimal dari variabel, diselesaikan dengan forward dari masalah yang pertama sampai yang terakhir.

1.2Perumusan Masalah

Dalam tulisan ini, yang menjadi permasalahan adalah bagaimana cara menentukan jumlah produksi CPO dan Kernel yang optimal guna mendapatkan keuntungan maksimum. Permasalahan ini akan dibahas dengan menerapkan model program linier yang penyelesaiannya menggunakan teknik program dinamik.

1.3Pembatasan Masalah

Mengingat kondisi di lapangan tidak selalu sesuai dengan teori yang ada dan juga agar pembahasan tidak menyimpang dari tujuan penelitian, maka pokok persoalan perlu dibatasi.

Adapun batasan-batasan pada penelitian ini adalah:

a. Analisa yang dilakukan dalam menentukan jumlah produksi berdasarkan pada harga pokok produk, jumlah bahan baku, persediaan bahan baku, dan permintaan pasar.

b. Jangka waktu perencanaan jumlah produksi adalah selama satu tahun yaitu pada tahun 2008.

c. Penyelesaian hanya dilakukan dengan pendekatan secara rekursif mundur.

Asumsi-asumsi yang diperlukan adalah

a. Semua sarana dan prasarana yang digunakan dalam rangka kegiatan produksi cukup baik kondisinya.

b. Tidak terjadi perubahan sistem pasar secara berarti.

d. Data yang diperoleh dari arsip-arsip perusahaan di anggap benar.

1.4Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menerapkan pengetahuan penulis tentang program dinamik dalam menentukan jumlah produksi optimal, sekaligus menunjukkan bahwa program dinamik dapat digunakan untuk menyelesaikan sebagian masalah program linier.

1.5Manfaat Penelitian

Program dinamik ini telah banyak diterapkan dalam masalah-masalah bisnis dan industri. Maka, manfaat yang diperoleh penulis dari penelitian ini adalah pemahaman penulis tentang teori-teori dalam penerapan program dinamik yang didapatkan di bangku perkuliahan. Bagi perusahaan, penelitian ini bermanfaat sebagai gambaran serta petunjuk untuk proses pengambilan keputusan dalam masalah penjadwalan jumlah produksi.

1.6Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini, penulis mengadakan studi kasus pada PT. PP. London Sumatera Tbk. Turangie Oil Mill (TOM). Adapun metode penelitian yang digunakan adalah sebagai berikut:

a. Mendefinisikan dan menguraikan masalah produksi perusahaan dengan jelas. b. Pengumpulan data

Dalam penelitian ini, data yang dikumpulkan diperoleh dari arsip-arsip perusahaan secara langsung. Adapun data yang dibutuhkan antara lain:

1. Harga pokok CPO dan Kernel

4. Jumlah permintaan c. Analisa dan pengolahan data

1. Data yang diperoleh diformulasikan ke dalam bentuk program linier.

2. Fungsi tujuan dan fungsi kendala program linier diubah menjadi bentuk program dinamik.

3. Model yang telah diubah diselesaikan dengan menggunakan teknik program dinamik.

d. Penarikan kesimpulan dari solusi optimal yang diperoleh.

1.7Tinjauan Pustaka

Sebagai pendukung pembahasan teori-teori dalam penelitian ini, penulis menggunakan beberapa buku, antara lain:

1. Bronson, Richard. 1988. “Teori dan Soal-Soal Operations Research”

menyatakan bahwa untuk melaksanakan prinsip optimalitas dimulai dengan tahap terakhir dari suatu proses n-tahap dan untuk tiap-tiap tahap ditentukan kebijaksanaan terbaik untuk meninggalkan tahap itu dan menyelesaikan prosesnya, dengan anggapan bahwa semua tahap sebelumnya telah diselesaikan, kemudian hasil-hasil yang diperoleh digunakan untuk tahap berikutnya.

2. Siagian, P. 1987. “Penelitian Operasional Teori dan Praktek”. Dari buku ini dikutip teori, simbol, serta prinsip R. Bellman yang menyatakan bahwa suatu kebijakan optimal mempunyai sifat bahwa apapun keadaan dan keputusan awal, keputusan berikutnya harus membentuk suatu kebijakan optimal dengan memperhatikan keadaan dari hasil keputusan pertama.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Program Linier

Program linier adalah suatu persoalan yang bertujuan untuk menentukan besarnya harga tujuan dari masing-masing variabel keputusan, sedemikian hingga harga fungsi tujuan (objective function) yang linier menjadi optimal, dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada dan dinyatakan dalam pertidaksamaan atau ketidaksamaan linier.

2.1.1 Sifat Dasar Program Linier

Program linier merupakan kategori yang sangat penting dari seluruh program matematika. Hal ini jelas bahwa teori program linier mempengaruhi proses pengambilan keputusan.

Suatu persoalan disebut sebagai persoalan linier apabila memenuhi kriteria berikut:

a. Tujuan yang dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier dan fungsi ini disebut fungsi tujuan (objective function).

b. Harus mempunyai alternatif pemecahan, yaitu alternatif pemecahan yang memuat harga fungsi tujuan menjadi optimal (maksimum atau minimum).

2.1.2 Model Program Linier

Model matematis perumusan masalah umum pengalokasian sumber daya untuk berbagai kegiatan, disebut sebagai model program linier. Model program linier ini merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linier. Program linier terdiri atas tiga unsur utama, yaitu:

a. Variabel keputusan, merupakan variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai.

b. Fungsi tujuan, merupakan fungsi yang menggambarkan sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan sumber daya secara optimal.

c. Fungsi kendala, merupakan suatu pembatas terhadap kumpulan keputusan yang mungkin dibuat dan harus dituangkan ke dalam fungsi matematika linier.

Berbeda dengan bentuk-bentuk fungsi matematika pada model optimisasi, pada umumnya model matematis program linier memiliki struktur tertentu yang bersifat baku agar persoalan dijelaskan dengan baik oleh model atau bisa dibaca langsung melalui fungsi-fungsi matematika yang mewakili model.

Struktur model matematis program linier diawali oleh fungsi-fungsi tujuan yaitu sebuah fungsi matematika yang mencerminkan tujuan model. Fungsi tujuan itu harus diminimumkan atau dimaksimumkan terhadap suatu susunan kendala sehingga di dalam fungsi tujuan harus muncul pernyataan mengenai arah tersebut. Oleh karena itu, hanya ada dua kemungkinan fungsi tujuan yaitu memaksimumkan atau meminimumkan. Adapun bentuk standar program linier adalah sebagai berikut:

Optimisasi

∑

=

= n j

j jx

c Z

Dengan kendala:

n j

x

m i

b x a

j

i n

j j ij

, , 3 , 2 , 1 ,

0

, , 3 , 2 , 1 ,

1

K K

= ≥

= ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

≥ = ≤

∑

=

Dimana:

Z = fungsi tujuan yang akan dicari nilai optimalnya

cj = kenaikan nilai Z bila ada pertambahan tingkat kegiatan xj dengan satu

satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap Z n = jenis kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia

m = jenis batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

xj = tingkat kegiatan ke-j

aij = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit

keluaran kegiatan j

b1 = kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan

Himpunan xj yang memenuhi persoalan program linier ini disebut penyelesaian

(solusi) program linier. Dan setiap penyelesaian yang memenuhi kendala disebut jawab basis dan dari jawab basis ini dipilih jawab layak (feasible solution) program linier. Setiap penyelesaian yang mengoptimalkan fungsi tujuan disebut jawab layak optimal (optimal feasible solution). Ada empat kemungkinan penyelesaian pada model program linier, yaitu:

a. Penyelesaian tunggal (Unique Finite Optimal Solution)

b. Penyelesaian lebih dari satu (Alternative Finite Optimal Solution) c. Penyelesaian tidak terbatas (Unbounded Optimal Solution) d. Tidak mempunyai penyelesaian (Empty Feasible Region)

2.1.3 Asumsi-Asumsi Dasar Program Linier

1. Proportionality, asumsi ini berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.

2. Additivity, berarti nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.

3. Divisibility, berarti keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan..

4. Deterministic, berarti bahwa semua parameter (aij, bj, cj) yang terdapat pada

program linier dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun dalam kenyataannya tidak sama persis.

2.1.4 Penyelesaian Program Linier dengan Metode Grafik

Persoalan linier dapat diselesaikan dengan metode grafik dan metode aljabar. Jika variabel keputusan dan banyaknya kendala hanya dua, maka lebih baik diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi jika kendala lebih dari dua, akan digunakan metode aljabar.

Langkah-langkah penyelesaian program linier dengan metode grafik adalah sebagai berikut:

1. Gambarkan sebuah bidang koordinat dengan kedua variabel sebagai sumbu-sumbu koordinat.

2. Gambarkan garis-garis fungsi batasan dengan menganggap batasannya sebagai persamaan.

3. Tentukan daerah dalam bidang koordinat yang memenuhi semua batasan. Daerah ini disebut sebagai daerah layak.

5. Hitung harga fungsi tujuan untuk semua titik sudut, kemudian pilih harga yang optimal sebagai penyelesaian persoalan.

Andaikan suatu persoalan program linier hanya terdiri dari dua variabel keputusan yaitu x1 dan x2, maka harus dibuat grafik berdimensi dua dengan x1 dan x2

sebagai sumbu-sumbunya. Langkah pertama adalah mengidentifikasi harga-harga x1

dan x2 yang memenuhi kendala-kendala yang ada dengan cara menggambarkan

garis-garis yang harus membatasi daerah harga-harga yang diperbolehkan. Perlu diperhatikan bahwa kendala-kendala non-negatif (x1≥0 dan x2≥0), ini menyebabkan x1

dan x2harus berada pada posisi positif dari sumbu-sumbunya (pada kuadran I).

Karena harus mendapatkan harga x1 dan x2yang harus memenuhi kendala yang

ada, maka akhirnya perlu untuk memperhatikan suatu bidang yang dibatasi oleh garis-garis pembatas yang memenuhi syarat layak sehingga bidang tersebut dinamakan sebagai daerah layak. Langkah terakhir adalah menentukan suatu titik pada daerah layak yang dapat memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan. Untuk menentukan harga fungsi tujuan tersebut adalah dengan menggambarkan sebuah garis yang sejajar dengan koefisien arah fungsi yang positif sehingga garis yang melalui titik terjauh dari daerah layak disebut titik optimum.

2.2 Program Dinamik

Program dinamik adalah suatu teknik matematika yang digunakan untuk mengoptimalkan proses pengambilan keputusan secara bertahap-ganda. Dalam teknik ini, keputusan yang menyangkut suatu persoalan dioptimalkan secara bertahap dan bukan secara sekaligus. Dengan kata lain, metode program dinamik ini membagi suatu persoalan menjadi sub-sub persoalan yang lebih kecil agar lebih mudah untuk mencari solusinya.

sebelumnya. Karena itu, keadaan yang diakibatkan oleh suatu keputusan didasarkan pada keadaan dari keputusan sebelumnya dan merupakan landasan bagi keputusan berikutnya.

Andaikan seseorang dihadapkan dengan suatu persoalan manajerial untuk mengambil keputusan, di dalam persoalan tersebut terdapat parameter-parameter masukan yang akan dioptimalkan. Parameter-parameter ini disebut dengan tahap (stage), parameter-parameter yang mempengaruhi keputusan disebut dengan keadaan (state).

2.2.1 Prinsip Dasar Program Dinamik

Prinsip dasar pendekatan program dinamik adalah, bahwa masalah dapat dibagi dalam bagian-bagian masalah yang lebih kecil, yang disebut sebagai tahap atau titik keputusan. Dapat diasumsikan bahwa dengan membagi masalah ke dalam sub-masalah, suatu masalah dapat dievaluasi lebih mudah. Oleh sebab itu, program dinamik disebut juga “Model Multi Proses”.

Prinsip kedua dalam program dinamik adalah tentang status (state), yang merupakan arus informasi dari satu tahap ke tahap berikutnya. Arus informasi dari satu tahap yang masuk ke tahap berikutnya disebut status input. Keputusan pada tahap berikutnya tergantung pada status input dari tahap sebelumnya

Prinsip ketiga adalah tentang variabel keputusan, yang merupakan alternatif yang dapat dipilih pada saat melakukan atau mengambil keputusan pada tahap tertentu. Berbagai alternatif yang dapat diambil dalam setiap tahap keputusan dapat dibatasi dengan mengambil pernyataan yang dikenakan dalam struktur masalah.

2.2.2 Konsep Sub-Optimasi

Konsep sub-optimasi sangat mempengaruhi hasil dari tulisan ini. Maka dengan demikian diharapkan sebelum melaksanakan proses optimasi suatu persoalan perlu mengetahui konsep sub-optimasi ini berikut ini secara mendalam.

1. Tahap pertama tidak mempengaruhi tahap-tahap yang lain. Jadi tahap-1 dapat dioptimumkan tersendiri yang merupakan sub-optimasi yang pertama.

2. Penyelesaian tahap pertama digabungkan dengan tahap yang kedua merupakan masalah sub-optimasi yang ke-2.

3. Penyelesaian tahap kedua digabungkan dengan tahap ketiga merupakan masalah sub-optimasi yang ke-3. Demikian seterusnya, sampai dengan tahap ke-n.

2.2.3 Pendekatan Penyelesaian secara Rekursif

Teknik perhitungan program dinamik terutama didasarkan pada prinsip optimisasi rekursif (bersifat pengulangan) yang diketahui sebagai prinsip optimalisasi. Prinsip ini mengandung arti bahwa bila dibuat keputusan multi tahap mulai pada tahap tertentu, kebijaksanaan optimal untuk tahap-tahap selanjutnya tergantung pada ketetapan tertentu tersebut.

Jika pada suatu ketika proses menghitung perolehan optimal sampai pada tahap-n, maka selesailah prosedur perhitungan berdasarkan pendekatan program dinamik. Selanjutnya tinggal menentukan keputusan optimal untuk seluruh persoalan. Untuk itu, dimulai pada keputusan optimal tahap-n dan kemudian menelusuri keputusan optimal pada tahap-tahap sebelumnya.

Jika xn pada tahap-n sudah diketahui, maka keputusan optimal pada tahap-n

dapat ditentukan dan setelah melakukan perhitungan pada tahap-

(

n−1

)

, keputusan optimal pada keputusan ini dapat ditentukan sesuai jumlah xn-1. Proses ini ditentukan

terus menerus sampai akhirnya diperoleh harga x1 dimana dapat ditentukan keputusan

Jadi, untuk menyelesaikan persoalan program dinamik yang demikian harus dilakukan dengan format yang seragam untuk semua tahap. Artinya, tiap perolehan harus diperoleh dari perolehan sebelumnya. Jadi, karakter akhir dari pendekatan program dinamik adalah perkembangan dari prosedur optimasi rekursif, yang menghasilkan suatu penyelesaian dari n-tahap problema dengan pemecahan pertama satu tahap problema pada satu waktu tertentu dan menyelesaikan satu tahap sampai mendapatkan penyelesaian optimum.

Pendekatan Penyelesaian Secara Rekursif Maju

Untuk menyatakan persamaan rekursif maju secara matematis, akan diperkenalkan simbol-simbol berikut.

cjxj = pendapatan alternatif xj pada tahap j

fj(Bj) = keuntungan optimal tahap 1, 2, 3,..., j jika keadaan Bj

Perhitungan dilakukan dengan urutan n

f f

f

f₁ → ₂ → ₃→L→

yang dapat dirumuskan menjadi:

( )

( )

( )

{

(

)

}

n j B x a x a B f x c B f B x a x c B f j j j j j j j j j j j , , 3 , 2 ; 0 max 0 ; max 1 1 1 1 1 1 1 1 L = ≤ ≤ − + = ≤ ≤ = −

Dengan rumus di atas dapat dihitung f_n

( )

B_n yaitu dimulai dengan f₁

( )

B₁ kemudian

f2

( )

B₂ , dan berakhir di fn

( )

Bn .

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Langkah 1: mencari x₁ optimum dan

Langkah 2: mencari x₂ optimum dan

( )

{

( ) (

)

}

1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 max B x a x a B f x c B f ≤ ≤ − + = . . .

Langkah j: mencari x_j optimum dan

( )

{

( )

(

)

}

j j j j j j j j j j j B x a x a B f x c B f ≤ ≤ − + = − 0 max ₁ . . .

Langkah n: mencari x_n optimum dan

( )

{

( )

(

)

}

n n n n n n n n n n n B x a x a B f x c B f ≤ ≤ − + = − 0 max ₁

2.2.4 Persamaan Rekursif Mundur

Untuk menyatakan persamaan rekursif mundur secara matematis, terlebih dahulu diperkenalkan simbol-simbol sebagai berikut:

cjxj = pendapatan alternatif xj pada tahap j

fj(Bj) = keuntungan optimal tahap j, j+1, j+2, ... dan n jika keadaan x1

Perhitungan dilakukan dalam urutan:

1 2

1 f f

f

f_n → _n− → _n− →L→

( )

( )

( )

{

(

)

}

1 , , 3 , 2 ; 0 max 0 ; max 1 1 − = ≤ ≤ − + = ≤ ≤ = + n j B x a x a B f x c B f B x a x c B f j j j j j j j j j j j n n n n n n n L

Dengan rumus di atas dapat dihitung f1(B1), yaitu dimulai dengan fn(Bn) kemudian fn-1

(Bn-1), dan berakhir di f1(B1).

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Langkah 1: mencari x_n optimum dan

( )

( )

1 0 max n n n n n n n B x a x c B f ≤ ≤ =

Langkah 2: mencari x_n−1 optimum dan

( )

{

(

)

(

)

}

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 max − − − − − − − − − − ≤ ≤ − + = n n n n n n n n n n n B x a x a B f x c B f . . .

Langkah j+1: mencari x_n−_j optimum dan

( )

{

(

)

(

)

}

j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n B x a x a B f x c B f − − − − − − − − − − − − ≤ ≤ − + = 0

max _{( 1)}

.

.

.

Langkah n: mencari x_n optimum dan

2.3 Formulasi Program Linier Menjadi Program Dinamik

Program linier yang akan diformulasikan ke dalam program dinamik adalah berjenis (≤) dan terlebih dahulu dijabarkan masalah program linier yang terdiri dari n-variabel dengan m-syarat.

Masalah program linier ini dapat dirumuskan menjadi sebuah model program dinamik. Setiap kegiatan j (j = 1,2,3,...,n) dapat dianggap sebagai suatu tahap. Tingkat kegiatan xj (xj ≤ 0) mewakili alternatif-alternatif pada tahap j. Karena xj

berkesinambungan, setiap tahap mempunyai jumlah alternatif yang tidak terbatas di dalam ruang yang layak. Untuk memperoleh alasan-alasan secara singkat, di asumsikan bahwa semua aij≥ 0.

Keadaan dapat diasumsikan sebagai jumlah sumber yang akan dialokasikan pada tahap sekarang dan tahap-tahap berikutnya. Karena ada m-sumber, keadaan harus diwakili oleh sebuah vektor berdimensi-m, yaitu:

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

mj j j

B B B

B M

2 1

yang artinya sebagai berikut:

a. (B11, B21, B31,...,Bm1) adalah keadaan pada tahap 1, yaitu, jumlah sumber 1,2,3,...,m

yang dialokasikan pada tahap 1,2,3,...,n

b. (B12, B22, B23,) adalah keadaan pada tahap 2, yaitu jumlah sumber 1,2,3,...,m yang

dialokasikan pada tahap 2,3,...,n

c. (B1j, B2j, B3j,...,Bmj) adalah keadaan pada tahap j, yaitu jumlah sumber 1,2,3,...,m

mj j mj j j j ij j j B x a B x a B x a ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 0 0 0 2 2 1 1 M

Sekarang diasumsikan:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = mj mj j j j j j a B a B a B

B* min , , ,

2 2 1 1

L

Oleh karena itu dapat ditulis: 0 ≤ xj ≤ B*j, ini berarti bahwa harga xj berada pada

interval [0,B*j ].

d. (B1n, B2n, B3n,...,Bmn) adalah keadaan pada tahap n, yaitu jumlah sumber 1,2,3,...,m

yang dialokasikan pada tahap n (tahap pertama untuk rekursif mundur).

2.4 Langkah-langkah Rekursif Mundur dengan Kendala Banyak

cjxj = pendapatan alternatif xj pada tahap j

fj (B1j, B2j, …, Bmj) = nilai optimal tahap j, j+1, …, n

jika keadaan xj

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Mencari xn optimum dan

(

)

(

)

n n n n mn n n n B x x c maks B B B f * 0 , , , ₂ 1 ≤ ≤ = L

Langkah 2 : Mencari xn-1 optimum dan

(

)

{

(

)

}

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 * 0 , , , , − − − − − − − − − − − − − − ≤ ≤ − − + = n n n mn mn n n n n n n mn n n n B x x a B x a B f x c maks B B B

f L L

.

.

.

Langkah j+1 : Mencari xn-j optimum dan

(

)

{

_{( )}

(

)

}

j n j n j n j mn j mn j n j n j n j n j n j n j mn j n j n j n B x x a B x a B f x c maks B B B f − − − − − − − − − − − − − − − − ≤ ≤ − − + = * 0 , , ,

, _{2 1 1 1}

1 L L

.

.

.

Langkah n : Mencari x1 optimum dan

(

)

{

(

)

}

* 0 , , , , 1 1 1 1 1 11 11 2 1 1 1 21 11 1 B x x a B x a B f x c maks B B B

f _{m m m}

2.5 Langkah-Langkah Penyelesaian Program Linier dengan Program Dinamik

Untuk menyelesaikan masalah program linier dengan program dinamik dari uraian sebelumnya perlu didefinisikan kembali:

B1j = banyaknya sumber jenis 1 yang dialokasikan pada tahap j, j+1,…,n

B2j = banyaknya sumber jenis 2 yang dialokasikan pada tahap j, j+1,…,n

M

Bmj = banyaknya sumber jenis m yang dialokasikan pada tahap j, j+1,…,n

Oleh karena itu, B1(j+1) = B1j – a1jxj

B2(j+1) = B2j – a2jxj

M

Bm(j+1) = Bmj - amjxj

dan: _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = mj mj j j j j j _a B a B a B

B* min , , ,

2 2 1 1

L

yang dapat dijabarkan menjadi:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = mn mn n n n n n a B a B a B

B* min , , ,

2 2 1 1 L ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − − − 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1

1 min , , ,

* mn mn n n n n n _a B a B a B B L . . . ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − − − j mn j mn j n j n j n j n j n _a B a B a B

B* min , , ,

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 21 21 11 11

1 min , , ,

* m m a B a B a B B L

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Langkah 1:

Hitung harga ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = mn mn n n n n n _a B a B a B

B* min , , ,

2 2 1 1

L

Karena B11 = b1

B21 = b2

M

Bm1 = bm

maka: B_1n=b₁ −

[

a₁₁x₁+a₁₂x₂+L+a_1n−1x_n−1

]

[

]

M

L 2 1 1

2 22 1 21 2

2n=b − a x +a x + +a n− xn−

B

[

_{1 1}+ _{2 2}+ + _{−1 −1}

]

−

= _{m m m mn n}

mn b a x a x a x

B L

Selanjutnya dicari :

(

)

( )

n n n n mn n n n B x x c maks B B B f * 0 , , , ₂ 1 ≤ ≤ = L Langkah 2:

Hitung harga ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − − − 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1

1 min , , ,

* mn mn n n n n n _a B a B a B B L dimana:

[

_{11 1 12 2 1 2 2}

]

1 1

1n− =b − a x +a x + +an− xn−

B L

[

21 1 22 2 2 2 2

]

2 1

2n− =b − a x +a x + +a n− xn−

B L

M

[

1 1 2 2 2 2

]

1 − −

− = m − m + m + + mn n mn b a x a x a x

Selanjutnya dicari:

(

)

{

(

)

}

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 * 0 , , , , − − − − − − − − − − − − − − ≤ ≤ − − + = n n n mn mn n n n n n n mn n n n B x x a B x a B f x c maks B B B

f L L

Langkah j+1 :

Hitung harga _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − − − j mn j mn j n j n j n j n j n a B a B a B

B* min , , ,

2 2 1 1 L dimana: ( ) ( )

[

11 1 12 2 1 1 1

]

1

1n−j=b − a x +a x + +an−j+ xn−j+

B L

( ) ( )

[

21 1 22 2 2 1 1

]

2 1

2n− =b − a x +a x + +a n− j+ xn−j+

B L

M

( ) ( )

[

1 1 2 2 − +1 − +1

]

−j= m− m + m + + mn j n j mn b a x a x a x

B L Selanjutnya dicari:

(

)

{

_{( )}

(

)

}

j n j n j n j mn j mn j n j n j n j n j n j n j mn j n j n j n B x x a B x a B f x c maks B B B f − − − − − − − − − − − − − − − − ≤ ≤ − − + = * 0 , , ,

, _{2 1 1 1}

1 L L

Langkah n:

Hitung harga ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 21 21 11 11

1 min , , ,

* m m a B a B a B B L dimana:

B11 = b1

B21 = b2

M

Bm1 = bm

Selanjutnya dicari :

(

)

{

(

)

}

* 0 , , , , 1 1 1 1 1 11 11 2 1 1 1 21 11 1 B x x a B x a B f x c maks B B B

f _{m m m}

BAB III

PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

Pengumpulan Data

Untuk menyelesaikan suatu permasalahan, perlu adanya data yang berhubungan dengan masalah terbsebut, baik data primer maupun data sekunder.

Pengumpulan data dilakukan dengan cara mempelajari arsip milik Turangie Oil Mill (TOM). Data yang diperoleh dari arsip tersebut antara lain:

a. Harga pokok CPO dan Kernel

Harga CPO dan Kernel yang dimaksudkan adalah harga pada tahun 2008. Data ini dapat dilihat pada tabel 3.1

Tabel 3.1 Harga Pokok CPO dan Kernel Tahun 2008

Produk Harga pokok (Rp/kg) CPO

Kernel

8.299 2.000 Sumber: detik.com

b. Persediaan bahan baku

[image:33.612.133.460.92.481.2]

Tabel 3.2 Persediaan Bahan Baku Tahun 2008

Bulan Jumlah (kg)

Januari Februari

Maret April

Mei Juni Juli Agustus September

Oktober Nopember Desember

15.759.560 11.784.120 13.591.990 12.813.680 14.251.860 15.331.550 16.696.000 18.946.000 20.118.890 17.024.000 17.588.000 18.544.968

Total 192.450.618 Rata-rata 16.037.552

c. Jumlah permintaan

[image:33.612.145.507.530.716.2]

Data ini berisi jumlah permintaan CPO pada tahun 2008 , data ini dapat dilihat pada tabel 3.3 berikut.

Tabel 3.3 Jumlah Permintaan CPO dan Kernel Tahun 2008

Bulan CPO Kernel

Januari Februari

Maret April

Mei Juni Juli Agustus

2.647.490 4.453.750 3.193.100 3.069.680 3.069.560 3.667.040 3.278.290 4.784.030

September Oktober Nopember Desember

4.075.270 5.731.020 3.821.330 4.609.580

1.293.400 990.250 1.267.180 1.105.410

Dari tabel di atas, data yang diambil sebagai kendala adalah jumlah permintaan maksimum CPO dan Kernel selama tahun 2008, yaitu sebesar 5.731.020 kg dan 1.293.400 kg. Perbandingan jumlah produksi CPO dengan Kernel adalah 1:4.

d. Jumlah persediaan produksi CPO dan Kernel

[image:34.612.148.505.79.161.2]

Data jumlah persediaan produksi CPO dan Kernel yang dicatat adalah data produksi pada tahun 2008, dan dapat dilihat pada tabel 3.4 berikut.

Tabel 3.4 Jumlah Produksi CPO dan Kernel Tahun 2008

Bulan CPO Kernel

Januari Februari

Maret April

Mei Juni Juli Agustus September

Oktober Nopember Desember

3.711.515 2.881.276 3.523.711 3.993.711 3.310.821 3.550.623 3.905.437 4.502.756 4.630.016 3.894.275 4.102.363 4.079.893

Pengolahan Data

Dari keseluruhan data yang diperoleh, akan diformulasikan ke dalam model program linier yang kemudian akan diselesaikan dengan program dinamik.

Asumsikan:

x1 = Jumlah CPO per satuan kg

x2 = Jumlah Kernel per satuan kg

Maka, dari asumsi di atas dapat dibuat:

1. model fungsi tujuan: max f = 8.299x1 + 2.000x2 2. Model kendala bahan baku

x1 + 4x2≤16.037.552

3. Model kendala persediaan bahan baku

x1 ≤ 5.731.020

x2 ≤ 1.293.400

4. Model kendala Permintaan pasar

x1 + x2 ≤5.839.753

Sehingga model program linier menjadi:

Maksimumkan f =7.450x₁+2.000x₂

Kendala x₁+4x₂≤16.037.552

0 , 0

400 . 293 . 1

020 . 731 . 5

753 . 839 . 5

2 1

2 1

2 1

≥ ≥

≤ ≤ ≤ +

x x

x x

Penyelesaian:

Karena ada 4 sumber keadaan model program dinamik yang setara hanya digambarkan oleh 4 variabel. Misalkan B(B1j, B2j, B3j, B4j) menggambarkan keadaan

pada tahap j(j=1,2).

Langkah 1:

Dicari ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 , 0 , 1 , 4 min

*₂ B12 B22 B32 B42

B Dimana: 400 . 293 . 1 020 . 731 . 5 753 . 839 . 5 552 . 037 . 16 42 1 32 1 22 1 12 = − = − = − = B x B x B x B Dan, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ≤ ≤ = 1 , 0 , 1 , 4 min 2000 * 0 2000 max ) , , ( 42 32 22 12 2 2 2 32 22 12 2 B B B B B x x B B B f Langkah 2: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 , 1 , 1 , 1 min

*₁ B11 B21 B31 B41

B

Karena ini adalah tahap terakhir, maka:

400 . 293 . 1 020 . 731 . 5 753 . 839 . 5 552 . 037 . 16 41 31 21 11 = = = = B B B B

Jadi, = ⎜_⎝⎛ ,∞⎟_⎠⎞

1 020 . 731 . 5 , 1 753 . 839 . 5 , 1 552 . 037 . 16 min *₁

Sehingga:

(

)

020 . 731 . 5 0 1 , 0 , 1 , 4 min 000 . 2 299 . 8 max , , , 1 42 32 22 12 1 41 31 21 11 1 ≤ ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = x B B B B x B B B B f

Oleh karena itu untuk menghitung min ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 , 0 , 1 , 4 42 32 22

12 B B B

B

[image:37.612.127.521.171.658.2]

diperlihatkan pada grafik keempat garis lurus berikut:

400 . 293 . 1 753 . 839 . 5 4 552 . 037 . 16 2 2 1 2 1 2 = ∞ = − = − = x x x x x x

Grafik keempat garis lurus berikut adalah:

[image:38.612.122.510.132.597.2]

Dari grafik absis x1 dari titik A dan B adalah 4.546.353 dan 5.731.020, sehingga pada

grafik tersebut terlihat bahwa:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ − − 400 . 193 . 1 , , 753 . 839 . 5 , 4 552 . 037 . 16

min x1 x₁

=

Maka

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 , 0 , 1 , 4 min 000 . 2 299 . 8 , ,

, _{21 31 41 1} 12 22 32 42

11 1 B B B B x B B B B f

= 8.299x1 +

Karena itu untuk kisaran x1 yang telah ditentukan

(

)

(

)

980 . 200 . 779 . 47 980 . 200 . 779 . 47 , 550 . 983 . 316 . 40 max , ,

, _{21 31 41}

11 1 = = B B B B f

Yang dicapai pada x₁ =5.731.020

(

)

(

)

733 . 108 733 . 108 , 400 . 293 . 1 min 753 . 839 . 5 , 400 . 293 . 1 min ₁ 2 = = − = x x

Jadi solusi masalah di atas adalah x₁ =5.731.020, x₂ =108.733, f =47.779.200.980

Perhitungan Berdasarkan Pola Produksi Perusahaan

Perhitungan ini merupakan hasil penelitian yang didasarkan pada pola produksi perusahaan, yaitu

a. Tingkat produksi optimal CPO setiap bulannya adalah:

kg x

032 . 798 . 3

12 387 . 576 . 45

1

= =

b. Tingkat produksi optimal Kernel setiap bulannya adalah:

320 . 986

12 843 . 835 . 11

1

= =

x

c. Pendapatan optimum CPO dan Kernel adalah sebesar:

(

)

(

)

570 . 507 . 492 . 33

000 . 640 . 972 . 1 570 . 867 . 519 . 31

320 . 986 000 . 2 032 . 798 . 3 299 . 8

000 . 2 299 .

8 _{1 2}

=

+ =

+ =

+

= x x

f

3.4 Pembahasan

Berdasarkan hasil perhitungan yang dilakukan pada subbab sebelumnya, dapat disimpulkan:

1. Perhitungan yang dilakukan dengan teknik program dinamik, diperoleh: a. Tingkat produksi optimum CPO adalah sebesar 5.731.020 kg b. Tingkat produksi optimum Kernel adalah sebesar 108.733 kg c. Pendapatan optimum CPO dan Kernel adalah sebesar

Rp. 47.779.200.980

2. Perhitungan berdasarkan pola produksi perusahaan

b. Tingkat produksi optimal Kernel setiap bulannya adalah 986.320 Pendapatan optimum CPO dan Kernel adalah sebesar

Rp. 33.492.507.570

Perbandingan keputusan optimal perhitungan program dinamik dengan perhitungan perusahaan terlihat jumlah CPO dan Kernel yang diproduksi per bulan sesuai dengan jumlah permintaan pada bulan tersebut, maka biaya pendapatan per bulannya adalah Rp. 47.779.200.980.

Bila biaya produksi dengan perhitungan program dinamik dibandingkan dengan perhitungan perusahaan, maka akan terjadi peningkatan pendapatan penjualan sebesar:

= Perhitungan dengan Teknik Program Dinamik – Pola Produksi Perusahaan = Rp. 47.779.200.980 - Rp. 33.492.507.570

= Rp. 14.286.693.410

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

1. Tingkat produksi optimal CPO dan Kernel pada Turangie Oil Mill, masing-masing diperoleh 5.731.020 kg dan 108.733 kg per bulan.

2. Jumlah Pendapatan penjualan untuk CPO dan Kernel pada Turangie Oil Mill, berdasarkan perhitungan dengan menggunakan teknik Program Dinamik maka 1diperoleh pendapatan rata-rata sebesar Rp. 47.779.200.980 per bulan.

3. Jumlah Pendapatan penjualan untuk CPO dan Kernel pada Turangie Oil Mill, berdasarkan perhitungan dengan pola produksi perusahaan maka peroleh pendapatan rata-rata sebesar Rp. 33.492.507.570 per bulan.

4. Dengan menggunakan teknik Program Dinamik terjadi peningkatan pendapatan perusahaan sebesar Rp. 14.286.693.410

Saran

DAFTAR PUSTAKA

Aminudin. 2005. ”Prinsip-Prinsip Riset Operasi”. Jakarta: Erlangga

Bronson, Richard. 1988.”Teori dan Soal-Soal Operation Research”. Jakarta: Erlangga.

Levin, Richard. 1995. ”Pengambilan Keputusan Secara Kuantitatif”. Edisi Ketujuh. Jakarta: PT. Raja Grafindo Persada.

Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional Teori dan Praktek”. Cetakan Pertama. Jakarta: UI PRESS.

Siswanto. 2006. ”Operations Research”. Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Subagyo, Pangestu. 2005. ”Dasar-Dasar Operation Research”. Cetakan keempat. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta.

Taha, Hamdy. 1976. ”Operation Research an Introduction” New York: Mac Milon

DATA PERSEDIAAN BAHAN BAKU (TBS)

JANUARI s/d DESEMBER 2008

Bulan Jumlah (kg)

Januari Februari

Maret April Mei Juni Juli Agustus September

Oktober Nopember Desember

15.759.560 11.784.120 13.591.990 12.813.680 14.251.860 15.331.550 16.696.000 18.946.000 20.118.890 17.024.000 17.588.000 18.544.968

DATA JUMLAH PERMINTAAN CPO DAN KERNEL

PADA TURANGIE OIL MILL JANUARI s/d DESEMBER 2008

Bulan CPO Kernel

Januari Februari

Maret April

Mei Juni Juli Agustus September

Oktober Nopember Desember

2.647.490 4.453.750 3.193.100 3.069.680 3.069.560 3.667.040 3.278.290 4.784.030 4.075.270 5.731.020 3.821.330 4.609.580