Analisis Sensitivitas Pada Persoalan Transportasi Dengan Pendekatan Diferensial Kalkulus

ANALISIS SENSITIVITAS PADA PERSOALAN TRANSPORTASI

DENGAN PENDEKATAN DIFERENSIAL KALKULUS

SKRIPSI

GUSTRI L HUTAPEA

050803013

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

ANALISIS SENSITIVITAS PADA PERSOALAN TRANSPORTASI DENGAN PENDEKATAN DIFERENSIAL KALKULUS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

GUSTRI L HUTAPEA 050803013

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : ANALISIS SENSITIVITAS PADA PERSOALAN

TRANSPORTASI DENGAN PENDEKATAN DIFERENSIAL KALKULUS

Kategori : SKRIPSI

Nama : GUSTRI L HUTAPEA

Nomor Induk Mahasiswa : 050803013

Program Studi : SARJANA (S-1) MATEMATIKA

Diluluskan di

Medan, Desember 2009

Komisi Pembimbing:

Pembimbing I Pembimbing II

Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M. Si Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP. 19531218 198003 1 003 NIP. 19500321 198003 1 001

Diketahui/Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU

Dr. Saib Suwilo, M.Sc

NIP. 19640109 198803 1 004

PERNYATAAN

ANALISIS SENSITIVITAS PADA PERSOALAN TRANSPORTASI

DENGAN PENDEKATAN DIFERENSIAL

KALKULUS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Desember 2009

Gustri L. Hutapea

PENGHARGAAN

Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas kasih

serta segala berkat dan anugrah-Nya yang senantiasa dilimpahkanNya hingga skripsi

ini pun dapat terselesaikan dengan baik.

Demikian, penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang telah

membantu demi terselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu terima kasih penulis

ucapkan kepada:

1. Bapak Drs. Faiguzuduhu Bu’ulolo, M.Si dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo,

M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah memberikan bimbingan

dalam penulisan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si dan Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si selaku

komisi penguji atas segala masukan yang telah diberikan.

3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku ketua jurusan departemen matematika

FMIPA USU

4. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlyanto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU

5. Ayahanda, J. Hutapea, dan Ibunda, M. Tambunan, yang saya kasihi atas doa

dan segala dukungan moril dan materiil yang telah diberikan.

6. Saudara-saudara saya, Erni S. Hutapea, Roger P. Hutapea, Ester Hutapea, Eda

Marlina Butar-butar, Tante Frida Tambunan atas doa dan dukungannya.

7. Teman-teman Matematika st’05 terutama Heryanto Sembiring atas bantuannya

8. Teman-teman satu kost Bahagia: K’ Reni, Maya, K’ Nelly, Tiara, K’ Juni dan

Evi atas pengertian dan dukungan doanya.

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam

teori maupun penulisannya, karena itu penulis mengharapkan saran dari pembaca

demi perbaikan bagi penulis.

Akhir kata, kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak pembaca.

Hormat saya,

ABSTRAK

ABSTRACT

The balanced relation between supply and demand in transportation problem makes it difficult to use traditional sensitivity analysis methods. Because, in the process of changing supply or demand, at least one more supply or demand needs to be changed to make the balance relation possible. In this paper, gived a method utilizing the concept of complete differential for sensitivity analysis of righthand-side parameter in transportation problem. This method examines the changes relation of supply and demand without making any change in the basic optimal. This method use Arsham and Kahn’s simplex algorithm to obtain basic invers matrix that will used for sensitivity analysis.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Pembatasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 2

1.5 Manfaat Penelitian 2

1.6 Metodologi Penelitian 3

1.7 Tinjauan Pustaka 3

Bab 2 Landasan Teori 5

2.1 Persoalan Transportasi 6

2.2 Model Persoalan Transportasi 6

2.2.1 Definisi Model Transportasi 6

2.2.2 Model Matematika 7

2.3 Total Unimodularitas dari Matriks Transportasi 10

2.4 Karakteristik Persoalan Transportasi 11

2.5 Solusi Persoalan Transportasi

2.5.1 Tahapan Penyelesaian Persoalan Transportasi 13

2.5.2 Algoritma Arsham-Kahn

2.5.3 Eliminasi Gauss-Jourdan 18

2.5.4 Penghitungan Matriks B-1 19

Bab 3 Pembahasan 26

3.1 Penghitungan Solusi Optimal 26

3.2 Analisis Sensitivitas 37

Bab 4 Kesimpulan Dan Saran 43

4.1 Kesimpulan 43

4.2 Saran 44

Daftar Pustaka 45

Lampiran 46

DAFTAR TABEL

TABEL Halaman

Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi 13

Tabel 3.1 Persoalan Transportasi 25

Tabel 3.2 Matriks Tereduksi Baris 26

Tabel 3.3 Matriks Tereduksi 26

Tabel 3.4 Tabel Simpleks Sementara 29

Tabel 3.5 Tabel Simpleks Awal 29

Tabel 3.6 Tabel Simpleks Tereduksi 30

Tabel 3.9 Tabel Utama (Tidak Fisibel) 31

Tabel 3.14 Tabel Optimal 34

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Analisis sensitivitas merupakan analisis yang dilakukan pada solusi optimal suatu

persoalan program linear karena adanya perubahan diskrit parameter untuk melihat

berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan

optimalitasnya. Program linear merupakan suatu metode penyelesaian untuk

memperoleh solusi optimal (maksimum/minimum) dari suatu persoalan. Salah satu

tipe khusus dari persoalan program linear adalah persoalan transportasi.

Tipe khusus persoalan transportasi terletak pada beberapa karakter utamanya,

diantaranya bahwa persoalan transportasi cenderung membutuhkan sejumlah

pembatas dan variabel yang sangat banyak sehingga penyelesaiannya dengan

menggunakan metode simpleks biasa atau menggunakan komput er menjadi tidak

efektif karena membutuhkan banyak penghitungan atau mungkin dalam

penghitungannya akan menghadapi berbagai hambatan. Karakteristik yang lain adalah

adanya hubungan keseimbangan pembatas yakni antara total supply dan total demand. Hal ini mengakibatkan sulitnya melakukan analisis sensitivitas dengan menggunakan

metode biasa. Kesulitan ini disebabkan karena dalam proses pengubahan sumber

supply atau demand, satu atau lebih sumber harus diubah untuk mempertahankan kondisi keseimbangan ini. Karena itu pada tulisan ini analisis sensitivitas dilakukan

dengan menggunakan metode baru yakni dengan pendekatan diferensial lengkap

kalkulus.

Metode Stepping-stone merupakan salah satu metode yang cukup efektif untuk menyelesaikan persoalan transportasi karena pada metode penyelesaian ini tidak perlu

ditambahkan variabel artifisial atau variabel surplus/slack. Namun, informasi tabel

akhir yang diperoleh dari algoritma ini tidak cukup untuk melakukan analisis

Algoritma Arsham dan Kahn (yang selanjutnya disebut algoritma

Arsham-Kahn) menyelesaiakan persoalan ini dengan baik. Dalam algoritma ini diberikan

algoritma simpleks sederhana untuk menyelesaikan persoalan tanpa adanya

penambahan variabel. Adapun informasi mengenai matriks invers basis dapat

diperoleh dengan sedikit tambahan penghitungan, sehingga dengan menggunakan

metode penyelesaian ini selanjutnya dapat dilakukan analisis sensitivitas.

1.2. Perumusan Masalah

Perubahan nilai parameter pada solusi optimal dapat menyebabkan perubahan pada

basis optimal yang telah diperoleh sehingga permasalahan yang muncul adalah

menentukan berapa batasan maksimum perubahan nilai parameter yang tidak

mengubah basis optimal.

1.3. Pembatasan Masalah

Berdasarkan sifat keseimbangan persoalan transportasi maka persoalan dibatasi hanya

untuk perubahan nilai parameter ruas kanan pembatas.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui pengaruh yang terjadi karena

adanya perubahan nilai parameter pada solusi optimal dan menentukan batasan

maksimum perubahan nilai ruas kanan persoalan transportasi.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini diantaranya dapat menambah pengetahuan bagi penulis

serta dapat menambah wawasan dan literatur dalam bidang operasi riset terutama yang

1.6. Metodologi Penelitian

Penelitian ini bersifat studi literatur. Adapun bahan-bahan yang mendukung diperoleh

dari berbagai sumber seperti buku, jurnal, dan bahan bacaan lain yang berhubungan

dengan masalah yang dibahas diatas.

Penelitian ini terdiri dari beberapa tahapan:

Tahap 1 : Mempelajari model dan persoalan transportasi dan karakteristiknya

Tahap : Menjelaskan dan menguraikan metode penyelesaian yakni algoritma

Arsham-Kahn

Tahap 3 : Menurunkan rumus pendekatan differensial kalkulus untuk analisis

sensitivitas

Tahap 4 : Implementasi dengan menggunakan contoh

Tahap 5 : Kesimpulan.

1.7. Tinjauan Pustaka

Buku “Program Linear dan variasinya”, B.D. Nasendi, 1985. Pada buku ini dijelaskan asumsi-asumsi dasar yang berhubungan dengan model umum persoalan

transportasi.

(1) Bahwa suatu produk yang ingin diangkut tersedia dalam jumlah yang tetap dan

diketahui.

(2) Bahwa produk tersebut akan dikirim melalui jaringan transportasi yang ada

dengan memakai cara pengangkutan tertentu dari pusat-pusat pengadaan ke

pusat-pusat permintaan.

(3) Bahwa jumlah permintaan di pusat permintaan juga diketahui dalam jumlah

tertentu dan tetap.

(4) Bahwa ongkos angkutan perunit produk yang diangkut juga diketahui,

sehingga tujuan untuk meminimumkan biaya total angkutan dapat tercapai.

Buku “Operations Research An Introduction”, Hamdy A. Taha, eighth edition, 2007. Tujuan dari persoalan transportasi adalah untuk menentukan rencana pengangkutan yang akan meminimumkan biaya total angkutan dan memenuhi batasan

supply dan demand.

Jurnal“Sensitivity Analysis of Righthand-Side Parameter in transportation Problems”, S. Doutsdargholi et al, 2009. Dalam jurnal ini diberikan sebuah pendekatan baru analisis sensitivitas pada ruas kanan pembatas persoalan transportasi.

Pendekatan yang dimaksud dengan menggunakan konsep diferensial kalkulus.

Perubahan nilai sisi kanan dilakukan secara simultan dan diperoleh nilai batasan

perubahan yang tidak mengubah solusi basis.

Jurnal “A Simplex-type Algorithm for General Transportation Problem: An Alternative to Stepping-stone, H. Arsham & A. B. Kahn, 1989. Jurnal ini memberikan pendekatan penyelesaian persoalan transportasi dalam bentuk tabel simpleks

BAB II

LANDASAN TEORI

Persoalan utama yang dihadapi oleh seorang manajer atau pengambil keputusan

adalah bagaimana mengalokasikan suatu sumber yang terbatas diantara berbagai

aktivitas atau proyek.

Program linear adalah suatu metode yang dapat digunakan dalam menentukan

alokasi sumber dengan cara yang optimal. Metode ini adalah suatu alat yang

digunakan secara luas dalam penelitian operasi dan telah banyak membantu dalam

membuat keputusan pada sebagian besar industri manufaktur dan dalam bidang

finansial atau organisasi pelayanan.

Dalam istilah program linear, kata program berarti program matematis. Dalam

konteks ini artinya proses perencanaan yang mengalokasikan sumber; tenaga kerja,

materi, mesin atau modal dengan kemungkinan cara yang terbaik (optimal) sehingga

biaya diminimumkan atau keuntungan dimaksimumkan. Dalam program linear

sumber ini dikenal sebagai variabel keputusan. Kriteria dalam memilih nilai terbaik dari variabel keputusan (seperti maksimumkan keuntungan atau minimumkan biaya)

dikenal sebagai himpunan konstrain.

Kata linear menunjukkan bahwa kriteria dalam memilih nilai terbaik pada

variabel keputusan dapat digambarkan oleh fungsi linear dari variabel-variabel ini;

yakni fungsi aljabarnya hanya mengandung pangkat pertama variabel dengan tidak

ada hasil perkalian. Sebagai contoh; 23x₁dan 4x₂ merupakan variabel keputusan yang

Sebagai tambahan untuk syarat linear, ditetapkan batasan non-negatif yang

berarti variabel tidak boleh berharga negatif. Sehingga tidak mungkin diperoleh

sumber yang negatif.

2.1. Persoalan Transportasi

Persoalan tranportasi merupakan suatu persoalan yang membahas masalah

pendistribusian suatu komoditi atau produk dari sejumlah sumber (supply) ke sejumlah tujuan (demand) dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi. Suatu persoalan transportasi memiliki model sebagai berikut.

2.2. Model Persoalan Transportasi

Persoalan umum transportasi dapat dinyatakan dalam representasi jaringan berikut:

S1 (Cij, Xij) D1

S2 D2

. .

. .

Sm . . Dn

Gambar Representasi Jaringan Model Persoalan Transportasi

2.2.1. Definisi Model Tsransportasi

Berdasarkan gambar diketahui bahwa terdapat m sumber dan n tujuan, masing-masing

dinyatakan oleh sebuah node. Node-node tersebut dihubungkan oleh garis atau panah.

Panah (i,j) yang menghubungkan sumber i ke tujuan j membawa 2 jenis informasi: biaya transportasi Cij, dan jumlah yang diangkut Xij. Jumlah supply pada sumber i adalah Si dan jumlah demand pada tujuan j adalah Dj. Tujuan dari model tersebut

1

2

m

1

2

adalah untuk menentukan Xij yang belum diketahui yang akan meminimumkan total

biaya transportasi Cij dan memenuhi semua batasan supply dan demand.

2.2.2. Model Matematika

Andaikan terdapat m pusat sumber/supply dan n pusat tujuan/demand. Suatu produk x akan diangkut dari sumber i ke tujuan j (i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n) dengan

ongkos angkut per unit sebesar Cij, maka jumlah produk sebesar Xij dikirimkan dari

pusat sumber Si ke pusat tujuan Dj, sehingga model matematika persolan transportasi

adalah sebagai berikut:

Fungsi tujuan

1 1

m n

ij ij i j

Min Z c x

= =

=

∑∑

(1)

Dengan kendala:

1

1

1 1

, 1, 2,...,

, 1, 2,...,

0 m ij i i n ij j j m n i j i j ij

x S j n

x D i m

S D x = = = = = = = = = ≥

∑

∑

∑

∑

(2) di mana:

Xij adalah peubah pengambil keputusan, dalam hal ini jumlah produk yang diangkut

dari titik sumber i ke titik tujuan j

Si adalah jumlah yang disediakan untuk diangkut (supply/sumber) dari titik sumber i Dj adalah jumlah yang diminta untuk didatangkan (demand/kebutuhan) di titik tujuan j Cij adalah ongkos pengangkutan per unit produk xij yang bersangkutan

m adalah jumlah pusat sumber

n adalah jumlah pusat permintaan/tujuan.

Dalam keadaan di mana jumlah sumber tidak sama dengan jumlah permintaan maka

diperoleh model khusus persoalan sebagai berikut:

Fungsi tujuan

1 1

m n

ij ij i j

Min Z c x

= = =

∑∑

Dengan kendala: , 1 1 1, 2,...,

, 1, 2,...,

0 m ij i i n ij j j ij

x S j n

x D i m

x = = ≤ = ≥ = ≥

∑

∑

(3)

Persoalan transportasi juga dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

Fungsi tujuan :

1 1

m n

ij ij i j

Min C X

= =

∑∑

(4)

Dengan batasan:

Ax≤ b (5)

x ≥0 di mana :

1 2 , 1 2

(S ,= S , ...,S_m −D,−D , ...,−D_n)T

b adalah vektor ruas kanan pembatas

Α = matriks koefisien persoalan transportasi

Berdasarkan P. Siagian, untuk m persamaan kendala sumber dan n persamaan

kendala tujuanmaka total kendala sebanyak (m+n) sistem kendala, tetapi hanya

(m+n-1) persamaan yang bebas, sedang satu lagi (boleh yang mana saja) merupakan

persamaan yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari persamaan lainnya,

atau dengan kata lain salah satu kendala merupakan kendala yang berlebih. Ini dapat

dilihat dari sifat keseimbangan persoalan transportasi, yaitu :

1 1 m n i j i j S D = = =

∑

∑

sehingga :

1 1 1 1

m n m n

ij ij

i j i j

X X

= = = =

=

atau :

1

1 1 1 1

m n m n

ij in ij

i j i j

X X X

−

= = = =

 

+ =

 

 

∑ ∑

∑∑

(7)

akhirnya :

1

1 1 1 1 1

m m n m n

in ij ij

i i j i j

X X X

−

= = = = =

= −

∑

∑∑

∑∑

(8)

Dari hasil diatas ditunjukkkan bahwa persamaaan pada ruas kiri yaitu

persamaan ke-n dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari persamaan pada ruas kanan,

atau dengan kata lain sesungguhnya persamaan ke-n sudah terpenuhi berdasarkan

persamaan pada ruas kanan. Karena itu persamaan ke-n dapat disingkirkan dari sistem,

sehingga hanya ada (m+n-1) persamaan yang benar-benar bebas artinya berbeda satu

dengan yang lain.

Menurut teori program linear, jika sistem kendala terdiri dari (m+n-1)

persamaan bebas dengan mn variabel, maka variabel basis yaitu variabel yang tidak

berharga nol x_ij ≠0, terdiri dari (m+n-1) variabel dan variabel nonbasis ada sebanyak

mn – (m+n-1) = (m-1)(n-1) buah yaitu untuk x_ij= 0. Karena itu jawab layak basis

yang terdiri dari variabel ≠0, tidak lebih dari (m+n-1) variabel, diantaranya tentu

terdapat satu jawab layak basis optimal.

Sebagai ilustrasi, jika terdapat dua daerah sumber A1 dan A2 dan tiga daerah

tujuan, T1, T2 dan T3. Masing-masing sumber memiliki kapasitas 50 dan 70 satuan.

Sedangkan daerah tujuan masing-masing memiliki kebutuhan sebanyak 40, 60 dan 20

satuan. Maka jika daerah sumber A1 telah mengirimkan sebanyak 50 satuan dan

sumber A2 telah mengirimkan sebanyak 70 satuan, dan juga jika daerah tujuan T1 dan

T2 masing-masing telah menerima 40 dan 60 satuan, maka daerah tujuan T3 dengan

sendirinya harus menerima sisanya yaitu 20 satuan. Karena itu daerah tujuan T3 adalah

kendala yang berlebihan. Jadi, hanya ada empat persamaan bebas yaitu persamaan A1,

A2, T1 dan T2, karena itu hanya ada empat variabel basis.

2.3 Total Unimodularitas dari Matriks Transportasi

Suatu matriks transportasi dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :

Kendala sumber

(9)

Kendala tujuan

Matriks Koefisien PersoalanTransportasi

Satu sifat yang paling penting yang dimiiki oleh matriks transportasi adalah sifat total

unimodular. Matriks Αadalah total unimodular jika determinan dari setiap submatriks

bujursangkar yang dibentuk dari matriks Α memiliki nilai -1, 0 atau 1.

Dalam kasus matriks transportasi, karena semua entrinya 1 atau 0 maka setiap

submatriks berukuran 1 1x memiliki determinan bernilai 1 atau 0. Selanjutnya,

submatriks yang berukuran (m n x m n+ ) ( + ) memiliki determinan bernilai 0 karena

( ) 1

rank Α = m n+ − . Terakhir akan ditunjukkan bahwa suatu submatriks

(1 )

kxk < <k m juga memunuhi sifat ini.

AndaikanΑ_k adalah suatu submatriks berukuran kxk dari Α. Harus

ditunjukkan bahwa det(Α_k)= ±1 atau 0. Dengan induksi pada k, andaikan bahwa

sifat benar untuk Α_k−1(jelas sifat ini benar untuk Α₁). Ingat kembali bahwa setiap

kolom dari Α_k mungkin tidak memiliki entri 1, memiliki sebuah entri 1 atau memiliki

dua entri 1.

1. Jika suatu kolom Α_ktidak memiliki entri 1 maka det

( )

Α_k =0

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

=  

 

 

 

 

 

 

 

 













     

2. Jika, dalam kasus lain, suatu kolom dari Α_k memiliki dua entri 1, maka satu

dari entri 1 akan muncul pada baris sumber dan entri 1 lainnya akan muncul

pada baris tujuan. Dalam kasus ini jumlah dari baris sumber dari Α_k sama

dengan jumlah dari baris tujuan dari Α_k. Sehingga baris dari Α_k adalah

bergantung linier dandet

( )

Α_k =0.

3. Terakhir, jika suatu kolom dari Α_k memiliki sebuah entri 1 maka ekspansi

det(Α_k) dengan minor dari kolomnya, diperoleh :

1

det(Α_k)= ±det(Α_k− )

di mana Α_k−1 adalah submatriks berukuran (k−1) (x k−1). Tetapi oleh

hipotesis induksi, det(Α_k−1)= ±1 atau 0. Sehingga sifat ini benar untuk Α_k

dan hasil ditunjukkan.

2.4Karakteristik Persoalan Transportasi

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, persoalan transportasi merupakan tipe khusus

dari persoalan program linear. Dikatakan demikian karena persoalan transportasi

memiliki beberapa karakter atau sifat yang membedakannya dengan persoalan

program linear lainnya, diantaranya :

2.4.1. Persoalan transportasi cenderung memiliki variabel dan konstrain yang cukup

banyak. Hal ini dapat dimaklumi karena kegiatan dari persoalan transportasi

yang mengalokasikan suatu komoditi dari sejumlah sumber dengan kapasitas

yang berbeda-beda dan masing-masing sumber ke sejumlah tujuan yang

membutuhkan komoditi itu dengan tingkat kebutuhan yang berbeda-beda pula.

Karena itu penyelesaian persoalan tranportasi dengan menggunakan metode

penyelesaian program linear biasa, seperti simpleks, menjadi tidak efektif

digunakan karena penggunaan metode simpleks memerlukan penambahan

variabel surplus/slack dan variabel artificial yang akan menambah penghitungan dalam penyelesaiannya.

2.4.2. Adanya hubungan keseimbangan. Dalam persolan transportasi umumnya

diasumsikan bahwa total sumber harus sama dengan total tujuan. Namun dalam persoalan nyata hal ini tentunya tidak selamanya bisa terpenuhi, akan

tetapi persoalan tersebut dapat dijadikan seimbang dengan menambah sumber

dummy atau tujuan dummy. Bila total sumber a lebih besar dari total tujuan b maka tambahkan variabel dummy pada tujuan sebesar selisih dari total sumber dan total tujuan, yaitu sebesar (a – b). Sebaliknya, bila total tujuan b lebih besar

dari total sumber a, maka tambahkan variabel dummy pada sumber sebesar selisih dari total tujuan b dan total sumber a, yakni sebesar (b – a). Dan perlu

diingat bahwa sesungguhnya tidak ada terjadi pengalokasian ke sumber atau

tujuan dummy ini, sehingga biaya yang ditimbulkan juga tidak ada, atau cij

adalah bernilai 0.

2.5 Solusi Persoalan Transportasi

Sebelum menguraikan metode penyelesaian, diberikan beberapa definisi sebagai

referensi persoalan transportasi :

Solusi fisibel, merupakan himpunan alokasi non-negatif Xij ≥0 yang memenuhi

kendala baris dan kolom.

Solusi fisibel awal, merupakan sebuah solusi fisibel dengan jumlah alokasi positifnya adalah (m+n-1) untuk suatu persoalan dengan m sumber dan n tujuan.

Solusi optimal, adalah sebuah solusi yang meminimumkan biaya alokasi.

Seperti dalam metode simpleks, model-model transportasi juga diselesaiakan

dengan menggunakan sebuah tabel. Andaikan terdapat m daerah sumber; serta n

daerah tujuan; dengan biaya transportasi dari sumber i ke tujuan j adalah Cij (i = 1, 2,

…, m dan j = 1, 2, …, n) dan jumlah yang diangkut dari sumber i ke tujuan j adalah xij

(i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n). Maka bila disusun ke dalam sebuah bentuk tabel

Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi

Ke Dari

Tujuan

Supply

1 2 … j … n

S u m b e

r 1

C11 C12 C11 C1n

S1

X11 X1n

2 C21 C22 C21 C2n S2

X21 X22 X21 X2n

.

. _. . . _. . . _. . . _. . . _. . .

i Ci1 Ci2 Cij Cin S1

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . .

m Cm1 Cm2

Cm 1

Cm

n Sm

Xm1 Xm2 Xm1 Xmn

Demand D1 D2 Dj Dn ΣSi=ΣDj

2.5.1. Tahapan Penyelesaian Persoalan Transportasi

2.5.1.1. Tahap penentuan solusi basis awal

Ada 3 metode yang umum digunakan dalam penetuan solusi basis awal, yakni :

1. Metode Pojok Barat-Laut, metode ini bekerja cenderung lebih mudah dibanding metode lainnya, akan tetapi metode ini memiliki kelemahan karena lebih

menitikberatkan pada proses jadi nilai menjadi terabaikan, sehingga metode ini

tidak memberikan solusi yang optimum.

2. Metode biaya sel minimum, metode ini bekerja dengan mengalokasikan sumber pada sel-sel yang memiliki biaya terkecil terlebih dahulu. Dibandingkan dengan

metode Northwest Corner, metode minimum cost biasanya lebih unggul dalam pencapaian nilai optimal. Secara logika hal ini dapat diterima karena metode

Northwest Corner tidak memperhitungkan biaya sama sekali dalam pengalokasiannya, sedangkan metode minimum cost memperhitungkan biaya.

3. Metode Pendekatan vogel, metode ini biasanya memberikan hasil yang lebih baik dibanding metode northwest corner dan minimum cost. Namun penyelesaian dengan metode ini juga cenderung lebih kompleks.

2.5.1.2. Tahap uji optimalitas

Tahap uji optimalitas mancakup penetuan entering variable dan leaving variable. Tahap uji optimalitas merupakan tahap berikutnya dari teknik pemecahan

persoalan transportasi untuk mengetahui apakah solusi yang diperoleh sudah optimal

atau belum. Ada 2 metode yang dapat digunakan dalam uji optimalitas ini, yaitu

metode Batu Loncatan dan metode Distribusi yang dimodifikasi (MODI). Metode-metode diatas merupakan Metode-metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan

persoalan transportasi. Namun pada tulisan ini seperti telah dijelaskan di muka akan

digunakan algoritma Arsham-Khan untuk menyelesaikan persoalan transportasi.

2.5.2. Algoritma Arsham-Kahn

Ada beberapa keunggulan algoritma ini, yaitu :

1. Tidak ada variabel artificial (seperti dalam simpleks) atau penambahan

variabel slack/surplus (seperti dalam dual simpleks) 2. Semua analisis postoptimal tersedia

3. Terlihat lebih cepat dari metode program linear lainnya

4. Kesederhanaannya: hanya menggunakan Gauss Jourdan Pivotting.

Sebelum menguraikan langkah-langkah penyelesaian dengan algoritma ini, terlebih

dahulu diperkenalkan notasi-notasi yang akan dipergunakan.

PT : persoalan transportasi

PL : program linear

SS : stepping-stone

GJP : Gauss-Jourdan Pivotting

VB : variabel basis

HVB : himpunan variabel basis

FE : fisibelitas

BP : baris pivot (baris yang ditentukan untuk variabel masuk)

KP : kolom pivot (kolom yang berhubungan dengan variabel masuk)

EP : elemen pivot

BT : baris terbuka (sebuah baris yang belum diisi variabel basis ; diberi

label [?]

[?] : label untuk baris yang belum diisi variabel basis (baris terbuka)

NSK : nilai sebelah kanan

Algoritma ini dimulai dengan inisialisasi persiapan dan diikuti oleh dua

tahapan. Tahap pertama merupakan iterasi VB untuk membangun HVB yang mungkin

fisibel atau tidak. Tahap kedua merupakan iterasi FE untuk membangun solusi yang

fisibel dan optimum. Kedua tahapan ini menggunakan transformasi GJP. Akan tetapi

berbeda dalam metode memilih EP. Iterasi VB menggunakan kriteria simpleks, yang

dimodifikasi hanya untuk memilih baris terbuka yang belum diisi VB. Strategi ini

membawa kepada tercapainya titik optimal, dan terkadang menyebabkan

ketidakfisibelan. Iterasi FE, jika dibutuhkan, membawa kembali solusi kepada

fisibelitas dengan menggunakan kriteria dual simpleks untuk memilih EP.

Jelas, dalam suatu persoalan transportasi yang setimbang, satu dari (m+n)

konstrain adalah berlebih. Dari pada mengeliminasi konstrain secara sebarang, maka

pada algoritma ini dieliminasi konstrain yang akan lebih banyak memberikan

pengurangan jumlah iterasi pada tahap pertama.

Adapun dalam tahapan-tahapan ini masing-masing dapat dikelompokkan

berdasarkan operasi yang menambah keefisienan dalam pengerjaannya. Langkah 0.1

dan 0.2 mengeliminasi konstrain yang akan lebih banyak mengurangi jumlah iterasi.

Kelompok kedua terdiri dari tiga operasi: 1.2c, 2.2a dan 2.2d, yang bersama-sama

secara progresif mengurangi ukuran tabel.

Iterasi 0 (Persiapan)

0.0 – Formulasi matriks-biaya PT

0.1 – Reduksi baris-kolom (atau reduksi kolom-baris)

Dari setiap baris kurangkan terhadap biaya terkecil.

Akumulasi pengaruh dari setiap reduksi baris menjadi biaya awal.

Demikian, dari setiap kolom kurangkan terhadap biaya terkecil.

Akumulasi pengaruh dari setiap reduksi kolom menjadi biaya awal.

0.2 – Eliminasi konstrain berlebih

Periksa baris atau kolom yang memiliki nilai nol terbanyak

Eliminasi konstrain tersebut.

0.3– Bentuk tabel simpleks

Gunakan sebuah baris untuk setiap konstrain dan sebuah kolom untuk setiap

variabel.

Jangan menambahkan variabel artificial

0.4– Tentukan HVB

Untuk setiap kolom yang merupakan vektor satuan, beri label baris dengan

nama variabel pada kolom tersebut.

Beri label baris yang lain dengan tanda tanya (?).

0.5– Hapus kolom VB.

Iterasi 1 (Tahap VB)

1.0 – Uji terminasi iterasi HVB

Jika terdapat label (?) atau terdapat baris terbuka, maka lanjutkan iterasi VB.

Jika tidak HVB telah lengkap; mulai tahap FE (langkah 2.0).

1.1 – Pilih VB dari EP

KP : Pilih nilai Cij terkecil dan tetapkan sebagai bakal kolom.

BP : Pilih baris terbuka sebagai bakal baris.

EP : Pilih bakal baris dan kolom dengan K/B non-negatif terkecil.

Jika tidak ada K/B non-negatif, pilih K/B yang bernilai absolut terkecil.

Jika elemen pivotnya bernilai nol, maka pilih Cij terbaik selanjutnya.

1.2 – Penambahan HVB

(a) Lakukan GJP.

(b) Ubah label baris (?) dengan nama variabel.

(c) Pindahkan KP dari tabel.

Lanjutkan iterasi HVB (kembali ke 1.0)

Iterasi 2 (Tahap FE)

2.0 – Uji terminasi iterasi FE

Jika NSK non-negatif, maka tabel sudah optimal. Interpretasikan hasilnya.

Jika terdapat NSK negatif maka lanjutkan iterasi FE (langkah 2.1).

2.1 – Pilih FE dari EP

BP : Baris dengan NSK paling negatif .

KP : Kolom dengan sebuah elemen negatif pada BP.

2.2 – Transformasi FE

(a) Simpan KP di luar tabel.

(b) Lakukan PGJ biasa.

(c) Tukarkan label KP dan BP.

(d) Ganti KP baru dengan KP lama yang disimpan dalam (a).

Lanjutkan iterasi FE (kembali ke 2.0)

Bagian Akhir Algoritma

Tahap pertama dari algoritma ini dapat digolongkan sebagai pencarian himpunan

variabel basis yang menuju kepada titik optimal. Tahap kedua, jika diperlukan,

membawa kembali kepada fisibelitas. Pada kedua tahapan tersebut digunakan Gauss-Jourdan pivoting. Namun, kriteria pemilihannya berbeda untuk tiap tahap. Tahap pertama menggunakan kriteria simplek biasa, dibatasi hanya memilih baris terbuka.

Jika diperlukan, fisibelitas ditiadakan. Tahap kedua menggunakan kriteria dual

simpleks biasa, dan memastikan penghentian algoritma.

Garis Besar Pembuktian Algoritma

Dasar teori dari algoritma ini secara luas terletak pada sifat unimodular dari matriks

koefisien dalam tabel simpleks persoalan transportasi; yaitu nilai-nilai koefisiennya

adalah 0, -1 atau 1. Dengan menggunakan ketentuan bahwa matriks unimodular tetap

unimodular setelah dilakukan Gauss-jourdan pivoting. Berdasarkan formulasi program linear, optimalitas diperoleh ketika semua Cij non-negatif dan algoritma

berakhir.

Algoritma ini dimulai dengan semua Cij non-negatif. Terlihat bahwa, dengan

menggunakan operasi yang diberikan untuk memperoleh solusi basis dan fisibel, Cij

tetap non-negatif.

Langkah 0.1 : jelas, dengan reduksi baris-kolom ( kolom-baris) matriks biaya,

sifat non-negatif dari Cij ini tetap terjaga.

Langkah 0.2 : jumlah variabel basis terbaca yang ada sama dengan jumlah Cij = 0

pada baris (kolom) yang berhubungan dengan kendala yang terpilih

untuk dieliminasi sebagai kendala berlebih.

Langkah 0.5 : menghapus kolom basis, diijinkan jika variabel tersebut ditambahkan

menjadi sebuah basis, bukan mengganti variabel. (Hal ini

mengurangi kompleksitas secara signifikan, dan tabel yang dihasilkan

lebih kecil dari ukurannya).

Langkah 1.1 : kriteria pemilihan. Dengan memilih Cij terkecil menjamin bahwa

himpunan Cij tetap non-negatif setelah pivoting. Jika pivoting tidak memungkinkan (tidak terdapat C/R yang berhingga/finite), pilih Cij

terkecil selanjutnya. Akan tetapi, nilai dari Cij terkecil tidak berubah

karena elemen baris pivot pada kolom tersebut adalah nol.

Langkah 2.1 : jika ada sebuah NSK < 0, maka terdapat paling sedikit satu elemen

bernilai -1 pada baris itu. Jika ini tidak terjadi, maka konstrainnya

tidak konsisten atau berlebih, yang tidak mungkin terjadi pada

formulasi program linear persoalan transportasi.

2.5.3 Eliminasi Gauss-Jourdan

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada

metode eliminasi Gauus-Jordan elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal

utama suatu matriks dijadikan nol. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa

matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1,

elemen-elemen lainnya nol).

Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut

dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jourdan

hanya dapat dilakukan dengan menambahkan matriks identitas dengan

dimensi yang sama dari suatu matriks persegi A, dan melalui operasioperasi matriks:

[ ]

1

AI ⇒ IA− _

2.5.4 Penghitungan Matriks Invers Basis Β−1

Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa dalam solusi persoalan transportasi yang

diperoleh dari algoritma Arsham-Kahn tidak akan diperoleh matriks basis invers Β−1,

yang diperlukan untuk analisis postoptimal. Hal ini terjadi karena dalam metode penyelesaian ini tidak ada penambahan variabel artifisial.

Namun, nilai ini dapat diperoleh dengan memformulasikan bentuk parametrik

NSK pada persoalan transportasi dan menyelesaikannya dengan algoritma ini

sehingga diperoleh informasi tersebut dengan sedikit tambahan penghitungan.

Andaikan terdapat persoalan transportasi berikut,

Persoalan Z1

1 1 1 , m n ij ij i j

Minimumkan Z C X

= =

=

∑∑

(10)

Dengan batasan supply,

1 m ij i i X S = =

∑

untuk j = 1, 2, …, n (11)

dan batasan demand,

1 n ij j j X D = =

∑

untuk i = 1, 2, …, m (12)

, , 0

ij j i

X D S ≥

Tanpa menghilangkan bentuk umumnya, diberikan batasan yakni persolan

transportasi seimbang, yakni :

1 1 , m n i j i j S D = = =

∑

∑

sehingga salah satu dari m+n batasan merupakan batasan yang berlebih dan dapat

ditiadakan. Bentuk parametrik dari Z1 menjadi :

Persolaan Z2

' 2

1 1

( )

m n

ij ij ij

i j

Minimumkan Z C C X

= =

=

∑∑

+ (13)

Dengan batasan,

1

m

ij i i

i

X S S

=

= + ∆

∑

untuk j = 1, 2, …, n (14)

1

n

ij j j

j

X D D

=

= + ∆

∑

untuk i = 1, 2, …, m (15)

Di mana parameter NSK, ∆S_idan ∆D_j dan nilai parameter biaya C_ij' merupakan data yang belum pasti nilainya. Jelas, persoalan tersebut akan tetap

seimbang jika memenuhi:

1 1 m n i j i j S D = = ∆ = ∆

∑

∑

(16)

Agar diperoleh bentuk NSK non-negatif pada gangguan persoalan transportasi

tersebut, gangguan parameter harus memenuhi kondisi berikut :

Si+ ∆ ≥Si 0, dan Dj+ ∆ ≥Dj 0 (17)

Sehingga dengan menyelesaikan persoalan dengan algoritma Arsham-Kahn

diperoleh bentuk tabel berikut :

Tabel Awal

Tabel Akhir

Tabel awal dibagi menjadi koefisien variabel basis Β, koefisien variabel

non-basis Ν, yang juga muncul pada tabel akhir, dan kolom NSK yang terdiri dari nilai

VB

X XNB NSK

?

Β Ν i

j S D ∆   + _∆    b Ι ? ? VB

C C_NB

NB

X NSK

V

X _Β Β Ν−1 1 1 i

j S D − ₊ − ∆  _∆    b Β Β 1 NB VB

[image:30.595.99.333.475.680.2]

nominal NSK dan parameter gangguan ∆S_i dan ∆D_j, dan Ι merupakan matriks identitas berorde (m+n-1), atau dapat ditulis :

∆S₁ ∆S₂  ∆S_p ∆ ∆D₁ D₂  ∆D_q

I =

1

2

1

2

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

p q S S S D D D ∆    _{ ∆}      _{ ∆}     ∆  _∆       ∆                    

Di mana: p + q = m + n – 1.

Seperti telah dijelaskan sebelumnya solusi persoalan akan terdiri dari sebanyak m+n-1

variabel atau terdapat sebanyak m+n-1 variabel basis, jadi matriks B merupakan koefisien dari m+n-1 variabel ini. Namun dalam proses penyelesaian persolan

dengan algoitma Arsham-Khan, kolom-kolom variabel akan dihapus begitu variabel

tersebut dimasukkan ke dalam basis, atau dengan kata lain kolom untuk variabel basis

ditiadakan. Akan tetapi berdasarkan tabel awal dan karena persoalan ini diselesaikan

dengan metode Gauss-Jourdan maka berlaku

[ ]

Β Ι ⇒ Ι Β −1_ sehingga diperoleh

hasil seperti pada tabel akhir. Analisis sensitivitas dilakukan setelah diperoleh matriks

invers basis Β−1, yaitu matriks koefisien dari ∆S_i dan ∆D_j pada solusi

optimal X_ij*(∆ ∆S_i, D_j).

2.6 Analisis Sensitivitas Pada Persoalan Transportasi

Analisis sensitivitas pada persoalan program linear dilakukan setelah diperoleh solusi

optimal karena adanya perubahan suatu nilai sebelah kanan atau koefisien fungsi

objektif. Berdasarkan perubahan tersebut maka diperiksa dampak perubahannya

terhadap solusi optimal dan nilai optimal. Uji terhadap perubahan solusi optimal dan

nilai optimal tersebut disebut analisis sensitivitas.

Sebagai contoh , jika solusi optimal adalah sebagai berikut :

x_Β* =Β−1b, Z* =C_ΒΒ−1b (18)

Di mana C_Β adalah vektor koefisien dari fungsi objektif yang koefisiennya berhubungan dengan indeks variabel basis, *

x_Β adalah solusi optimal basis dan

*

Z adalah nilai optimal. Jadi, rasio perubahan solusi optiml dan nilai optimal terhadap perubahan b_kadalah sebagai berikut :

* 1 dx

d

−

=

b

Β _{Β atau}

* *

, , 1, 2, ...,

i i k k dx

y k m

db = =

Β

(19)

di mana y_{i k}*_, merupakan elemen ke (i,k) dari matriks Β−1.

Analisis sensitivitas pada parameter sebelah kanan persoalan transportasi tidak

dapat dilakukan dengan menggunakan metode analisis sensitivitas yang digunakan

pada persoalan program linear biasa. Hal ini disebabkan, karena satu parameter,

beberapa parameter mungkin berubah secara simultan atau serentak karena perubahan

parameter harus juga memenuhi persamaan keseimbangan model transportasi

(

∑

S_i =

∑

D_j) (karena keseimbangan persoalan transportasi, paling sedikit satu lagi parameter sebelah kanan harus diubah). Untuk menguji dan mengukur nilai ini,

digunakan konsep diferensial lengkap.

Untuk fungsi

Definisi :

( )

y= f x , didefinisikan:

(a) dx, disebut diferensial x, dengan hubungan dx= ∆x. (b) dy, disebut diferensial y, dengan dy= f x dx′( ) .

Dari definisi, diferensial peubah bebas adalah sama dengan pertambahan

peubah tersebut, tetapi diferensial peubah yang bergantung tidak sama dengan

Untuk fungsi 2 variabel bebas x dan ,y z = f(x, y), didefinisikan dx= ∆x dan

dy= ∆y. Bila x berubah sedangkan y tetap, z merupakan fungsi dari x saja dan

diferensial parsial z terhadap x didefinisikan sebagai d z_x f x y d_x( , ) _x zdx x

∂

= =

∂ .

Dengan cara yang sama, diferensial parsial zterhadap y didefinisikan sebagai

( , )

y y y

z d z f x y d dy

y

∂

= =

∂ . Diferensial total dz didefinisikan sebagai jumlah diferensial

parsialnya, yaitu,

z z

dz dx dy

x y

∂ ∂

= +

∂ ∂ (20)

Untuk fungsi w=F x y z( , , , ..., )t , diferensial total dwdidefinisikan sebagai

...

w w w w

dw dx dy dz dt

x y z t

∂ ∂ ∂ ∂

= + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ (21)

Andaikan bahwa, diantara nilai sebelah kanan k parameter diubah.

Selanjutnya, berdasarkan sifat keseimbangan persoalan transportasi,

∑ ∑

s_i = d_jdan

j j

d d

∆ < dan ∆ <s_i s_i harus dipenuhi. Maka berdasarkan konsep diferensial total,

diperoleh persamaan berikut :

* * *

*

1 2

1 2

...

i i i

i

B B B

B m

m

x x x

dx =∂ d + ∂ d + +∂ d

∂b b ∂b b ∂b b (22)

Dengan memperhatikan konsep umum perubahan dalam kasus diferensial

lengkap, dapat dianggap bahwa db₁ = ∆b₁, sehingga diperoleh * * i i

B B

dx = ∆x . Dengan

menggantikan * * , i B i k k dx y

db = dalam persamaan (22) dan juga dengan memperhatikan

perubahan dalam k parameter nilai sebelah kanan, persamaan berikut diperoleh :

* * * * ,1 1 ,2 2 ... , i

B i i i k k

x y y y

∆ = ∆ +b ∆b + + ∆b (23 )

Karena y*_{i j,} , j=1, 2, ...,k adalah faktor baris ke i dari matriks Β−1 dan juga

berdasarkan sifat unimodular pada Β−1, persamaan berikut diperoleh :

*

1

( ) , 1, 2, ..., i

k

i j

x α i m

=

∆ _Β =

∑

∆b = α = −1, 1 atau 0 (24)

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, pada analisis sensitivitas suatu persoalan,

perubahan parameter tidak boleh mengubah basis optimal yang telah diperoleh.

Sehingga, setelah perubahan nilai sebelah kanan, harus dipenuhi :

* *

0, 1, 2, ...,

i i

x_Β + ∆x_Β ≥ i= m (25)

yang menyatakan kemampuan basis tetap fisibel setelah perubahan. Solusi optimal

fisibel dan basis tidak berubah setelah perubahan parameter sebelah kanan secara

simultan diuji sebagai berikut : perlu dicari batasan ∆b_i yang tidak membawa ke dalam bentuk infisibel atau tidak layak pada solusi optimal. Sebagai contoh,

persamaan berikut dipenuhi untuk ∆b_i:

* *

0

i i x_Β + ∆x_Β ≥

* * * 2 *

,1 ,2 , 1

1 1

... 0, 1, 2, ...,

i

k

i i i k

x +_y + y ∆ + + y ∆ _∆ ≥ i= m

∆ ∆   b b b b b

Β (26)

* *

1

0 , 1, 2, ...,

i i

dx

x i m

*

1

0

i dx

db ≤

Β

, maka _{1 *}*

1 i

i x d

dx d

− ≤

b

b

Β Β

(28)

dan secara umum,

* *

1 *

1

1

min i i 0

i x dx s

dx d d

 

₋ 

 

∆ ≤ _ ≤ _

 

 

 

b

b

b Β Β

Β

Β (29)

dipenuhi yang menyatakan perubahan maksimum b₁, di mana S_Β merupakan indeks variabel basis. Batasan untuk paramer lainnya dapat ditentukan dengan cara yang

sama.

BAB III PEMBAHASAN

Di bawah ini diberikan suatu persoalan dalam bentuk tabel trasnportasi.

Tabel 1. Persoalan Transportasi

Asal

Tujuan

Persediaan

T1 T2 T3 T4 T5 T6

A1 18

A2 22

A3 39

A4 14

Kebutuhan 10 11 13 20 24 15 104

3.1 Penghitungan Solusi optimal

Sebagai langkah awal akan dicari solusi optimal dengan menggunakan algoritma Arsham-Kahn berikut.

Iterasi 0 (Persiapan)

0.0- Formulasi matriks biaya PT

Formulasi matriks biaya telah dinyatakan pada tabel 1 diatas karena persoalan

transportasi sudah setimbang.

0.1- Reduksi baris-kolom (reduks i kolom baris). Reduksi baris yaitu dengan

mengurangi masing-masing baris dengan biaya terkecil dari baris tersebut, yakni

untuk baris 1, 2, 3, dan 4 secara berturut dikurangi dengan 8, 12, 10 dan 12.

Berdasarkan tabel baris tereduksi kemudian dilakukan reduksi kolom yaitu

dengan mengurangkan masing-masing kolom dengan biaya terkecil dari kolom

tersebut, yakni secara berturut untuk kolom 1 sampai 6 dengan 2, 4, 0, 0, 0 dan 1.

10 12 13 8 14 19

18

17 16 13 14 10 18

19 18 20 21 12 13

19 16

12

[image:37.595.102.531.144.373.2]

Matriks baris tereduksi diberikan oleh tabel 2 dan 3 berikut.

Tabel 2. Matriks tereduksi baris

Asal

Tujuan

Persediaan

T1 T2 T3 T4 T5 T6

A1 18

A2 22

A3 39

A4 14

Kebutuhan _{10 11 13 20 24 15 104}

`

Tabel 3. Matriks tereduksi

Asal

Tujuan

Persediaan

T1 T2 T3 T4 T5 T6

A1 18

A2 22

A3 39

A4 14

Kebutuhan 10 11 13 20 24 15 104

*

Catatan : akumulasi biaya awal adalah (8x18) + (12x22) + (10x39) + (13x14) + (2x10) + (4x11) + (1x15), atau 1059

0.2– Eliminasi konstrain berlebih

Baris pertama (asal 1) memiliki nilai nol terbanyak, maka konstrain asal 1 akan

dieliminasi

0.3– Formulasi tabel simpleks

2 4 5 0 6 11

6

7 6 3 4 0 8

7 6 8 9 0 1

7 4

0

3 8

0 0 5 0 6 10

2

5 2 3 4 0 7

5 2 8 9 0 0

7 4

0

1 7

[image:37.595.101.534.402.649.2]

Pada Tabel 4 ditunjukkan tabel awal sementara yang masih mengandung baris

asal 1.

0.4- Menentukan HVB

Pada tabel 5 diperoleh enam variabel sebagai himpunan variabel basis awal dan

tiga baris terbuka

0.5- Hapus kolom HVB

Ditunjukkan oleh tabel 6

Iterasi 1 (Tahap VB)

1.0- Uji terminasi HVB

Terdapat label (?) atau terdapat baris terbuka, lanjutkan iterasi HVB pada langkah

1.1

1.1- Memilih VB dari EP

KP: Pilih Cij terkecil, kolom x23, x35, x45, dan x46 merupakan bakal kolom.

BP: Baris 1, 2 dan 3 merupakan baris terbuka.

EP: Bakal EP tak nol diberi tanda [ ] dan ( ) pada tabel 6. Tanda [ ] yakni variabel

x46 memiliki K/B non- negatif terkecil.

1.2- Penambahan HVB

(a) Lakukan GJP

(b) Ubah label baris (?) dengan variabel x46

(c) Hapus KP dari tabel, diperoleh hasil pada tabel 7.

Akhiri iterasi HVB (kembali ke langkah 1.0)

1.0- Uji terminasi iterasi HVB

Terdapat label (?) (terdapat baris terbuka), lanjutkan iterasi VB ke langkah 1.1

Proses ini berlanjut hingga tidak ada lagi baris terbuka, hasil ditunjukkan pada

tabel 9. Kemudian dilanjutkan ke tahap feasibelitas.

Iterasi 2 (Tahap FE)

2.0- Uji terminasi iterasi FE

NSK memiliki elemen negatif, lanjutkan iterasi FE (langkah 2.1)

2.1- Pilih FE dari EP

KP: Perhatikan hanya kolom dengan elemen negatif. Pilih kolom dengan Cij

terkecil yakni kolom x36

EP: Elemen pivot diberi tanda [ ] pada tabel 9.

2.2- Transformasi FE

(a) Simpan KP (kolom x36) di luar tabel

(b) Lakukan GJP biasa

(c) Tukar label KP (x36) dan BP (x15)

(d) Ganti KP baru dengan KP lama yang disimpan pada (a)

Hasil ditunjukkan pada tabel 10.

Akhiri iterasi FE (kembali ke langkah 2.0)

2.0- Uji terminasi iterasi FE

NSK memiliki elemen negatif, lanjutkan iterasi FE (langkah 2.1)

2.1- Pilih FE dari EP

BP: Pilih baris dengan NSK terkecil. Baris x16 memiliki NSK terkecil.

KP: Pilih yang memiliki Cij terkecil yakni x33.

EP: Elemen pivot diberi tanda [ ] pada tabel 10.

2.2- Transformasi FE

(a) Simpan KP ( kolom x33) di luar tabel

(b) Lakukan GJP biasa

(c) Tukar label KP (x33) dan BP (x16)

(d) Ganti KP baru dengan KP lama yang disimpan pada (a)

Hasil ditunjukkan pada tabel 11.

Akhiri iterasi FE (kembali ke langkah 2.0)

2.0- Uji terminasi iterasi FE

NSK memiliki elemen negatif, lanjutkan iterasi FE (langkah 2.1)

Proses ini berulang hingga lima iterasi dan tidak terdapat lagi NSK bernilai

negatif dan diperoleh hasil optimal pada tabel 14.

Tabel 5 Tabel Simpleks Awa

VB x11 x12 x13 x14 x15 x16 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x41 x42 x43 x44 x45 x46 NSK

? 1 1 1 1 1 1 18+∆S1

? 1 1 1 1 1 1 22+∆S2

? 1 1 1 1 1 1 39+∆S3

? 1 1 1 1 1 1 14+∆S4

? 1 1 1 1 10+∆D1

? 1 1 1 1 11+∆D2

? 1 1 1 1 13+∆D3

? 1 1 1 1 20+∆D4

? 1 1 1 1 24+∆D5

? 1 1 1 1 15+∆D6

Cost 0 0 5 0 6 10 1 2 0 4 7 7 5 2 3 4 0 7 5 2 8 9 0 0

VB

VNB

NSK x11 x12 x13 x14 x15 x16 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x41 x42 x43 x44 x45 x46

? 1 1 1 1 1 1 22+∆S2

? 1 1 1 1 1 1 39+∆S3

? 1 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 1 1 1 10+∆D1

x12 1 1 1 1 11+∆D2

x13 1 1 1 1 13+∆D3

x14 1 1 1 1 20+∆D4

x15 1 1 1 1 24+∆D5

x16 1 1 1 1 15+∆D6

[image:40.842.109.796.114.525.2]

[image:41.842.114.650.116.519.2]

Tabel 6 Tabel Simpleks Tereduksi

Tabel 7 VB

VNB

NSK x21 x22 x23 x24 x25 x26 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x41 x42 x43 x44 x45 x46

? 1 1 (1) 1 1 1 22+∆S2

? 1 1 1 1 (1) 1 39+∆S3

? 1 1 1 1 (1) [1] 14+∆S4

x11 1 1 1 10+∆D1

x12 1 1 1 11+∆D2

x13 1 1 1 13+∆D3

x14 1 1 1 20+∆D4

x15 1 1 1 24+∆D5

x16 1 1 1 15+∆D6

Cost 1 2 0 4 7 7 5 2 3 4 0 7 5 2 8 9 0 0

VB

VNB

NSK x21 x22 x23 x24 x25 x26 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x41 x42 x43 x44 x45

? 1 1 [1] 1 1 1 22+∆S2

? 1 1 1 1 (1) 1 39+∆S3

x46 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 1 1 10+∆D1

x12 1 1 1 11+∆D2

x13 1 1 1 13+∆D3

x14 1 1 1 20+∆D4

x15 1 1 1 24+∆D5

x16 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1-∆S4+∆D6

[image:42.842.118.640.116.504.2]

Tabel 8

Tabel 9 Tabel Utama (Tidak Fisibel) VB

VNB

NSK x21 x22 x24 x25 x26 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x41 x42 x43 x44 x45

x23 1 1 1 1 1 22+∆S2

? 1 1 1 1 [1] 1 39+∆S3

x46 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 1 1 10+∆D1

x12 1 1 1 11+∆D2

x13 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -9-∆S2+∆D3

x14 1 1 1 20+∆D4

x15 1 1 1 24+∆D5

x16 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1-∆S4+∆D6

Cost 1 2 4 7 7 5 2 3 4 0 7 5 2 8 9 0

VB

VNB

NSK x21 x22 x24 x25 x26 x31 x32 x33 x34 x36 x41 x42 x43 x44 x45

x23 1 1 1 1 1 22+∆S2

x35 1 1 1 1 1 39+∆S3

x46 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 1 1 10+∆D1

x12 1 1 1 11+∆D2

x13 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -9-∆S2+∆D3

x14 1 1 1 20+∆D4

x15 1 -1 -1 -1 -1 [-1] 1 -15-∆S3+∆D5

x16 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1-∆S4+∆D6

[image:43.842.103.672.118.519.2]

Tabel 10

Tabel 11 VB

VNB

NSK x21 x22 x24 x25 x26 x31 x32 x16 x34 x15 x41 x42 x43 x44 x45

x23 1 1 1 1 1 22+∆S2

x35 1 0 0 0 0 1 1 24+∆D5

x46 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 1 1 10+∆D1

x12 1 1 1 11+∆D2

x13 -1 -1 -1 0 0 -1 [-1] 1 -1 1 -1 -1 0 -1 0 -23-∆S2-∆S3-∆S4 +∆D3+∆D5+∆D6

x14 1 1 1 20+∆D4

x36 0 1 0 0 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1-∆S4 +∆D6

x33 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 0 14+∆S3+∆S4-∆D5-∆D6

Cost 6 7 9 10 3 7 4 1 6 4 14 11 12 18 7

VB x21 x22 x24 x25 x26 x31 x32 x33 x34 x15 x41 x42 x43 x44 x45 NSK

x23 1 1 1 1 1 22+∆S2

x35 1 0 0 0 0 1 1 24+∆D5

x46 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 1 1 10+∆D1

x12 1 1 1 11+∆D2

x13 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -9-∆S2+∆D3

x14 1 1 1 20+∆D4

x36 -1 1 1 1 1 -1 -1 15+∆S3-∆D5

[image:44.842.83.800.120.523.2]

Tabel 12

Tabel 13 VB

VNB

NSK x21 x22 x24 x25 x26 x31 x13 x16 x12 x15 x41 x42 x43 x44 x45

x23 1 1 1 1 1 22+∆S2

x35 1 0 0 0 0 1 1 24+∆D5

x46 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 1 1 10+∆D1

x34 1 0 1 0 0 1 -1 -1 -1 -1 1 0 0 1 0 12+∆S2+∆S3+∆S4-∆D2 -∆D3-∆D5-∆D6

x32 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 11+∆D2

x14 -1 0 0 0 0 -1 1 1 1 1 -1 0 0 0 0 8-∆S2-∆S3-∆S4+∆D2 +∆D3+∆D4+∆D5+∆D6

x36 0 1 0 0 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1-∆S4+∆D6

x33 [-1] -1 -1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -9-∆S2+∆D3

Cost 0 3 3 10 3 1 6 7 2 10 8 7 12 12 7

VB

VNB

NSK x21 x22 x24 x25 x26 x31 x13 x16 x34 x15 x41 x42 x43 x44 x45

x23 1 1 1 1 1 22+∆S2

x35 1 0 0 0 0 1 1 24+∆D5

x46 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 1 1 10+∆D1

x12 -1 0 -1 0 0 -1 1 1 [-1] 1 -1 0 0 -1 0 -12-∆S2-∆S3-∆S4 +∆D2 +∆D3+∆D5+∆D6 x32 1 1 1 0 0 1 -1 -1 1 -1 1 1 0 1 0 23+∆S2+∆S3+∆S4 -∆D3-∆D5-∆D6

x14 1 1 1 20+∆D4

x36 0 1 0 0 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1-∆S4 +∆D6

x33 -1 -1 -1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -9-∆S2+∆D3

[image:45.842.111.723.119.328.2]

Tabel 14 Tabel Optimal

VB

VNB

NSK x33 x22 x24 x25 x26 x31 x13 x16 x12 x15 x41 x42 x43 x44 x45

x23 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 13+∆D3

x35 1 0 0 0 0 1 1 24+∆D5

x46 1 1 1 1 1 14+∆S4

x11 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1-∆S2+∆D1+∆D3 x34 1 -1 0 -1 0 1 0 -1 -1 -1 1 0 1 1 0 3+∆S3+∆S4-∆D2

-∆D5-∆D6

x32 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 11+∆D2

x14 -1 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 -1 0 -1 0 0 17-∆S3-∆S4+∆D2 +∆D4+∆D5+∆D6

x36 0 1 0 0 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1-∆S4+∆D6

x21 -1 -1 -1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 9+∆S2-∆D3

Diperoleh matriks basis B yang berukuran mxn-1, yaitu matriks koefisien pembatas khusus untuk variabel basis. Kolom ke-j dari matriks ini merupakan kolom

untuk variabel basis ke-j. Pada persoalan ini, karena veriabel basisnya adalah :

23 35 46 11 34 32 14 36 21 x x x x X x x x x x               =              

B maka

1 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0

              =               Β

Hasil optimal dinyatakan dalam bentuk tabel transportasi sebagai berikut :

1 17

18

9 13

22

11 3 24 1

39

14

14

10 11 13 20 24 15

Berdasarkan hasil di atas diperoleh solusi dan nilai optimal adalah

*

23 35 46 11 34 32 14 36 21

( , , , , , , , , )

( 13, 24, 14, 1, 3, 11, 17, 1, 9 )

x = x x x x x x x x x

= Β * 1095 Z = 12

10 13 8 14 19

15 18 12 16 19 20

17 16 13 14 10 18

Hasil ini memberikan nilai yang sama bila menyelesaikan persoalan dengan

menggunakan program QM (pada lampiran). Dari tabel optimal tersebut maka

diperoleh matriks basis invers Β−1, yaitu:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆S₂ S₃ S₄ D₁ D₂ ∆D₃ ∆D₄ ∆D₅ ∆D₆

2 3 4 1 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 1 1

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 1 1 1

0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0

S S S D D D D D D − ∆    _{ ∆}     ∆ _{−  ∆}     = − − − ∆   ∆    _{− −  ∆}   ∆ −    _{−  ∆}   Β

3.2 Analisis Sensitivitas

Andaikan terjadi perubahan pada beberapa supply dan demand sebagai berikut :

1 2 3 4

1 2 3 4 5 6

4, 1, 3, 2,

2, 2, 1, 1, 7, 1

S S S S

D D D D D D

∆ = ∆ = ∆ = − ∆ = −

∆ = ∆ = − ∆ = ∆ = ∆ = − ∆ =

Maka dengan menggunakan kalkulus diferensial diperoleh persamaan sebagai berikut:

* * * * * *

*

1 3 4 1 4 5

1 3 4 1 4 5

i i i i i i

i

B B B B B B

x x x x x x

x S S S D D D

S S S D D D

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     Β Atau * * * * * * *

,1 1 ,2 3 ,3 4 ,4 1 ,5 4 ,6 5

i i i i i i i

x y S y S y S y D y D y D 

∆ _Β =_ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ _

*

23 0(1) 0( 3) 0( 2) 0(2) 0(2) 1(1) 0(1) 0( 7) 0(1) 1

x

∆ = + − + − + + + + + − + =

*

35 0(1) 0( 3) 0( 2) 0(2) 0(2) 0(1) 0(1) 1( 7) 0(1) 7

x

∆ = + − + − + + + + + − + = −

*

46 0(1) 0( 3) 1( 2) 0(2) 0(2) 0(1) 0(1) 0( 7) 0(1) 2

x

∆ = + − + − + + + + + − + = −

*

11 1(1) 0( 3) 0( 2) 1(2) 0(2) 1(1) 0(1) 0( 7) 0(1) 2

x

∆ = − + − + − + + + + + − + =

*

34 0(1) 1( 3) 1( 2) 0( 2) 1(2) 0(1) 0(1) 1( 7) 1(1) 1 x

∆ = + − + − + + − + + + − − + − = −

*

32 0(1) 0( 3) 0( 2) 0(2) 1(2) 0(1) 0(1) 0( 7) 0(1) 2

x

∆ = + − + − + + + + + − + =

*

14 0(1) 1( 3) 1( 2) 0( 2) 1(2) 0(1) 1(1) 1( 7) 1(1) 2

x

∆ = + − − + − − + + + + + − + =

*

36 0(1) 0( 3) 1( 2) 0(2) 0(2) 0(1) 0(1) 0( 7) 1(1) 3

x

∆ = + − + − − + + + + + − + =

*

21 1(1) 0( 3) 0( 2) 0(2) 0(2) 1(1) 0(1) 0( 7) 0(1) 0

x

∆ = + − + − + + + − + + − + =

Diperoleh solusi optimal yang baru adalah:

*

23 23 35 35, 46 46, 11 11 34 34 32 32 14 14 36 36 21 21

( , , , , , , )

(13 1, 24 7, 14 2, 1 2, 3 1, 11 2, 17 2, 1 3, 9 0)

(14, 15, 12, 3, 2, 9, 19, 4, 9)

B

x = x + ∆x x + ∆x x + ∆x x + ∆x x + ∆x x + ∆x x + ∆x x + ∆x x + ∆x

= + − − + − + + + +

=

dan nilai optimal :

'

14(12) 17(10) 12(13) 3(10) 2(14) 13(16) 19(8) 4(18) 9(15)

168 170 156 30 28 208 152 18 135

1065

Z = + + + + + + + +

= + + + + + + + +

=

Diperoleh bahwa, perubahan pada supply dan demand diatas mengurangi biaya

transportasi sebesar * '

1095 1063 30

Z Z Z

∆ = − = − = . Selanjutnya akan dicari

batasan maksimum perubahan untuk masing –masing sumber.

 Untuk S₁

* * * * *

23 35 46 11 34

1 1 1 1 1

* * * *

32 14 36 21

1 1 1 1

1 7 2 1 2 1 1

; ; ; ; ;

4 4 4 2 4 2 4

2 1 2 1 3 0

; ; ; 0

4 2 4 2 4 4

dx dx dx dx dx

dS dS dS dS dS

dx dx dx dx

dS dS dS dS

− − −

= = = = − = = =

= = = = = = =

1

24 96 14 3

min , 28, 12

7 ₇ 1 1

4 2 4

S   − − −  ∆ ≤ _ = = = _ _{− − −}    1 12 S ∆ ≤

* * * * *

23 35 46 11 34

2 2 2 2 2

* * * *

32 14 36 21

2 2 2 2

1 7 2 2 1

1 ; 7 ; 2; 2; 1;

1 1 1 1 1

2 2 3 0

2; 2; 3; 0

1 1 1 1

dx dx dx dx dx

dS dS dS dS dS

dx dx dx dx

dS dS dS dS

− − −

= = = = − = = − = = = = −

= = = = = = = =

2

24 24 14 3

min , 7, 3

7 7 2 1

S − − − 

∆ ≤ _ = = = _ − − −   2 3 S ∆ ≤

 Untuk S3

* * * * *

23 35 46 11 34

3 3 3 3 3