Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus Malus Optimal dengan Menggunakan Sebaran Hofmann

PEMBANGUNAN SISTEM BONUS MALUS PRAKTIS DARI SISTEM

BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN SEBARAN

HOFMANN

HERU

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Lampiran 6 Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien

43

�= 0

Lampiran 9 Program Lingo 11 untuk menyelesaikan masalah pengoptimum sehingga diperoleh 0.0834081 0.0834081 0 0 0 0 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0 0 0 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0 0 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0 0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871 0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385 0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865 0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923 0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931 0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753 0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613

0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0 0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633 0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0 0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056 0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872 0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983

0.000154025 0.00107817 0.00292647 0.00569892 0.00939551 0.0140163 0.0195611 0.0260302 0.0334234 0.00105514 0.00250595 0.00488 0.00804541 0.0120022 0.0167503 0.0222897 0.0286205 0.0357427 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000206637 0 0 0 0 0 0 0 0.0000176944 0.000265416 0 0 0 0 0 0 0.0000151518 0.000227276 0.000984864 0 0 0 0 0 0.0000129745 0.000194618 0.000843343 0.00227054 0 0 0 0 0.0000111101 0.000166652 0.000722157 0.00194427 0.00409963 0 0 0 0.00000951362 0.000142704 0.000618385 0.00166488 0.00351053 0.00638364 0 0 0.00000814654 0.000122198 0.000529525 0.00142565 0.00300607 0.00546633 0.00900193 0 0.00000697591 0.000104639 0.000453434 0.00122078 0.00257411 0.00468084 0.00770838 0.0118242 0.00000597349 0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251 0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221 0.00867013 0.0126088 0.0175909;

67

Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas Local optimal solution found.

Objective value: 12617.16 0 0 0 0 0 0 0.0974049 0.0974049 0.0974049 0 0 0 0 0 0.0834081 0.0834081 0.0834081 0.0834081 0 0 0 0 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0.0714226 0 0 0 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0.0611594 0 0 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0.052371 0 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832

0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0 0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871 0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385 0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865 0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923 0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931 0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753 0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613

0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0 0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633 0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0 0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056 0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872 0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983

0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251 0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221 0.00867013 0.0126088 0.0175909;

MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum (tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)-C(i))^2)));

Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas Local optimal solution found.

69

0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0448455 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0384013 0.0657663 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832 0.0328832

0 0 0 0 0 0 0 0 0.0103037 0 0 0 0 0 0 0 0.00882309 0.0264693 0 0 0 0 0 0 0.00755524 0.0226657 0.0377762 0 0 0 0 0 0.00646958 0.0194087 0.0323479 0.0452871 0 0 0 0 0.00553992 0.0166198 0.0276996 0.0387795 0.0498593 0 0 0 0.00474385 0.0142316 0.0237193 0.033207 0.0426947 0.0521824 0 0 0.00406218 0.0121865 0.0203109 0.0284352 0.0365596 0.0446839 0.0528083 0 0.00347845 0.0104354 0.0173923 0.0243492 0.0313061 0.038263 0.0452199 0.0521768 0.00297861 0.00893584 0.0148931 0.0208503 0.0268075 0.0327647 0.038722 0.0446792 0.0506364 0.0102024 0.012753 0.0178542 0.0229554 0.0280565 0.0331577 0.0382589 0.0433601 0.0484613

0 0 0 0 0 0 0 0 0.000532807 0 0 0 0 0 0 0 0.000456244 0.00319371 0 0 0 0 0 0 0.000390684 0.00273479 0.00742299 0 0 0 0 0 0.000334544 0.00234181 0.00635633 0.0123781 0 0 0 0 0.000286471 0.0020053 0.00544294 0.0105994 0.0174747 0 0 0 0.000245306 0.00171714 0.00466081 0.00907632 0.0149637 0.0223228 0 0 0.000210056 0.00147039 0.00399107 0.00777208 0.0128134 0.0191151 0.0266771 0 0.000179872 0.0012591 0.00341756 0.00665526 0.0109722 0.0163683 0.0228437 0.0303983

0.000154025 0.00107817 0.00292647 0.00569892 0.00939551 0.0140163 0.0195611 0.0260302 0.0334234 0.00105514 0.00250595 0.00488 0.00804541 0.0120022 0.0167503 0.0222897 0.0286205 0.0357427 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000206637 0 0 0 0 0 0 0 0.0000176944 0.000265416 0 0 0 0 0 0 0.0000151518 0.000227276 0.000984864 0 0 0 0 0 0.0000129745 0.000194618 0.000843343 0.00227054 0 0 0 0 0.0000111101 0.000166652 0.000722157 0.00194427 0.00409963 0 0 0 0.00000951362 0.000142704 0.000618385 0.00166488 0.00351053 0.00638364 0 0 0.00000814654 0.000122198 0.000529525 0.00142565 0.00300607 0.00546633 0.00900193 0 0.00000697591 0.000104639 0.000453434 0.00122078 0.00257411 0.00468084 0.00770838 0.0118242 0.00000597349 0.0000896024 0.000388277 0.00104536 0.00220422 0.00400822 0.00660071 0.0101251 0.0147247 0.000081842 0.000332483 0.000895146 0.00188748 0.00343225 0.00565221 0.00867013 0.0126088 0.0175909;

MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum (tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)-C(i))^2)));

Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas Local optimal solution found.

C( 5) 100.0000 0.000000 C( 6) 118.0000 21.97938 C( 7) 122.0000 23.03758 C( 8) 127.0000 21.85152 C( 9) 137.0000 27.66657

71

Lampiran 10 Algoritme Lemaire untuk menghitung retensi limit optimal dari pemegang polis dalam sistem bonus malus dengan �1= 0.05461

93

MANGKU.

ABSTRACT

HERU. Construction of a Practical Bonus Malus System from an Optimal Bonus Malus System by Using the Hofmann Distribution. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.

A practical bonus malus system is more easily applied in the real world because it has a finite number of classes. Premium of a practical bonus malus system can be calculated by minimizing the distance between the premium of a practical bonus malus system and the premium of its corresponding optimal bonus malus system. Premium of an optimal bonus malus system can be calculated using the Hofmann distribution. The expected value principle is one of the principles to calculate the premium of an optimal bonus malus system. There is a bonus malus system that considers only the number of claims without considering the amount of the claims. The phenomenon that policyholders are not reporting small claims because they want to get a bonus is called bonus hunger. Optimal retention limit serves as an indicator of the viability whether the claims should be reported or not to the company. The value of retention limit of a practical bonus malus system can be calculated for each class. The Lemaire’s algorithm was used to calculate the optimal retention limit.

HERU

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Skripsi : Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus

Malus Optimal dengan Menggunakan Sebaran Hofmann

Nama

: Heru

NIM

: G54080078

Menyetujui,

Pembimbing I

NIP. 19651218 199002 1 001

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.

Pembimbing II

NIP. 19620305 198703 1 001

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

NIP. 19650505 198903 2 004

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS.

diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Keluarga tercinta: Ayah, Ibu, dan adikku yang selalu memberikan doa, motivasi, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya, serta keluarga besar baik dari Ayah maupun dari Ibu terima kasih atas doanya.

2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing I, terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.

3. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing II, terima kasih atas semua ilmu, waktu, saran, dan motivasinya selama penulisan skripsi ini.

4. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu, waktu, saran dan motivasinya.

5. Semua dosen Departemen Matematika FMIPA IPB, terimakasih atas semua ilmu dan nasihat yang diberikan.

6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni, dan lainnya, terima kasih atas bantuan dan motivasinya.

7. Sahabat Chevron Geothermal Salak: Pak Dali, Pak Gita, Mas Ferdes, Mas Reza, Mas Hasan, Mas Fahri, Irpan, Ka Zaenal, Ka Haikal, Ka Ikhwan, Rhandy, Rizky, Esih, Yani, Nandi, Mella, dan lainnya.

8. Sahabat Beasiswa Perfetti Vanmelle: Pak Anang, Bu Nuning, Pak Ari, Bu Risa, Sarwanto, Didin, Erna, Miftah, Siti, Dina, Arina, Aisyah, dan lainnya.

9. Kakak-kakak Matematika angkatan 42, 43, dan 44: Ka Iput, Ka Kabil, Ka endru, Ka Nyoman, Ka Ruhiyat, Ka Iam, Ka Ririh, Ka Lingga, Ka Abe, Ka Fajar, Ka Wahyu, Ka Wenti dan lainnya, terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya.

10.Teman-teman Matematika angkatan 45: Herlan, Prama, Rian, Bram, Khafidz, Kunedi, Wijay, Haryanto, Ari, Dono, Irwan, Ridwan, Hadi, Fikri, Ali, Irma, Rianiko, Ito, Beni, Izzudin, Risman, Wahidi, Chastro, Arbi, Hendri, Dimas, Nurul, Dini, Nova, Agustina, Putri, Devita, Anisa, Haya, Isna, Vivi, Wulan, Fenny, Aci, Bolo, Gita, Mega, Ana, Yunda, Fitriyah, Anggun, Tiwi, Pipin, Ade, Finata, Fuka, Dewi, Mya, Rini, Meidina, dan lainnya, terima kasih atas doa, semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya.

11.Adik-adik Matematika angkatan 46: Yoyok, Dio, Rio, Dayat, Andri, Galih, avendi, Rudi, Syaepul, Dian, Ihsan, Hendra, Fenny, Windi, Irma, Desyi, Tita, Dita, Ivon, Mirna, Melisa, Rahmi, dan lainnya, terimakasih atas dukungan dan doanya.

12.Sahabat kontrakan 178: Umar, Watri, Joni, Adit, Hisar, Wendi dan Enduy, terima kasih atas doa, semangat, dukungan, kebersamaan, dan bantuannya.

13.Sahabat Sainstek BEM FMIPA IPB: Budi, Aya, Erna, Desi, Santia, Dio, Meita, Helen dan Hana, terima kasih atas motivasi dan kebersamaannya.

14.Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.

Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan terutama ilmu matematika.

Bogor, Desember 2012

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 25 Oktober 1989 dari bapak Nana dan ibu Ojah. Penulis merupakan putra pertama dari dua bersaudara.

Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kabandungan dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Kalkulus II (S-1) pada semester ganjil tahun akademik 2010-2011, asisten dosen mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa (S-1) pada semester genap tahun akademik 2010-2011, serta asisten dosen mata kuliah Persamaan Diferensial Parsial (S-1) pada semester ganjil tahun akademik 2011-2012. Selama kuliah penulis mendapatkan beasiswa dari Chevron Geothermal Salak, Ltd.

vii

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 2

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 2

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

2.3 Nilai Harapan, Ragam, dan Momen ... 3

2.4 Fungsi Kemungkinan ... 4

2.5 Proses Stokastik dan Rantai Markov ... 4

III HASIL DAN PEMBAHASAN ... 5

3.1 Sistem Bonus Malus Lama dan Sistem Bonus Malus Praktis ... 5

3.2 Sebaran Hofmann ... 6

3.3 Sistem Bonus Malus Optimal ... 6

3.4 Kelaparan Bonus dan Sebaran Frekuensi Klaim Aktual ... 7

3.5 Sistem Bonus Malus Praktis ... 8

3.6 Tahapan untuk Menemukan Premi Sistem Bonus Malus Praktis ... 9

3.7 Algoritme Lemaire untuk Penentuan Retensi Limit Optimal ... 10

IV SIMPULAN ... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 12

viii

9 Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus dengan �1= 0.05461 dan �= 0 ... 10

10 Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus dengan �1= 0.05461 dan �> 0 ... 11

4 Penghitungan nilai parameter sebaran Hofmann dengan pemasangan tiga momen pertama dari sebaran Poisson Campuran Nonparametrik dan sebaran Hofmann ... 16

5 Pendugaan Kemungkinan Maksimum untuk mencari sebaran frekuensi klaim yang dilaporkan beserta peluangnya ... 17

6 Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien ... 18

7 Penghitungan premi sistem bonus malus optimal ... 36

8 Penghitungan nilai peluang �(�,�,�) ... 43

9 Program LINGO 11 untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman ... 66

dua pihak, yaitu pihak tertanggung dan pihak penanggung. Pihak penanggung memiliki kewajiban untuk menanggung segala bentuk kerugian, kecelakaan, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang dialami pihak tertanggung. Sementara itu, pihak tertanggung memiliki kewajiban untuk membayar sejumlah uang yang merupakan imbalan untuk pihak penanggung karena pihak penanggung telah menjadi tempat pengalihan resiko dari pihak tertanggung. Sejumlah uang yang dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada pihak penanggung secara berkala disebut premi asuransi. Sistem asuransi juga dilengkapi oleh aturan-aturan yang mengikat kedua belah pihak. Aturan-aturan ini disebut polis asuransi. Perkembangan ilmu aktuaria semakin memperkaya sistem asuransi yang dianut oleh perusahaan-perusahaan asuransi. Salah satu sistem asuransi yang sudah terkenal adalah sistem bonus malus.

Sistem bonus malus merupakan sistem asuransi dimana besarnya premi yang dibayarkan pihak tertanggung kepada pihak penanggung berubah sesuai dengan banyak klaim yang diajukan oleh pihak tertanggung pada periode sebelumnya. Jika periode sekarang pemegang polis tidak mengajukan klaim maka pemegang polis mendapat bonus pada periode berikutnya. Namun, jika periode sekarang pemegang polis mengajukan klaim maka pemegang polis mendapatkan malus pada periode berikutnya. Sistem bonus malus juga dilengkapi oleh pembagian kelas premi. Kelas premi ini berbanding lurus dengan besarnya premi yang harus dibayarkan oleh

besar premi yang harus dibayarkan oleh pihak tertanggung dan semakin rendah kelas premi maka semakin rendah pula premi yang harus dibayarkan oleh pihak tertanggung.

Karya ilmiah ini menjelaskan pembangunan sistem bonus malus praktis. Sistem bonus malus praktis lebih mudah diaplikasikan dalam dunia nyata karena jumlah kelas yang hingga. Sebaran Hofmann yang dipilih sebagai sebaran untuk membangun tabel bonus malus optimal juga dibahas dalam karya ilmiah ini. Perlu diketahui bahwa untuk mendapatkan tabel bonus malus praktis diperlukan tabel bonus malus optimal. Rujukan utama dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Paris dan Walhin (2001) yang berjudul “ The Practical Replacement of a Bonus-Malus System”. Meskipun demikian, sebagian metode pemecahan masalah dalam karya ilmiah ini tidak sama dengan jurnal rujukan tersebut.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut.

1. Mempelajari penentuan premi pada

sistem bonus malus optimal dengan menggunakan sebaran Hofmann.

2. Mempelajari penentuan premi pada

sistem bonus malus praktis dari sistem bonus malus optimal.

3. Mempelajari pengaruh sebaran

transien dan sebaran stasioner terhadap sistem bonus malus praktis.

4. Mempelajari Algoritme Lemaire

II LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian � adalah himpunan bagian dari Ω.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 3 (Medan-�)

Medan-� adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

dari ruang contoh Ω, yang memenuhi

kondisi berikut:

1. ∅ ∈ ℱ,

2. Jika � ∈ ℱ maka ��∈ ℱ,

3. Jika �1,�2, …∈ ℱ maka ⋃ �∞_{�=1 �} ∈

ℱ.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Misalkan ℱ adalah Medan-� dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi �:ℱ →[0,1] pada (Ω,ℱ) yang memenuhi:

1. �(∅) = 0,�(Ω) = 1,

2. Jika �1,�2, …∈ ℱ adalah

himpunan yang saling lepas yaitu

��∩ �� =∅ untuk setiap pasangan

� ≠ �, maka �(_⋃∞_�=1�_�) = ∑∞_�=1�(�_�).

(Grimmett & Stirzaker 1992)

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 5 (Peubah Acak)

Misalkan ℱ adalah Medan-� dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak � adalah suatu

fungsi �:Ω → ℝ dengan sifat {� ∈

Ω: X(�)≤x}∈ ℱ untuk setiap � ∈ ℝ.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 6 (Fungsi Sebaran)

Misalkan � adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh Ω. Misalkan kejadian

�= (−∞,�]⊂ Ω maka peluang dari

Definisi 7 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak � dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari ℝ.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Catatan:

Suatu himpunan bilangan � disebut

terhitung jika � terdiri atas terhingga

bilangan atau anggota � dapat

dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak � dikatakan kontinu jika ada fungsi �_�(�) sehingga fungsi sebaran

��(�) = � ��(�)��, �

−∞

� ∈ ℝ dengan �:ℝ →[0,∞) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi � disebut fungsi kepekatan peluang dari �.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 9 (Fungsi Massa Peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret � adalah fungsi �:ℝ →[0,1] yang diberikan oleh

��(�) =�(�=�).

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 10 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)

Fungsi sebaran bersama dua peubah acak

���(�,�) =�(� ≤ �,� ≤ �). (Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang Bersama dan Marjinal)

Misalkan � dan � peubah acak diskret, maka fungsi massa peluang bersama dari � dan � adalah

���(�,�) =�

2_�

��(�,�)

���� ,

dan fungsi massa peluang marjinal dari peubah acak � adalah

��(�) =� ���(�,�). �

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 12 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

Jika � dan � adalah peubah acak kontinu dan fungsi kepekatan peluang marjinal dari

� adalah �_�(�) > 0 maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari � dengan syarat

�=� adalah

��|�(�|�) =���

(�,�) ��(�) .

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 13 (Sebaran Poisson)

Suatu peubah acak � dikatakan

menyebar Poisson dengan parameter �, jika memiliki fungsi massa peluang:

��(�,�) =� −�_��

�! ;�= 0,1,2, …,

dengan �> 0.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 14 (Sebaran Binomial Negatif)

Suatu peubah acak � dikatakan

menyebar Binomial Negatif dengan parameter � dan �, dinotasikan BN(�,�) jika memiliki fungsi massa peluang

��(�) =�[�=�] =��+� −_� 1� ����;

�= 0,1,2, .. dengan �> 0, 0 <�< 1 dan

�= 1− �.

(Hogg et al. 2005)

2.3 Nilai Harapan, Ragam dan Momen

Definisi 15 (Nilai Harapan)

1. Jika � adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang �_�(�),

maka nilai harapan dari �, didefinisikan sebagai

�(�) =� �

�

��(�),

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.

2. Jika � adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang �_�(�),

maka nilai harapan dari � adalah

�(�) = � ��_�(�)��,

∞

−∞

asalkan integral di atas konvergen mutlak.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 16 (Nilai Harapan Bersyarat)

Misalkan � dan � adalah peubah acak kontinu dan �_�|�(�|�) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari � dengan syarat �=�, maka nilai harapan dari � harapan kuadrat selisih antara � dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai

���(�) =�[(� − �[�])2_] =�[�2_{]−(�[�])}2_.

4

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke-� dari peubah acak � adalah tidak

jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen ke-� dari peubah acak � adalah tidak ada.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 19 (Fungsi Pembangkit Momen)

Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak � didefinisikan sebagai

��(�) =�(���)

untuk � ∈ ℜ sehingga nilai harapan di atas ada.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

2.4 Fungsi Kemungkinan

Definisi 20 (Fungsi Kemungkinan)

Misalkan �1, … ,�_� adalah nilai contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang �(�;�), maka fungsi kepekatan peluang bersama dari �1, … . ,�_�

yang merupakan fungsi kemungkinannya adalah

�(�) =�(�1;�)�(�2;�) …�(�_�;�).

(Hogg et al. 2005)

Definisi 21 (Penduga Kemungkinan Maksimum)

Misalkan �1, … ,�_� adalah nilai contoh acak berukuran � dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang �(�;�). Penduga kemungkinan maksimum bagi � dinotasikan

dengan �� adalah nilai � yang

memaksimumkan fungsi kemungkinan

�(�1, … . ,�_�;�).

(Hogg et al. 2005)

2.5 Proses Stokastik dan Rantai Markov

Definisi 22 (Proses Stokastik)

Proses stokastik didefinisikan sebagai himpunan peubah acak {�_�:���} untuk himpunan indeks � yang terhitung atau berhingga, atau {�(�):���} untuk himpunan indeks � yang tak terhitung.

(Ghahramani 2005)

Definisi 23 (Rantai Markov)

Sebuah proses stokastik {�_�:�= 0, 1, … } dengan ruang state terbatas atau tak terbatas yg terhitung disebut rantai markov, jika untuk semua �,�,�0, … ,�_�−1∈ �, dan �= 0,1,2, …,

�(�_�+1=�|�_� =�,�_�−1=��−1, … ,�0=�0) =�(�_�+1 =�|�_� =�).

Sistem bonus malus praktis terdiri dari sebuah tabel yang berisi kelas premi sebanyak �. Tingkat premi berhubungan erat dengan setiap kelas dalam tabel tersebut. Premi di kelas rendah tidak lebih besar dibanding premi di kelas tinggi. Pertama kali masuk dalam sistem bonus malus pemegang polis berada di kelas dengan tingkat premi 100%. Kemudian, untuk periode berikutnya kelas yang diduduki pasti berubah. Jika tidak ada klaim maka pada periode berikutnya pemegang polis menempati kelas yang lebih rendah. Hal ini berarti pemegang polis membayar premi 100% ke bawah. Premi di bawah 100% berarti pemegang polis mendapatkan bonus. Sebaliknya, jika ada klaim maka pada periode berikutnya pemegang polis menempati kelas yang lebih tinggi sehingga pemegang polis membayar premi 100% ke atas. Premi di atas 100% berarti pemegang polis mendapatkan malus. Sebuah aturan menentukan pergerakan pemegang polis dalam sistem bonus malus sesuai dengan banyak klaim yang dilaporkan oleh pemegang polis ke perusahaan setiap tahun. Aturan ini disebut aturan transisi. Dalam karya ilmiah ini disusun sebuah metodologi yang bertujuan untuk mengubah suatu sistem bonus malus. Beberapa contoh numerik digunakan untuk menjelaskan metodologi tersebut.

Misalkan sistem bonus malus saat ini diasumsikan sebagai berikut.

-Banyak kelas � adalah 9. Kelas minimum adalah 0 dan kelas maksimum adalah 8. -Pintu masuk sistem bonus malus adalah

kelas 4.

-Jika pemegang polis tidak mengajukan klaim pada tahun tertentu maka pemegang polis turun sebanyak satu kelas pada tahun berikutnya.

kelas tiap satu klaim.

Tabel 1. Premi sistem bonus malus saat ini

� 0 1 2 3 4 5

�� 75 80 90 95 100 150

� 6 7 8 - - -

�� 170 185 250 - - - Kemudian, sistem bonus malus baru diasumsikan sebagai berikut.

- Banyak kelas � adalah 9. Kelas minimum adalah 0 dan kelas maksimum adalah 8. - Pintu masuk sistem bonus malus adalah

kelas 4.

-Jika pemegang polis tidak mengajukan klaim pada tahun tertentu maka pemegang polis turun sebanyak satu kelas pada tahun berikutnya.

-Jika pemegang polis mengajukan klaim maka pemegang polis menempati kelas 8 (tanpa melihat banyaknya klaim yang diajukan).

Tingkat premi untuk sistem bonus malus baru tersebut (sistem bonus malus praktis) perlu dicari.

6

3.2 Sebaran Hofmann

Berdasarkan Paris dan Walhin (1999b), pembangunan sistem bonus malus optimal bersifat tidak halus jika menggunakan sebaran Poisson Campuran Nonparametrik. Oleh karena itu, pembangunan sistem bonus malus optimal dalam karya ilmiah ini menggunakan prinsip nilai harapan dengan fungsi peluang yang menggunakan sebaran Hofmann.

Sebaran Hofmann didefinisikan sebagai berikut.

Pendefinisian sebaran Hofmann di atas menggunakan fungsi rekursif pada algoritme Panjer. Pendefinisian sebaran Hofmann tersebut dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu dengan menggunakan bentuk turunan fungsi. Sebaran Hofmann yang didefinisikan dalam bentuk turunan fungsi adalah sebagai berikut. dilihat pada Lampiran 1.

Jika sebaran Hofmann ini dianalisis untuk �= 0 maka sebaran ini menjadi sebaran

Poisson. Kemudian, untuk �= 1 sebaran ini

menjadi sebaran Binomial Negatif (Paris dan Walhin (1999b)). Analisis sebaran Hofmann

untuk �= 0 dan �= 1 dapat dilihat pada

Lampiran 2.

3.3 Sistem Bonus Malus Optimal

Sistem bonus malus itu hanya tergantung pada banyak kecelakaan yang disebabkan oleh sesuatu yang diasuransikan pada periode sebelumnya (Paris & Walhin (1999b)). Sistem bonus malus optimal dipengaruhi banyak klaim dan banyak tahun yang

teramati. Pada umumnya, banyak klaim �(�)

pada selang (0,�] dianggap sebagai proses

Poisson Campuran dengan fungsi peluang sebagai berikut.

dengan Λ adalah peubah acak dengan fungsi

sebaran �(_�).

Informasi yang mengandung banyak

kecelakaan selama � tahun pertama sangat

diperlukan untuk menghitung premi pada tahun ke-� (premi posterior). Premi posterior itu adalah

Pembuktian dari rumus premi posterior dapat dilihat pada Lampiran 3. Rumus premi posterior ini menggunakan prinsip premi nilai harapan.

Selanjutnya, premi prior ditetapkan sebesar 100% sehingga disusun sebuah tabel bonus malus optimal yang terdiri dari dua entri, yaitu entri � dan entri �. Entri � menyatakan banyak tahun yang diamati dan

entri � menyatakan banyak klaim yang

diamati. Dalam karya ilmiah ini dipilih nilai �= 1,2, … ,10 dan �= 0,1, … ,4. Nilai premi dalam tabel bonus malus optimal untuk setiap � dan � ditulis dengan rumus sebagai berikut:

Tabel 3. Kerangka sistem bonus malus optimal

sistem bonus malus optimal dihitung

berdasarkan sebaran Hofmann. Namun, masalahnya adalah sebaran frekuensi klaim

yang dilaporkan menggunakan sebaran

Poisson Campuran Nonparametrik sehingga

parameter sebaran Hofmann (�,�, dan �)

dicari dengan pemasangan tiga momen pertama dari sebaran Poisson Campuran Nonparametrik dan sebaran Hofmann, yaitu:

� ���� =�, �

� �������+ 1� Dengan menggunakan rumus tersebut maka

diperoleh nilai �= 0.2223, �= 0.1897, �=

1.0452. Uraian untuk memperoleh nilai parameter sebaran Hofmann ini dapat dilihat pada Lampiran 4.

Perhatikan bahwa rumus untuk menghitung premi dalam tabel bonus malus optimal di atas berdasarkan prinsip nilai harapan. Prinsip premi lainnya juga dapat digunakan untuk menyusun tabel bonus malus optimal. Dalam Paris dan Walhin (1999b), prinsip utilitas nol dengan sebuah fungsi utilitas eksponensial digunakan untuk menyusun tabel bonus malus optimal. Sedangkan, dalam Paris dan Walhin (1999a), tabel bonus malus optimal diperoleh dengan menggunakan sebaran kerugian ekponensial. Namun, contoh numerik menunjukan bahwa penghitungan premi bonus malus optimal dengan menggunakan berbagai prinsip premi tersebut tidak menghasilkan tabel yang berbeda secara signifikan.

3.4 Kelaparan Bonus dan Sebaran Frekuensi Klaim Aktual

Jika perusahaan asuransi menggunakan sistem bonus malus yang bebas dari besaran klaim maka seorang pemegang polis cenderung untuk tidak melaporkan klaim yang berukuran kecil. Hal ini berarti pemegang polis lebih memilih untuk menanggung resiko daripada melaporkannya ke perusahaan asuransi sehingga harus membayar premi yang lebih tinggi pada periode berikutnya karena mendapatkan malus. Lemaire (1977) menyebutkan fakta seperti ini adalah kelaparan bonus.

Algoritme Lemaire (1977) memberikan retensi optimal dari pengendara sebagai fungsi tingkat preminya. Algoritme itu memiliki hipotesis-hipotesis sebagai berikut.

-Sebuah sistem bonus malus terdiri dari � kelas �= 0, … . ,� −1.

-Frekuensi klaim pemegang polis

menyebar Poisson dengan nilai harapan �.

-Sebaran besaran klaim adalah � dengan

fungsi sebaran kumulatif adalah ��(�).

-Ramalan tingkat diskon untuk masa depan

dilambangkan dengan �.

-Waktu tersisa hingga pembayaran premi

berikutnya adalah 1− � dengan 0≤ �< 1.

Sebagai contoh numerik berkaitan hipotesis algoritme tersebut maka digunakan data, nilai, atau asumsi sebagai berikut.

-Sistem bonus malus diberikan pada Tabel

6.

-Sebaran besaran klaim � adalah menyebar eksponensial dengan nilai harapan �:

��(_�) =_�1− �−�� ;� ≥0 0 ;�< 0.

- Sebaran besaran klaim aktual adalah

eksponensial dengan parameter �= 84.86, �= 6%, dan �=1₂.

-Proporsi ��,�= 1, … ,� tetap sama baik frekuensi klaim aktual maupun yang teramati.

Misalkan �_� adalah parameter Poisson dari

pemegang polis ke-� untuk peubah acak yang

merepresentasikan banyak klaim yang dilaporkan dalam sistem bonus malus saat ini. Berdasarkan data sebaran frekuensi klaim yang teramati pada Tabel 2 maka diperoleh �1= 0.05461, �2= 0.24599, �3= 0.95618,

�1= 0.56189, �2= 0.41463, �3= 0.02348. Uraian ini dapat dilihat pada Lampiran 5. Nilai-nilai tersebut memiliki arti bahwa dalam sistem bonus malus ini terdapat tiga jenis pengendara dengan penjelasan bahwa 56% pengendara menunjukkan frekuensi

klaim sebesar 0.05461, sekitar 41%

pengendara menunjukkan frekuensi klaim sebesar 0.24599 dan sekitar 2% menunjukkan frekuensi klaim sebesar 0.95618. Pada

umumnya ada � jenis pengendara. Dalam

karya ilmiah ini dibahas tiga jenis

pengendara.

Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien dalam karya ilmiah ini menggunakan asumsi bahwa dalam satu tahun banyaknya kecelakaan itu menyebar Poisson. Karena terdapat tiga jenis pengendara maka diperoleh tiga jenis sebaran stasioner dan tiga jenis sebaran transien.

Adapun rumus-rumus yang dipakai dalam penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien adalah sebagai berikut.

�∞(_�) = lim_�→∞(��)��0(�) ; �0 diberikan,

��(�) = (��)��0(�), keterangan:

��_{: transpos dari matriks transisi,} �∞(�): sebaran stasioner untuk � tertentu, ��(_�): sebaran transien ke-� untuk � tertentu, �0(�): sebaran awal untuk � tertentu.

Perlu diketahui bahwa sebaran stasioner ini bebas terhadap sebaran awal dan sebaran awal diasumsikan sama untuk setiap �.

8

-Sebaran stasioner, sebaran transien, dan

sebaran awal untuk �1= 0.05461

-Sebaran stasioner, sebaran transien, dan

sebaran awal untuk �2= 0.24599

-Sebaran stasioner, sebaran transien, dan

sebaran awal untuk �3= 0.24599 Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien ini dapat dilihat pada Lampiran 6.

3.5 Sistem Bonus Malus Praktis

Sistem bonus malus optimal yang dideskripsikan pada bagian sebelumnya sulit untuk diaplikasikan karena banyak kelas tak terbatas. Sistem bonus malus seperti ini cukup rumit untuk para pemegang polis. Oleh karena itu, sebagian besar negara-negara

Eropa menggunakan sistem bonus malus dengan banyak kelas terbatas.

Pada dasarnya, sistem bonus malus dengan banyak kelas terbatas mempunyai sifat Markov. Aturan transisi adalah sebuah aturan yang mengatur pergerakan posisi pemegang polis dalam sistem bonus malus yang terdiri kelas-kelas tersebut. Posisi pemegang polis dipengaruhi oleh klaim yang dilaporkan tahunan.

Jika banyak kelas telah dipilih dan aturan transisi telah ditentukan maka selanjutnya adalah menghitung tingkat premi untuk setiap kelas. Penghitungan ini sudah dijelaskan oleh Coene dan Doray (1996). Metode Coene dan Doray (1996) adalah meminimumkan jarak tertentu antara tingkat premi sistem bonus malus praktis dengan tingkat premi sistem bonus malus optimal yang bersesuaian. Dalam karya ilmiah ini digunakan metode yang sama dengan Coene dan Doray (1996) tapi dengan beberapa perubahan.

Hal yang harus pertama kali dibangun adalah tabel �(�,�) yang paralel dengan tabel

�(�,�). Tabel �(�,�) berisi nilai-nilai berbeda dari �� sebagai fungsi dari � dan �.

Tabel 4. Nilai premi yang pararel dengan nilai premi sistem bonus malus optimal

�/� 0 1 2 3 4

Coene dan Doray (1996) memilih kelas

maksimum untuk �(�,�) karena kelas

maksimum itu kelas yang paling mungkin. Namun, perhatikan bahwa tidaklah sulit untuk mencari peluang dari kejadian ��(_�) = �,�(�,�)=��]. Misalkan didefinisikan rumus dari � yaitu �(�,�,�) =���(�) =�,�(�,�)=

Poisson Campuran sehingga dapat didefinisikan juga bahwa

Ρ��(�) =�,�(�,�)=���=�[�(�)− �(� −1) =�_�, … ,�(1)− �(0) =�1]. Metode penghitungan nilai premi tiap kelas adalah dengan meminimumkan kesalahan kuadrat bobot alami ∑(�,�,�)�(�,�,�)[�(�,�)−

��]2_{. Prosedur minimisasi ini mirip dengan} prosedur yang diturunkan oleh Coene dan Doray (1996).

3.6 Tahapan untuk Menemukan Premi Sistem Bonus Malus Praktis

Tahap-tahap dalam penentuan sistem bonus malus praktis adalah sebagai berikut.  Tahap pertama

- Pilih banyak kelas dari sistem bonus malus praktis dan aturan transisi.

- Gunakan sebaran frekuensi klaim aktual sebagai taksiran awal untuk sebaran frekuensi klaim yang diamati di masa depan.

 Tahap kedua

- Gunakan sebaran frekuensi klaim yang

diamati di masa depan sebagai sebaran

Poisson Campuran Nonparametrik

untuk menemukan sebaran frekuensi klaim yang diamati dalam bentuk sebaran Hofmann dengan pemasangan tiga momen pertama.

- Dari sebaran Hofmann diperoleh tabel

bonus malus optimal.

- Dari tabel bonus malus optimal

diperoleh tingkat premi dari sistem bonus malus praktis.

Sampai tahap ini telah ditemukan premi sistem bonus malus praktis. Berikut ini adalah sebuah program minimisasi untuk menentukan premi sistem bonus malus praktis.

{0.5729, 0.0562, 0.0661, 0.0784, 0.0421, 0.044, 0.0457, 0.0429, 0.0516 }.

Komponen ke-� dari sebaran stasioner

pengendara dalam sistem bonus malus dilambangkan dengan �∞(_�), komponen ke-� dari sebaran transien pengendara pada waktu � dilambangkan dengan �_�(�,�0) dan sebaran awal �0 diberikan dalam sistem bonus malus. Misalkan �_�′ adalah parameter Poisson dari

pemegang polis ke-� untuk peubah acak yang

merepresentasikan banyak klaim yang sebenarnya. Sebaran frekuensi klaim aktual yang digunakan adalah �1′ = 0.0650,�2′ = 0.3840, �3′ = 1.1293, �1= 0.56189,�2= 0.414 63, �3= 0.0235. Nilai parameter sebaran Hofmann yang diperoleh dengan pemasangan

tiga momen pertama adalah �= 0.223, �=

0.1897, �= 1.0452. Sebaran Hormann ini digunakan dalam persamaan (3.1) untuk memperoleh premi pada tabel bonus malus optimal.

Tabel 5. Premi sistem bonus malus optimal

�/� 0 1 2 3 4

Lampiran 7 menjelaskan penghitungan Tabel 5 tersebut.

Karena terdapat tiga jenis pengendara maka tabel bonus malus praktis yang diperoleh dengan memecahkan prosedur minimisasi tersebut ada sebanyak tiga buah.

Tabel 6. Sistem bonus malus praktis untuk �1= 0.05461

� 0 1 2 3 4 5

�� 94 94 94 97 100 115

� 6 7 8 - - -

10

Tabel 7. Sistem bonus malus praktis untuk �2= 0.24599

� 0 1 2 3 4 5

�� 93 93 93 100 100 118

� 6 7 8 - - -

�� 122 127 137 - - -

Tabel 8. Sistem bonus malus praktis untuk �3= 0.95618

� 0 1 2 3 4 5

�� 93 93 93 100 100 118

� 6 7 8 - - -

�� 122 127 137 - - -

Uraian terkait penghitungan dalam memperoleh ketiga tabel bonus malus praktis tersebut dapat dilihat pada Lampiran 9.

Penghitungan peluang �[�,�,�] yang

digunakan dalam program LINGO 11 untuk

mencari sistem bonus praktis dapat dilihat pada Lampiran 8. Kelas sistem bonus malus praktis pada program LINGO 11 tidak bisa dimulai dari nol karena akan membuat

program menjadi error. Oleh karena itu,

kelas dalam program LINGO 11 diawali dari

kelas satu dan berakhir di kelas sembilan. Jadi, ketika di output LINGO 11 tertulis �1 itu artinya �0, �2 itu artinya �1 dan seterusnya.

3.7 Algoritme Lemaire untuk Penentuan Retensi Limit Optimal

Retensi limit optimal digunakan oleh pemegang polis sebagai batas atau dasar biaya klaim yang dilaporkan ke perusahaan. Ini berarti bahwa jika biaya klaim di atas retensi limit maka sebaiknya pemegang polis melaporkan klaim ke perusahaan. Namun, jika biaya klaim di bawah retensi limit maka sebaiknya pemegang polis menanggung biaya klaim itu. Sistem bonus malus dalam karya ilmiah ini tidak mempertimbangkan besaran klaim tapi yang dipertimbangkan adalah banyak klaim. Penjelasan pada bagian

sebelumnya menyebutkan bahwa jika

pemegang polis mengajukan klaim maka posisi kelas pemegang polis meningkat yang mengakibatkan besarnya premi yang dibayarkan pada periode berikutnya meningkat pula.

Misalkan ��(�,�) adalah retensi limit optimal untuk seorang pemegang polis dengan frekuensi kecelakaan berkala yang diharapkan � yang terjadi pada kelas � dalam

sistem bonus malus. Asumsikan bahwa pemegang polis ini telah menyebabkan suatu

kecelakaan dengan biaya � pada waktu �,

0≤ � ≤1. Jika � adalah fungsi kepekatan peluang dari biaya kecelakaan dan peluang ��(�) yang menyatakan bahwa pemegang

polis pada kelas � tidak melaporkan

kecelakaan ke perusahaan adalah

��(_�) =_{� �}(_�)_��. ��(�,�)

�=0

Peluang yang menyatakan bahwa

pemegang polis ini melaporkan tepat �

kecelakaan ke perusahaan selama satu tahun dinyatakan sebagai ���(�|�). Peluang ini dinyatakan dalam ekspresi binomial.

���(�|�) =�exp(−�)�

Rataan banyak kecelakaan yang dilaporkan

oleh pemegang polis pada kelas � ke

perusahaan dinyatakan sebagai �̅_�.

�̅�=� ����(_�|_�) ∞

�=0

.

Biaya yang diharapkan dari kecelakaan yang tidak dilaporkan untuk pemegang polis pada kelas � adalah

��(_�) = 1

��(_�)� ��(�)��. ��(�,�)

�=0

Rataan biaya total berkala yang ditanggung

oleh pemegang polis pada kelas � adalah

dimana �_� besarnya premi yang dibayarkan

pada permulaan tahun dalam sistem bonus malus. Misalkan ��(�) adalah nilai sekarang dari semua pembayaran yang dibuat oleh pemegang polis dengan frekuensi klaim tahunan yang diharapkan � terjadi pada kelas �. ��(�) =���������(�,�)�

+�₁₊1_�� ∑∞_�=0��_�(�|�)�_��(�)(�). (3.2) Misalkan seorang pemegang polis pada kelas � mengalami kecelakaan dengan biaya � pada waktu �, 0≤ � ≤1. Pemegang polis ini dihadapkan pada dua pilihan sebagai berikut.

-Pemegang polis tidak mengklaim

kecelakaan ke perusahaan dan biaya sekarang yang diharapkan adalah

�_{1 +}1_��−����������(_�,�)_�+�+

-Pemegang polis melaporkan kecelakaan

�_{1 +}1_��−����������(_�,�)_�+

besaran klaim � yang mana pemegang polis

menyamakan nilai dari kedua peluang tersebut.

persamaan (3.3) tidak menunjukkan ekspresi eksplisit untuk retensi optimal karena ���(_�|_�(1− �)) mengandung ��(_�,�). Oleh karena itu, strategi optimal diperoleh dengan menggunakan algoritme Lemaire berikut.

Iterasi pertama

Bagian A. Mulai dari ��[0]_{(�,�) = 0 untuk} �= 0,1, … ,�. Itu artinya pemegang polis melaporkan semua kecelakaanya ke perusahaan sehingga persamaan (3.2) menjadi ke persamaan (3.3) yang mereduksi menjadi

��[1]_{(�,�) =�} 1 (3.2) sehingga diperoleh biaya baru yang bersesuaian. Biaya ini lebih kecil dari pada biaya awal.

Bagian B. Substitusi biaya baru tersebut ke persamaan (3.3) sehingga diperoleh retensi

limit yang baru, yaitu ��[2]_{(�,�),�= 0,1, … ,�.}

Iterasi berikutnya

Substitusikan berturut-turut retensi limit optimal dan biaya yang sudah diperbaharui ke dalam persamaan (3.2)-(3.3) sehingga diperoleh barisan nilai retensi limit optimal dengan biaya yang tereduksi.

Adapun dalam karya ilmiah ini hanya mencari retensi optimal untuk sistem bonus

malus dengan �1= 0.05461.. Retensi limit

optimal untuk sistem bonus malus dengan �2= 0.24599, �3= 0.95618 dapat dicari dengan cara yang sama.

Tabel 9. Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus dengan �1= 0.05461 dan �= 0

� 0 1 2 3 4 5

�� 110 110 110 110 107 101

� 6 7 8 - - -

�� 81 59 33 - - -

Tabel 10. Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus dengan �1= 0.05461 dan �> 0

� 0 1 2 3 4 5

�� 0 0 0 0 0 0

� 6 7 8 - - -

�� 0 0 0 - - -

Dengan demikian, retensi limit optimal adalah sebuah fungsi dari tingkat premi ke-� dalam sistem bonus malus, tingkat diskon �,

frekuensi klaim tahunan yang diharapkan �,

waktu � terjadi kecelakaan, banyaknya �

IV SIMPULAN

Sebaran Hofmaan merupakan suatu sebaran yang dapat digunakan untuk menghitung tingkat premi sistem bonus malus optimal. Sebaran Hofmann juga dapat diturunkan menjadi sebaran Poisson Campuran dan sebaran Binomial Negatif.

Premi sistem bonus malus praktis dapat dihitung dengan cara meminimumkan jarak antara premi sistem bonus malus praktis dengan premi sistem bonus malus optimal yang bersesuaian.

Sebaran stasioner dan sebaran transien sedikit mempengaruhi premi dalam suatu sistem bonus malus praktis. Salah satu sistem bonus malus praktis dari tiga sistem bonus malus yang sudah diperoleh telah berhasil dihitung nilai retensi limit optimal untuk setiap kelasnya. Penghitungan retensi limit optimal ini menggunakan Algoritme Lemaire.

DAFTAR PUSTAKA

Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics. New

Jersey: Prentice Hall, Inc.

Coene G, Doray LG. 1996. A Financially Balanced

Bonus-Malus System. Astin Bulletin.

26:107-115.

Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability

with Stochastic Processes. Edisi ke-3. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probabillity and

Random Processes. Edisi ke-2. New York: Clarendon Press Oxford.

Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005.

Introduction to Mathematical Statistics. Edisi ke-6. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Lemaire J. 1977. La Soif du Bonus. Astin Bulletin. 9:181-190.

Lemaire J. 1995. Bonus-Malus Systems in

Automobile Insurance. Boston: Kluwer.

Paris J, Walhin JF. 1999a. Processus de Poisson Melange et Formules Unifiees pour Systemes

Bonus-Malus. Bulletin Francais d’Actuariat.

3:35-43.

Paris J, Walhin JF. 1999b. Using Mixed Poisson Processes in Connection with Bonus-Malus Systems. Astin Bulletin. 29:81-99.

Paris J, Walhin JF. 2001. The Practical

Replacement of a Bonus-Malus System. Astin

Bulletin. 31:317-335.

Simar L. 1976. Maximum Likelihood Estimation of

a Compound Poisson Process. The Annals of

Statistics. 4:1200-1209.

Tremblay L. 1992. Using The Poisson Inverse

Gaussin in Bonus Malus Systems. Astin

14

Lampiran 1 Pembuktian hasil integral pada sebaran Hofmann Definisi sebaran Hofmann:

Berikut ini dibuktikan bahwa pengintegralan �′(�) = �

(1+��)� dengan berbagai kemungkinan nilai � akan menghasilkan bentuk �(�) sebagai berikut:

Lampiran 2 Analisis sebaran Hofmann untuk �= 0 dan �= 1

a) Berikut ini dibuktikan bahwa jika �= 0 maka sebaran Hofmann menjadi sebaran Poisson.

Bukti:

Jika �= 0 maka sebaran Hofmann menjadi

Π(0,�) =�−��,

�! adalah fungsi masa peluang dari sebaran Poisson dengan parameter

�� maka terbukti untuk �= 0 sebaran Hofmann menjadi sebaran Poisson.

b) Berikut ini dibuktikan bahwa jika �= 1 maka sebaran Hofmann menjadi sebaran Binomial

Negatif. Bukti:

Jika �= 1 maka sebaran Hofmann menjadi

Π(0,�) =�−�� ln⁡(1+��),

Persamaan terakhir ini adalah fungsi massa peluang dari sebaran Binomial Negatif dengan

parameter �=�

� dan �=��. Jadi, terbukti bahwa jika �= 1 maka sebaran Hofmann menjadi

16

Lampiran 3 Pembuktian rumus untuk premi posterior

Berikut ini dibuktikan bahwa �[�(�+ 1)− �(�)|�(�) =�] =�(Λ|�(�) =�) =�+1