Masalah Pendistribusian Barang menggunakan Pemrograman Linear Integer

(1)

MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG MENGGUNAKAN

PEMROGRAMAN LINEAR

INTEGER

ANGGUN ARYANTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Pendistribusian

Barang menggunakan Pemrograman Linear

Integer

adalah benar karya saya dengan

arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada

perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya

yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam

teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Maret 2014

(4)

ABSTRAK

ANGGUN

ARYANTI.

Masalah

Pendistribusian

Barang

Menggunakan

Pemrograman Linear

Integer

. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan

FARIDA HANUM.

Salah satu hal penting dalam pendistribusian barang adalah penentuan

skenario pendistribusian barang yang meminimumkan total waktu perjalanan dari

perusahaan ke distributor-distributor. Permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai

suatu Pemrograman Linear

Integer

(PLI). Model ini diimplementasikan untuk

kasus pengiriman produk berupa manisan kepada lima distributor dalam 12 periode

pengiriman dengan kendala antara lain adalah banyaknya persediaan barang di

distributor, penggunaan barang yang tidak melebihi persediaan, kapasitas

penyimpanan barang di distributor, masa kadaluarsa barang, dan durasi maksimum

tiap periode pengiriman. Perusahaan akan melakukan pengiriman barang kepada

setiap distributor untuk memenuhi kebutuhan konsumen melalui rute yang sudah

ditetapkan urutannya. Dengan model ini dihasilkan perjalanan yang terjadi dari

perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan dalam tiap

periode pengiriman beserta banyaknya barang yang dikirimkan ke setiap

distributor.

Kata kunci: meminimumkan waktu perjalanan, pemrograman linear

integer,

pendistribusian barang

ABSTRACT

ANGGUN ARYANTI. The Problem of Product Distribution using Integer Linear

Programming. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and FARIDA HANUM.

One of the important things in determining the distribution of products is

searching distribution scenario that minimizes the total travel time from the depot

to distributors, where the problem can be modeled as an Integer Linear

Programming (ILP). In this work, we implemented the model to a candy company,

where we had to deliver products to 5 distributors within 12 periods. Constraints

should be considered are distributor inventory level, warehouse capacity,

demand-supply balance, expiration date of product, and the maximum duration of each

period of delivery. We here assumed that the delivery process to distributors is

conducted through a predetermined order. The output of this model includes the

retour trip between depot and distributors as well as the delivered amount of

products in each period.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana sains

pada

Departemen Matematika

MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG MENGGUNAKAN

PEMROGRAMAN LINEAR

INTEGER

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

(6)

(7)

Judul Skripsi : Masalah Pendistribusian Barang menggunakan Pemrograman

Linear

Integer

Nama

: Anggun Aryanti

NIM

: G54080034

Disetujui oleh

Drs Prapto Tri Supriyo, MKom

Pembimbing I

Dra Farida Hanum, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

(8)

Judul Skripsi: Masalah Pendistribusian Barang menggunakan Pemrograman Linear Integer

Nama : Anggun Aryanti

NIM : G54080034

Disetujui oleh

::'v

1

Drs Prapto Tri Supriyo, MKom Pembimbing I

. ..,. ....

Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II

Ketua Departemen

(9)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah

subhanahu wa ta’ala

atas

segala karunia-Nya sehingga penelitian dengan judul Masalah Pendistribusian

Barang menggunakan Pemrograman Linear

Integer

dapat diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom

dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Muhammad Ilyas,

MSi MSc yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga

disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih

sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2014

(10)

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG

3

Deskripsi Masalah

3

Formulasi Masalah

3

IMPLEMENTASI MODEL

5

SIMPULAN DAN SARAN

11

Simpulan

11

Saran

11

DAFTAR PUSTAKA

12

LAMPIRAN

12

(11)

DAFTAR TABEL

1 Kuantitas barang yang dibutuhkan distributor

6

2 Waktu tempuh yang dibutuhkan (

) pada setiap periode (

t

)

6

3 Kuantitas barang yang dikirim perusahaan kepada setiap distributor 9

4 Banyaknya persediaan barang di distributor

9

(12)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Sistem distribusi barang merupakan salah satu pendukung utama setelah

proses produksi. Hasil produksi atau produk dikirimkan kepada konsumen untuk

dipasarkan dengan tujuan memudahkan pemasaran produk. Tidak adanya kontrol

terhadap pendistribusian barang dapat menyebabkan kerugian bagi perusahaan.

Distribusi akan melibatkan pergerakan dan penyimpanan produk dari perusahaan

ke konsumen dengan pertambahan nilai dari produk (Tersine 1994).

Salah satu aspek yang dapat memengaruhi keberhasilan suatu perusahaan

dalam bertahan dan bersaing adalah proses sistem distribusi. Pendistribusian ini

mempunyai tujuan menyalurkan produk yang dihasilkan perusahaan untuk dapat

dinikmati oleh para konsumen. Konsumen-konsumen yang tersebar secara tidak

tertata menyebabkan perusahaan sulit untuk mendistribusikan produknya sehingga

perusahaan menempatkan produknya di berbagai lokasi yang mendekati konsumen.

Dalam melakukan pendistribusian barang menuju pihak distributor, sebuah

kendaraan pendistribusi barang tidak hanya melayani satu distributor saja, namun

harus melayani beberapa distributor sekaligus. Wilayah-wilayah distributor yang

berbeda menyebabkan suatu kendaraan pendistribusi barang harus menentukan rute

perjalanan yang akan dilaluinya sebelum melakukan perjalanan pendistribusian

barang. Penentuan rute yang akan diambil harus sesuai dengan jarak terbaik antara

distributor satu dengan distributor yang lainnya agar waktu tempuh minimum.

Selain rute, lamanya waktu tempuh, dan masa kadaluarsa barang juga harus

diperhatikan. Tiga hal tersebut menjadi sangat penting, karena pendistribusian

barang yang tidak tertata dengan baik akan memengaruhi harga produk. Naiknya

harga jual produk dapat menurunkan minat dan daya beli konsumen terhadap

produk tersebut. Menurunnya tingkat penjualan produk pada akhirnya dapat

mengancam kelangsungan hidup usaha dari sebuah perusahaan.

Tujuan Penelitian

(13)

2

TINJAUAN PUSTAKA

Permasalahan pendistribusian barang dari suatu perusahaan ke para

konsumen dapat diformulasikan sebagai suatu

Vehicle Routing Problem

(VRP).

Dengan VRP dapat diperoleh suatu rute dengan jarak atau total biaya

pendistribusian yang seminimum mungkin. Rute tersebut merupakan rute

kendaraan yang mengunjungi setiap pelanggan tepat satu kali dengan

mempertimbangkan kendala-kendala yang ada.

Lebih dari 40 tahun yang lalu Dantzig dan Ramser memperkenalkan masalah

yang terjadi pada tahun 1959. Mereka menggambarkan sebuah aplikasi dunia nyata

mengenai pengiriman bensin untuk pusat pelayanan dan mengusulkan formulasi

pemrograman matematika yang pertama dan pendekatan algoritmik. Beberapa

tahun kemudian, pada tahun 1964 Clarke dan Wright mengusulkan heuristik

greedy

efektif, peningkatan dari pendekatan Dantzig-Ramser. Setelah dua makalah ini,

ratusan model dan algoritme diusulkan untuk solusi optimal dan perkiraan versi

yang berbeda dari VRP. Puluhan paket untuk solusi dari berbagai VRP dunia nyata

kini tersedia. Contoh VRP terbesar yang dapat diselesaikan secara konsisten dengan

algoritma yang tepat dan paling efektif sejauh ini hanya untuk sekitar 50 pelanggan,

sedangkan contoh yang lebih besar dapat diselesaikan secara optimal hanya pada

kasus tertentu (Toth dan Vigo 2002).

Selain VRP masalah pendistribusian barang juga dapat diformulasikan

menggunakan

Multi Periode Single Sourcing Problem

(MPSSP). MPSSP adalah

masalah menemukan penempatan yang tepat, dari waktu ke waktu, dari pelanggan

ke gudang sehingga setiap pelanggan dihubungkan dengan tepat satu gudang di

setiap periode, sesuai dengan keterbatasan kapasitas, sehingga total biaya

transportasi dan persediaan diminimalkan (Romeijn dan Morales 1998).

MPSSP merupakan bagian dari masalah rantai suplai. Dalam MPSSP setiap

titik permintaan dipenuhi oleh tepat satu sumber dengan memperhatikan

kapasitasnya. Jaringan distribusi dianggap terdiri dari seperangkat fasilitas produksi

dan penyimpanan, dan satu set pelanggan yang tidak mempunyai persediaan.

Dengan memperhatikan kapasitas produksi, permintaan setiap pelanggan harus

dihubungkan dengan fasilitas tunggal dalam setiap periode. Hal ini berhubungan

dengan penempatan pelanggan untuk fasilitas, lokasi, waktu, dan ukuran persediaan

(Romeijn dan Morales 1998).

(14)

3

MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG

Deskripsi Masalah

Masalah pendistribusian barang yang dimaksud dalam karya ilmiah ini adalah

masalah penentuan rute kendaraan dalam melakukan pengiriman barang dari

perusahaan ke beberapa distributor hingga kembali ke perusahaan awal untuk

meminimumkan total waktu perjalanan sehingga kendala-kendala yang terkait

terpenuhi. Dalam meminimumkan waktu perjalanan, hal yang harus

dipertimbangkan adalah masa kadaluarsa produk dan lamanya waktu perjalanan

dari perusahaan ke beberapa distributor hingga kembali ke perusahaan.

Banyaknya barang yang disimpan tidak boleh melampaui kapasitas

penyimpanan distributor, dan barang yang disimpan itu selanjutnya akan

dikirimkan kembali oleh distributor kepada konsumen pada periode selanjutnya

selama tidak melewati masa kadaluarsa barang. Dalam setiap periode pengiriman

barang perusahaan akan mengirimkan barang kepada distributor yang

membutuhkan barang, jika suatu distributor tidak membutuhkan barang maka

perusahaan akan mengirimkan barang ke distributor lain yang membutuhkan

barang sebelum kembali ke perusahaan.

Kunjungan ke setiap distributor bergantung pada permintaan distributor ke

perusahaan. Keadaan ini memengaruhi penurunan biaya pengiriman, tetapi tetap

harus diperhatikan dengan cermat pendistribusian barang ini agar pengiriman

produk ke distributor terpenuhi setiap waktu dan banyaknya produk yang rusak

seminimal mungkin.

Dalam karya ilmiah ini, akan ditentukan total waktu perjalanan minimum

dalam melakukan pendistribusian produk manisan dari perusahaan ke

distributor-distributor dengan mempertimbangkan kebutuhan barang di distributor-distributor, banyaknya

barang yang dikirimkan ke distributor, lamanya pengiriman, dan masa kadaluarsa

barang.

Formulasi Masalah

Masalah pendistribusian barang ini dapat diformulasikan sebagai suatu

Pemrograman Linear

Integer

(PLI). Model dalam kasus ini menggunakan indeks,

parameter dan variabel keputusan sebagai berikut:

Indeks

i

= 1, 2, ...,

�

, merupakan indeks untuk distributor, dengan

i

= 1 merupakan

perusahaan tempat awal rute pendistribusian.

j

= 2, 3, ...,

�

+1, merupakan indeks untuk distributor, dengan

j

=

�

+1 merupakan

perusahaan tempat akhir rute pendistribusian.

t

= 1, 2, ...,

�

, merupakan indeks untuk periode.

Parameter

I

i t

=

banyaknya persediaan barang di distributor pada periode

u

it

=

banyaknya barang yang dibutuhkan distributor

untuk memenuhi

(15)

4

d

i t

=

banyaknya barang yang dikirim perusahaan ke distributor pada periode

w

ij

=

waktu tempuh dari distributor ke distributor

C

i

=

kapasitas penyimpanan di distributor

s

i

=

lamanya bongkar muat di distributor

D

=

durasi maksimum tiap rute

�

=

lamanya penyimpanan barang

�

=

masa kadaluarsa barang

Variabel Keputusan

= {

1, jika distributor

0, jika selainnya

i

dikunju

n

gi pada periode

t

= {

0, jika selainnya

1, jika terdapat perjalanan dari distributor

i

ke distributor

j

pada periode t

= {

0, jika selainnya

1, jika terdapat pengiriman barang pada periode

t

Fungsi Objektif

min

∑ ∑

w

ij

x

ijt i,j t

yaitu meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari

perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.

Kendala

1.

Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh

persediaan barang di periode sekarang, kebutuhan barang dan kiriman barang

dari perusahaan.

�

+

= � −

+ � , = , … , �,

= , … , �

2.

Kebutuhan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi persediaan.

�

∑

+� −

=

, = , … , �,

= , … , �

3.

Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula.

�

� , = , … , �,

= , … , �

4.

Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.

�

,

= , … , �,

= , … , �

5.

Persediaan barang harus habis sebelum masa kadaluarsa.

�

∑

+� −

=

, = , … , �,

= , … , �

6.

Banyaknya barang yang dikirimkan ke distributor tidak melebihi kapasitas

penyimpanan distributor.

(16)

5

7.

Pengiriman dilakukan secara berurut dimulai dari distributor dengan indeks kecil

kemudian dilanjutkan dengan distributor berindeks yang lebih besar. Penentuan

indeks ini diperoleh dari solusi masalah

Travelling Salesman Problem

(TSP).

+

− − ∑

−

= +

,

= , … , �, = , . . . , � + , = , … , �

Perusahaan akan mengirimkan barang ke Distributor 1 jika Distributor 1

membutuhkan kiriman barang, jika Distributor 1 tidak membutuhkan kiriman

barang maka perusahaan akan langsung mengirimkan barang ke Distributor 2

tanpa melalui Distributor 1 terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan ke Distributor

2 jika Distributor 2 juga membutuhkan kiriman barang, jika tidak perusahaan

akan langsung mengirimkan barang ke Distributor 3 tanpa melalui Distributor 2

terlebih dahulu, lalu distributor-distributor lain secara berurut hingga ke

Distributor

�

kemudian kembali ke Perusahaan. Perusahaan tidak melakukan

kiriman barang secara acak, misal mengirimkan barang ke Distributor 5 terlebih

dahulu kemudian mengirimkan ke Distributor 2, lalu ke Distributor 4 kemudian

kembali ke perusahaan.

8.

Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum.

∑ ∑

+ ∑

�

= �+

= �

=

, = , … , �

9.

Perusahaan selalu mengirimkan barang ke distributor di setiap periode.

=

�+

=

,

= , … , �

10.

Jika ada distributor yang dikunjungi maka terdapat pengiriman barang dari

perusahaan.

= , … , �,

= , … , �

11.

Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.

∈ { , }; ∀ ,

∈ { , }; ∀ , ,

∈ { , }; ∀

IMPLEMENTASI MODEL

Dalam permasalahan ini misalkan diambil masalah pendistribusian manisan.

Perusahaan produksi manisan harus mengirimkan produknya ke

distributor-distributor di setiap periodenya. Dalam melakukan pengiriman barang tentu saja

tidak semua distributor harus dikunjungi, hanya distributor yang meminta saja yang

dikunjungi untuk mendapatkan kiriman barang.

Asumsi yang digunakan pada karya ilmiah ini ialah sebagai berikut:

1.

Perusahaan awal dan perusahaan akhir adalah perusahaan yang sama yaitu

sebagai sumber barang ke distributor.

2.

Satu periode sama dengan 7 hari.

(17)

6

4.

Kapasitas produksi dan kapasitas kendaraan tidak dipertimbangkan.

5.

Pengiriman barang hanya menggunakan satu unit kendaraan.

Data yang diberikan merupakan data hipotetik dengan satuan unit untuk setiap

barang dan satuan jam untuk waktu tempuh. Diandaikan dalam satu periode

pengiriman terdapat lima distributor yang harus dipenuhi kebutuhannya dalam dua

belas periode seperti yang diberikan pada Tabel 1.

Tabel 1 Kuantitas barang yang dibutuhkan distributor

Distributor

Periode

Persediaan

awal

1 2 3 4 5

6

7

8

9

10

11

12

1

0 1 3 4 5

3

2

3

5

1

3

2

1

2

0 3 2 3 4

3

1

0

3

2

5

8

3

0 0 3 1 2

4

3

2

1

3

2

4

5

4

0 1 3 3 2

4

1

0

3

2

1

3

1

5

0 3 3 1 3

3

Tabel 2 menampilkan lamanya perjalanan yang harus ditempuh perusahaan ke

distributor.

Tabel 2 Waktu tempuh yang dibutuhkan (

) pada setiap periode (

t

)

Perusa-

haan

(awal

rute)

Distri-

butor

1

Distri-

butor

2

Distri-butor

3

Distri-butor

4

Distri-butor

5

Perusa-haan

(akhir

rute)

Perusahaan

(awal rute)

0

1

0

Distributor 1

1

0

1

3

2

4

1

Distributor 2

1

0

3

2

1

Distributor 3

1

3

0

5

2

1

Distributor 4

1

2

5

0

1

Distributor 5

1

4

2

1

0

1

Perusahaan

(akhir rute)

0

1

0

(18)

7

Indeks

i

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, merupakan indeks untuk distributor, dengan

i

= 1 merupakan

perusahaan awal rute pendistribusian.

j

= 2, 3, 4, 5, 6, 7, merupakan indeks untuk distributor, dengan

j

= 7 merupakan

perusahaan akhir rute pendistribusian.

t

= 1, 2, ...,12, merupakan indeks untuk periode.

Parameter

I

i t

=

banyaknya persediaan barang di distributor pada periode

u

it

=

banyaknya barang yang dibutuhkan distributor

untuk memenuhi

kebutuhan konsumen pada periode

d

i t

=

banyaknya barang yang dikirimkan perusahaan ke distributor pada periode

w

ij

=

waktu tempuh dari distributor ke distributor

C

i

=

kapasitas penyimpanan di distributor

=

unit

s

i

=

lamanya bongkar muat di distributor

=

jam

D

=

durasi rute maksimum tiap periode = 8 jam

�

=

lamanya penyimpanan barang = 2 periode

�

=

lamanya masa kadaluarsa barang = 5 periode

Variabel Keputusan

= {

1, jika distributor

0, jika selainnya

i

dikunju

n

gi pada periode

t

= {

1, jika terdapat perjalanan dari distributor

0, jika selainnya

i

ke distributor

j

pada periode t

= {

0, jika selainnya

1, jika terdapat pengiriman barang pada periode

t

Fungsi Objektif

min ∑ ∑

,

yaitu meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari

perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.

Kendala

1.

Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh

persediaan barang di periode sekarang, kebutuhan barang dan kiriman barang

dari perusahaan.

�

+

= � −

+ � , = , … , ,

= , … ,

2.

Penggunaan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi persediaan.

�

∑

+ −

=

, = , … , ,

= , … ,

3.

Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula.

(19)

8

4.

Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.

�

,

= , … , ,

= , … ,

5.

Persediaan barang harus habis sebelum masa kadaluarsa.

�

∑

+ −

=

, = , … , ,

= , … ,

6.

Banyaknya barang yang dikirimkan ke distributor tidak melebihi kapasitas

penyimpanan distributor.

�

, = , … , ,

= , … ,

7.

Pengiriman dilakukan secara berurut dimulai dari distributor dengan indeks kecil

kemudian dilanjutkan dengan distributor berindeks yang lebih besar. Penentuan

indeks ini diperoleh dari solusi masalah

Travelling Salesman Problem

(TSP).

+

− − ∑

−

= +

,

= , … , , = , . . . , ,

= , … ,

8.

Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum.

∑ ∑

+ ∑

= =

=

, = , … , ,

= , . . . , ,

= , … ,

9.

Perusahaan selalu mengirimkan barang ke distributor di setiap periode.

=

,

= , … ,

10.

Jika ada distributor yang dikunjungi maka terdapat pengiriman barang dari

perusahaan.

= , … , ,

= , … , �

11.

Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.

∈ { , }; ∀ ,

∈ { , }; ∀ , ,

∈ { , }; ∀

(20)

9

Tabel 3 Kuantitas barang yang dikirim perusahaan kepada setiap distributor

Distributor

Periode

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

15

0

5

0

11

0

2

0

10

0

6

0

13

0

3

0

10

0

6

0

6

0

4

12

0

4

0

6

0

5

9

0

12

0

9

0

Tabel 4 Banyaknya persediaan barang di distributor

Distributor

Periode

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

16

15

12

8

5

14

11

6

5

2

5

15

12

10

7

9

6

18

15

13

8

3

13

10

9

7

9

6

4

9

6

4

1

13

12

9

10

8

4

3

9

6

4

3

5

3

12

9

6

15

12

9

6

12

9

6

3

Tabel 5 Penyaluran barang yang terjadi pada proses pendistribusian barang

Periode

Penyaluran barang

Distributor

1

2

3

4

5

1

Persediaan awal distributor

1

5

3

1

3

Kuantitas barang yang dibutuhkan

0

Kiriman barang

15

0

12

9

2

Persediaan barang

16

5

3

13

12

Kuantitas barang yang dibutuhkan

1

3

0

1

3

Kiriman barang

0

10

0

3

Persediaan barang

15

12

13

12

9

3

2

3

Kiriman barang

0

4

Persediaan barang

12

10

9

6

4

3

1

3

Kiriman barang

0

4

12

5

Persediaan barang

8

7

9

10

15

5

4

2

3

Kiriman barang

5

6

0

6

Persediaan barang

8

9

7

8

12

3

4

3

Kiriman barang

0

6

0

7

Persediaan barang

5

6

9

4

9

2

1

3

1

3

(21)

10

Tabel 5 Penyaluran barang yang terjadi pada proses pendistribusian barang

(

lanjutan

)

8

Persediaan barang

14

18

6

3

6

3

0

2

0

3

Kiriman barang

0

6

9

Persediaan barang

11

18

4

9

12

5

3

1

3

Kiriman barang

0

6

0

10

Persediaan barang

6

15

9

6

9

1

2

3

2

3

Kiriman barang

0

11

Persediaan barang

5

13

6

4

6

3

5

2

1

3

Kiriman barang

0

12

Persediaan barang

2

8

4

3

2

8

4

3

Kiriman barang

0

Dari Tabel 5 terlihat bahwa pada Periode 1 perusahaan mengirimkan barang

ke Distributor 1, Distributor 4 dan Distributor 5, sedangkan pada Distributor 2 dan

Distributor 3 tidak terdapat kiriman barang karena persediaan barang di awal

periode pada kedua distributor masih dapat memenuhi kuantitas barang yang

dibutuhkan. Pada Periode 2 terdapat perjalanan dari perusahaan ke Distributor 2

dilanjutkan ke Distributor 3 kemudian kembali ke perusahaan. Begitu pula yang

terjadi pada periode-periode lainnya.

Terlihat pula bahwa persediaan habis sebelum masa kadaluarsa, yaitu 5

periode seperti contoh Distributor 1 pada Periode 1 persediaan awal Distributor 1

adalah 1 dan persediaan awal ini habis sebelum Periode 6. Pada Periode 2

Distributor 1 memiliki persediaan barang 16 pada Periode 2 barang yang

dibutuhkan 1, pada Periode 3 barang yang dibutuhkan 3, pada Periode 4 barang

yang dibutuhkan 4, pada Periode 5 barang yang dibutuhkan 5, dan pada Periode 6

barang yang dibutuhkan 3, sehingga 16 - 1 - 3 - 4 - 5 - 3 = 0. Barang habis sebelum

Periode 7 pada Distributor 1. Sama halnya yang terjadi pada periode-periode

selanjutnya di Distributor 1. Begitu pula yang terjadi pada distributor-distributor

lainnya.

(22)

11

Periode 1

1

4

5

Periode 2

2

3

Periode 4

4

5

Periode 5

1

2

Periode 6

3

Periode 7

1

2

Periode 8

4

5

Periode 9

3

Gambar 1 Bagan waktu pendistribusian barang. Satu kotak mewakili 1 jam, ( )

waktu perjalanan, ( ) waktu bongkar muat di Distributor .

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Masalah pendistribusian barang multiperiode dengan kendala waktu dapat

diselesaikan menggunakan Pemrograman Linear

Integer

(PLI). Pendistribusian

yang dibuat bertujuan meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian

barang dari perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan dan

memenuhi kendala yang ada.

Model ini dapat diselesaikan menggunakan

software

LINGO 11.0, sehingga

dapat diperoleh solusi optimal. Studi kasus dalam pengiriman produk berupa

manisan kepada 5 distributor membutuhkan waktu 26 jam untuk 12 periode

pengiriman.

Saran

(23)

12

DAFTAR PUSTAKA

Hemmelmayr V, Doerner K F, Hartl R F, Savelsbergh MWP. 2009. Delivery

strategies

for

blood

products

supplies.

OR

Spectrum

.

31:707-725.doi:10.1007/s00291-008-0134-7.

Romeijn H E, Morales R D. 1998. Generating experimental data for the generalized

assignment

problem.

Operations

Research

.

49:866-878.doi:10.1287/opre.49.6.866.10021.

Tersine J R. 1994.

Principles of Inventory and Materials Management

. North

Holland (NL) : PTR Prentice.

(24)

13

Lampiran 1

Syntax dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah pendistribusian barang kepada 5 distributor dalam 12 periode

model: sets:

periode/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12/; distributor/1,2,3,4,5,6,7/:s,c; link1(distributor,distributor):w; link2(distributor,periode):d,y,ii,u; link21(distributor,periode);

link3(distributor,distributor,periode):x; endsets

data: Dmax=8;

c=20 20 20 20 20 20 20; s=1 1 1 1 1 1 1;

k1=2; k2=5;

w=0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 3 2 4 1 1 1 0 3 2 2 1 1 3 3 0 5 2 1 1 2 2 5 0 1 1 1 4 2 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0;

u=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 4 5 3 2 3 5 1 3 2 0 3 2 3 4 3 1 0 3 2 5 8 0 0 3 1 2 4 3 2 1 3 2 4 0 1 3 3 2 4 1 0 3 2 1 3 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

enddata

ii(2,1)=1; ii(3,1)=5; ii(4,1)=3; ii(5,1)=1; ii(6,1)=3;

!fo : Meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.

min=@sum(link3(i,j,t):w(i,j)*x(i,j,t));

!kendala 1: Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh persediaan barang di periode skarang, kebutuhan barang, dan kiriman barang dari perusahaan.

(25)

14

!kendala 2: Penggunaan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi persediaan.

@for (distributor(i):II(i,1)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1#and#a#GE#1:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,2)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+1#and#a#GE#2:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,3)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+2#and#a#GE#3:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,4)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+3#and#a#GE#4:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,5)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+4#and#a#GE#5:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,6)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+5#and#a#GE#6:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,7)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+6#and#a#GE#7:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,8)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+7#and#a#GE#8:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,9)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+8#and#a#GE#9:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,10)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+9#and#a#GE#10:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,11)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+10#and#a#GE#11:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,12)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+11#and#a#GE#12:u(i,a)));

!kendala 3: Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula. @for (Link2(i,t)|t#NE#1:II(i,t)>=II(i,1));

!kendala 4: Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor. @for (distributor(i):@for (link2(i,t):II(i,t)<=C(i)));

!kendala 5: Persediaan barang harus habis sebelum masa kadaluarsa.

@for (distributor(i):II(i,1)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2#and#a#GE#1:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,2)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+1#and#a#GE#2:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,3)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+2#and#a#GE#3:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,4)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+3#and#a#GE#4:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,5)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+4#and#a#GE#5:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,6)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+5#and#a#GE#6:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,7)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+6#and#a#GE#7:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,8)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+7#and#a#GE#8:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,9)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+8#and#a#GE#9:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,10)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+9#and#a#GE#10:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,11)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+10#and#a#GE#11:u(i,a))); @for (distributor(i):II(i,12)<=@sum(periode(a)|a#LE#k2+11#and#a#GE#12:u(i,a)));

!kendala 6: Banyaknya barang yang dikirimkan ke distributor tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.

@for(distributor(i):@for(Link2(i,t):d(i,t)<=C(i)*Y(i,t)));

!kendala 7: Pengiriman dilakukan secara berurut dimulai dari distributor dengan indeks kecil kemudian dilanjutkan dengan distributor berindeks besar.

x(1,2,1)>=y(1,1)+y(2,1)-1; x(1,3,1)>=y(1,1)+y(3,1)-1-y(2,1); x(1,4,1)>=y(1,1)+y(4,1)-1-y(2,1)-y(3,1); x(1,5,1)>=y(1,1)+y(5,1)-1-y(2,1)-y(3,1)-y(4,1); x(1,6,1)>=y(1,1)+y(6,1)-1-y(2,1)-y(3,1)-y(4,1)-y(5,1); x(1,7,1)>=y(1,1)+y(7,1)-1-y(2,1)-y(3,1)-y(4,1)-y(5,1)-y(6,1);

(26)

15

x(3,4,1)>=y(3,1)+y(4,1)-1; x(3,5,1)>=y(3,1)+y(5,1)-1-y(4,1); x(3,6,1)>=y(3,1)+y(6,1)-1-y(4,1)-y(5,1); x(3,7,1)>=y(3,1)+y(7,1)-1-y(4,1)-y(5,1)-y(6,1);

x(4,5,1)>=y(4,1)+y(5,1)-1; x(4,6,1)>=y(4,1)+y(6,1)-1-y(5,1); x(4,7,1)>=y(4,1)+y(7,1)-1-y(5,1)-y(6,1);

x(5,6,1)>=y(5,1)+y(6,1)-1; x(5,7,1)>=y(5,1)+y(7,1)-1-y(6,1);

x(6,7,1)>=y(6,1)+y(7,1)-1;

x(2,3,2)>=y(2,2)+y(3,2)-1; x(2,4,2)>=y(2,2)+y(4,2)-1-y(3,2); x(2,5,2)>=y(2,2)+y(5,2)-1-y(3,2)-y(4,2); x(2,6,2)>=y(2,2)+y(6,2)-1-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2); x(2,7,2)>=y(2,2)+y(7,2)-1-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2)-y(6,2);

x(4,5,2)>=y(4,2)+y(5,2)-1; x(4,6,2)>=y(4,2)+y(6,2)-1-y(5,2); x(4,7,2)>=y(4,2)+y(7,2)-1-y(5,2)-y(6,2);

x(5,6,2)>=y(5,2)+y(6,2)-1; x(5,7,2)>=y(5,2)+y(7,2)-1-y(6,2);

x(6,7,2)>=y(6,2)+y(7,2)-1;

(27)

16

x(2,7,3)>=y(2,3)+y(7,3)-1-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3)-y(6,3);

x(4,5,3)>=y(4,3)+y(5,3)-1; x(4,6,3)>=y(4,3)+y(6,3)-1-y(5,3); x(4,7,3)>=y(4,3)+y(7,3)-1-y(5,3)-y(6,3);

x(5,6,3)>=y(5,3)+y(6,3)-1; x(5,7,3)>=y(5,3)+y(7,3)-1-y(6,3);

x(6,7,3)>=y(6,3)+y(7,3)-1;

x(4,5,4)>=y(4,4)+y(5,4)-1; x(4,6,4)>=y(4,4)+y(6,4)-1-y(5,4); x(4,7,4)>=y(4,4)+y(7,4)-1-y(5,4)-y(6,4);

x(5,6,4)>=y(5,4)+y(6,4)-1; x(5,7,4)>=y(5,4)+y(7,4)-1-y(6,4);

x(6,7,4)>=y(6,4)+y(7,4)-1;

(28)

17

x(2,6,5)>=y(2,5)+y(6,5)-1-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5); x(2,7,5)>=y(2,5)+y(7,5)-1-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5)-y(6,5);

x(4,5,5)>=y(4,5)+y(5,5)-1; x(4,6,5)>=y(4,5)+y(6,5)-1-y(5,5); x(4,7,5)>=y(4,5)+y(7,5)-1-y(5,5)-y(6,5);

x(5,6,5)>=y(5,5)+y(6,5)-1; x(5,7,5)>=y(5,5)+y(7,5)-1-y(6,5);

x(6,7,5)>=y(6,5)+y(7,5)-1;

x(4,5,6)>=y(4,6)+y(5,6)-1; x(4,6,6)>=y(4,6)+y(6,6)-1-y(5,6); x(4,7,6)>=y(4,6)+y(7,6)-1-y(5,6)-y(6,6);

x(5,6,6)>=y(5,6)+y(6,6)-1; x(5,7,6)>=y(5,6)+y(7,6)-1-y(6,6);

x(6,7,6)>=y(6,6)+y(7,6)-1;

(29)

18

x(2,5,7)>=y(2,7)+y(5,7)-1-y(3,7)-y(4,7); x(2,6,7)>=y(2,7)+y(6,7)-1-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7); x(2,7,7)>=y(2,7)+y(7,7)-1-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7)-y(6,7);

x(4,5,7)>=y(4,7)+y(5,7)-1; x(4,6,7)>=y(4,7)+y(6,7)-1-y(5,7); x(4,7,7)>=y(4,7)+y(7,7)-1-y(5,7)-y(6,7);

x(5,6,7)>=y(5,7)+y(6,7)-1; x(5,7,7)>=y(5,7)+y(7,7)-1-y(6,7);

x(6,7,7)>=y(6,7)+y(7,7)-1;

x(4,5,8)>=y(4,8)+y(5,8)-1; x(4,6,8)>=y(4,8)+y(6,8)-1-y(5,8); x(4,7,8)>=y(4,8)+y(7,8)-1-y(5,8)-y(6,8);

x(5,6,8)>=y(5,8)+y(6,8)-1; x(5,7,8)>=y(5,8)+y(7,8)-1-y(6,8);

x(6,7,8)>=y(6,8)+y(7,8)-1;

(30)

19

x(2,4,9)>=y(2,9)+y(4,9)-1-y(3,9); x(2,5,9)>=y(2,9)+y(5,9)-1-y(3,9)-y(4,9); x(2,6,9)>=y(2,9)+y(6,9)-1-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9); x(2,7,9)>=y(2,9)+y(7,9)-1-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9)-y(6,9);

x(4,5,9)>=y(4,9)+y(5,9)-1; x(4,6,9)>=y(4,9)+y(6,9)-1-y(5,9); x(4,7,9)>=y(4,9)+y(7,9)-1-y(5,9)-y(6,9);

x(5,6,9)>=y(5,9)+y(6,9)-1; x(5,7,9)>=y(5,9)+y(7,9)-1-y(6,9);

x(6,7,9)>=y(6,9)+y(7,9)-1;

x(1,2,10)>=y(1,10)+y(2,10)-1;

x(1,3,10)>=y(1,10)+y(3,10)-1-y(2,10);

x(1,4,10)>=y(1,10)+y(4,10)-1-y(2,10)-y(3,10);

x(1,5,10)>=y(1,10)+y(5,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10);

x(1,6,10)>=y(1,10)+y(6,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10);

x(1,7,10)>=y(1,10)+y(7,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);

x(2,3,10)>=y(2,10)+y(3,10)-1;

x(2,4,10)>=y(2,10)+y(4,10)-1-y(3,10);

x(2,5,10)>=y(2,10)+y(5,10)-1-y(3,10)-y(4,10);

x(2,6,10)>=y(2,10)+y(6,10)-1-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10);

x(2,7,10)>=y(2,10)+y(7,10)-1-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);

x(3,4,10)>=y(3,10)+y(4,10)-1;

x(3,5,10)>=y(3,10)+y(5,10)-1-y(4,10);

x(3,6,10)>=y(3,10)+y(6,10)-1-y(4,10)-y(5,10);

x(3,7,10)>=y(3,10)+y(7,10)-1-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);

x(4,5,10)>=y(4,10)+y(5,10)-1;

x(4,6,10)>=y(4,10)+y(6,10)-1-y(5,10);

x(4,7,10)>=y(4,10)+y(7,10)-1-y(5,10)-y(6,10);

x(5,6,10)>=y(5,10)+y(6,10)-1;

x(5,7,10)>=y(5,10)+y(7,10)-1-y(6,10);

x(6,7,10)>=y(6,10)+y(7,10)-1;

x(1,2,11)>=y(1,11)+y(2,11)-1;

x(1,3,11)>=y(1,11)+y(3,11)-1-y(2,11);

x(1,4,11)>=y(1,11)+y(4,11)-1-y(2,11)-y(3,11);

x(1,5,11)>=y(1,11)+y(5,11)-1-y(2,11)-y(3,11)-y(4,11);

x(1,6,11)>=y(1,11)+y(6,11)-1-y(2,11)-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11);

(31)

20

x(2,3,11)>=y(2,11)+y(3,11)-1;

x(2,4,11)>=y(2,11)+y(4,11)-1-y(3,11);

x(2,5,11)>=y(2,11)+y(5,11)-1-y(3,11)-y(4,11);

x(2,6,11)>=y(2,11)+y(6,11)-1-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11);

x(2,7,11)>=y(2,11)+y(7,11)-1-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11)-y(6,11);

x(3,4,11)>=y(3,11)+y(4,11)-1;

x(3,5,11)>=y(3,11)+y(5,11)-1-y(4,11);

x(3,6,11)>=y(3,11)+y(6,11)-1-y(4,11)-y(5,11);

x(3,7,11)>=y(3,11)+y(7,11)-1-y(4,11)-y(5,11)-y(6,11);

x(4,5,11)>=y(4,11)+y(5,11)-1;

x(4,6,11)>=y(4,11)+y(6,11)-1-y(5,11);

x(4,7,11)>=y(4,11)+y(7,11)-1-y(5,11)-y(6,11);

x(5,6,11)>=y(5,11)+y(6,11)-1;

x(5,7,11)>=y(5,11)+y(7,11)-1-y(6,11);

x(6,7,11)>=y(6,11)+y(7,11)-1;

x(1,2,12)>=y(1,12)+y(2,12)-1;

x(1,3,12)>=y(1,12)+y(3,12)-1-y(2,12);

x(1,4,12)>=y(1,12)+y(4,12)-1-y(2,12)-y(3,12);

x(1,5,12)>=y(1,12)+y(5,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12);

x(1,6,12)>=y(1,12)+y(6,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12);

x(1,7,12)>=y(1,12)+y(7,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);

x(2,3,12)>=y(2,12)+y(3,12)-1;

x(2,4,12)>=y(2,12)+y(4,12)-1-y(3,12);

x(2,5,12)>=y(2,12)+y(5,12)-1-y(3,12)-y(4,12);

x(2,6,12)>=y(2,12)+y(6,12)-1-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12);

x(2,7,12)>=y(2,12)+y(7,12)-1-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);

x(3,4,12)>=y(3,12)+y(4,12)-1;

x(3,5,12)>=y(3,12)+y(5,12)-1-y(4,12);

x(3,6,12)>=y(3,12)+y(6,12)-1-y(4,12)-y(5,12);

x(3,7,12)>=y(3,12)+y(7,12)-1-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);

x(4,5,12)>=y(4,12)+y(5,12)-1;

x(4,6,12)>=y(4,12)+y(6,12)-1-y(5,12);

x(4,7,12)>=y(4,12)+y(7,12)-1-y(5,12)-y(6,12);

x(5,6,12)>=y(5,12)+y(6,12)-1;

x(5,7,12)>=y(5,12)+y(7,12)-1-y(6,12);

x(6,7,12)>=y(6,12)+y(7,12)-1;

!kendala 8: Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum. @for(periode(t):@sum (distributor(i):@sum

(distributor(j):(w(i,j)*x(i,j,t))))+@sum(distributor(i):(Y(i,t)*S(i)))<=Dmax);

(32)

21

@for(Link2(i,t):y(1,t)=1); @for(Link2(i,t):y(7,t)=1);

!kendala 10 : jika ada distributor yang dikunjungi maka terdapat pengiriman barang dari perusahaan.

@for(periode(t): @for(Link2(i,t):z(t)>=y(i,t)));

!kendala 11: semua variabel keputusan bernilai nol atau satu. @for(Link3(i,j,t):@bin(x(i,j,t)));

@for (Link2(i,t):@bin(y(i,t)));

Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :

(Tidak semua hasil ditampilkan, hanya untuk variabel yang tidak bernilai 0 saja yang ditampilkan)

Global optimal solution found.

Objective value: 26.00000 Objective bound: 26.00000 Infeasibilities: 0.8881784E-15 Extended solver steps: 1571 Total solver iterations: 122350

Variable Value Reduced Cost DMAX 8.000000 0.000000 K1 2.000000 0.000000 K2 5.000000 0.000000 Z( 1) 1.000000 0.000000 Z( 2) 1.000000 0.000000 Z( 3) 1.000000 0.000000 Z( 4) 1.000000 0.000000 Z( 5) 1.000000 0.000000 Z( 6) 1.000000 0.000000 Z( 7) 1.000000 0.000000 Z( 8) 1.000000 0.000000 Z( 9) 1.000000 0.000000 Z(10) 1.000000 0.000000 Z(11) 1.000000 0.000000 Z(12) 1.000000 0.000000 S( 1) 1.000000 0.000000 S( 2) 1.000000 0.000000 S( 3) 1.000000 0.000000 S( 4) 1.000000 0.000000 S( 5) 1.000000 0.000000 S( 6) 1.000000 0.000000 S( 7) 1.000000 0.000000 C( 1) 20.00000 0.000000 C( 2) 20.00000 0.000000 C( 3) 20.00000 0.000000 C( 4) 20.00000 0.000000 C( 5) 20.00000 0.000000 C( 6) 20.00000 0.000000 C( 7) 20.00000 0.000000

W( 1, 2) 1.000000 0.000000

(33)

22

W( 6, 1) 1.000000 0.000000 W( 6, 2) 4.000000 0.000000 W( 6, 3) 2.000000 0.000000 W( 6, 4) 2.000000 0.000000 W( 6, 5) 1.000000 0.000000 W( 6, 7) 1.000000 0.000000 W( 7, 2) 1.000000 0.000000 W( 7, 3) 1.000000 0.000000 W( 7, 4) 1.000000 0.000000 W( 7, 5) 1.000000 0.000000 W( 7, 6) 1.000000 0.000000 D( 1, 12) 20.00000 0.000000 D( 2, 1) 15.00000 0.000000 D( 2, 5) 5.000000 0.000000 D( 2, 7) 11.00000 0.000000 D( 3, 2) 10.00000 0.000000 D( 3, 5) 6.000000 0.000000 D( 3, 7) 13.00000 0.000000 D( 4, 2) 10.00000 0.000000 D( 4, 6) 6.000000 0.000000 D( 4, 9) 6.000000 0.000000 D( 5, 1) 12.00000 0.000000 D( 5, 4) 4.000000 0.000000 D( 5, 8) 6.000000 0.000000 D( 6, 1) 9.000000 0.000000 D( 6, 4) 12.00000 0.000000 D( 6, 8) 9.000000 0.000000 D( 7, 12) 20.00000 0.000000 Y( 1, 1) 1.000000 0.000000 Y( 1, 2) 1.000000 0.000000 Y( 1, 3) 1.000000 0.000000 Y( 1, 4) 1.000000 0.000000 Y( 1, 5) 1.000000 0.000000 Y( 1, 6) 1.000000 0.000000 Y( 1, 7) 1.000000 0.000000 Y( 1, 8) 1.000000 0.000000 Y( 1, 9) 1.000000 0.000000 Y( 1, 10) 1.000000 0.000000 Y( 1, 11) 1.000000 0.000000 Y( 1, 12) 1.000000 0.000000 Y( 2, 1) 1.000000 0.000000 Y( 2, 5) 1.000000 0.000000 Y( 2, 7) 1.000000 0.000000 Y( 3, 2) 1.000000 0.000000 Y( 3, 5) 1.000000 0.000000 Y( 3, 7) 1.000000 0.000000 Y( 4, 2) 1.000000 0.000000 Y( 4, 6) 1.000000 0.000000 Y( 4, 9) 1.000000 0.000000 Y( 5, 1) 1.000000 0.000000 Y( 5, 4) 1.000000 0.000000 Y( 5, 8) 1.000000 0.000000 Y( 6, 1) 1.000000 0.000000

(34)

23

II( 5, 4) 9.000000 0.000000 II( 5, 5) 10.00000 0.000000 II( 5, 6) 8.000000 0.000000 II( 5, 7) 4.000000 0.000000 II( 5, 8) 3.000000 0.000000 II( 5, 9) 9.000000 0.000000 II( 5, 10) 6.000000 0.000000 II( 5, 11) 4.000000 0.000000 II( 5, 12) 3.000000 0.000000 II( 6, 1) 3.000000 0.000000 II( 6, 2) 12.00000 0.000000 II( 6, 3) 9.000000 0.000000 II( 6, 4) 6.000000 0.000000 II( 6, 5) 15.00000 0.000000 II( 6, 6) 12.00000 0.000000 II( 6, 7) 9.000000 0.000000 II( 6, 8) 6.000000 0.000000 II( 6, 9) 12.00000 0.000000 II( 6, 10) 9.000000 0.000000 II( 6, 11) 6.000000 0.000000 II( 6, 12) 3.000000 0.000000 U( 2, 2) 1.000000 0.000000 U( 2, 3) 3.000000 0.000000 U( 2, 4) 4.000000 0.000000 U( 2, 5) 5.000000 0.000000 U( 2, 6) 3.000000 0.000000 U( 2, 7) 2.000000 0.000000 U( 2, 8) 3.000000 0.000000 U( 2, 9) 5.000000 0.000000 U( 2, 10) 1.000000 0.000000 U( 2, 11) 3.000000 0.000000 U( 2, 12) 2.000000 0.000000 U( 3, 2) 3.000000 0.000000 U( 3, 3) 2.000000 0.000000 U( 3, 4) 3.000000 0.000000 U( 3, 5) 4.000000 0.000000 U( 3, 6) 3.000000 0.000000 U( 3, 7) 1.000000 0.000000 U( 3, 9) 3.000000 0.000000 U( 3, 10) 2.000000 0.000000 U( 3, 11) 5.000000 0.000000 U( 3, 12) 8.000000 0.000000 U( 4, 3) 3.000000 0.000000 U( 4, 4) 1.000000 0.000000 U( 4, 5) 2.000000 0.000000 U( 4, 6) 4.000000 0.000000 U( 4, 7) 3.000000 0.000000 U( 4, 8) 2.000000 0.000000 U( 4, 9) 1.000000 0.000000 U( 4, 10) 3.000000 0.000000 U( 4, 11) 2.000000 0.000000 U( 4, 12) 4.000000 0.000000 U( 5, 2) 1.000000 0.000000

(35)

24

(36)

25

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Cianjur pada 16 Juli 1990 sebagai anak pertama dari tiga

bersaudara, anak dari pasangan Ridwan dan Sri Mulyanti. Pada tahun 2002 penulis

lulus dari SD Negeri Kebon Pedes 1 Bogor, kemudian pada tahun 2005 lulus dari

SLTP Negeri 12 Kota Bogor. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Kota

Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur

USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dan diterima di Departemen Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.