PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION (MAD)
DAN HUBER M-ESTIMATION
ARIYANTO HERMAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
ARIYANTO HERMAWAN. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Pendugaan parameter umumnya diterapkan terhadap model regresi. Namun, pendugaan terhadap model dinamik belum banyak dikembangkan. Metode Least Square adalah metode yang paling umum digunakan dalam pendugaan parameter. Akan tetapi, metode ini kurang baik saat digunakan terhadap data yang mengandung pencilan. Metode robust adalah metode yang dapat mengatasi kelemahan itu. Median Absolute Deviation dan M-Estimation merupakan beberapa metode yang cocok digunakan untuk data yang mengandung pencilan maupun ini pencilan jauh. Kedua metode robust cukup baik dalam melakukan pedugaan parameter untuk jenis data tanpa pencilan maupun dengan pencilan. Berdasarkan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) dan boxplot, Metode M-Estimation memiliki keakuratan yang lebih baik dalam pendugaan parameter dibanding metode Median Absolute Deviation. Pada karya ilmiah ini, model Gompertz dan SZR (Susceptible, Zombie, Removed) adalah model yang diduga parameternya dengan menggunakan data hipotetik.
Kata kunci: Huber, Least Square, M-Estimation, Median Absolute Deviation, pencilan, pencilan jauh, robust
ABSTRACT
ARIYANTO HERMAWAN. Parameter Estimation of Dynamical Model using Robust Median Absolute Deviation (MAD) and Huber M-Estimation Methods. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Parameter estimation is commonly applied to regression models. However, the estimation of the dynamic models have not been developed. Least Square Method is the most common method used in parameter estimation. However, this method is not appropriate to be used if data contains some outliers. Robust method is a method that can overcome the weakness of the Least Square method. Median Absolute Deviation and M-Estimation are some suitable methods used when the data contains outliers and far outliers. Both of these robust methods are quite good in parameter estimation for the data with or without outliers. Based on Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) and boxplot, M-Estimation method has better accuracy in parameter estimation than the Median Absolute Deviation method. In this manuscript, parameter estimation is applied to Gompertz and SZR (Susceptible, Zombie, Removed) model using hypothetical data.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION (MAD)
DAN HUBER M-ESTIMATION
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2015
Judul Skripsi : Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation
Nama : Ariyanto Hermawan NIM : G54110046
PRAKATA
Alhamdulillah. Segala puji dan rasa syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation dapat diselesaikan dengan segala kendala dan keterbatasan yang dihadapi. Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Orang tua dan adik-adik tercinta atas semua doa, semangat, perhatian, dan kasih sayang yang tak pernah lelah sampai saat ini.
2. Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen pembimbing I dan pembimbing II, serta Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas semua ilmu, masukan, motivasi, saran, dan pengalaman yang telah diberikan.
3. Seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu dan pengalaman berharga yang telah diberikan.
4. Sahabat “Belakhar Baremg” yaitu: Arli, Dinita, Lily, Ayu, dan Widya atas semua keceriaan, canda, tawa, serta pengalaman yang berharga.
5. Teman-teman seperjuangan matematika 48 atas semua momen indah kebersamaan yang takkan pernah terlupakan.
6. Teman-teman matematika 47, 49, dan 50 atas cerita indah dan kebersamaan. 7. Semua pihak-pihak yang tidak bisa disebutkan satu-persatu yang telah
membantu hingga akhirnya karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
DAFTAR TABEL
1 Nilai dugaan parameter model Gompertz r dan K dengan menggunakan
metode LS, MAD, M-Estimation 8
2 Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation model Gompertz
untuk setiap jenis data hipotetik 9
3 Nilai dugaan parameter model SZR dengan menggunakan metode LS,
MAD, dan M-Estimation 11
4 Nilai SMAPE model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
untuk setiap jenis data hipotetik 13
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot 5
2 Plot tebaran data hipotetik untuk data hipotetik tanpa pencilan (a),
dengan pencilan (b), dan pencilan jauh (c) 7
3 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 8
4 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data dengan pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan
M-Estimation 9
5 Boxplot SAPE untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan M-Estimation 10
6 Boxplot SAPE untuk data hipotetik dengan pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 10 7 Plot tebaran data hipotetik tanpa pencilan model SZR 11 8 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 12
9 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan dengan
metode LS, MAD, dan M-Estimation 12
10 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan jauh dengan
metode LS, MAD, dan M-Estimation 13
11 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 14 12 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik
dengan pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 15 13 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik
dengan pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pendugaan parameter model Gompertz 18
2 Pendugaan parameter model Zombie Attack 28
3 Nilai SMAPE untuk setiap jenis data pada state variabel model SZR
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendugaan parameter umumnya dilakukan terhadap model regresi. Akan tetapi, pembahasan mengenai pendugaan parameter yang diterapkan terhadap suatu model dinamik, baik model tunggal ataupun model sistem, masih sangat jarang. Kajian tentang model dinamik biasanya hanya terfokus pada masalah titik tetap, kestabilan, dan analisisnya dengan nilai-nilai parameter yang sudah diberikan atau dipilih sembarang.
Pada penerapan terhadap model regresi, telah banyak ditemukan metode untuk menduga parameter, baik yang bersifat robust (tahan) terhadap pencilan ataupun tidak. Pada model dinamik, pendugaan dapat dilakukan secara tidak langsung ataupun langsung. Pendugaan parameter secara tidak langsung menekankan pada pencarian solusi secara analitik dari suatu model. Kemudian, dilakukan pendugaan untuk mencari parameter-parameter pada model tersebut. Pendugaan parameter secara langsung digunakan ketika solusi analitik tidak dapat ditentukan. Pendugaan ini mencari solusi numerik dari suatu model dilanjutkan dengan menduga parameter menggunakan metode yang sesuai.
Metode untuk menduga nilai parameter dari suatu model dengan cara meminimumkan kuadrat galat merupakan metode yang umum digunakan. Metode ini disebut metode Least Square (LS). Metode ini diterapkan dengan menggunakan segugus data pengamatan. Namun, metode ini tidak tahan terhadap pencilan (Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan, perlu dilakukan pendugaan dengan metode yang robust terhadap pencilan data. Salah satu metode robust, Median Absolute Deviation (MAD) telah diterapkan pada pendugaan model dinamik (Widiasari 2014). Metode MAD meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat. Metode robust lainnya adalah M-Estimation. Metode ini memiliki fungsi objektif yang memberikan bobot kecil terhadap data pencilan. Tiga bentuk fungsi objektif pada metode M-Estimation adalah Least Square, Huber dan Tukey Bisquare (Fox 2002). Pada karya ilmiah ini, metode robust yang digunakan akan dibandingkan dengan metode Least Square (LS).
2
Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu:
1. Mengkaji dan membandingkan pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least Square (LS) dan metode robust yaitu Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation.
2. Membandingkan pengaruh pencilan dan pencilan jauh terhadap metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation.
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel , , … , yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada waktu t dinyatakan sebagai berikut:
̇ = , … , ,
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya dapat dinyatakan sebagai berikut:
�̇ = � = �, , � ,
(Strogatz 2000) Metode Euler
Salah satu metode numerik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah metode Euler. Metode ini memiliki tingkat kesalahan orde pertama ( ℎ ). Misalkan diberikan sebuah persamaan diferensial sebagai berikut:
′= , dengan = pada [ , ].
Formulasi metode Euler:
3 dengan = dan �= . menyatakan banyaknya partisi data pada interval selang [ , ] dan ℎ = −
� merupakan ukuran langkah. Solusi pendekatan bagi
penyelesaian persamaan diferensial menggunakan himpunan diskret dari titik-titik
{ �, � }�= .
(Mathews dan Fink 2004) Metode Least Square (LS)
Misalkan dari suatu persamaan diferensial diperoleh solusi ̂ , � dan dari data pengamatan diperoleh suatu model � = ( , � + � untuk � = , , … , �, maka � dapat diduga dengan cara berikut:
min ∑ � − ̂� ,
Beberapa metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan yang dapat digunakan adalah:
1. Metode Weighted Least Square (WLS). 2. Metode Least Absolute Deviation ( LAD). 3. Metode Least Trimmed Square (LTS). 4. Metode Least Median of Square (LMS).
(Yafee 2002) Keempat metode tersebut telah banyak diaplikasikan dalam pendugaan parameter. Metode robust lainnya yaitu metode Median Absolute Deviation (MAD) dan M-Estimation dibahas dalam karya ilmiah ini.
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median | �− ̂� − median � − ̂� |.
(Ripley 1992) Metode Huber M-Estimation
M-Estimation dipandang baik untuk mengestimasi parameter yang disebabkan oleh pencilan vertikal dan memiliki breakdown point /�. M-Estimation meminimumkan fungsi objektif:
min ∑ � �̂ = min ∑ � (� �− ̂�̂ )� �=
�=
,
4
Estimasi �̂yang sering digunakan adalah
�̂ = median|Φ−�− median. � |.
Konstanta Φ− . = . membuat �̂mendekati estimator tak bias dari �, dan error berdistribusi normal. Salah satu cara lain yang umum digunakan untuk menentukan nilai standar deviasi, yaitu �̂ = .
Fungsi objektif untuk metode Huber adalah sebagai berikut:
� = { , | | ≤ �
�| | − � , | | > �.
(Fox 2002) Pencilan (Outlier) dan Pencilan Jauh (Far Outlier)
Pencilan merupakan nilai ekstrem dari suatu pengamatan. Pencilan juga dapat dikatakan sebagai suatu titik data yang jauh dari sebaran data utama. Suatu titik data dikatakan sebagai pencilan apabila nilai pengamatannya lebih besar dari
+ . − atau lebih kecil dari − . − . Suatu titik data dikatakan sebagai pencilan jauh apabila nilai pengamatannya lebih besar dari
+ − atau lebih kecil dari − − .
(Hoaglin et al. 1983) Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan sebagai berikut:
5
Gambar 1 Bentuk umum boxplot
(Weisstein 1999)
Model Gompertz digunakan dalam bidang aktuaria untuk menjelaskan perilaku mortalitas yang lebih sederhana. Model ini menjelaskan bahwa laju yang lambat terjadi di awal dan akhir periode waktu. Model Gompertz juga dapat diterapkan dalam bidang kesehatan guna merepresentasikan laju atau perilaku pertumbuhan sel penyakit tumor. Model Gompertz dirumuskan sebagai berikut: implementasi dari perilaku zombi dalam film-film fiksi. Resident Evil, Night of the Living dead, dan Dead Rising merupakan film-film yang dijadikan referensi dalam pembuatan model SZR. Pada model ini, kelompok individu dibagi mejadi tiga, yaitu kelompok manusia yang rentan (Susceptible), kelompok zombi (Zombie), dan kelompok manusia atau zombi yang telah meninggal (Removed). Model SZR ini merupakan pengembangan dari model penyakit SIR dikombinasikan dengan faktor-faktor interaksi antarkelompok. Model SZR dirumuskan sebagai berikut:
′= Π − −
′= + � −
′= + − � ,
6
Data Pengamatan
Data yang menjadi acuan pada penulisan karya ilmiah ini berlandaskan pada data hipotetik yang dibangkitkan menggunakan software Mathematica 10. Data hipotetik diperoleh dari solusi numerik pada model dinamik dengan memberikan nilai parameter sembarang. Data hipotetik tersebut diberi galat berupa bilangan acak dan beberapa data dibuat menjadi data pencilan.
Metode Analisis
Pada pendugaan parameter pada model dinamik, digunakan beberapa metode, yaitu: metode Least Square (LS), metode robust Median Absolut Deviation (MAD), dan metode robust M-Estimation. Ketiga model tersebut akan dilihat kesesuaian dan akurasinya menggunakan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) yang direpresentasikan melalui boxplot.
7
Dengan demikian, solusi khusus model Gompertzmenjadi:
� = � ln �0� �−�� Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan tiga jenis data hipotetik, yaitu: data hipotetik tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan, dan data hipotetik dengan pencilan jauh. Grafik ketiga data hipotetik ditampilkan pada Gambar 2.
Gambar 2 Plot tebaran data hipotetik untuk data hipotetik tanpa pencilan (a), dengan pencilan (b), dan pencilan jauh (c)
Pendugaan parameter dari model Gompertz dilakukan dengan menggunakan tiga metode, yaitu: metode Least Square (LS), Median Absolute
(a)
(b)
8
Deviation (MAD), dan M-Estimation. Nilai dugaan parameter yang didapat dari masing-masing metode ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai dugaan parameter model Gompertz r dan K dengan menggunakan
K 1262.6000 1380.0900 1260.0000 1260.0000
Pencilan r 0.0063 0.0092 0.0061 0.0062
K 1262.6000 357.2950 1266.6900 1367.2000 Pencilan
Jauh
r 0.0063 0.0110 0.0061 0.0062
K 1262.6000 263.3580 1266.6900 1367.1400 Setelah dilakukan pendugaan parameter, masing-masing nilai parameter diplot terhadap model Gompertz. Gambar 3 menjelaskan plot hasil pendugaan parameter untuk semua metode dengan data tanpa pencilan. Plot yang dihasilkan untuk masing-masing nilai parameter dugaan saling berimpit mengikuti pola tebaran data, dengan nilai parameter dugaan yang diberikan.
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Untuk data hipotetik dengan pencilan dan pencilan jauh, plot model Gompertz dengan menggunakan metode Least Square cenderung bergeser menjauh dari pola tebaran data hipotetik mendekati pencilan. Plot pendugaan semakin menjauh saat menggunakan data dengan pencilan jauh seperti dijelaskan pada Gambar 4. Plot Metode MAD dan M-Estimation cenderung hanya mengalami sedikit pergeseran, baik untuk data dengan pencilan maupun pencilan jauh. Dalam hal ini, kedua metode robust tersebut menghasilkan plot pendugaan yang cukup baik untuk setiap jenis data.
9
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data dengan pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Nilai SMAPE digunakan untuk mengukur tingkat kesalahan pendugaan parameter pada model Gompertz. Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation untuk data hipotetik tanpa pencilan, pencilan, dan pencilan jauh dijelaskan pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation model Gompertz untuk setiap jenis data hipotetik
Data Hipotetik Metode SMAPE
Tanpa Pencilan
Nilai SMAPE cenderung memberikan hasil yang seragam untuk data hipotetik tanpa pencilan. Namun, nilai SMAPE untuk metode LS lebih besar dibanding metode lainnya untuk data hipotetik dengan pencilan dan pencilan jauh. Metode M-Estimation memberikan hasil SMAPE yang paling kecil dibanding metode lainnya. Metode M-Estimation dinilai cukup baik dan akurat dalam menduga nilai parameter untuk setiap jenis data.
Sebaran nilai-nilai SAPE (Symmetrical Absolute Percentage Error) ditampilkan dalam diagram boxplot. Pada diagram bloxpot,keragaman data SAPE dapat dilihat dari selisih antar kuartil ( − ). Pada Gambar 5, terlihat diagram boxplot yang seragam hampir sama untuk masing-masing metode untuk data tanpa pencilan. Gambar 6 menjelaskan diagram boxplot masing-masing metode untuk data dengan pencilan dan pencilan jauh. Boxplot pada metode LS cenderung memiliki keragaman lebih besar dibanding metode MAD dan M-Estimation, baik terhadap data pencilan maupun data pencilan jauh.
LS MAD M-Estimation (a)
10
Gambar 5 Boxplot SAPE untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Gambar 6 Boxplot SAPE untuk data hipotetik dengan pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Model Zombie Attack Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter model dinamik juga dilakukan terhadap model sistem. Model yang digunakan adalah model SZR yang telah dijelaskan pada model analisis. Parameter awal yang diberikan untuk model SZR, yaitu: =
. , = . , = . , dan = . . Jenis data yang digunakan adalah data hipotetik dengan kriteria data tanpa pencilan, data dengan pencilan, dan data dengan pencilan jauh. Plot tebaran data hipotetik model SZR ditampilkan pada Gambar 7.
11
Gambar 7 Plot tebaran data hipotetik tanpa pencilan model SZR
Pendugaan nilai dugaan parameter model SZR dilakukan dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Dari ketiga metode tersebut, diperoleh hasil nilai dugaan untuk masing-masing parameter model seperti pada Tabel 3.
0.00500 0.00499 0.00501 0.00499 0.00400 0.00400 0.00400 0.00400 0.00010 0.00006 0.00010 0.00006 0.00010 0.00034 0.00012 0.00034
Pencilan
0.00500 0.01035 0.00499 0.00498 0.00400 0.00938 0.00400 0.00400 0.00010 -0.00069 0.00010 0.00005 0.00010 -0.04757 0.00010 0.00036 Pencilan
Jauh
12
MAD dan M-Estimation menghasilkan plot berimpit yang mengikuti pola tebaran data. Untuk data hipotetik dengan pencilan jauh, metode LS mengalami pergeseran grafik yang semakin jauh. Plot dugaan yang dihasilkan oleh metode MAD dan M-Estimation cenderung berimpit dan mengikuti pola tebaran data, seperti dijelaskan pada Gambar 10. Kedua metode robust ini dinilai baik dalam melakukan pendugaan parameter karena mampu mengatasi pengaruh pencilan.
Gambar 8 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Gambar 9 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
13
Gambar 10 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Setelah mendapat nilai dugaan parameter dengan masing-masing metode, perlu adanya ukuran kesalahan untuk melihat dugaan parameter yang paling mendekati nilai aktualnya. Berikut merupakan tabel nilai SMAPE untuk model SZR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation.
Tabel 4 Nilai SMAPE model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation untuk setiap jenis data hipotetik
Data Hipotetik Metode SMAPE Tanpa Pencilan Metode M-Estimation menghasilkan nilai SMAPE yang lebih kecil dibanding metode lainnya untuk setiap jenis data. Dengan demikian, metode M-Estimation lebih tahan terhadap pencilan dalam menduga parameter.
Diagram boxplot pada Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13 menperlihatkan tingkat keragaman data SAPE yang dihasilkan masing-masing
14
15
Gambar 12 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik dengan pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Gambar 13 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik dengan pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
(a) (b)
(c)
(a) (b)
16
SIMPULAN
Pendugaan parameter yang diterapkan pada model Gompertz dan model SZR dapat dilakukan dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Data yang digunakan adalah data hipotetik dengan kriteria data tanpa pencilan, data dengan pencilan, dan data dengan pencilan jauh. Metode LS tidak tahan terhadap data dengan pencilan dan pencilan jauh. Pendugaan parameter menggunakan metode MAD dan M-Estimation menghasilkan hasil pendugaan dan tingkat kesalahan yang relatif baik. Berdasarkan ukuran kesalahan SMAPE, metode M-Estimation menghasilkan error yang lebih kecil daripada metode MAD. Pada kasus pendugaan parameter dalam karya ilmiah ini, metode M-Estimation merupakan metode yang paling baik dan robust terhadap pencilan.
DAFTAR PUSTAKA
Bodnar M, Foryś U. 2007. Three types of simple DDE’s describing tumor growth. J. Biol. Syst. 15, 453 (2007).doi: 10.1142/S0218339007002313
Draper NR, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Sumantri B, penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis. 2nd ed.
Fox J. 2002. Bootstrapping robust regression models: Appendix to an R and S-PLUS. Companion to applied regression. [internet]. [diunduh 2014 Sept 19]. Sage (US). Tersedia pada: http:// cran.r-project.org/doc/contrib/Fox-Companion/appendix-robust-regression.pdf.
Hoaglin DC, Mosteller F, Tukey JW. 1983. Understanding Robust and Exploratory Data Analysis. New York (US): John Wiley & Sons.
Howard P. 2013. Mathematical modeling: M442 assignment 3. [internet]. [diunduh 2015 Jan 30]. Texas (US). Tersedia pada: http://www.math.tamu.edu/ ~phoward/m442/ia3sol.pdf.
Mathews JH, Fink KD. 2004. Numerical Methods Using MATLAB. 4th ed. New Jersey (US): Pearson Prentice Hall, Pearson Education Inc.
Munz P, Hudea I, Imad J, Smith RJ. 2009. When zombie attack!: mathematical modelling of an outbreak of zombie infection. CiteSeerx [internet]. [diunduh 2014 Sept 29]; pp. 133-150: Canada (US). Tersedia pada: http://www.math. tamu.edu/~jmlinhart/zombies2012.pdf.
Ripley BD. 1992. Robust statistics. Applied Statistics MT2004 [internet]. [diunduh 2014 Sept 9]. Tersedia pada: http://www.stats.ox.ac.uk/pub/ StatMeth/Robust.pdf.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus Books Publishing, LLC.
17 Widiasari LY. 2014. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode robust Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
18
20
28
Lampiran 2 Pendugaan parameter model Zombie Attack
30
33
35
36
37
39
40
42
43
44
47
48
Lampiran 3 Nilai SMAPE untuk setiap jenis data pada state variabel model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Data Hipotetik Metode State Variabel SMAPE
49
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Banyumas pada tanggal 29 Januari 1994 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Rahmat Hermanto dan Kasiyem. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 6 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan.
