CATATAN HARIAN PENELITIAN LABORATORIUM DANA ITS 2020

(1)

i

CATATAN HARIAN

PENELITIAN LABORATORIUM

DANA ITS 2020

PEMBUATAN ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN

PENGKARAKTERISTIK KETERBELITIAN MATRIKS KANAL

QUANTUM (QUANTUM CHANNEL MATRIX)

PADA TELEPORTASI KUANTUM (QUANTUM TELEPORTATION)

Tim Peneliti :

Lila Yuwana

Agus Purwanto

Heru Sukamto

Bintoro Anang Subagyo

Dwi Januriyanto

(Departemen Fisika/FSAD/ITS)

DIREKTORAT RISET DAN PENGABDIAN KEPADA MASYARAKAT

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

(2)

No Tanggal Kegiatan

1. 1-5/1/2020 Catatan: Pembuatan proposal

Dokumen Pendukung: Proposal dengan Judul PEMBUATAN

ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN

PENGKARAKTERISTIK KETERBELITIAN MATRIKS KANAL QUANTUM (QUANTUM CHANNEL MATRIX)

PADA TELEPORTASI KUANTUM (QUANTUM

TELEPORTATION)

2. 2/4/2020 Catatan: Tanda tangan kontrak penelitian Dokumen Pendukung:

Nomor Kontrak: No: 902/PKS/ITS/2020

3. 12/4/2020 Catatan: Rapat koordinasi untuk melaksanakan kegiatan

penelitian sesuai dengan blok diagram pelaksanaan penelitian

Dokumen Pendukung:

4 30/4/2020 Catatan: Menganalisa Keterbelitan Dan Matriks Densitas Tereduksi melalui bentuk umum matriks densitas bipartit

|𝜒⟩ = ∑ ∑ 𝑥𝑖₁𝑖₂|𝑖1𝑖2⟩ d₂−1 i2=0 d₁−1 i1=0 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 |x00|2+ ⋯ + |xd₁−1 d₂−1| 2 = 1 𝜌 ≡ 𝜌𝐴𝐵 = |𝜒⟩⟨𝜒|

Identifikasi kanal kuantum berdasarkan berbagai pola keterbelitan Mentransformasi algoritma ke dalam pemrograman komputasi Merumuskan algoritma baru untuk mengidentifikasi sifat keadaan kuantum Melakukan perhitungan detil perumusan-perumusan pada paper Purwanto dkk.

Melakukan studi pustaka untuk mengobservasi pengaruh matriks densitas terhadap sifat keadaan kuantum

(3)

𝜌_𝐴𝐵 = ∑ ∑ 𝑥_𝑖₁_𝑖₂𝑥_𝑗∗₁_𝑗₂|𝑖₁𝑖₂⟩⟨𝑗₁𝑗₂| d₂−1 𝑖2,𝑗2=0 d₁−1 𝑖1,𝑗1=0 = ( 𝑥00𝑥00∗ 𝑥00𝑥01∗ … 𝑥00𝑥(𝑑1−1)(𝑑2−1) ∗ 𝑥01𝑥00∗ 𝑥01𝑥01∗ … 𝑥01𝑥(𝑑∗ ₁−1)(𝑑₂−1) ⋮ ⋮ 𝑥𝑖𝑗𝑥𝑘𝑙∗ ⋮ 𝑥(𝑑₁−1)(𝑑₂−1)𝑥00∗ 𝑥(𝑑₁−1)(𝑑₂−1)𝑥01∗ ⋯ 𝑥(𝑑₁−1)(𝑑₂−1)𝑥(𝑑1−1)(𝑑2−1) ∗ ) elemen-elemen pada suatu baris ke-𝑚𝑛 merupakan kelipatan

dari baris yang lain (baris ke-𝑚′𝑛′) dengan faktor pengali 𝑥𝑚𝑛

𝑥_{𝑚′𝑛′},

dengan 𝑥𝑚𝑛 adalah faktor pengali baris ke-𝑚𝑛 dan 𝑥𝑚′𝑛′

merupakan faktor pengali baris yang lain (baris ke-𝑝′𝑞′). Sehingga dengan menerapkan eliminasi Gauss, semua elemen matriks dapat diubah menjadi nol, kecuali untuk satu baris. Dengan kata lain, rank dari matriks densitas asal sama dengan satu

Matriks densitas tereduksi satu-partit

𝜌𝐴= 𝑇𝑟𝐵(𝜌𝐴𝐵) = ∑ 𝐼 ⊗ ⟨𝑚|𝜌𝐴𝐵𝐼 ⊗ |𝑚⟩ 𝑚 = ∑ ∑ ∑ 𝑥_𝑖₁_𝑚𝑥_𝑗∗₁_𝑚|𝑖₁⟩⟨𝑗₁| 𝑑₂−1 𝑚=0 𝑑₁−1 𝑗1=0 𝑑₁−1 𝑖1=0 = ( ∑ |𝑥_0𝑚|2 𝑑₂−1 𝑚=0 ∑ 𝑥_0𝑚𝑥_1𝑚∗ 𝑑₂−1 𝑚=0 … ∑ 𝑥_0𝑚𝑥_𝑑∗₁_{−1 𝑚} 𝑑₂−1 𝑚=0 ∑ 𝑥_1𝑚𝑥_0𝑚∗ 𝑑₂−1 𝑚=0 ∑ |𝑥_1𝑚|2 𝑑₂−1 𝑚=0 … ∑ 𝑥_1𝑚𝑥_𝑑∗₁_{−1 𝑚} 𝑑₂−1 𝑚=0 ⋮ ⋮ ∑ 𝑥_𝑖𝑚𝑥_𝑗𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 ⋮ ∑ 𝑥𝑑₁−1 𝑚𝑥0𝑚∗ 𝑑₂−1 𝑚=0 ∑ 𝑥𝑑₁−1 𝑚𝑥1𝑚∗ 𝑑₂−1 𝑚=0 ⋯ ∑ 𝑥𝑑₁−1 𝑚𝑥𝑑∗₁−1 𝑚 𝑑₂−1 𝑚=0 )

Jika (𝜌𝐴)𝑖𝑗 adalah elemen matriks pada suatu baris dan (𝜌𝐴)𝑖′𝑗

adalah elemen pada baris yang lain, maka (𝜌_𝐴)_𝑖𝑗 = ∑ 𝑥_𝑖𝑚𝑥_𝑗𝑚∗

𝑑₂−1

𝑚=0

(4)

(𝜌_𝐴)_𝑖′𝑗 = ∑ 𝑥_𝑖′𝑚𝑥_𝑗𝑚∗

𝑑2−1

𝑚=0

= 𝑥_𝑖′0𝑥_𝑗0∗ + 𝑥_𝑖′1𝑥_𝑗1∗ + ⋯ + 𝑥_{𝑖′ 𝑑}₂₋₁𝑥_{𝑗 𝑑}∗ ₂₋₁

𝜌_𝐴 mempunyai rank satu jika dan hanya jika (𝜌_𝐴)_𝑖𝑗 = 𝑐_𝑖𝑖′(𝜌_𝐴)_𝑖′𝑗 atau 𝑥_𝑖0 𝑥𝑖′0 = 𝑥𝑖1 𝑥𝑖′1 = ⋯ = 𝑥𝑖 𝑑1−1 𝑥𝑖′_𝑑 1−1 = 𝑐_𝑖′_𝑖

Tetapi secara umum kondisi tersebut tidak dipenuhi, sehingga elemen matriks 𝜌_𝐴 tidak dapat dilenyapkan dan tersisa satu baris yang tidak nol. Dengan kata lain, secara umum rank matriks 𝜌𝐴

tidak sama dengan satu, 𝑟(𝜌𝐴) ≠ 1. Demikian juga untuk

matriks densitas tereduksi partikel atau partit B , secara umum rank matriks 𝜌_𝐵 tidak sama dengan satu, 𝑟(𝜌_𝐵) ≠ 1.

Persamaan bipartit merepresentasikan keadaan terpisah jika koefisien 𝑥𝑖𝑗 dapat dipisah atau dinyatakan sebagai 𝑥𝑖₁𝑦𝑖₂

|𝜒⟩ = ∑ ∑ 𝑥_𝑖₁𝑦_𝑖₂|𝑖₁𝑖₂⟩ d₂−1 i2=0 d₁−1 i1=0 𝜌𝐴 = ( ∑ |𝑥₀𝑦_𝑚|2 𝑑2−1 𝑚=0 ∑ 𝑥₀𝑦_𝑚𝑥₁∗𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 … ∑ 𝑥₀𝑦_𝑚𝑥_𝑑∗₁₋₁𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 ∑ 𝑥₁𝑦_𝑚𝑥₀∗𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 ∑ |𝑥₁𝑦_𝑚|2 𝑑2−1 𝑚=0 … ∑ 𝑥₁𝑦_𝑚𝑥_𝑑∗₁₋₁𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ 𝑥_𝑑₁₋₁𝑦_𝑚𝑥₀∗𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 ∑ 𝑥_𝑑₁₋₁𝑦_𝑚𝑥₁∗𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 ⋯ ∑ 𝑥_𝑑₁₋₁𝑦_𝑚𝑥_𝑑∗₁₋₁𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 ) (𝜌_𝐴)_𝑖𝑗= ∑ 𝑥_𝑖𝑦_𝑚𝑥_𝑗∗𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 = 𝑥_𝑖𝑦₀𝑥_𝑗∗𝑦₀∗+ 𝑥_𝑖𝑦₁𝑥_𝑗∗𝑦₁∗+ ⋯ + 𝑥_𝑖𝑦_𝑑₂₋₁𝑥_𝑗∗𝑦_𝑑∗₂₋₁ (𝜌_𝐴)_𝑖′𝑗 = ∑ 𝑥_𝑖′𝑦_𝑚𝑥_𝑗∗𝑦_𝑚∗ 𝑑2−1 𝑚=0 = 𝑥_𝑖′𝑦₀𝑥_𝑗∗𝑦₀∗+ 𝑥_𝑖′𝑦₁𝑥_𝑗∗𝑦₁∗+ ⋯ + 𝑥_𝑖′𝑦_𝑑₂₋₁𝑥_𝑗∗𝑦_𝑑∗₂₋₁

(5)

Baris satu akan melenyapkan baris lainnya dan tersisa satu baris yang tidak lenyap atau dengan kata lain matriks mempunyai rank satu karena (𝜌𝐴)𝑖𝑗 = 𝑐𝑖′𝑖(𝜌𝐴)𝑖′𝑗 atau

𝑥𝑖𝑦0 𝑥_𝑖′𝑦₀ = 𝑥𝑖𝑦1 𝑥_𝑖′𝑦₁ = ⋯ = 𝑥_𝑖𝑦_𝑑₁₋₁ 𝑥_𝑖′𝑦_𝑑 1−1 ∗ = 𝑐𝑖′𝑖

Dengan menggunakan eliminasi Gauss, elemen-elemen baris dapat dilenyapkan sehingga tersisa satu baris yang tidak nol, maka 𝑟(𝜌𝐴) = 1. Dengan cara yang sama, diperoleh 𝑟(𝜌𝐵) = 1.

5 1/5/2020 _{Catatan: Algoritma yang telah dirumuskan akan dikonversi ke} dalam algoritma pemrograman yang dapat di jalankan dalam berbagai bahasa pemrograman. Dalam penelitian ini

menggunakan MATLAB.

(6)

6 5/5/2020 _{Catatan: Pembuatan program MATLAB untuk input program} Dokumen Pendukung: disp('=========================================='); disp(' SC - Transformation '); disp('=========================================='); n=input('Number of Steps: '); s1=input('Initial State (0 or 1) :'); p1=input('Initial Position (x) :'); a=1/sqrt(2); b=1/sqrt(2); c=1/sqrt(2); d=-1/sqrt(2);

fprintf('\nInitial State and Position: |%1.0f,%1.0f>\n',p1,s1);

fprintf('\n');

7 10/5/2020 Catatan: Rapat koordinasi untuk merumuskan pola hasil

perhitungan bentuk keadaan kuantum matriks densitas

8 25/5/2020 Catatan: Melanjutkan developing program MATLAB

Dokumen Pendukung: for r=1:n for s=1:2^r if(mod(s,2)==0) y(r,s)=1; else y(r,s)=0; end if((r==1)) if(s1==0) if(s==1) k(r,s)=a; else k(r,s)=b; end else if(s==1) k(r,s)=c;

else k(r,s)=d; end end else t=t+1; if(t==1) k(r,s)=a*k(r-1,round(s/2)); else if(t==2) k(r,s)=b*k(r-1,round(s/2)); else if(t==3) k(r,s)=c*k(r-1,round(s/2)); else if(t==4) k(r,s)=d*k(r-1,round(s/2));

(7)

end end end end if(t==4) t=0; end end if(r==1) if(y(r,s)==0) z(r,s)=p1-1; else z(r,s)=p1+1; end else if(y(r,s)==0) z(r,s)=z(r-1,round(s/2))-1; else z(r,s)=z(r-1,round(s/2))+1; end end end end

[m, bin] = histc(z(n,:), unique(z(n,:)));

multiplez=find(m>1); indexz=find(ismember(bin,multiplez)); [bz,nz]=size(indexz); [bz,mz]=size(multiplez); rz=2; nz; zz(n,1)=z(n,1); zz(n,2)=z(n,2^n); yy(n,1)=y(n,1); yy(n,2)=y(n,2^n); kk(n,1)=k(n,1); kk(n,2)=k(n,2^n); rz1=rz; kz=0; for r=2:2^n-1 rz1=rz1+1; zz(n,rz1)=z(n,r); yy(n,rz1)=y(n,r); kk(n,rz1)=k(n,r); end rzz=rz; pk=0; qk=0; for i=1:mz indexz1=find(ismember(bin,multiplez(i))); kkz(i)=z(n,indexz1(i)); end for i=1:mz rzz=rzz+1; for j=(rz+1):2^n if(yy(n,j))==0 if(zz(n,j))==kkz(i) pk=pk+kk(n,j); end else if(yy(n,j))==1 if(zz(n,j))==kkz(i) qk=qk+kk(n,j); end end end end zz(n,rzz)=kkz(i); yy(n,rzz)=0; kk(n,rzz)=pk; zz(n,rzz+1)=kkz(i); yy(n,rzz+1)=1; kk(n,rzz+1)=qk; pk=0; qk=0; rzz=rzz+1; end fprintf('Output State: \n'); for s=1:rzz fprintf('%s |%1.0f,%1.0f> \n',num2str(kk(n,s)),zz(n,s),yy(n,s)); k2(n,s)=(abs(kk(n,s)))^2; p=p+k2(n,s); end

9 1/6/2020 Catatan: Tahap penyederhanaan suku-suku persamaan sehingga

jumlah keadaan kuantum yang banyak dapat dikurangi dan diubah ke dalam bentuk sederhana. Dan menampilkan hasilnya.

Dokumen Pendukung: fprintf('\nTotal Probability = %1.4f\n',p); kkz=rz; nrzz=(rzz-2)/2+2; pzz(n,1)=zz(n,1); pzz(n,nrzz)=zz(n,2); pk2(n,1)=abs(kk(n,1))^2; pk2(n,nrzz)=abs(kk(n,2))^2; for s=2:nrzz-1 kkz=kkz+1; pzz(n,s)=zz(n,kkz); pk2(n,s)=abs(kk(n,kkz))^2+abs(kk(n,kkz+1))^2; kkz=kkz+1; end

(8)

fprintf('\nThe Probability at any position: \n'); fprintf('===================== \n'); fprintf('Position Probability\n'); fprintf('--- \n'); for s=1:nrzz fprintf(' %1.0f %1.8f\n',pzz(n,s),pk2(n,s)); end plot(pzz(n,1:nrzz),pk2(n,1:nrzz))

10 10/6/2020 Catatan: Rapat koordinasi evaluasi tahap pertama pemrograman.

11 15/6/2020 Catatan: Mencoba menentukan pola kombinasi perhitungan rank

matriks densitas tereduksi untuk mengevaluasi keterbelitan multipartit.

(9)

12 20/6/2020 Catatan: Mengganti untuk Keadaan Multipartit Gabungan

Keadaan sub-terbelit

Dinyatakan dalam |𝜒⟩ = |𝜒1⟩ ⊗ |𝜒2⟩ dengan

|𝜒₁⟩ = ∑ … ∑ 𝑥𝑖1𝑖2…𝑖𝑘|𝑖1… 𝑖𝑘⟩ 𝑑𝑘−1 𝑖𝑘=0 𝑑1−1 𝑖1=0 𝑑𝑎𝑛 |𝜒2⟩ = ∑ … 𝑑𝑘+1−1 𝑖𝑘+1=0 ∑ 𝑦𝑖𝑘+1…𝑖𝑛|𝑖𝑘+1… 𝑖𝑛⟩ 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛=0 𝜌 = ∑ … ∑ 𝑥𝑖1…𝑖𝑘𝑦𝑖𝑘+1…𝑖𝑛𝑥𝑗1…𝑗𝑘 ∗ _𝑦 𝑗𝑘+1…𝑗𝑛 ∗ _|𝑖 1… 𝑖𝑛⟩⟨𝑗1… 𝑗𝑛| 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛,𝑗𝑛=0 𝑑1−1 𝑖1,𝑗1=0 𝜌ℓ= ∑ … ∑ ⟨𝑚1… 𝑚ℓ−1| ⊗ 𝐼 ⊗ ⟨𝑚ℓ+1… 𝑚𝑛|𝜌|𝑚1… 𝑚ℓ−1⟩ ⊗ 𝐼 𝑑𝑛−1 𝑚𝑛=0 𝑑1−1 𝑚1=0 ⊗ |𝑚ℓ+1… 𝑚𝑛⟩ a) Untuk ℓ ≤ 𝑘 7, ABCDEFG 1-1-1-1-1-1-1 A, B, C, D, E, F, G 63 Pasangan 2-5 seperti CDEFG dan 3-4 seperti DEFG dan yang lain tidak perlu dievaluasi 2-2-3, 2-5,

3-4

AB, AC, AD, AE, AF, AG, BC, BD, BE, BF, BG, CD, CE, CF, CG, DE, DF, DG, EF, EG, FG

ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ACD, ACE, ACF, ACG,

ADE, ADF, ADG, AEF, AEG, AFG, BCD, CDF, CDG, CEF, CEG, CFG, DEF, DEG, DFG, EFG Jumlah Partit (n) Kombinasi Pola yang Mungkin

Perhitungan Rank Matriks Densitas yang Sesuai Kombinasi

Total Catatan

2, AB 1 A 1 Rank matriks densitas tereduksi lain (B) tidak sama dengan satu jika rank(A)≠1 3, ABC 1-1-1 A, B, C 3 Jika rank A,B,C≠1 maka tidak

diperlukan perhitungan AB,AC,BC karena rank sisa kombinasi tidak sama dengan satu juga

4, ABCD 1-1-1-1 A, B, C, D 7 Sama dengan di atas 2-2 AB, AC, AD

5, ABCDE 1-1-1-1-1 A, B, C, D, E 15 Sama dengan di atas 2-3 AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE,

CD, CE, DE

6, ABCDEF 1-1-1-1-1-1 A, B, C, D, E, F 31 Pasangan 2-4 seperti CDEF dan 3-3 seperti DEF dan yang lain tidak perlu dievaluasi 2-2-2, 2-4 AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD,

BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF

3-3 ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF

(10)

𝜌ℓ= ∑ … ∑ ∑ … ∑ ∑ 𝑥𝑚1−𝑚ℓ−1𝑖ℓ𝑚ℓ+1…𝑚𝑘𝑥𝑚1−𝑚ℓ−1𝑗ℓ𝑚ℓ+1…𝑚𝑘 ∗ _|𝑖 ℓ⟩⟨𝑗ℓ| 𝑑ℓ−1 𝑖ℓ𝑗ℓ=0 𝑑𝑘−1 𝑚𝑘=0 𝑑ℓ+1−1 𝑚ℓ+1=0 𝑑ℓ−1−1 𝑚ℓ−1=0 𝑑1−1 𝑚1=0 = ( (𝜌𝑙)00 (𝜌𝑙)01 … (𝜌𝑙)0 𝑑ℓ−1 (𝜌𝑙)10 (𝜌𝑙)11 … (𝜌𝑙)1 𝑑ℓ−1 ⋮ ⋮ ⋮ (𝜌𝑙)𝑑ℓ−1 0 (𝜌𝑙)𝑑ℓ−1 1 ⋯ (𝜌𝑙)𝑑ℓ−1 𝑑ℓ−1₎ (𝜌𝑙)𝑟𝑠= ∑ ⋯ ∑ 𝑥𝑚1⋯𝑚ℓ−1𝑟𝑚ℓ+1⋯𝑚𝑘𝑥1⋯𝑚ℓ−1𝑠𝑚ℓ+1⋯𝑚𝑘 ∗ 𝑑𝑘−1 𝑚𝑘=0 𝑑1−1 𝑚1

Seperti pada evaluasi sebelumnya, rank dari matriks densitas tereduksi satu-partit ke-ℓ dari multipartit |𝜒1⟩ ini tidak sama dengan satu

b) Untuk ℓ > 𝑘 𝜌ℓ= ∑ … ∑ ∑ 𝑦𝑚𝑘+1−𝑚ℓ−1𝑖ℓ𝑚ℓ+1…𝑖𝑛𝑦𝑚𝑘+1−𝑚ℓ−1𝑗ℓ𝑚ℓ+1…𝑚𝑛 ∗ _|𝑖 ℓ⟩⟨𝑗ℓ| 𝑑ℓ−1 𝑖ℓ,𝑗ℓ=0 𝑑𝑛−1 𝑚𝑛=0 𝑑𝑘+1−1 𝑚𝑘+1=0 = ( (𝜌𝑙)00 (𝜌𝑙)01 … (𝜌𝑙)0 𝑑ℓ−1 (𝜌𝑙)10 (𝜌𝑙)11 … (𝜌𝑙)1 𝑑ℓ−1 ⋮ ⋮ ⋮ (𝜌𝑙)𝑑ℓ−1 0 (𝜌𝑙)𝑑ℓ−1 1 ⋯ (𝜌𝑙)𝑑ℓ−1 𝑑ℓ−1₎ (𝜌𝑙)𝑟𝑠= ∑ … ∑ 𝑦𝑚𝑘+1−𝑚ℓ−1𝑟𝑚ℓ+1…𝑚𝑛𝑦𝑚𝑘+1−𝑚ℓ−1𝑠𝑚ℓ+1…𝑚𝑛 ∗ 𝑑𝑛−1 𝑚𝑛=0 𝑑𝑘+1−1 𝑚𝑘+1 𝜌1…𝑘= 𝑇𝑟(𝑘+1)…𝑛(𝜌) = ∑ … ∑ ∑ … ∑ 𝑥𝑖1…𝑖𝑘𝑦𝑖𝑘+1…𝑖𝑛𝑥𝑗1…𝑗𝑘 ∗ _𝑦 𝑗𝑘+1…𝑗𝑛 ∗ _{𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼} 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛,𝑗𝑛=0 𝑑1−1 𝑖1,𝑗1=0 𝑑𝑛−1 𝑚𝑛=0 𝑑𝑘+1−1 𝑚𝑘+1=0 ⊗ ⟨𝑚𝑘+1… 𝑚𝑛|𝑖1… 𝑖𝑘𝑖𝑘+1… 𝑖𝑛⟩ ⟨𝑗1… 𝑗𝑘𝑗𝑘+1… 𝑗𝑛|𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼 ⊗ |𝑚𝑘+1… 𝑚𝑛⟩ ... 𝜌1…𝑘= ∑ ⋯ ∑ 𝑥𝑖1…𝑖𝑘𝑥𝑗1…𝑗𝑘 ∗ _|𝑖 1… 𝑖𝑘⟩⟨𝑗1… 𝑗𝑘| 𝑑𝑘−1 𝑖𝑘,𝑗𝑘=0 𝑑1−1 𝑖1,𝑗1=0

Matriks densitas sub-keadaan tersebut seperti halnya pada matriks densitas asal, juga memiliki rank satu, rank (𝜌1…𝑘) = 1. Demikian juga,

𝜌𝑘+1…𝑛= 𝑇𝑟𝑖1…𝑖𝑘(𝜌) = ∑ … ∑ ∑ … ∑ 𝑥𝑖1…𝑖𝑘𝑦𝑖𝑘+1…𝑖𝑛𝑥𝑗1…𝑗𝑘 ∗ _𝑦 𝑗𝑘+1…𝑗𝑛 ∗ _⟨𝑚 1… 𝑚𝑘| 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛,𝑗𝑛=0 𝑑1−1 𝑖1,𝑗1=0 𝑑𝑘−1 𝑚𝑘=0 𝑑1−1 𝑚1=0 |𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼|𝑖1… 𝑖𝑘𝑖𝑘+1… 𝑖𝑛⟩⟨𝑗1… 𝑗𝑘𝑗𝑘+1… 𝑗𝑛|𝑚1… 𝑚𝑘⟩𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼 = ∑ ⋯ ∑ 𝑦𝑖𝑘+1…𝑖𝑛𝑦𝑗𝑘+1…𝑗𝑛 ∗ 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛,𝑗𝑛=0 𝑑𝑘+1−1 𝑖𝑘+1,𝑗𝑘+1=0 |𝑖𝑘+1… 𝑖𝑛⟩⟨𝑗𝑘+1… 𝑗𝑛|

yang juga memiliki rank satu, 𝑟(𝜌𝑘+1…𝑛) = 1.

Matriks densitas bipartit dari gabungan sub-keadaan, (𝑘𝑘 + 1), bagian keadaan dari |𝜒1⟩ untuk partit ke-𝑘, dan partit ke-(𝑘 + 1) dari keadaan |𝜒2⟩ diperoleh sebagai

berikut 𝜌𝑘𝑘+1= ∑ ⋯ ∑ ∑ ∑ 𝑥𝑚1…𝑖𝑘𝑦𝑖𝑘+1…𝑚𝑛𝑥𝑚1…𝑗𝑘 ∗ _𝑦 𝑗𝑘+1…𝑚𝑛 ∗ _|𝑖 𝑘𝑖𝑘+1⟩⟨𝑗𝑘𝑗𝑘+1| 𝑑𝑘+1−1 𝑖𝑘+1,𝑗𝑘+1=0 𝑑𝑘−1 𝑖𝑘𝑗𝑘=0 𝑑𝑛−1 𝑚𝑛=0 𝑑1−1 𝑚1=0

(11)

Elemen matriks densitas tersebut pada suatu baris bukan merupakan kelipatan dari baris yang lain, sehingga matriks densitas ini tidak dapat dibuat menjadi nol hingga satu baris tersisa dengan menggunakan eliminasi Gauss. Dengan demikian, rank matriks densitas sub-keadaan terbelit 𝜌𝑘+1…𝑛 adalah tidak sama dengan satu. Maka,

sub-keadaan matriks densitas bipartit dari gabungan sub-keadaan, (𝑘𝑘 + 1), bagian keadaan dari |𝜒1⟩ untuk partit ke-𝑘, dan partit ke-(𝑘 + 1) dari keadaan |𝜒2⟩ merupakan

keadaan terbelit.

13 30/6/2020 Catatan: Rapat koordinasi untuk Evaluasi terhadap keadaan

multipartit terpisah keseluruhan memberikan hasil sebagai berikut.

Evaluasi terhadap keadaan multipartit terpisah keseluruhan memberikan hasil sebagai berikut.

• Jika semua rank matriks densitas tereduksi satu-partit tidak sama dengan satu, maka ini bukan suatu indikasi bahwa multipartit tersebut adalah keadaan terbelit

sempurna, tetapi terdapat kemungkinan bahwa multipartit tersebut tersusun atas beberapa sub-keadaan terbelit. • Multipartit dapat dinyatakan sebagai keadaan terbelit

sempurna jika semua rank matriks densitas tereduksi satu-partit dan juga sub-keadaa lebih tinggi tidak sama dengan satu.

Sementara itu,

• Jika rank matriks densitas tereduksi sub-keadaan tidak sama dengan satu, maka rank dari sub-state pasangannya juga tidak sama dengan satu.

• Jika rank matriks densitas tereduksi sub-keadaan sama dengan satu, maka rank dari sub-keadaan pasangannya juga sama dengan satu.

• Dengan kata lain, jika suatu sub-keadaan telah dievaluasi rank matriks densitas tereduksimya, maka rank matriks densitas tereduksi sub-keadaan sisanya dapat diketahui tanpa melakukan perhitungan lebih lanjut.

• Lebih lanjut, sisa dari pasangan sub-keadaan dapat dievaluasi lagi kedalam sub-keadaan yang lebih kecil

(12)

14 20/7/2020 Catatan: Menentukan contoh penentuan sub total masing-masing pola kombinasi untuk jumlah partit tertentu

• Untuk partit 𝒏 = 𝟓, pola 2-3, yaitu AB-CDE atau ditulis AB saja, tanpa pasangannya CDE. Pola lengkap diberikan sebagai berikut

AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE Total kombinasi: 10 • Untuk partit 𝒏 = 𝟔,

Pola 3-3, yaitu ABC-DEF, atau ditulis ABC saja, tanpa pasangannya DEF. Semua pola diberikan sebagai berikut

ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF

Total kombinasi pola 3-3: 10

Pola 2-2-2, yaitu AB-CD-EF. Sub keadaan CD-EF mempunyai 3 pola CD-EF, CE-DF, CF-DE. Sedangkan pola AB mempunyai 5 bentuk: AB, AC, AD, AE, dan AF. Jumlah total pola 2-2-2 adalah 5 x 3 = 15.

Pola 2-4, AB-CDEF ada 15, yaitu AB AC AD AE AF

BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF

Masing-masing dengan pasangan 4-partit yang tidak dituliskan. Karena itu, jumlah total pola sub-keadaan adalah: 40

15 5/8/2020 Catatan: Pembuatan table Pola perhitungan sub-keadaan terbelit

dari keadaan multipartit sampai dengan sepuluh-partit

(13)

16 12/8/2020 _{Catatan: Menyusun laporan kemajuan} Dokumen Pendukung:

(Draf laporan kemajuan)

Jumlah Partit (n) Kombinasi Pola yang Mungkin Perhitungan Rank Matriks Densitas yang Sesuai Kombinasi Sub Total Total 4 2-2 AB-CD 3 3 5 2-3 AB-CDE 10 10 6 2-2-2 2-4 3-3 AB-CD-EF AB-CDEF ABC-DEF 15 15 10 40 7 2-2-3 2-5 3-4 AB-CD-EFG AB-CDEFG ABC-DEFG 105 21 35 161 8 2-2-2-2 2-2-4 2-6 2-3-3 3-5 4-4 AB-CD-EF-GH AB-CD-EFGH AB-CDEFGH AB-CDE-FGH ABC-DEFGH ABCD-EFGH 105 210 28 280 56 35 714 9 2-2-2-3 2-2-5 2-7 2-3-4 3-3-3 3-6 4-5 AB-CD-EF-GHI AB-CD-EFGHI AB-CDEFGHI AB-CDE-FGHI ABC-DEF-GHI ABC-DEFGHI ABCD-EFGHI 1260 378 36 1629 280 84 126 3787 10 2-2-2-2-2 2-2-2-4 2-2-6 2-8 2-2-3-3 2-4-4 3-3-4 3-7 4-6 5-5 2-3-5 AB-CD-EF-GH-IJ AB-CD-EF-GHIJ AB-CD-EFGHIJ AB-CDRFGHIJ AB-CD-EFG-HIJ AB-CDEF-GHIJ ABC-DEF-GHIJ ABC-DEFGHIJ ABCD-EFGHIJ ABCDE-FGHIJ AB-CDE-FGHIJ 945 3150 630 45 6300 1575 2100 120 210 126 2520 17721

(14)

17 20/8/2020 _{Catatan: Diskusi Laboratorium Online dengan topik}

“Perkembangan Penelitian Teleportasi Kuantum di Bidang Kuantum Informasi”

18 9/10/2019 _{Catatan: Mengikuti Seminar Internasional “ICSAS 2020” online}

yang diselenggarakan oleh UNS Solo

(15)

19 17/10/2020 _{Catatan: Menyelebgggarakan Kuliah Umum Fisika Teori}

Bersama UM Malang dengan Topik “Drama di Panggung Mikro”

(16)

20 30/10/2020` _{Catatan: Menyusun algoritma bentuk umum keadaan kuantum}

beserta densitas matriksnya

Langkah pertama algoritma pemrograman adalah mendefinisikan keadaan multipartite pada Bahasa pemrograman Python. Keadaan multipartite merupakan bentuk paling umum dari kanal kuantum yang dapat merepresentasikan m-partikel dengan n-jumlah keadaan. Dalam hal ini, pemrogramannya dapat disusun sebagai berikut. def getNameMatrix(d_name): abjad = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ" hasil = ""; for i in d_name: hasil += abjad[int(i)] return hasil

Langkah algoritma pemrograman berikutnya adalah membentuk matriks densitas yang dihasilkan dari bentuk umum keadaan kuantum multipartit berikut ini.

|𝜒⟩ = ∑ ∑ … ∑ 𝑥_𝑖₁_𝑖₂_…𝑖_𝑛|𝑖₁𝑖2… 𝑖𝑛⟩ 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛=0 d2−1 i2=0 d1−1 i1=0 𝜌 = |𝜒⟩⟨𝜒| = ∑ ⋯ d1−1 i1,j1=0 ∑ 𝑥𝑖1…𝑖𝑛𝑥𝑗1…𝑗𝑛 ∗ _|𝑖 1… 𝑖𝑛⟩⟨𝑗1… 𝑗𝑛| 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛,𝑗𝑛=0

Dalam bentuk matriks, dapat direpresentasikan dalam

ρ = ( 𝑥0…00𝑥0…00∗ 𝑥0…00𝑥0…01∗ … 𝑥0…00𝑥0…0(𝑑𝑛−1) ∗ _… _𝑥 0…00𝑥(𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1) ∗ 𝑥0…01𝑥0…00∗ 𝑥0…01𝑥0…01∗ … 𝑥0…01𝑥0…0(𝑑𝑛−1) ∗ _… _𝑥 0…01𝑥(𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1) ∗ ⋮ 𝑥0…0(𝑑𝑛−1)𝑥0…00 ∗ _𝑥 0…0(𝑑𝑛−1)𝑥0…01 ∗ _… _𝑥 0…0(𝑑𝑛−1)𝑥0…0(𝑑𝑛−1) ∗ _… _𝑥 0…0(𝑑𝑛−1)𝑥(𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1) ∗ ⋮ 𝑥_(𝑑₁−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)𝑥0…00 ∗ _𝑥 (𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)𝑥0…01 ∗ _… _𝑥 (𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)𝑥0…0(𝑑𝑛−1) ∗ _𝑥 (𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)𝑥(𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1) ∗ )

(17)

Dalam pemrograman yang menggunakan Bahasa Python,

pembentukan bentuk matematis matriks densitas umum keadaan multipartite tersebut dapat disusun sebagai berikut.

##for get matrik umum

def getMatriks( i_state, i_basis): hasil = []

i_state = i_state.replace(" ", "")

l_state = i_state[:len(i_state)-1].split("]") for i in range(0, len(l_state)):

if i==0: hasil = getMatriksColumn(l_state[i], i_basis) else: hasil = hasil + getMatriksColumn(l_state[i], i_basis) hasil = hasil*hasil.transpose().conjugate() return (hasil)

Sesuai dengan tinjauan teoritis, rank densitas matriks dari keadaan kuantum keseluruhan adalah satu, 𝑟(𝜌) = 1. Dengan menerapkan eliminasi Gauss, semua elemen densitas matriks dapat di’nol’kan kecuali hanya baris pertama yang tersisa.

21 5/11/2020 _{Catatan: Menyusun algoritma klasifikasi keterbelitan keadaan}

kuantum beserta densitas matriksnya

Selanjutnya dilakukan pengklasifikasian jenis keterbelitan kanal kuantum berdasarkan perhitungan rank matriks tereduksi. Secara matematis, metode untuk memperoleh matriks tereduksi berdasarkan klasifikasi keterbelitan serta perhitungan ranknya telah dipaparkan pada Subbab 2.2. Dari algoritma matematis tersebut, dapat ditransformasi ke dalam pemrograman Python sebagai berikut.

(18)

##for get matrik kolom

def getMatriksColumn(i_state, i_basis): l_state = i_state.split("|")

value = l_state[0] state = l_state[1] hasil = [1]

for i in range(0, len(state)): index = int(state[i])

array = np.array(np.zeros((int(i_basis[i]), 1)), dtype=complex)

array[index] = 1

hasil = np.kron(hasil, array) hasil = hasil*eval(value)

return hasil

##untuk generate matrik yang akan di bentuk def getListScene(i_basis):

n_qubits = len(i_basis) l_hasil = []

n_matriks = n_qubits * (n_qubits - 1) for i in range(0, n_matriks):

dataRow = ""

for j in range(i % n_qubits, i % n_qubits + n_qubits):

if j < int(i % n_qubits + int(i / n_qubits) + 1):

dataRow += str(j % n_qubits) l_hasil.append(dataRow)

return l_hasil

def checkScene(i, scene):

for i in range(0, len(scene)): if(i==int(scene[i])): return True

return False

def getListStatePerScene(scene, i_basis): basis = []

for i in range(0, len(i_basis)): same = False

for j in range(0, len(scene)): if(i==int(scene[j])): same = True if same==False: basis.append(i_basis[i]) i_basis = "".join(basis) n_qubits = len(i_basis) hasil = [] n_matrix = 1;

for i in range(0, n_qubits):

(19)

for i in range(0, n_matrix):

binnary = decimalToBinnary(i, i_basis) for j in range(0, len(scene)):

binnary = insertMiddle(scene[j], binnary, "I")

hasil.append(binnary) return (hasil)

def decimalToBinnary(decimal, basis): hasil = []

for i in range(len(basis)-1, -1, -1):

hasil.insert(0, str(decimal%int(basis[i]))) decimal = int(decimal/int(basis[i]))

return ("".join(hasil))

def getMatrikPerState(state, matrix, i_basis): right = [1]

left = [1]

for i in range(0, len(state)): if state[i]=="I": I = np.eye(int(i_basis[i]), dtype=complex) left = np.kron(left, I) right = np.kron(right, I) else: array = np.array(np.zeros((int(i_basis[i]), 1)), dtype=complex) array[int(state[i])] = 1

left = np.kron(left, array.transpose()) right = np.kron(right, array)

hasil = np.matmul(left, matrix) hasil = np.matmul(hasil, right) return hasil

def getMatrikPerScene(scene, matrix, i_basis): list_state = getListStatePerScene(scene, i_basis)

hasil = []

for i in range(0, len(list_state)): if i==0:

hasil = getMatrikPerState(list_state[i], matrix, i_basis)

else:

hasil = hasil +

getMatrikPerState(list_state[i], matrix, i_basis) return hasil

def calculate(matrix_umum, i_basis): l_scene = getListScene(i_basis) hasil = []

(20)

scene_umum = ""

for i in range(0, len(i_basis)): scene_umum += str(i) dictMatriks = { 'no': (0), 'name_matrix': getNameMatrix(scene_umum), 'rank_matrix': matrix_rank(matrix_umum), # 'matriks': matrix, 'size': [len(matrix_umum), len(matrix_umum[0])] } hasil.append(dictMatriks)

for i in range(0, len(l_scene)):

matrix = getMatrikPerScene(l_scene[i], matrix_umum, i_basis) dictMatriks = { 'no': (i+1), 'name_matrix': getNameMatrix(l_scene[i]), 'rank_matrix': matrix_rank(matrix), # 'matriks': matrix,

'size': [len(matrix), len(matrix[0])] }

hasil.append(dictMatriks) return hasil;

22 10/11/2020 _{Catatan: Memberikan contoh Analisa melalui pemrograman}

mengenai klasifikasi sifat keterbelitan

1. Keadaan Terpisah

Keadaan kuantum masukan berupa: |𝜓⟩ =1₂(|00⟩ + |01⟩ + |10⟩ + |11⟩)

Yang ditulis dalam i_basis = "22" i_state = "1/(2)|00]+1/(2)|01]+1/(2)|10]+1/(2)|11]" Hasil pemrograman: Input 1/(2)|00]+1/(2)|01]+1/(2)|10]+1/(2)|11] Hasil

{'no': 0, 'name_matrix': 'AB', 'rank_matrix': 1, 'size': [4, 4]} {'no': 1, 'name_matrix': 'A', 'rank_matrix': 1, 'size': [2, 2]} {'no': 2, 'name_matrix': 'B', 'rank_matrix': 1, 'size': [2, 2]}

(21)

• Dari masukan yang diberikan berupa "22", yang berarti 2 kubit dengan masing-masing kubit memiliki 2 keadaan, yaitu 0 dan 1.

• Dari keluaran program diperoleh rank matriks densitas keseluruhan adalah 1. Hal ini sesuai dengan perhitungan matematis pada Subbab 2.2.

• Diperoleh rank matriks tereduksi A dan B adalah 1, yang berarti sifat keterbelitan dari keadaan kuantum masukan adalah keadaan tepisah keseluruhan.

2. Keadaan Terbelit 3 Kubit

Keadaan kuantum masukan berupa: |𝜓⟩ = 1

√2(|000⟩ + |111⟩)

Yang ditulis dalam

i_basis = "222" i_state = "1/(2**(0.5))|000]+1/(2**(0.5))|111]" Hasil pemrograman: Input 1/(2**(0.5))|000]+1/(2**(0.5))|111] Hasil

{'no': 0, 'name_matrix': 'ABC', 'rank_matrix': 1, 'size': [8, 8]} {'no': 1, 'name_matrix': 'A', 'rank_matrix': 2, 'size': [2, 2]} {'no': 2, 'name_matrix': 'B', 'rank_matrix': 2, 'size': [2, 2]} {'no': 3, 'name_matrix': 'C', 'rank_matrix': 2, 'size': [2, 2]} {'no': 4, 'name_matrix': 'AB', 'rank_matrix': 2, 'size': [4, 4]} {'no': 5, 'name_matrix': 'BC', 'rank_matrix': 2, 'size': [4, 4]} {'no': 6, 'name_matrix': 'CA', 'rank_matrix': 2, 'size': [4, 4]}

• Diperoleh semua rank matriks tereduksi adalah 2, yang berarti sifat keterbelitan dari keadaan kuantum masukan adalah keadaan terbelit keseluruhan.

(22)

Keadaan kuantum masukan berupa: |𝜓⟩ = 0.5|00⟩ + 0.5|01⟩ + 0.7|10⟩ + 0.1|11⟩

Yang ditulis dalam

i_basis = "22" i_state = "1/(2)|00]+1/(2)|01]+7/(10)|10]+1/(10)|11]" Hasil pemrograman: Input 1/(2)|00]+1/(2)|01]+7/(10)|10]+1/(10)|11] Hasil

• Diperoleh semua rank matriks tereduksi adalah 2, yang berarti sifat keterbelitan dari keadaan kuantum masukan adalah keadaan terbelit keseluruhan.

4. Keadaan Terbelit 3 partit

Keadaan kuantum masukan berupa: |𝜓⟩ = 1

√3(|00⟩ + |11⟩ +

|22⟩)

Yang ditulis dalam

i_basis = "33" i_state = "1/(3**(0.5))|00]+1/(3**(0.5))|11]1/(3**(0.5))|22 ]" Hasil pemrograman: Input 1/(3**(0.5))|00]+1/(3**(0.5))|11]1/(3**(0.5))|22] Hasil

(23)

• Dari masukan yang diberikan berupa "33", yang berarti 2 partit dengan masing-masing partit memiliki 3 keadaan, yaitu 0, 1, dan 2.

• Diperoleh semua rank matriks tereduksi adalah 3, yang berarti sifat keterbelitan dari keadaan kuantum masukan adalah keadaan terbelit keseluruhan (rank lebih dari 1).

23 15/11/2020 _{Catatan: Menyusun Laporan Penelitian}

Dokumen Pendukung: Terlampir

Keterangan: Dokumen pendukung pada setiap kegiatan dapat berupa foto, grafik, tabel,