III PEMBAHASAN
3.1. Meminimumkan Peluang
Kebangkrutan (Ruin Probability)
Kebijakan suatu perusahaan asuransi dalam memilih kontrak reasuransi sangatlah penting, salah satu pendekatan rasional untuk memilih kontrak reasuransi adalah dengan meminimumkan peluang kebangkrutan.
Dalam meminimumkan peluang kebangkrutan suatu perusahaan asuransi dapat dilakukan dengan menentukan premi reasuransi yang optimal. Premi reasuransi sendiri dapat ditentukan dengan beberapa prinsip, antara lain:
1. Prinsip ekonomi,
2. Prinsip umum utilitas nol, 3. Prinsip Esscher,
4. Prinsip mean-variance.
3.1.1. Prinsip Ekonomi
Penghitungan premi dengan prinsip ekonomi akan kita dapatkan melalui persamaan
𝑃 = 𝔼(𝑅𝜙)
dengan 𝜙 = 𝜙(𝑋) adalah fungsi tak negatif sedemikian sehingga 𝔼𝜙 𝑋 = 1. Fungsi 𝜙 disebut juga fungsi kerapatan harga.
Misalkan
𝑤0∶ kekayaan awal perusahaan asuransi, 𝑃 ∶ premi reasuransi,
𝜋 ∶ premi asuransi,
𝑅 ∶ fungsi kompensasi reasuransi, 𝑋 ∶ besar klaim pada asuransi,
maka kekayaan perusahaan asuransi yaitu w sebesar 𝑤 = 𝑤0+ 𝜋 − 𝑃 ≥ 0.
Selanjutnya premi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat ditentukan dari
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala
𝔼 𝑅𝜙 = 𝑃 , 𝐿 ≤ 𝑅 ≤ 𝑈, (3.1) dimana : 𝐿 = 𝐿(𝑋), 𝑈 = 𝑈(𝑋), sehingga memberikan batasan 0 ≤ 𝐿 ≤ 𝑈 ≤ 𝑋. Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 1 berikut.
Teorema 1 𝑅∗= 𝑅∗(𝑋) didefinisikan oleh 𝑅∗ 𝑥 = 𝑥 − 𝑤 ; 𝐿 𝑥 ≤ 𝑥 − 𝑤 ≤ 𝑈 𝑥 dan 𝑐 𝑥 − 𝑤 − 𝐿 𝑥 𝜙 𝑥 < 1 𝐿 𝑥 ; selainnya, merupakan solusi dari masalah (3.1) dengan
c>0 sehingga 𝔼 𝑅∗𝜙 = 𝑃.
Bukti: (Lihat Lampiran 2) Contoh Kasus Prinsip Ekonomi:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip nilai harapan dengan konstanta pengaman (safety loading) 𝛽 > 0, sehingga 𝑃 = (1 + 𝛽)𝔼𝑅 dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutannya.
Maka solusi dari
min ℙ 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 dengan kendala 𝔼𝑅 = 𝑃𝛽, 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, dengan 0 < 𝑃𝛽 < 𝐸𝑋 < ∞, 𝑃𝛽 = 𝑃 (1+𝛽 ), sehingga 𝑃𝛽 < 𝐸(𝑋 − 𝑤)+ adalah truncated
stop loss 𝑅𝑏∗(𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏∗), dimana 𝑏∗ adalah bilangan real sehingga 𝔼𝑅(𝑋) = 𝑃𝛽.
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Ekonomi
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala 𝔼𝑅 𝑋 = 𝑃𝛽 =
𝑃
(1+𝛽 ), 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋,
Akan dibuktikan bahwa truncated stop loss 𝑅𝑏∗(𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏∗), dimana 𝑏∗ adalah bilangan real sehingga 𝔼𝑅(𝑋) = 𝑃𝛽.
Bukti:
Misalkan X adalah peubah acak dan F adalah fungsi sebaran kumulatif dari X yang kontinu pada [𝑤, ∞) dan jika 0 < 𝑃 < min{𝑤0+ 𝜋, (1 + 𝛽)𝔼(𝑋 − 𝑤)+}, maka keberadaan b mengikuti sifat Darboux.
𝑅𝑏(𝑥) = 𝑥 − 𝑤 + 𝐼(𝑥 < 𝑏), = 𝑥 − 𝑤 + ; 𝑤 < 𝑥 < 𝑏,
𝔼𝑅𝑏 𝑥 = 𝑥 − 𝑤 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑤 = 𝑥 𝑏 𝑤 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑤 𝑏 𝑤 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 i ii
Persamaan (i) dapat terselesaikan dengan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑓(𝑥), 𝑣 = 𝐹(𝑥). Sehingga 𝔼𝑅𝑏 𝑥 = 𝑥 𝐹 𝑥 |𝑤𝑏 − 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑤 − 𝑤 𝐹(𝑥)|𝑤𝑏 = 𝑏 𝐹 𝑏 − 𝑤 𝐹 𝑤 − 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑤 − 𝑤 𝐹 𝑏 + 𝑤 𝐹(𝑤) = 𝑏 − 𝑤 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑤 . (3.2) Misalkan 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑅𝑏 𝑥 dengan 𝑤 ≤ 𝑏 < ∞, maka
𝜓 𝑏 = 𝔼𝑅𝑏 𝑥
= 𝑏 − 𝑤 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑏
𝑤
i. untuk batas bawah w :
𝜓 𝑤 = 𝑤 − 𝑤 𝐹 𝑤 − 𝐹(𝑥)𝑑𝑥𝑤𝑤 = 0 𝐹 𝑤 − 0 = 0 ii. untuk batas atas ∞ :
𝜓 ∞ = ∞ − 𝑤 𝐹 ∞ − 𝐹(𝑥)𝑑𝑥𝑤∞
> 0 sehingga 𝜓 𝑏 kontinu saat 𝑏 ≥ 𝑤. Misalkan ada suatu kasus dimana X mempunyai anggota 𝑥0> 𝑤, dan ternyata 𝜓 𝑏 tidak kontinu di 𝑥0. Akibatnya tidak ada b yang membuat 𝑃 = (1 + 𝛽)𝔼𝑅 untuk suatu P sehingga premi reasuransi harus dirubah.
Misalkan, X menyebar pareto dengan parameter 2 dan α sehingga fungsi sebaran kumulatif X dinotasikan dengan:
𝐹 𝑥 = 1 − 𝑎 2
𝑎 + 𝑥 2 𝐼(𝑥 ≥ 0) dengan 𝑎 > 0, akan ditentukan b yang membuat 𝔼𝑅𝑏= 𝑃𝛽.
Dari persamaan (3.2) didapatkan 𝔼𝑅𝑏= 𝑏 − 𝑤 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑤 = 𝑏 − 𝑤 1 − 𝑎 2 𝑎 + 𝑏 2 − 1 − 𝑎2 𝑎 + 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏 𝑤 = 𝑏 − 𝑤 − (𝑏 − 𝑤)𝑎 2 𝑎 + 𝑏 2 − 𝑥 |𝑤 𝑏 + 𝑎 2 𝑎 + 𝑥 𝑤 𝑏 = 𝑏 − 𝑤 − (𝑏 − 𝑤)𝑎 2 𝑎 + 𝑏 2 − 𝑏 − 𝑤 + 𝑎2 𝑎 + 𝑏 − 𝑎2 𝑎 + 𝑤 = 𝑎 2 𝑎 + 𝑤 − 𝑎2 𝑎 + 𝑏 − (𝑏 − 𝑤)𝑎2 𝑎 + 𝑏 2
= (𝑏 − 𝑤)𝑎 2 𝑎 + 𝑤 (𝑎 + 𝑏)− (𝑏 − 𝑤)𝑎2 𝑎 + 𝑏 2 = (𝑏 − 𝑤) 2𝑎2 𝑎 + 𝑏 2(𝑎 + 𝑤) . Karena 𝔼𝑅𝑏= 𝑃𝛽, maka (𝑏 − 𝑤)2𝑎2 𝑎 + 𝑏 2(𝑎 + 𝑤)= 𝑃𝛽 ⇔ (𝑏 − 𝑤) 2 (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤) 𝑎2 ⇔ 𝑏 − 𝑤 𝑎 + 𝑏 = 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤) 𝑎2 ⇔ 𝑏 − 𝑤 = 𝑎 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤) 𝑎2 + 𝑏 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤) 𝑎2 ⇔ 𝑏 − 𝑏 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 = 𝑎 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 + 𝑤 ⇔ 𝑏 1 − 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 = 𝑎 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 + 𝑤 ⇔ 𝑏 = 𝑎 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤)𝑎2 + 𝑤 1 − 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 = 𝑎 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤)𝑎2 + 𝑤 1 − 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 ×1 + 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 1 + 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 = 𝑎 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤)𝑎2 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 1 −𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤)𝑎2 = 𝑎 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤)𝑎2 − 1 + 1 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 − 1 + 1 1 − 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤) 𝑎2 − 1 + 1 = 𝑎 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤)𝑎2 − (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤)+ 1 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) 𝑃𝛽 𝑎 + 𝑤 𝑎2 − (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤)+ 1 1 − 𝑃𝛽(𝑎 + 𝑤) 𝑎2 − (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤)+ 1 = 𝑎 𝑃𝛽 𝑎2− 1 (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) + 1 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) 𝑃𝛽 𝑎2− 1 (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) + 1 1 − 𝑃𝑎𝛽2− 1 (𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) + 1 . Misalkan 𝐴 = 𝑃𝛽 𝑎2− 1 (𝑎+𝑤 ) , maka 𝑏∗=𝑎 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1 + 𝑤 + 𝑎 + 𝑤 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1 1 − 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1
=𝑎𝐴 𝑎 + 𝑤 + (𝑎 + 𝑤) + (𝑎 + 𝑤) 𝐴(𝑎 + 𝑤) + 1 −𝐴(𝑎 + 𝑤) =(𝑎 + 𝑤) (𝑎 + 𝑤) 𝑎𝐴 + 1 + 𝐴(𝑎 + 𝑤) + 1 −𝐴 = 𝑎𝐴 + 1 + 𝐴(𝑎 + 𝑤) + 1 −𝐴 Sehingga solusinya menjadi
𝑅𝑏∗ 𝑋 = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼 𝑋 <
𝑎𝐴 + 1 + 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1
−𝐴 . ∎
Selanjutnya akan ditentukan peluang kebangkrutan dari ℙ(𝑋 − 𝑅𝑏∗> 𝑤) dengan menggunakan persamaan 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡). ℙ 𝑋 − 𝑅𝑏∗ > 𝑤 = 1 − ℙ(𝑋 − 𝑅𝑏∗≤ 𝑤) = 1 − 𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏∗ 𝑥 ≤ 𝑤 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏∗ 0 = 1 − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏∗ 0 = 1 − 𝐹 𝑏∗ − 𝐹(0) = 1 − 1 − 𝑎 2 𝑎 + 𝑏∗ 2 − 1 − 𝑎2 𝑎 + 0 2 = 1 − 1 − 𝑎 2 𝑎 + 𝑏∗ 2 = 1 − 1 − 𝑎 2 𝑎 +𝑎𝐴 + 1 + 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1−𝐴 2 = 1 − 1 − 𝑎 2 1 + 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1 −𝐴 2 ℙ 𝑋 − 𝑅𝑏∗ > 𝑤 = (𝑎𝐴)2 1 + 𝐴 𝑎 + 𝑤 + 1 2 . ∎
3.1.2. Prinsip Umum Utilitas Nol
Misalkan perusahaan asuransi mendapatkan fungsi kompensasi R dengan membayar premi P yang membuat 𝔼𝑣 𝑅, 𝑃 = 0. 𝑥 → 𝑣(𝑥, 𝑃) adalah fungsi naik dan kontinu yang mendefinisikan prinsip premi sebagai berikut :
1. Mean-value principle:
𝑃 = 𝑢−1(𝔼𝑢(𝑅)), dengan u merupakan fungsi kontinu dan naik.
2. Prinsip utilitas nol:
𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅 = 𝑢(0), dengan fungsi utilitas u, u’>0.
Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala
𝔼𝑣 𝑅, 𝑃 = 0, 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, (3.3) dengan w adalah kekayaan awal dari perusahaan asuransi.
Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 2 berikut.
Teorema 2
Jika 𝑣 0, 𝑃 < 0 < 𝔼𝑣 𝑋 − 𝑤 +, 𝑃 < ∞, maka solusi dari permasalahan (3.3) merupakan truncated stop loss dengan 𝑅𝑏∗(𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏∗), dimana 𝑏∗ adalah bilangan real sehingga 𝔼𝑣 𝑅𝑏∗, 𝑃 =
0.
Bukti: (Lihat Lampiran 4)
Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip umum utilitas nol dengan fungsi utilitas, u, dimana u’ >0. 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑋 − 𝑤 + < 𝑢 0 , dengan P>0. Berdasarkan Teorema 2, dapat ditunjukkan bahwa truncated stop loss 𝑅𝑏∗(𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏∗), dengan 𝑏∗ bilangan real sehingga 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏∗ = 𝑢(0) adalah
solusi yang optimal.
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤)
dengan kendala 𝔼𝑢 𝑃 − (𝑋 − 𝑤)+ < 𝑢(0), 𝑃 > 0, dengan fungsi utilitas u, u’>0.
Akan dibuktikan bahwa truncated stop loss 𝑅𝑏∗(𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏∗), dengan 𝑏∗
bilangan real sehingga 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏∗ = 𝑢(0) adalah solusi yang optimal.
Bukti:
Diketahui fungsi u adalah fungsi utilitas yang merupakan fungsi naik dan kontinu sedemikian sehingga 𝑃 − 𝑋 − 𝑤 + < 𝑢 0 < 𝑢 𝑃 − 0 < ∞ , dengan c>0 maka
min 𝑅∈ℛℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min𝑅∈ℛ 𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑢(𝑃 − 𝑅 𝑥 ) 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅(𝑥) = min 𝑅∈ℛ 𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑢(𝑃 − 𝑅 𝑥 𝑑𝐹(𝑥) − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅(𝑥) . Misalkan 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏(𝑥) dan 𝑅𝑏(𝑥) = 𝑥 − 𝑤 + 𝐼(𝑥 < 𝑏), = 𝑥 − 𝑤 + ; 𝑤 < 𝑥 < 𝑏, 0 ; selainnya, dengan 𝑤 ≤ 𝑏 < ∞, maka 𝜓 𝑏 = 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏(𝑥) = 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑥 − 𝑤 + i. untuk batas bawah w :
𝜓 𝑤 = 𝔼𝑢 𝑃 − 𝑤 − 𝑤 +
= 𝔼𝑢 𝑃 − 0 = 𝑢 𝑃 > 𝑢 0 ii. untuk batas atas ∞ :
𝜓 ∞ = 𝔼𝑢 𝑃 − ∞ − 𝑤 +
= 𝔼𝑢 𝑃 − ∞ = 𝑢 𝑃 − ∞ < 𝑢 0 sehingga 𝜓 𝑏 kontinu saat 𝑏 ≥ 𝑤. Oleh karena itu ada 𝑏∗ sehingga 𝜓 𝑏 = 𝑢 0 .
min 𝑅∈ℛℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) = min𝑅∈ℛ 𝐼 𝑥 − 𝑅 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑢(𝑃 − 𝑅 𝑥 ) 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅(𝑥) ≥ min 𝑅𝑏 ∗ 𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏∗(𝑥) > 𝑤 + 𝑐 𝑢(𝑃 − 𝑅𝑏∗ 𝑥 ) 𝑑𝐹 𝑥 − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏∗(𝑥) = 𝐼 𝑥 − 𝑅𝑏∗ 𝑥 > 𝑤 + 𝑐 𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏∗ 𝑥 𝑑𝐹(𝑥) − 𝑐𝔼𝑢 𝑃 − 𝑅𝑏∗(𝑥) = ℙ 𝑋 − 𝑅𝑏∗> 𝑤 . ∎
3.1.3. Prinsip Esscher
Metode penentuan premi dengan prinsip Esscher memberikan persamaan
𝐸𝑠𝑠𝑎 𝑅 = 𝔼 𝑅𝑒𝑎𝑅
𝔼 𝑒𝑎𝑅
dengan a>0. Premi P yang didapat dari prinsip Esscher disebut dengan premi Esscher yang dinotasikan sebagai:
𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎 𝑅 .
Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) dengan kendala
𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎(𝑅), 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, (3.4) Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 3 berikut.
Teorema 3
Misalkan 0 < 𝑃 ≤ 𝑎−1 dan 0 < 𝔼 𝑋 − 𝑤 +− 𝑃 exp 𝑎 𝑋 − 𝑤 + < ∞. Maka solusi dari masalah (3.4) merupakan
truncated stop los𝑠 𝑅𝑏∗(𝑋) = 𝑋 −
𝑤+ 𝐼(𝑋<𝑏∗), dimana 𝑏∗ adalah bilangan real sehingga 𝑃 = 𝐸𝑠𝑠𝑎(𝑅𝑏∗).
Bukti: (Lihat Lampiran 5) 3.1.4. Prinsip Mean-Variance
Misalkan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutan untuk premi reasuransi, P. Misalkan juga perusahaan asuransi mengontrol keuntungan yang diharapkan dan bersedia membayar premi tidak lebih dari 𝑃0. Berdasarkan prinsip mean-variance, maka akan timbul permasalahan sebagai berikut
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤)
dengan kendala 𝑅 ∈ ℛ(𝑀) (3.5)
dimana ℛ 𝑀 = 𝑅; 𝑅 = 𝑅 𝑋 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋,
𝔼𝑅≤𝑓𝑃0,𝔻𝑅, 𝔼𝑅≤𝑀, dan 𝑡→𝑓(𝑃,𝑡)
merupakan prinsip premi. Prinsip premi yang dimaksud mencakup:
1. Prinsip standard deviation: 𝑃 = 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅; 𝑓 = 𝑃 − 𝛽𝑡, 2. Prinsip variance: 𝑃 = 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻2𝑅; 𝑓 = 𝑃 − 𝛽𝑡2, 3. Prinsip mixed: 𝑃 = 𝔼𝑅 + 𝛼𝔻𝑅 + 𝛽𝔻2𝑅; 𝑓 = 𝑝 − 𝛼𝑡 − 𝛽𝑡2. dimana 𝛼, 𝛽 > 0,
𝔻𝑅: standar deviasi dari peubah acak R, 𝔻2𝑅: ragam dari peubah acak R. Asumsikan 𝑏(𝑚) menjadi solusi untuk 𝑥 − 𝑤 𝑑𝐹(𝑥𝑤𝑏 ) = 𝑚 saat 𝑏 > 𝑚.
Teorema 4
Misalkan 0 < 𝑀 < 𝔼(𝑋 − 𝑤)+. Maka
truncated stop loss 𝑅𝑏∗(𝑋) = 𝑋 −
𝑤+ 𝐼(𝑋<𝑏∗) adalah solusi dari masalah (3.5) sehingga 𝔼𝑅𝑀 ≤ 𝑓(𝑃0, 𝔻𝑅𝑀).
Bukti: (Lihat Lampiran 6)
Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip standar deviasi, dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutannya. Buktikan bahwa solusi dari
min ℙ 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 dengan kendala
0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅 ≤ 𝑃0, 𝔼𝑅 ≤ 𝑀, adalah truncated stop loss 𝑅𝑏∗(𝑋) = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏∗), dimana 𝑏∗ sehingga 𝔼𝑅 = 𝑀 dan 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅 ≤ 𝑃0.
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance
min ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤)
dengan kendala 𝑅 ∈ ℛ(𝑀) dimana ℛ 𝑀 = 𝑅; 𝑅 = 𝑅 𝑋 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅 ≤ 𝑃0, 𝔼𝑅 ≤
𝑀.
Akan dibuktikan jika 0 < 𝑀 < 𝔼(𝑋 − 𝑤)+. Maka truncated stop loss 𝑅𝑏∗ 𝑋 = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏∗) adalah solusi yang optimal sehingga 𝔼𝑅 = 𝑀 dan 𝔼𝑅 + 𝛽𝔻𝑅 ≤ 𝑃
0.
Bukti:
Berdasarkan teorema 4, misalkan ℛ𝑚 = 𝑅; 𝑅 = 𝑅 𝑋 , 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑋, 𝔼𝑅 = 𝑚 = 𝑃0− 𝛽𝔻𝑅 dan 𝑅𝑚 𝑋 = 𝑋 − 𝑤 + 𝐼(𝑋 < 𝑏(𝑚))
= 𝑋 − 𝑤 + ; 𝑤 < 𝑋 < 𝑏 𝑚 ,
0 ; selainnya, sehingga 𝑅𝑚∈ ℛ𝑚 dengan c>0 maka
min 𝑅∈ℛ(𝑀)ℙ(𝑋 − 𝑅 > 𝑤) ≥ min0≤𝑚 ≤𝑀𝑅∈ℛmin𝑚 𝔼[1 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 + 𝑐(𝑅 − 𝔼𝑅)] ≥ min 0≤𝑚 ≤𝑀𝔼 min𝑅∈ℛ𝑚[1 𝑋 − 𝑅 > 𝑤 + 𝑐(𝑅 − 𝑚)] = min 0≤𝑚 ≤𝑀ℙ(𝑋 − 𝑅𝑚 > 𝑤) = min 0≤𝑚 ≤𝑀 𝐼(𝑥 − 𝑅𝑚> 𝑤) 𝑑𝐹 𝑥 = min 0≤𝑚 ≤𝑀 𝐼(𝑥 − 𝑥 − 𝑤 ≥ 𝑤) 𝑏(𝑚 ) 𝑤 𝑑𝐹(𝑥) = min 0≤𝑚 ≤𝑀 𝐼 𝑤 ≥ 𝑤 𝑏 𝑚 𝑤 𝑑𝐹(𝑥) = min 0≤𝑚 ≤𝑀 𝐼(𝑥 ≥ 𝑏(𝑚)) 𝑏(𝑚 ) 𝑤 𝑑𝐹(𝑥) = min 0≤𝑚 ≤𝑀ℙ 𝑋 ≥ 𝑏 𝑚 . Misalkan 𝑏(𝑚) merupakan solusi dari 𝔼𝑅 = 𝑚
⇔ 𝔼𝑅 𝑥 = 𝑥 − 𝑤 𝑑𝐹 𝑥 = 𝑚 𝑤𝑏 dimana 𝑏 > 𝑤, maka = min
0≤𝑚 ≤𝑀ℙ(𝑋 ≥ 𝑏(𝑚)) = ℙ 𝑋 ≥ 𝑏 𝑀 = ℙ 𝑋 − 𝑅𝑀 ≥ 𝑤 . ∎
IV SIMPULAN
Reasuransi merupakan proses pengalihan risiko dari beberapa perusahaan asuransi untuk menghindari kebangkrutan. Perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal sangat diperlukan untuk meminimumkan peluang kebangkrutan. Salah satu caranya adalah dengan menentukan premi reasuransi yang optimal.
Prinsip premi yang digunakan dalam tulisan ini adalah prinsip ekonomi, prinsip
umum utilitas nol, prinsip esscher, dan prinsip mean-variance. Keempat prinsip tersebut memberikan kendala yang berbeda dalam meminimumkan peluang kebangkrutan.
Telah dibuktikan truncated stop loss dapat menjadi solusi untuk menentukan kontrak reasuransi yang optimal dalam model satu periode.
DAFTAR PUSTAKA
Dickson DCM. 2006. Insurance Risk and
Ruin. Cambridge University Press.
Cambridge. United Kingdom. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of
Probability with Stochastics Proceses. Ed. Ke-3. Prentice Hall,
Inc. New Jersey.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992.
Probability and Random Processes.
Ed. Ke-2. Clarendon Press. Oxford. New York.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to
Mathematical Statistics. Ed. Ke-5.
Prentice-Hall. Inc. New Jersey.
Kaluszka M. 2005. Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models. Astin Bulletin 35(2). 337-349.
Marianto AJ. 1997. Reasuransi. Ghalia Indonesia. Jakarta.
Stewart J. 1999. Calculus. Jilid Ke-1. Ed. Ke-4. Alih bahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Erlangga. Jakarta.
Stewart J. 1999. Calculus. Jilid Ke-2. Ed. Ke-4. Alih bahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Erlangga. Jakarta.
