Kalkulus 2. Deret Pangkat dan Uji Konvergensi. Department of Chemical Engineering Semarang State University. Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.

Department of Chemical Engineering

Semarang State University

Kalkulus 2

Deret Pangkat dan Uji Konvergensi

Experimental

Deret Pangkat

Urutan dan deret (sequences and series)

1. Urutan angka merupakan rangkaian angka tak terbatas (jumlah n) yang

membentuk suatu pola atau susunan

Syarat urutan konvergen : jika n semakin besar, maka urutan tersebut akan

mendekati suatu angka tertentu dimana angka tersebut merupakan suatu limit urutan

Jika urutan tidak mempunyai limit, maka urutan tersebut tidak konvergen atau 1 , 1 , 1 ;... 4 1 , 3 1 , 2 1 ;... 4 , 3 , 2 , 1 atau atau  

Experimental

Deret Pangkat

Contoh (konvergen)

n

n

a

_n





1

konvergen, karena

lim



1



1





_n

n

n

Semakin besar nilai n maka urutan tersebut semakin mendekati nilai 1 sehingga bersifat konvergen Contoh (divergen) n n

a



2

divergen, karena





  n n

2

lim

Semakin besar nilai n maka urutan tersebut semakin besar menuju tak hingga sehingga bersifat divergen

Experimental

Deret Pangkat

2. Deret merupakan bentuk penjumlahan dari suatu urutan, berbentuk

jika deret berhenti sampai a_n maka deret terbatas (finite), jika deret berlanjut terus maka deret tersebut tak hingga (infinite)

Penjumlahan sebagian deret n merupakan penjumlahan deret hingga nilai n. Jika penjumlahan sebagian tersebut konvergen terhadap L maka deret tersebut konvergen terhadap limit L.

...

....

4 3 2 1



a



a



a





a

n



a

L

a

n n





 1

Experimental

Deret Pangkat

2. Deret (lanjutan)

Jika tidak terdapat limit tersebut (seperti deret harmonik) berarti deret divergen.

contoh deret harmonik

Misal : apakah deret konvergen? Jika iya, tentukan nilainya

Penyelesaian : Bentuk deret :

....

4

1

,

3

1

,

2

1

1

1

1









  n

n



 1

3

1

n n n

3

1

....

3

1

3

1

3

1

3 2









Experimental

Deret Pangkat

)

(

3

1

....

3

1

3

1

3

1

3 2

a

S

_n











_n

Kalikan dengan 1/3, sehingga

(

)

3

1

3

1

....

3

1

3

1

3

1

1 3 2

b

S

_n









_n



_n

Kurangkan persamaan (a) ke persamaan (b), didapat

1

3

1

3

1

3

2







_n n

S

Lalu kalikan dengan 3/2, sehingga





_





1



_



3

1

3

1

2

3

n n

S

Kemudian tentukan limit

2

1

0

3

1

2

3

3

1

3

1

2

3

lim

₁













 













 

_   n n

Deret konvergen dengan nilai

2

1

Experimental

Deret Pangkat

Deret pangkat (power series) -) deret pangkat untuk x = 0

-) deret pangkat untuk x = a

Dimana a merupakan pusat dan c₀, c₁ , c₂ ,….., c_n merupakan konstanta, sedangkan x merupakan variabel.

...

....

2 2 0 1 0















  n n n n n

x

c

c

x

c

x

c

x

c

...

)

(

....

)

(

)

(

)

(

₂ 2 0 1 0























  n n n n n

x

a

c

c

x

a

c

x

a

c

x

a

c

Experimental

Aplikasi Deret Pangkat

0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.5 0 0.5 1 y=1/(1-x) y=1+x+..+(x^8) y=1+x+(x^2) y=1+x y=1 y=1+x..+(x^15)

Grafik y = 1/(1-x) dan pendekatan polinomialnya

)

1

1

(

...

....

1

1

1

_

_

_

₂

_

₃

_

_

_

_

_

_



x

x

x

x

x

x

n

Experimental

Contoh deret pangkat diketahui sebagai berikut :

2

2

)

(

)

(

;

;

;

1

;

2

...

)

2

(

)

(

...

)

2

(

)

2

(

1

2 1 4 1 2 2 1 1 0 2 1 2 4 1 2 1







































x

r

ratio

c

c

c

c

a

x

x

x

n n n n

Deret konvergen untuk

1

0

4

2

2

_

_

_



x

atau

x

Penjumlahan deret adalah

x

r

r

a

S

x n

2

)

(

1

1

1

1

1











₂2





_

Sehingga

4

0

....,

)

2

(

)

(

...

)

2

(

)

2

(

1

2

2 1 2 4 1 2 1

























x

x

x

x

x

n n

Experimental

Grafik y = 2/x dan pendekatan polinomialnya

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 1 2 3 4 2/x 1-0.5(x-2)=2-(x/2) 1-0.5(x-2)+0.25(x-2)^2

4

0

....,

)

2

(

)

(

...

)

2

(

)

2

(

1

2

2 1 2 4 1 2 1

























x

x

x

x

x

n n

Experimental

Deret Geometrik



   

_











1 1 1 3 2

....

n n n

ar

ar

ar

ar

ar

a

Bagaimana mengecek deret konvergen atau tidak konvergen pada deret geometrik?

Jika , maka deret konvergen

Jika , maka deret divergen

Misal deret konvergen :

Sedangkan deret divergen

1



r

1



r

n

2

1

....

2

1

2

1

2

1

3 2









...

2

2

2

2



2



3



n



Experimental

Deret Geometris

Jumlah pada deret geometris

)

1

(

)

1

(

r

r

a

S

n n









 1

3

1

n n

Untuk deret , maka jumlah deret hingga deret ke-4 adalah

81

40

3

1

1

3

1

1

3

1

4 4













 

































S

Untuk deret geometris tak terhingga jika deret tersebut konvergen, maka

r

a

S





1

0

lim



  n n

r

Sehingga

Experimental

Uji Konvergensi

Beberapa cara uji konvergensi : 1) Tes rasio (ratio test)

2) Tes Integral (integral test)

Experimental

Uji Konvergensi

1) Tes rasio (ratio test)





   n n n

a

a

₁

lim

a) Jika





1

, maka deret konvergen b) Jika





1

, maka deret divergen

c) Jika , dalam hal ini uji tidak menyediakan informasi yang cukup sehingga deret bisa konvergen atau juga divergen

1





Contoh : Tentukan apakah deret



konvergen  1

3

n n

n

3

1

3

3

1

lim

3

3

1

lim

3

3

1

lim

_{1 1} 1







































_         n n n n n n n n n

n

n

n

n

n

n



Experimental

Uji Konvergensi

2) Tes integral (integral test)

Jika f positif, kontinyu, dan menurun untuk

x



1

dan a_n= f(n), maka



 1 n n

a

_dan



 1

f

(

x

)

dx

, kedua-duanya bisa konvergen atau divergen

Contoh : apakah deret konvergen?

Penyelesaian : Integralkan, mengganti n dengan x, sehingga



 1



3 2

1

6

n

n

n

dx

x

x



1 3

_

2

1

6

dx

x

x

a a



1 3



2

1

6

lim

, subtitusi u = x3 _{+1 dan du = 3x}2 _{dx, sehingga diperoleh :}













       

2



lim

2

(ln

)

lim

2

(ln(

1

)

ln

2

)

lim

1 3 2 1 2 3 3

a

u

u

du

a a a a a

Experimental

Uji Konvergensi

3) Tes perbandingan (comparison test)

Jika

0



a

_n



b

_n , untuk semua nilai n

a) Jika



konvergen, maka konvergen  1 n n

b



 1 n n

a

b) Jika



divergen, maka divergen  1 n n

b



 1 n n

a

Contoh : apakah deret konvergen? Penyelesaian :

Kita tahu bahwa nilai konvergen karena



 1

5



2

1

n n n

2

1

1



r

Jika dibandingkan maka lebih kecil dari sehingga konvergen

n

2

1

n

2

5

1





 1

5



2

1

n n

Experimental

Uji Konvergensi

1. Apakah deret konvergen? Gunakan tes rasio

2. Apakah deret konvergen? Gunakan tes integral

3. Apakah deret konvergen? Gunakan tes perbandingan



   1 n n

e



 1

3

1

n

n



 2



1

1

n

n

Experimental

Deret Taylor

Deret ini Taylor pada titik x = a merupakan deret yang berguna untuk

pendekatan fungsi disekitar titik x = a



 



















0 2 ) (

...

)

(

!

)

(

...

)

(

!

2

)

(

"

)

)(

(

'

)

(

)

(

!

)

(

k n n k k

a

x

n

a

f

a

x

a

f

a

x

a

f

a

f

x

k

a

f

Deret Taylor khusus pada x = 0 disebut Deret Mclaurin



 













0 2 ) (

...

!

)

0

(

...

!

2

)

0

(

"

)

0

(

'

)

0

(

)

(

!

)

(

k n n k k

x

n

f

x

f

x

f

f

x

k

a

f

Experimental

Deret Taylor

Contoh : Tentukan Deret Taylor yang dihasilkan oleh fungsi pada a = 1

x x

f ( )  1

Pertama, turunkan fungsi

!

)

1

(

)

1

(

!

)

1

(

)

(

!

4

24

)

1

(

24

)

(

!

3

6

)

1

(

"

'

6

)

(

"

'

!

2

2

)

1

(

"

2

)

(

"

1

)

1

(

'

)

(

'

1

)

1

(

)

(

) ( 1 ) ( ) 4 ( 5 ) 4 ( 4 3 2 1

n

f

x

n

x

f

f

x

x

f

f

x

x

f

f

x

x

f

f

x

x

f

f

x

x

f

n n n n n

























































      x x f ( )  1

Langkah ke-2, masukkan ke persamaan Deret Taylor



                   3 2 3 2 ) 1 ( ) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ... ! 3 ) 1 ( ! 3 ! 2 ) 1 ( ! 2 ) 1 ( 1 k k x x x x x x x

Experimental

Deret McLaurin

Beberapa contoh Deret McLaurin yang sering digunakan



        0 3 2 ! ... ! 3 ! 2 1 k k x k x x x x e



          0 1 2 5 3 )! 1 2 ( ) 1 ( ... ! 5 ! 3 sin k k k k x x x x x



        0 2 4 2 )! 2 ( ) 1 ( ... ! 4 ! 2 1 cos k k k k x x x x



           0 1 4 3 2 1 ) 1 ( ... 4 3 2 ) 1 ln( k k k k x x x x x x Buktikan Buktikan o 10 sin

Tugas Hitung dengan menggunakan deret dan kalkulator atau M. Excel

Experimental

Aplikasi Deret Taylor

Dalam praktik penggunaan pada Deret Taylor, tidak semua deret digunakan Umumnya hanya menggunakan beberapa suku awal saja

1. Order nol (menggunakan suku pertama)

Saat nilai , berarti nilai fungsi pada titik x_1+isama dengan nilai fungsi pada titik x_i. Hal tersebut berlaku jika fungsi konstan. Jika tidak maka harus memperhitungkan suku-suku berikutnya.

2. Order satu (menggunakan dua suku pertama) 3. Order dua (menggunakan dua suku pertama) 4. Order tiga (menggunakan tiga suku pertama)

) ( ) (x ₁ f x f _i  ! 1 ) ( ' ) ( ) (x ₁ f x f x x f _i    ! 2 ) ( " ! 1 ) ( ' ) ( ) ( 2 1 x x f x x f x f x f _i      ) ( " ' ) ( " ) ( ' ) ( ) ( 3 2 x x f x x f x x f x f x f _       

Experimental

Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial

1 ) 0 ( , 'y  x y  y Selesaikan Penyelesaian :

Asumsi penyelesaian dalam bentuk y  a₀ a₁xa₂x2 a₃x3 ... a_n1xn1  a_nxn Tujuan kita adalah ingin menemukan nilai a_{k ,}maka turunan pertamanya

1 2 3 2 1 2 3 ... ' a  a x a x  na_nxn y

Mengurangkan persamaan awal dengan turunannya

... ) ( ... ) 3 ( ) 2 ( ) ( 'y  a₁ a₀  a₂ a₁ x a₃ a₂ x2   na_n a_n1 xn1  y Sehingga diperoleh 0 0 1 a  a 1 2a₂ a₁  0 3a a  0 1   _n n a na

Experimental

Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial

Penyelesaian (lanjutan) : 1 ; 1 _{1 0} 0  a  a  a ! 2 2 2 1 1 2 1 ₁ 2      a a ! 3 2 2 . 3 2 3 2 3    a a ! 2 1 n n a a_n  n  n n n n x a x a x a x a x a a y  ₀  ₁  ₂ 2  ₃ 3 ... _1 1  Subtitusi ke persamaan : .... ! 2 ... ! 3 2 ! 2 2 1 3 2        n x x x x y n              .... ! ... ! 3 ! 2 2 1 3 2 n x x x x y n Deret McLaurin ... ! 3 ! 2 1 ... ! 3 ! 2 1 3 2 3 2           x x x e x x x e x x

Sehingga persamaan menjadi :



e x



x

y 1 2 x 1

Experimental

Tentukan deret dari persamaan diferensial :

1 ) 0 ( , 0 ' ) 3 1 ) 0 ( , ' ) 2 1 ) 0 ( , 0 ' ) 1          y xy y y x y y y y y