1 BAB I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Persegi ajaib (magic square) secara umum merupakan suatu persegi dengan ukuran 𝑛 × 𝑛 petak yang setiap petaknya tersusun atas bilangan-bilangan berbeda biasanya {1, 2, 3, … , 𝑛2} dengan 𝑛 adalah bilangan bulat positif. Normalnya, dikatakan persegi ajaib jika hasil penjumlahan elemen-elemen setiap baris, kolom maupun diagonal sama. Namun, pada kasus tertentu persegi ajaib dapat memiliki aturan-aturan yang berbeda berdasarkan klasifikasinya masing-masing. (Poole, 2006)
Dalam susunan bilangan-bilangan pada baris dan kolom sebuah persegi ajaib dikenal istilah order. Sebuah persegi ajaib dikatakan berorder 𝑛 jika memiliki 𝑛 baris dan 𝑛 kolom dengan elemen sebanyak 𝑛2. Sebagai contoh untuk
mempermudah pemahaman tersebut perhatikan persegi ajaib berikut.
Persegi ajaib di atas merupakan persegi ajaib berorder tiga sebab memiliki tiga baris dan tiga kolom yang tersusun dari bilangan-bilangan bulat positif berbeda yakni {1, 2, 3, … , 9}. Jika kita perhatikan hasil penjumlahan elemen-elemen setiap baris, kolom dan diagonalnya berjumlah 15. Sebagai contoh, baris pertama 4 + 9 + 2 = 15, kolom pertama 4 + 3 + 8 = 15 dan diagonal pertama berjumlah 4 + 5 + 6 = 15. Jika salah satu saja dari baris, kolom maupun diagonal memiliki jumlah yang berbeda maka persegi tersebut tidak dapat dikatakan sebagai persegi ajaib.
Persegi ajaib sudah dikenal sejak 650 tahun sebelum masehi oleh bangsa China. Selain itu, persegi ajaib juga terdapat dalam kebudayaan India, Mesir dan
4 9 2 7 5 3 6 1 8
2 Persia dimana secara tradisional persegi ajaib diyakini memiliki sifat magis dan mistis, serta sering diartikan sebagai astrologis. Bayer (2010) mengemukakan bahwa, keberadaan persegi ajaib sangat mempengaruhi kultur budaya dan pola berpikir masyarakat di masing-masing negara tempat munculnya angka-angka ajaib tersebut. Sebagaimana halnya, bangsa Cina yang menggunakan persegi ajaib berorder tiga sebagai dasar kepercayaan ilmu feng shui dan zodiak.
Daya tarik persegi ajaib mengundang para matematikawan untuk terus mempelajari dan mengembangkannya. Sebagai contoh, Dürer tahun 1514 menemukan persegi ajaib berorder empat yang digambarkan dalam ukiran melencolia-i, Franklin tahun 1706 mengkonstruksi persegi ajaib berorder delapan yang menjadi dasar pemecahan simbol-simbol yang hilang pada bangunan bersejarah di Amerika dan masih banyak lagi tokoh-tokoh lainnya seperti Andrew (1917), Pickover (2002) dan Watkins (2004). Hingga kini, metode konstruksi persegi ajaib tetap terus dikembangkan.
Banyak metode yang dapat digunakan untuk mengkonstruksi sebuah persegi ajaib. Akan tetapi, pada kenyataannya tidak semua persegi ajaib dapat dikonstruksi dengan sebuah metode yang sama. Secara umum metode konstruksi persegi ajaib dibagi dalam dua kelompok besar, yaitu persegi ajaib berorder genap (2𝑛) dan persegi ajaib berorder ganjil (2𝑛 + 1). Metode tersebut antara lain metode Franklin, dekomposisi persegi latin, dan metode Strachey untuk konstruksi persegi ajaib berorder genap. Sedangkan metode De La Loubére atau yang dikenal dengan metode Siemen, dan metode perkalian dapat digunakan untuk mengkonstruksi persegi ajaib berorder ganjil. (Wikipedia, 2010)
Dalam tulisan ini akan mengkaji tentang generalisasi jumlah ajaib dari hasil konstruksi persegi ajaib berorder empat (𝑛 = 4). Langkah awal yang akan dilakukan yakni mengkonstruksi persegi ajaib order empat melalui metode-metode yang telah ada diantaranya metode-metode Phillippe de la Hire’s, diagonal ‘Lozenge‘, diagram geometri dan metode knight’s move. Persegi ajaib baku yang dihasilkan kemudian diubah dalam bentuk diagram alur persegi ajaib. Hasil konstruksi diagram alur inilah yang digunakan sebagai dasar pengkonstruksian dengan generalisasi pada jumlah ajaibnya.
3 Lebih lanjut, hasil konstruksi awal dikembangkan kembali sehingga memperoleh rumus jumlah ajaib dan bilangan ajaib dari setiap elemen persegi ajaib. Rumus inilah yang kemudian digunakan sebagai langkah awal penyusunan persegi ajaib dan penentuan jumlah ajaib pada generalisasi persegi ajaib order empat. Selanjutnya, melalui proses perluasan atau generalisasi maka dapat dikonstruksi persegi ajaib order-4 dengan jumlah ajaib pada generalisasinya 𝜇𝐺(4) ≥ 34.
Berdasarkan pemahaman di atas penulis mencoba untuk mengembangkan hasil konstruksi persegi ajaib dalam pengaturan jumlah ajaibnya. Pada situasi ini, konstruksi dan generalisasi dilakukan hanya pada persegi ajaib dengan order empat. Untuk itu, penulis memberi judul tugas akhir yaitu “generalisasi jumlah ajaib pada persegi ajaib order empat“.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasar pada latar belakang di atas telah dijelaskan bahwa terdapat banyak metode dalam konstruksi persegi ajaib. Setiap metode memiliki karakteristik yang berbeda dengan metode yang lain. Metode tersebut akan menghasilkan persegi ajaib sesuai dengan ketentuan yang ada dan tidak semua persegi ajaib dapat dikonstruksi dengan satu metode yang sama. Untuk itu, dalam tulisan ini diangkat rumusan masalah sebagai berikut.
a. Bagaimana karakteristik struktural persegi ajaib yang dapat digunakan untuk generalisasi jumlah ajaib pada persegi ajaib order-4?
b. Bagaimana mengkonstruksi persegi ajaib order-4 dengan jumlah ajaib tertentu 𝜇𝐺(4) ≥ 34 ?
1.3 Pembatasan Masalah
Permasalahan konstruksi persegi ajaib merupakan persoalan yang luas, baik ditinjau dari order persegi ajaib maupun metode konstruksinya. Mengingat luasnya bahasan dan juga terbatasnya kemampuan penulis, maka kajian yang dilakukan akan dibatasi pada kondisi sebagai berikut.
4 a. Pembahasan dilakukan hanya pada persegi ajaib berorder empat (𝑛 = 4). b. Jenis persegi ajaib yang digeneralisasi dalam pembahasan hanyalah persegi
ajaib baku.
c. Bilangan ajaib/elemen penyusun persegi ajaib (𝑎𝑖𝑗) yang digunakan adalah 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑍+.
d. Jumlah ajaib (𝜇𝐺) yang akan dipakai dalam pembahasan ini terbatas pada 𝜇𝐺(4) ≥ 34.
1.4 Tujuan Kajian
Beberapa topik dari persegi ajaib yang mengalami perkembangan cukup pesat adalah masalah konstruksi dan penentuan bilangan ajaib. Persegi ajaib dengan order-𝑛 memungkinkan dapat diperluas pada penentuan jumlah ajaibnya dengan pengaturan elemen-elemen penyusunnya. Namun, tidak semua persegi ajaib baku order-4 dapat digeneralisasi untuk semua 𝜇𝐺(4) ≥ 34 karena bentuk struktural dan karakteristik yang berbeda-beda. Berdasarkan persoalan tersebut, maka dapat ditentukan tujuan dari penulisan tugas akhir ini yaitu:
a. Mengetahui karakteristik struktural dari persegi ajaib baku yang dapat berguna dalam generalisasi jumlah ajaib pada persegi ajaib order-4.
b. Menemukan cara mengkonstruksi persegi ajaib order-4 dengan jumlah ajaib tertentu 𝜇𝐺(4) ≥ 34.
1.5 Manfaat Kajian
Dengan adanya penelitian tentang konstruksi persegi ajaib berorder empat ini diharapkan mampu memberi masukan yang bermanfaat khususnya dalam bidang matematika. Adapun manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah:
a. Secara teoritis, kajian ini dapat digunakan sebagai pengetahuan tentang metode-metode konstruksi persegi ajaib order-4 dan generalisasi yang dapat dilakukan dari hasil konstruksinya. Selain itu, berdasarkan batasan masalah yang ada diharapkan pengetahuan ini dapat diperumum dan menjadi landasan pengembangan pada pengkajian terkait konstruksi persegi ajaib.
5 b. Secara praktis, kajian ini bermanfaat untuk mendapatkan rumus konstruksi dari
persegi ajaib berorder empat dengan generalisasi pada jumlah ajaibnya.
1.6 Metode Kajian
Dalam mengkaji permasalahan generalisasi jumlah ajaib pada persegi ajaib berorder empat penulis menggunakan metode kajian studi literatur (library research) atau studi kepustakaan, yaitu pembahasan yang dilakukan dengan mengkaji teori-teori atau literatur-literatur yang relevan untuk memecahkan masalah.
a. Sumber Kajian
Sumber penulisan kajian ini berdasarkan literatur berupa buku, jurnal, makalah, maupun data dari internet. Penulis mengelompakkan dan menyeleksi data tersebut berdasarkan kategori dan relevansi terhadap materi generalisasi pada konstruksi persegi ajaib berorder empat.
b. Cara Kajian
Dalam penulisan kajian ini hal yang dilakukan yaitu menetapkan masalah dan mencari sumber informasi dengan mengkaji materi yang mendukung dalam pembahasan. Adapun materi yang akan dipelajari yaitu definisi dan klasifikasi persegi ajaib, dekomposisi persegi latin, jumlah ajaib, residu terkecil, metode konstruksi dan teorema-teorema yang dapat digunakan dalam proses generalisasi persegi ajaib order-4. Kemudian, seluruh data diolah sehingga dapat menjawab bagaimana proses generalisasi jumlah ajaib pada persegi ajaib order-4 baik dalam bentuk definisi, teorema maupun pembuktian.
c. Analisis Hasil
Penganalisaan atau pengujian hasil pembahasan adalah dengan mereduksi liratur yang telah ada untuk kemudian menjadi landasan berpikir dalam mendeskripsikan karakteristik struktural dari persegi ajaib yang dapat digunakan untuk generalisasi jumlah ajaib dan cara mengkonstruksi persegi ajaib order-4 dengan jumlah ajaib tertentu 𝝁𝑮(𝟒) ≥ 𝟑𝟒.
