Bab III Proses Smoothing Distribusi Menggunakan Metode Pixel
Sharing
III.1 Konsep Areal Density dan Pixel Sharing
Konsep areal density, sebagai sebuah kuantitas yang menyatakan jumlah titik data dalam sebuah area luas. Konsep areal density digunakan sebagai alat bantu dalam menyelesaikan masalah distribusi. Dalam astronomi konsep areal density digunakan sebagai pembanding antara observasi dengan teori evolusi. Langkah selanjutnya adalah bagaimana membuat bagaimana perbandingan antara observasi dan teori evolusi menjadi sangat efektif. Sebuah asumsi implisit menyatakan bahwa areal density teoritis mendekati distribusi yang smooth (atau secara akurat dapat di-smooth-kan). Kita telah mengetahui bahwa areal density merupakan distribusi diskrit. Dengan distribusi diskrit kita akan kesulitan dalam melakukan proses fitting. Proses fitting memerlukan distribusi yang diferensiabel. distribusi yang diferensiabel merupakan distribusi yang kontinu, yaitu distribusi yang diketahui nilai fungsinya di setiap titik. Maka distribusi diskrit diubah menjadi distribusi yang kontinu, sehingga nilai setiap titiknya diketahui, dan proses fitting dapat dilakukan dengan mudah.
Sebuah pendekatan sederhana dan langsung adalah dengan piksel yang berbentuk rectangular array. Rectangular array adalah piksel tempat isian sejumlah data distribusi. Data yang diisikan ke dalam rectangular array merupakan distribusi diskrit. Rectangular array memiliki masalah, yaitu quantizing errors dalam batas piksel. Masalah ini akan diselesaikan dengan bantuan metode pixel sharing. seperti yang telah dijelaskan secara sekilas pada bab I, Pixel sharing adalah metode yang digunakan dalam proses smoothing, dimana distribusi diskrit akan diubah menjadi distribusi yang kontinu dengan bantuan metode untuk smoothing, yaitu pixel sharing. Dalam proses smoothing dengan pixel sharing akan menggunakan pendekatan rectangular array dan konsep areal density pada sebuah fungsi distribusi tertentu untuk kemudian dilakukan proses smoothing dengan menggunakan pixel sharing. Pixel sharing adalah metode smoothing dengan menggunakan rectangular array yang ukurannya telah kita tentukan. Rectangular array dibuat dua, yaitu rectangular array inisial dan rectangular array final. Kedua rectangular ini dibuat sama ukurannya,
tetapi jumlah piksel pembangunnya berbeda. Nilai rectangular array final berdasarkan kepada nilai dalam rectangular array inisial Jumlah array inisial lebih kecil dibandingkan jumlah array final. Koordinat pusat tiap piksel pada array final seolah-olah dipindahkan ke rectangular array inisial. Kita akan menghitung nilai pada rectangular array final berdasarkan nilai rectangular array inisial. Kita mendapatkan nilai array final dengan menghitung luas fraksi yang dibentuk dari rectangular array inisial. Cara menghitung luas fraksi adalah dengan menempatkan satu piksel inisial (moving pixel) kepada titik koordinat array final yang terdapat pada array inisial. Tempat titik koordinat array final dalam array inisial pada moving pixel adalah tepat di tengah-tengah moving pixel. Nilai setiap piksel pada array final adalah jumlah luas fraksi (luas setiap fraksi sebelumnya dikalikan dengan nilai dimana tempat luas masing-masing fraksi berada pada array inisial, luas fraksi bernilai nol manakala luas fraksi berada di luar area array inisial) yang dibentuk oleh moving pixel , dimana koordinat pusat array final diletakkan tepat pada pusat moving pixel.
III.2 Algoritma Pixel Sharing secara umum
Untuk memudahkan pengerjaan metode pixel sharing, maka kita menyusun algoritmanya. Algoritma lengkap untuk pixel sharing adalah sebagai berikut :
a. Tentukan jumlah array inisial (n x n) dan jumlah array finalnya (m x m), tentukan juga penomoran piksel. Contoh : array inisial berjumlah empat, maka n berjumlah dua, sedangkan array final berjumlah 16, maka m berjumlah empat. Gambar III.1 menunjukkan contoh rectabgular array
Gambar III. 1 Contoh array (2 x 2), (4 x 4) dan (16 x 16)
b. Tentukan nilai-nilai dalam piksel inisial
c. Tentukan koordinat ujung-ujung array inisial (n x n) dan koordinat pusat array final (m x m)
d. Tentukan piksel-piksel dalam array final, termasuk ke dalam piksel berapa dalam array inisial
e. Pindahkan koordinat pusat array final ke dalam array inisial
f. Buatlah moving pixel, yang berukuran sama dengan ukuran satu piksel dalam array inisial, tempatkan koordinat pusat array final yang terdapat dalam array inisial dalam koordinat pusat moving pixel.
Gambar III. 2 Rectangular Array dan Moving Pixel
g. Hitung luas fraksi yang terbentuk pada moving pixel termasuk ke dalam piksel ke berapa dalam array inisial, kalikan dengan nilai dimana luas fraksi dalam moving pixel berada. Jika luas fraksi berada di luar array inisial, maka dikalikan dengan nilai piksel inisial terdekat. Ilustrasi luas fraksi ditunjukkan seperti pada gambar III.3 di bawah ini :
Gambar III. 3 Ilustrasi Luas Fraksi
Luas 1
Luas 2
Luas 3 Luas 4 Luas 2 Luas 1 Moving pixel Koordinat pusat array finalh. Jumlahkan nilai luas fraksi moving pixel dibagi dengan luas satu piksel array inisial
III.3 Algoritma untuk menentukan koordinat ujung array inisial dan koordinat pusat array final
1. Algoritma untuk menentukan koordinat titik ujung pada array inisial adalah sebagai berikut :
a. Tentukan koordinat pusat tiap piksel array inisial, yang memiliki koordinat (a,b) serta variable indeks i (untuk menunjukkan kolom ke berapa) dan j (untuk menunjukkan baris ke berapa) dan ukuran panjang satu piksel (p) dan lebar piksel (q)
b. Menentukan koordinat pusat dapat dilakukan dengan cara (i) tentukan koordinat awal A (0,0)
(ii) koordinat pusat piksel awal dapat dihitung dengan A(x,y) (0,0) + 0.5
x (p,q)
(iii) untuk pergerakan kolom, kita dapat menghitungnya dengan cara : Ax(0) + (0.5 x i x p), nilai i bergerak sampai dengan jumlah n
(iv) untuk pergerakan baris, kita dapat menghitungnya dengan cara : Ay(0) + (0.5 x j x q), nilai j bergerak sampai dengan jumlah n
c. Tentukan jumlah piksel dalam array inisialnya (n x n), maka kita akan mengetahui jumlah baris dan jumlah kolomnya
d. Untuk kolom ke-i dan baris ke-j, sampai n , koordinat titik-titik ujung dapat dihitung dengan cara :
(i) jika awal piksel terletak pada pojok kiri bawah
koordinat titik-titik ujungnya adalah (a-(0.5 x p)) dan (b-(0.5 x q)) (ii) jika awal piksel terletak pada pojok kiri atas (a-(0.5 x p)) dan (b+
(0.5 x q))
2. Algoritma untuk menentukan koordinat pusat pada array final adalah sebagai berikut :
a. Tentukan koordinat ujung awal A(0,0)
b. Tentukan piksel yang akan dihitung koordinat pusatnya termasuk ke baris dan kolom ke-berapa
c. Tentukan koordinat pusat array final dengan cara : (i) koordinat pusat sumbu x : Ax(0) + (0.5 x i x p)
(ii) koordinat pusat sumbu y : Ax(0) + (0.5 x j x q)
dengan i merupakan indeks berjalan untuk kolom dan j merupakan indeks berjalan untuk baris
Gambar III. 4 Ilustrasi Array Final
3. Algoritma untuk menentukan moving pixel adalah sebagai berikut :
a. Pindahkan koordinat pusat array final ke dalam array inisial
b. Moving pixel berfungsi sebagai pointer yang titik pusatnya adalah koordinat pusat setiap piksel dalam array final yang sudah dipindahkan ke dalam array inisial
c. Tentukan koordinat titik titik ujung moving pixel jika diketahui koordinat pusat array final adalah (gj,hi)
i) menentukan koordinat titik ujung kiri bawah mlbx = gj – (0.5 x p)
mlby = hi – (0.5 x q)
ii) menentukan koordinat titik ujung kanan bawah mrbx = gj + (0.5 x p)
mrby = hi – (0.5 x q)
iii) menentukan koordinat titik ujung kiri atas mltx = gj – (0.5 x p)
mlty = hi + (0.5 x q)
iv) menentukan koordinat titik ujung kanan atas mrtx = gj + (0.5 x p)
mrty = hi + (0.5 x q)
fl fr
ft
koordinat ujung-ujung moving pixel digunakan dalam perhitungan luas fraksi piksel dan nilai array finalnya
III.4 Algoritma untuk menentukan nilai piksel dalam array final
Algoritma untuk menentukan nilai piksel dalam array final berdasarkan nilai array inisial adalah sebagai berikut :
a. tentukan piksel ke berapa dalam array final yang akan dihitung b. tentukan koordinat pusat array final yang akan ditentukan nilainya
c. pindahkan koordinat pusat array final ke system koordinat array inisial, sesuaikan posisinya
d. buatlah moving pixelnya, tentukan luas fraksinya
e. dalam menentukan luas fraksi yang berjumlah empat luas fraksi, dengan menggunakan moving pixel, hanya terdapat empat kemungkinan susunan luas Diketahui empat koordinat titik ujung array final : fl, fr,fb dan ft, sedangkan koordinat titik ujung moving pixel : ml,mr,mb dan mt. Terdapat empat kemungkinan susunan luas yang terjadi jika koordinat pada moving pixel dan array final memenuhi kondisi seperti di bawah ini, yaitu jika (mr < fr) dan (mb < fb), (mr > fr) dan (mb < fb), (mr < fr) dan (mb > fb), (mr > fr) and (mb > fb). Keempat kemungkinan tersebut adalah sebagai berikut :
(i) Kemugkinan pertama jika (mr < fr) dan (mb < fb) :
a1 := (mr - fl) * (ft - mt) * ( nilai piksel tempat luas berada) a2 := (fl - ml) * (ft - mt) * (nilai piksel tempat luas berada) a3 := (fl - ml) * (mb - ft) *( nilai piksel tempat luas berada) a4 := (mr - fl) * (mb - ft) * (nilai piksel tempat luas berada) gambar III.5 sampai dengan III.8 merupakan ilustrasi posisi moving pixel dengan berbagai kemungkinan seperti tergambar di bawah ini :
Gambar III. 5 Posisi Moving Pixel (mr < fr) dan (mb < fb)
(ii) Kemungkinan kedua jika (mr > fr) dan (mb < fb) a1 := (mr - fr) * (ft - mt) * ( nilai piksel tempat luas berada) a2 := (fr - ml) * (ft - mt) * ( nilai piksel tempat luas berada) a3 := (fr - ml) * (mb - ft) * ( nilai piksel tempat luas berada) a4 := (mr - fr) * (mb - ft) * ( nilai piksel tempat luas berada)
Gambar III. 6 Posisi Moving Pixel (mr > fr) dan (mb < fb)
(iii) Kemungkinan ketiga jika (mr < fr) dan (mb > fb)
a1 := (mr - fl) * (fb - mt) * ( nilai piksel tempat luas berada) a2 := (fl - ml) * (fb - mt) * ( nilai piksel tempat luas berada) a3 := (fl - ml) * (mb - fb) * ( nilai piksel tempat luas berada) a4 := (mr - fl) * (mb - fb) * ( nilai piksel tempat luas berada)
mr fb fr mt mb fl ft a2 a1 a3 a4 fl fb fr ft mr mb mt ml a2 a1 a3 a4 fr
Gambar III. 7 Posisi Moving Pixel (mr < fr) dan (mb > fb)
(iv) Kemungkinan keempat jika (mr > fr) and (mb > fb)
a1 := (mr - fr) * (fb - mt) * ( nilai piksel tempat luas berada) a2 := (fr - ml) * (fb - mt) * ( nilai piksel tempat luas berada) a3 := (fr - ml) * (mb - fb) * ( nilai piksel tempat luas berada) a4 := (mr - fr) * (mb - fb) ( nilai piksel tempat luas berada)
Gambar III. 8 Posisi Moving Pixel (mr > fr) dan (mb > fb)
f. Hitunglah nilai tiap piksel dalam array final dengan cara :
Val = (a1 + a2 + a3 + a4)/ (Luas satu piksel array inisial)
Maka kita akan mendapatkan nilai di setiap piksel pada array final berdasarkan nilai pada array inisial dengan menggunakan konsep areal density dan metode pixel sharing
(Wilson & Hurley 2003)
fl fb ft mr mb a2 a1 a3 a4 fl fb fr ft mr mb mt ml a2 a1 a3 a4
