MODUL DISTRIBUSI T. Objektif:

(1)

Statistika 2 22 ATA 11/12

MODUL DISTRIBUSI T

Objektif:

1. Membantu mahasiswa memeahami materi Distribusi t

2. Pengambilan keputusan dari suatu kasus dengan menggunakan kaidah dan syarat Distribusi t

I. PENDAHULUAN

Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel t-student. Distribusi t pertama kali diterbitkan pada tahun 1908 dalam suatu makalah oleh W. S. Gosset. Pada waktu itu, Gosset bekerja pada perusahaan bir Irlandia yang melarang penerbitan penelitian oleh karyawannya. Untuk mengelakkan larangan ini dia menerbitkan karyanya secara rahasia dibawah nama‘Student’. Karena itulah Distribusi t biasanya disebut Distribusi Student. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang dikemukakan.

1.1 Ciri-Ciri Distribusi T

a) Sampel yang diuji berukuran kecil ( n < 30 ).

b) Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkat signifikan (α) dan besarnya derajat bebas (db).

1.2 Fungsi Pengujian Distribusi T

a) Untuk memperkirakan interval rata-rata.

b) Untuk menguji hipotesis tentang rata-rata suatu sampel. c) Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis.

d) Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah layak untuk dipercaya.

II. BEBERAPA MACAM PENGGUNAAN HIPOTESIS

Pengujian sampel dalam distribusi t dibedakan menjadi 2 jenis hipotesa, yaitu :

2.1 Satu Rata-Rata

 Rumus :

ket : to = t hitung

x = rata-rata sampel µ = rata-rata populasi

(2)

Statistika 2 23 ATA 11/12  Penyusunan Hipotesa : 1. Ho : µ1 = µ2 Ha : µ1 ≠ µ2 2. Ho : µ1 ≤ µ2 Ha : µ1 > µ2 3. Ho : µ1 ≥ µ2 Ha : µ1 < µ2

Apabila data yang diambil dari hasil eksperimen, maka langkah yang harus dilakukan sebelum mencari t hitung adalah :

a. Menentukan rata-ratanya terlebih dahulu :

b. Menentukan standar deviasi :

2.2 Dua Rata – Rata

 Rumus : to = | (X1 – X2) - do | √ (S12 / n1) + (S22 / n2) Syarat : S1 ≠ S2 do = selisih µ1 dengan µ2 (µ1 - µ2)

(3)

Statistika 2 24 ATA 11/12  Db = (n1 + n2) – 2  Penyusunan Hipotesa : 1. Ho : µ1 – µ2 = do Ha : µ1 – µ2 ≠ do 2. Ho : µ1 – µ2 ≤ do Ha : µ1 – µ2 > do 3. Ho : µ1 – µ2 ≥ do Ha : µ1 – µ2 < do

III. LANGKAH – LANGKAH UJI HIPOTESIS

1. Tentukan Ho dan Ha

2. Tentukan arah uji hipotesa ( satu arah atau dua arah ) 3. Tentukan tingkat signifikan ( α )

4. Tentukan nilai derajat bebas ( Db )

5. Tentukan wilayah kritisnya atau nilai tabel t tabel = (α, Db ) 6. Tentukan nilai hitung (t hitung = to )

7. Tentukan keputusan dan gambar 8. Kesimpulan dan analisis

Menentukan kesimpulan dengan cara membandingkan nilai kritis ( nilai tabel ) dengan nilai hitungnya untuk kemudian menerima / menolak Hipotesa awal (Ho).

Ada 3 wilayah kritis dalam distribusi t, yaitu : 1. Dua Arah ( Ho : µ1 = µ2, Ha : µ1 ≠ µ2 )

Ho diterima jika : -t tabel ( α/2, Db ) < to < t tabel ( α/2, Db )

Ho ditolak jika : to > t tabel ( α/2, Db ) atau to < - t tabel ( α/2, Db )

- α/2 0 + α/2 ( t tabel)

Gambar 2.1 : Kurva Distribusi t Dua Arah

2. Satu Arah, Sisi Kanan ( Ho : µ1 ≤ µ2, Ha : µ1 > µ2 )

Ho diterima jika : to < t tabel ( α, Db ) Ho ditolak jika : to > t tabel ( α, Db )

(4)

0 + t tabel

Gambar 2.2 : Kurva Distribusi t Satu Arah Sisi Kanan

3. Satu Arah, Sisi Kiri ( Ho : µ1 ≥ µ2, Ha : µ1 < µ2 )

Ho diterima jika : to > - t tabel ( α, Db ) Ho ditolak jika : to < - t tabel ( α, Db )

- t tabel

Gambar 2.3 : Kurva Distribusi t Satu Arah Sisi Kiri

Contoh Soal :

1. HEALTHY YOU adalah sebuah perusahaan penghasil yogurt aneka rasa yang meramalkan bahwa pada akhir pekan dapat terjual 325 botol yogurt beku. Untuk menguji apakah hipotesis tersebut benar, maka Perusahaan melakukan pengujian terhadap 12 botol yogurt dan diketahui rata-rata sampel (rata-rata penjualan produk) 350 botol/hari dengan simpangan baku 300 botol/hari. Apakah hasil penelitian tersebut sesuai dengan hipotesis awal Perusahaan ? (selang kepercayaan 95 %) Jawab : Dik : µ = 325 x = 350 α = 5% = 0,05 n = 12 s = 300 Pengujian Hipotesis : 1. Ho : µ1 = 325 Ha : µ2 ≠ 325

2. 1 rata – rata, uji 2 arah 3. α/2 = 5 % /2 = 0,025 4. Db = n – 1 = 12 – 1 = 11 5. t tabel (α, Db) = ( 0,025 ; 11 ) = ± 2,201 6. to = x - µ = 350 – 325 = 0,2887 s / √n 300 / √12

Ha

Ho

(5)

7. Keputusan : karena t hitung = 0,2887 berada dalam selang -2,201 < t < 2,201 maka Terima Ho, Tolak Ha

-2,201 0 0,288 2,201

Gambar 2.4

Kurva Distribusi t Satu Rata-rata Dua Arah Contoh

8. Kesimpulan : Jadi, pendapat perusahaan bahwa pada akhir pekan dapat terjual 325 botol yogurt beku adalah benar.

Langkah-langkah menggunakan software :

1) Buka software R 2.8, kemudian masukkan data pada tabel script window (Jendela Skrip)

(6)

3) Setelah itu klik submit (kirim), maka akan muncul hasil to nya

(7)

2. PT. ANASTASHIA yang memproduksi souvenir rajutan menyatakan bahwa produknya dapat bertahan selama kurang dari 7 tahun. Seorang konsumen ingin menguji produk tersebut dengan mengambil sampel data 10 produk. Ternyata produk tersebut dapat bertahan dengan rata-rata selama 7 ,4 thn. Dengan standar deviasi 3.5 thn Ujilah pendapat tersebut dengan tingkat signifikan 5%! Jawab : Dik : µ = 7 x = 7,4 α = 5% = 0,05 n = 10 s = 3,5 Pengujian Hipotesis : 1) Ho : μ ≥ 7 Ha : μ < 7

2) Satu rata-rata, uji kiri 3) α = 5 % = 0,05 4) Db = n – 1 = 10 - 1 = 9 5) t tabel (α ; Db ) = (0,05 ; 9 ) = 1,833 6) to = x – μ s / √n to = 7,4 - 7 3,5 / √10 to = 0,36

7) Karena t hitung = 0,36 berada diluar selang – 1.833 < t maka terima Ho dan tolak Ha.

- 1,833 0 0,36

Gambar 2.5

Kurva Distribusi t Satu Rata-rata Satu Arah Uji Kiri Contol Soal 2

8) Kesimpulan : jadi, produk rajutan PT.ANASTASHIA dapat bertahan kurang dari 7 tahun adalah salah.

(8)

(9)

(10)

3. Perusahaan tambang memiliki 2 produksi utama yang bisa dilihat pada tabel berikut:

Jenis tambang Mean Simpangan Baku Sampel

Minyak 12 8 16

Batu Bara 13 6 16

Ujilah dengan selang kepercayaan 99% apakah produksi antara kedua hasil tambang tersebut lebih dari sama dengan 3 !

Jawab : Diketahui : x1 = 12 s1 = 8 x2 = 13 s2 = 6 n1 = 16 α = 1% = 0,01 n2 = 16 do = 3 Pengujian hipotesis :

(11)

1. Ho : μ1 – μ2 ≥ 3 2. Ha : μ1 – μ2 < 3 3. Dua rata-rata , uji kiri 4. α = 1 % = 0,01 5. Db = n1 + n2 – 2 = 16 + 16 – 2 = 30 6. t tabel (α : Db ) = (0,01 : 30 ) = 2,457 to = |( x1 – x2 ) – do| √{( s1² / n1 ) + ( s2² / n2 )} to = |( 12 – 13 ) – 3| √{( 8² / 16 ) + ( 6² / 16 )} to = - 1,6

Karena t hitung = - 1,6 berada dalam selang - 2,457 < t maka terima Ho dan tolak Ha.

-2,45 -1,6 0

Gambar 2.6

Kurva Distribusi t Dua Rata-rata Satu Arah Uji Kiri Contol Soal 3

Kesimpulan : Jadi, perbedaan produksi antara minyak dan batu bara lebih dari sama dengan 3 adalah benar.

(12)

2) Blok semua data yang ada pada script window (jendela skrip)

(13)