Teori Lagrangia dan Hamilton dalam Mekan

Teori Lagrangia dan Hamilton dalam

Mekanika Klasik

Newton, sudah tidak asing bagi kita untuk mendengar nama tersebut. Bukan sekedar nama saja yang terkenal,tetapi juga hukumnya dalam mengatur setiap tipe gerak yang dialami suatu benda. Gerak dapat timbul karena adanya gaya yang bekerja. Gaya beserta perilaku dan interaksinya dibahas dalam Mekanika. Gaya atau F timbul akibat adanya momentum dan gaya yang berpindah dapat menimbulkan Usaha maupun energi. Tapi, pasti sangat asing bagi kita dengan nama Lagrangian dan Hamiltonian. Lagrangian dan Hamiltonian merupakan formulasi Mekanika klasik yang lebih lengkap dan rinci sehingga pendekatannya lebih mempermudah kita untuk memecahkan kasus dari gejala mekanika klasik yang bentuknya lebih khusus. Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi. Jika didefinisikan Lagrangian sebagai selisih antara energi kinetik dan energi potensial. Jika ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun, tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Pendekatan Newton memerlukan informasi gaya total yang beraksi pada partikel. Gaya total ini merupakan keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel, termasuk juga gaya konstrain. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui, maka pendekatan Newton tidak berlaku. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal energi totalnya. Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum, dan mungkin waktu. Ketergantungan Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari hubungan konstrain terhadap waktu atau dikarenakan persamaan transformasi yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya, persamaan Lagrange ekivalen dengan persamaan gerak Newton, jika koordinat yang digunakan adalah koordinat kartesian. Berikut adalah ketiga relasi teori-teori dalam Mekanika klasik:

1. Metode Newtonia

Yang pertama ada Metode Newtonia. Metode ini dilakukan berdasarkan teori Newtonia. Teori ini bekerja berdasarkan Hukum II Newton. Hukum II Newton merupakan rumusan dasar bagi Mekanika klasik sekaligus moyang dari Mekanika. Hukum II Newton,berbunyi: “Perubahan momentum yang terjadi tiap perubahan

waktu”. Secara Matematis adalah :

F

=

d

´

p

dt

... (1)

Jadi Hukum II Newton ini berlaku pada suatu benda dengan massa tertentu mengalami perubahan momentum tiap seiring perubahan waktu. Namun, persamaan Hukum II Newton yang lebih terkenal adalah :

Σ F=m

a …

´

(

2

)

, sehingga persamaan (1) hanya menjadi moyang bagi persamaan 2, karena persamaan (2) didapatkan dari penurunan persamaan sebagai berikut:

F

=

d

´

p

dt

... (1)

F=

d

(

m

v

´

)

dt

…

(

1.

a)

¿

m

d

v

´

dt

… .

(

1.

b)



Σ F

=

m

a …

´

(

1.2

)

2. Metode Lagrange :

dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui melalui pendekatan Newton. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal selisih Energi Kinetik dengan Potensial.

dimana, T = Energi Kinetik ( Joule)  T =

1

2

m v

2

V = Energi Potensial (Joule) 

V

=mg h

Pendekatan Lagrangian dengan Newtonia:

Kita mulai dari membandingkan pendekatan Mekanika Newtonia pada Mekanika Lagrangia yang pendekatan lebih rinci.

Hukum II Newton : F = ma ... (1.2)

Dimana dipertimbangkan sebuah partikel berpindah ke dalam R. Posisinya, misalkan q, tergantung pada waktu t

∈

R

, jadi fungsi didefinisikan: q : RRn

dari definisi ini dapat ditentukan kecepatan, v =

q

´

: RR n

_{persamaan Euler Lagrangian}

d

dt

(

∂ L

∂

´

x

)

=

∂ L

∂ x

... (2.2)

Solusi persamaan gerak menggunakan metode Lagrange dapat dicari dengan melihat persamaan Euler Lagrange dan persamaan gerak pegas di atas yaitu :

∂ L

∂

´

x

=m

´

x ;

∂ L

∂ x

=−kx …(

2.3

)

Kemudian dicari solusi masing-masing persamaan (5) menjadi :

∂ L

∂

´

x

=m

´

x

∂ L=m

x ∂

´

´

x

∫

∂ L=

m

∫

´

x d

´

x

L=m

(

1

2

´

x

2

)

T

=

1

2

m

´

x

2

∂ L

∂ x

=−kx

∂ L=−kx ∂ x

∫

∂ L=−k

∫

x dx

L=−k

(

1

2

x

2

)

V

=

−

1

2

k x

2

Jadi solusi persamaan gerak pegas

L=

1

2

m

x

´

2

−

1

2

k x

2

…(

2.4

)

d

dt

(

∂

∂

´

x

(

1

2

m

x

´

2

−

1

2

k x

2

)

)

=

∂

∂ x

(

1

2

m

´

x

2

−

1

2

k x

2

)

d

dt

(

1

2

m

2

´

x

)

=

1

2

k

2

x

d

dt

m

´

x=−kx

m

d

´

x

dt

=−kx

m

´

x

=−

kx …

(

2.5

)

Gaya Umum untuk Sistem Konservatif

Konservatif merupakan gaya yang hanya tergantung pada jalur awal(start) dan akhir (finish) saja karena fungsi posisi sehingga energi yang digunakan sama dan tidak bergantung lintasan. Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konservatif, besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh persamaan

F

_i

=

−∂ V

∂ x

_i (2.6)

dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena itu perumusan gaya umum dapat dinyatakan

Q

_k

=−

(

∂ V

∂ x

_i

∂ x

_i

∂ q

_k

)

(2.7)

merupakan turunan parsial

V

terhadap

q

k , maka

Q

k

=−

(

∂ V

∂ q

_k

)

(2.8)

Misalkan, kita menggunakan koordinat polar,

q

₁

=

r

;

q

₂

=

θ

, maka gaya

umum dapat dinyatakan dengan

Q

_r

=

∂ V

∂ r

;

Q

θ

=

∂ V

∂ θ

. Jika

V

merupakan fungsi

r

saja (dalam kasus gaya sentral), maka

Q

_θ

=

0

.

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya

rampatan tidak konservatif, misalkan nilainya adalah

Q

k' _{, maka kita dapat menuliskan}

Q

_k

=

Q

_k'

−

∂

V

∂

q

_{k (2.9)}

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian

L=T

−V

, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk

d

dt

∂

L

∂ ˙

q

_k

=

Q

k'

+

∂

L

∂

q

_{k (2.10)}

' k

k k

d

L

L

Q

dt q

q









Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan

Cara menggunakan Lagrangian:

Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:

1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.

2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.

3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat umum Qk.

4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di atas.

Applikasi Lagrangia:

a. Osilator Harmonik

Sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah

L = T - V =

1 2

m

x

˙

2

−

1 2

kx

2

dimana m adalah massa dan k adalah tetapan pegas. Selanjutnya:

∂

L

∂ ˙

x

=

m

x

˙

∂

L

∂

x

=−

kx

Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c

&

x

, sehingga persamaan gerak dapat ditulis :

d

dt

(

m

x

˙

)=−

c

x

˙

+(−

kx

)

mx cx kx 0

&& &

  

Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam.

b. Parikel yang berada dalam Medan Sentral

Rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = . Maka

T

=

1₂

mv

2

=

1 2

m

(

r

˙

2

+

r

2

θ

˙

2

)

V

=

V

(

r

)

L

=

1₂

m

(

r

˙

2

+

r

2

θ

˙

2

)

−

V

(

r

)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :

∂

L

∂ ˙

r

=

m

r

˙

∂

L

∂r

=mr {

θ

˙

2

−f

(r

)

¿

∂

L

∂

θ

=

0

∂

L

∂ ˙

θ

=

mr

2

θ

˙

Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :

d

dt

∂

L

∂ ˙

r

=

∂

L

∂

r

d

dt

∂

L

∂ ˙

θ

=

∂

L

∂

θ

m

r

¨

=

mr {

θ

˙

2

+

f

(

r

)

¿

dt

d

(

mr

2

θ

)

=

0

3. Metode Hamiltonia

H =T+V ....(3.1)

T

=

p

2

2

m

, V

=V

(q)

Catatan bahwa T adalah fungsi khusus dari p ketika V adalah fungsi khusus q. Sebagai contoh,penurunan waktu dari momentum p sama dengan Gaya Newtonia(Hukum II Newton), dan persamaan pertama memiliki arti bahwa kecepatan partikel sama dengan turunan dari energi kinetik terhadap momentumnya.

H = pi

q

´

i - L(q,

q

´

)

reinterpreted as a function of position and momentum, called the Hamiltonian

H : T*Q  R

�

where the cotangent bundle is the space of position-momentum pairs. In this approach,position and momentum will satisfy Hamilton's equations:

d

q i

´

dt

=

∂ H

∂ p i

,

dp i

dt

=

−∂ H

∂

q i

´

Dalam kondisi tertentu, tidaklah mungkin atau sulit menyatakan seluruh gaya yang beraksi terhadap partikel, maka pendekatan Newton menjadi rumit pula atau bahkan tak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, pada perkembangan berikutnya dari mekanika, prinsip Hamilton berperan penting karena ia hanya meninjau energi partikel saja.

Applikasi Hamilton :

1. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :

T

=

1

2

m

x

˙

2

dan

V

=

1

2

Kx

2

(3.2) Momentumnya dapat ditulis

p

=

∂

T

∂ ˙

x

=

m

x

˙

_atau

x

˙

=

p

m

_(3.3) Hamiltoniannya dapat ditulis :

H

=

T

+

V

=

1

2

m

p

2

+

K

2

x

2

(3.4) Persamaan geraknya adalah :

∂

H

∂

p

= ˙

x

∂

H

∂

x

=− ˙

p

_(3.5) dan diperoleh :

p

m

= ˙

x

Kx

=− ˙

p

Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, dapat kita tulis :

m

x

¨

+

Kx

=

0

(3.6) yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.

2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut:

T

=

m

2

( ˙

r

2

+

r

2

θ

˙

2

)

p

r

=

∂

T

∂ ˙

r

=

m

r

˙

r=

˙

p

_r

m

(3.8)

p

_θ

=

∂

T

∂ ˙

θ

=

mr

2

θ

˙

θ

˙

=

p

θ

mr

2

(3.9) Akibatnya :

H

=

1

2

m

(

p

r2

+

p

_θ2

r

2

)+

V

(

r

)

_(3.10)

Persamaan Hamiltoniannya:

∂

H

∂

p

_r

=˙

r

_,

∂

∂

H

r

=−

p

r

,

∂

H

∂

p

_θ

= ˙

θ

_,

∂

∂

H

θ

=−

p

θ

(3.11) Selanjutnya:

p

_r

m

= ˙

r

(3.12)

∂

V

(

r

)

∂

r

−

p

_θ2

mr

3

=− ˙

p

r _(3.13)

p

_θ

mr

2

= ˙

θ

(3.14)

−

p

θ

=

0

_(3.15) Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,

2

p

_



kons tan mr



 

&

mh

_(3.16) Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,

m

r

¨

= ˙

p

_r

=

mh

2

r

3

−

∂

V

(

r

)

∂

r

_(3.17)

untuk persamaan gerak dalam arah radial.

Sumber-Sumber terkait:

C.Baez,John and K.Wise,Derek. 2005. Classical Mechanics. Riverside: University of California

Kelompok Mahasiswa Fisika UNESA. 2013. Metode Lagrangia dan Mekanika Hamilton. Surabaya: Pascasarjana UNESA

Vinogradov, A. M.; Kupershmidt, B. A. 1981.The structure of Hamiltonian mechanics . London: Cambridge Univ. Press

Teori Mekanika klasik tersebut dapat dikembangkan pada teori mekanika kuantum yang membahas tentang Relativistik, bahkan juga dapat dikembangkan pada teori thermodinamik.

Cukup sedikit penjelasan tentang Teori Newtonia, Lagrangia,dan

Hamiltonia. Sedikit demi sedikit lama-lama jadi bukit. Tak ada

rotan,akar pun jadi. Jika ada kekurangan mohon maaf,karena tak ada

gading yang tak retak. Sambil renang minum air, sembari belajar

saya share juga.