BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Sebuah graf terhubung G adalah primitif, jika terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga untuk setiap pasangan titikudanv diGterdapat jalanu←→k v. Bilangan bulat positif terkecil k dikatakan sebagai eksponen dari G, dinotasikan exp(G) (Kimet al., 2007).
Penelitian tentang graf primitif telah banyak dilakukan. Pada tahun 1990, Liuet al. (1990) melakukan penelitian tentang eksponen dari graf primitif. Liu et al. (1990) memperkenalkan batas atas eksponen dari graf primitif sederhana.
Fuyi et al. (1999) meneliti tentang graf primitif ganjil. Setiap graf primitif ganjil harus memiliki dua titik yangdisjointdengan cycleganjil. Fuyiet al. (1999) juga menggolongkan family dari graf primitif ganjil yang eksponennya mencapai batas atas.
Kim et al. (2007) menemukan nilai minimum sisi, h(n, k), dari graf primitif Gpadan titik dengan eksponenk dan menggolongkan graf primitif yang memiliki sisi,h(n, k), dengan k berjumlah tiga atau genap.
Akelbek dan Kirkland (2009a) memperkenalkan gagasan Scrambling index
dari graf primitif G, dinotasikan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan v diG terdapat titikw sedemikian sehingga terdapat jalan u←→k w dan v ←→k w. Untuk pasangan titik berbedaudanv diG,scrambling index lokaludanv adalahku,v(G) = minw∈V{k : u←→k w, v←→k w}.
Karenascrambling index lokalu, v dari graf primitifGadalah ku,v(G), maka untuk bilangan bulat positif ℓ ≥ku,v(G) terdapat w′
sedemikian hingga ada jalan u←→ℓ w′
danv ←→ℓ w′
, yang dapat dinyatakan dengank(G) = maxu,v∈G{ku,v(G)}.
5
Pada tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (2009b) menemukan batas atas untukScrambling index dari graf primitif yaitu:
1. Andaikan G adalah graf primitif, dan misalkan s1, s2 adalah cycle dengan
panjang berbeda di G. Andaikan gcd(s1, s2) = 1, dengan s1 dan s2 adalah adalah panjang jalan berarah dariu kew dan v ke w yang bertemu dengan cyclesepanjang s1 dan s2.
2. Misalkan G adalah graf primitif dengan n titik dan cycle Hamilton, dan misalkan lilitan (girth) dari G adalah s, dengan s adalah bilangan bulat 1≤s≤n−1. Jikagcd(n, s) = 1, maka
2 )n, dengan s ganjil,
(n−l
2 )s, dengan s genap
3. AndaikanG adalah graf primitif dengan n titik maka
k(G)≤ ⌈(n−1)
2+ 1
2 ⌉
Persamaan terpenuhi jika dan hanya jika G=Gn−1,n.
Pada tahun berikutnya, Chen dan Liu (2010) melakukan penelitian mengenai
scrambling index. Chen dan Liu (2010) menuliskan hubungan antara Scrambling index dan eksponen pada graf primitif yaitu:
ku,v(G)≤
Chen dan Liu (2010) juga menjelaskan himpunanscrambling indexpada graf primitif yaitu himpunan Sn(s) dan Hn(l), serta menuliskan batas atas scrambling index dari graf primitif untuk masing-masing himpunan.
6
Sn(s) adalah himpunan semua n titik dari graf primitif yang mempunyai
cycle sepanjang s tetapi bukan cycle ganjil yang lebih kecil dari s. Sedangkan Hn(l) adalah himpunan semua n titik dari graf primitif yang mempunyai l loop
dengan loopmerupakan suatu sisi yang menghubungkan titik yang sama, dann, l, s adalah bilangan bulat dengan n≥2,0≤ l≤n,1≤s ≤n dan s≡1 (mod 2).
Batas atas scrambling index dari graf primitif di Hn(l), yaitu:
k(G)≤
⌈n−1
2 ⌉, jikan− ⌈
n−1
2 ⌉ ≤l ≤n,
n−l jika 2≤ l≤n− ⌈n−1 2 ⌉
Sedangkan batas atas scrambling index dari graf primitif di Sn(s) dengan n ≤ 2, 1≤s≤n, yaitu k(G)≤n−(s+ 1)/2. Persamaan terpenuhi jika dan hanya jika
(i) n≤3 dan G isomorfik dengan Gn−s n,s , atau
(ii) n= 2 (dan sehinggas= 1) danGjuga isomorfik denganG1
2,1 atauGisomorfik
dengan grafG′
2,1 yang diperoleh dariG12,1 dengan menjumlahkanloopke titik
lainnya.
Dua graf G1 = (V1, E1) dan G2 = (V2, E2) dengan V adalah himpunan titik
V = V(G) dan E himpunan sisi E = E(G), dikatakan isomorfik, dituliskan G1 ≃ G2, jika terdapat suatu fungsi bijektif (1-1 dan pada) α :V1 →V2
se-demikian sehingga untuk setiapu, v ∈V1 berlaku{u, v} ∈E1 jika dan hanya
jika{α(u), α(v)} ∈E2. Suatu fungsi yang demikian dinamakan isomorfisma
(isomorphism).
