Bunga pertumbuhan matematika (1

(1)

NAMA ANGGOTA

1. M yusuf h (21) 2. M sodikul a (22) 3. Nur sholeh (23) 4. Rendra a r (24) Kelas : XII TSM 1



Bunga pertumbuhan

matematika]

Contoh soal pertumbuhan dalam matematika :

1). Sebuah penitipan kucing peliharaan mengalami peningkatan penitipan ketika mendekati hari raya besar yang terjadi biasanya 10 hari sebelum hari H. Jika peningkatan setiap harinya selalu tetap, diketahui pada hari kedua ada 4 kucing yang dititipkan oleh pelanggan dan pada hari keenam ada 16 kucing yang dititipkan, maka tentukan :

a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh. b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya. c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari.

Penyelesaian :

*). Karena peningkatan selalu tetap, maka pertumbuhan pada kasus ini mengikuti aturan barisan dan deret aritmatika.

*). Diketahui : u2

=4u2=4 dan u

6

=16u6=16.

*). Menentukan nilai aa dan bb

u

2

=4→a+b=4u2=4→a+b=4 ....pers(i)

u

6

=16→a+5b=16u6=16→a+5b=16 ....pers(ii)

Eleiminasi pers(i) dan pers(ii) :

a+5b=16a+b=44b=12b=3−a+5b=16a+b=4−4b=12b=3

pers(i) : a+b=4→a+3=4→a=1a+b=4→a+3=4→a=1.

*). Menyelesaikan soal :

a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh (u10u10).

u

10

=a+9b=1+9×3=1+27=28u10=a+9b=1+9×3=1+27=28 ekor kucing.

b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya. hari pertama = 1 ,

(2)

hari ke-7 = 16 + 3 = 19 ekor kucing, hari ke-8 = 19 + 3 = 22 ekor kucing, hari ke-9 = 22 + 3 = 25 ekor kucing, hari ke-10 = 25 + 3 = 28 ekor kucing.

c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari (s10s10).

s

n

s

10

=n2(2a+

(n−1)b)=102(2a+(10−1)b)=5(2a+(9)b)=5(2×1+9×3)=5(2+27)=5×

(29)=145sn=n2(2a+

(n−1)b)s10=102(2a+(10−1)b)=5(2a+(9)b)=5(2×1+9×3)=5(2+27)=5×(29)=145

Artinya selama 10 hari pertama ada 145 ekor kucing yang dititipkan pelanggan ke penitipan kucing tersebut.

Bagaimana dengan pertumbuhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk pertumbuhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan pertumbuhan penduduk suatu tempat setiap tahunnya meningkat sebesar

i

i (dimana

i

i dalam %), dan banyak penduduk di awal sebanyak

A0

A0 serta banyak penduduk setelah

n

n tahun kita misalkan

An

An , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:

setelah tahun pertama (

A1

A1):

A1=A0+i×A0=A0(1+i)

A1=A0+i×A0=A0(1+i) setelah tahun kedua (

A2

A2):

A2=A1+i×A1=A1(1+i)=A0(1+i)(1+i)=A0(1+i)2

A2=A1+i×A1=A1(1+i)=A0(1+i)

Dari bentuk

An=A0(1+i)n

An=A0(1+i)n sebenarnya mirip dengan barisan geometri

yaitu

un=arn−1

un=arn−1 dengan

r=1+i

r=1+i. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus pertumbuhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :

suku kedua pada barisan geometri =

ar2−1=ar1=ar

ar2−1=ar1=ar dan pertumbuhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua)

=

A0(1+i)1=A0(1+i)

A0(1+i)1=A0(1+i).

Rumus Pertumbuhan dalam Matematika

Adapaun rumus pertumbuhan setelah tahun ke-

n

n yaitu :

*). Jika diketahui persentase (

i

i) :

A

n

=A

0

(1+i)

nAn=A0(1+i)n

*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :

(3)

Keterangan :

A

0

=

A0= jumlah penduduk/objek lainnya diawal

A

n

=

An= jumlah penduduk/objek lainnya setelah tahun ke-

n

n atau periode ke-

n

i=

i= persentase kenaikannya/pertumbuhannya

r=

r= kelipatan kenaikannya/pertumbuhannya (rasio)

Contoh soal pertumbuhan :

2). Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berbanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2010 dan tahun 2020?

Penyelesaian :

*). Diketahui :

A0=100.000

A0=100.000 dan

i=1%=0,01

i=1%=0,01 *). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2010 :

Tahun 2010 artinya satu tahun setelah tahun 2009, sehingga

n=1

n=1 atau

n=2010−2009=1

n=2010−2009=1

banyak penduduk tahun 2010 =

A

1A1

AnA1=A0(1+i)n=100.000×(1+0,01)1=100.000×(1,01)=101.000

An=A0( 1+i)nA1=100.000×(1+0,01)1=100.000×(1,01)=101.000

Jadi, jumlah penduduk tahun 2010 adalah 101.000 jiwa. *). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2020 :

Tahun 2020 artinya 11 tahun setelah tahun 2009, sehingga

n=11

n=11 atau

n=2020−2009=11

n=2020−2009=11

banyak penduduk tahun 2020 =

A

11A11

AnA11=A0(1+i)n=100.000×(1+0,01)11=100.000×(1,01)11=100.000×

1,115668347=111.566,8347=111.567(pembulatan ke

atas)

An=A0(1+i)nA11=100.000×(1+0,01)11=100.000×(1,01)11=100.000×1,115668347=111.566,8 347=111.567(pembulatan ke atas)

Jadi, jumlah penduduk tahun 2020 adalah 111.567 jiwa.

3). Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menujukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri menjadi 2 dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam!

Penyelesaian :

*). Diketahui :

A

0

=1.000

A0=1.000 dan

r=2

r=2

Pembelahan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 20 jam terjadi 10 kali pembelahan. atau

n=

202

=10

n=202=10.

*). Menentukan banyak bakteri setelah 20 jam (

A10

A10) :

AnA10=A0(r)n=1.000×(2)10=1.000×1.024=1.024.000

An=A0(r)nA10=1.000× (2)10=1.000×1.024=1.024.000

(4)



Bunga Peluruhan matematika

Apa sih yang dimaksud denganpeluruhan khususnya dalam matematika? Sebenarnya peluruhan dalam matematika konsepnya mirip dengan "pertumbuhan dalam matematika" yang telah kita bahas sebelumnya, bedanya adalah untuk pertumbuhan semakin meningkat setipa periode berikutnya, sedangkan peluruhan akan selalu menurun setiap periode berikutnya. Dapat kita

simpulkan, Peluruhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin menurun jumlahnya (semakin sedikit) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Penurunan padapeluruhan dalam matematika biasanya mengikuti pola tertentu yaitu "barisan dan deret aritmatika" atau "barisan dan deret geometri".

Bagaimana dengan peluruhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk peluruhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan peluruhan suatu objek suatu tempat setiap tahunnya menurun sebesar

i

i (dimana

i

i dalam %) dari periode sebelumnya, dan banyak objek di awal sebanyak

A0

A0 serta banyak objek setelah

n

n tahun kita misalkan

An

An , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini: setelah tahun pertama (

A1

A1):

A1=A0−i×A0=A0(1−i)

A1=A0−i×A0=A0(1−i) setelah tahun kedua (

A2

A2):

A2=A1−i×A1=A1(1−i)=A0(1−i)(1−i)=A0(1−i)2

A2=A1−i×A1=A1(1−i)=A0(1−i) (1−i)=A0(1−i)2

setelah tahun ke-3 (

A3

A3):

A3=A2−i×A2=A2(1−i)=A0(1−i)2(1−i)=A0(1−i)3

A3=A2−i×A2=A2(1−i)=A0(1−i)2(1−i)=A 0(1−i)3

dan seterusnya sampai setelah tahun ke-

n

n (

An

An):

An=An−1−i×An−1=An−1(1−i)=A0(1−i)n−1(1−i)=A0(1−i)n

An=An−1−i×An−1=An−1(1 −i)=A0(1−i)n−1(1−i)=A0(1−i)n

Dari bentuk

An=A0(1−i)n

An=A0(1−i)n sebenarnya mirip dengan barisan geometri

yaitu

un=arn−1

un=arn−1 dengan

r=1−i

r=1−i. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus peluruhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :

suku kedua pada barisan geometri =

ar2−1=ar1=ar

ar2−1=ar1=ar dan peluruhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) =

A0(1−i)1=A0(1−i)

A0(1−i)1=A0(1−i).

Rumus Peluruhan dalam Matematika

Adapaun rumus peluruhan setelah tahun ke-

n

n yaitu :

(5)

A

n

=A

0

(1−i)

nAn=A0(1−i)n

*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :

A

n

=A

0

(r)

nAn=A0(r)n. dengan

0<r<1

Keterangan :

A

0

=

A0= jumlah objek diawal

A

n

=

An= jumlah objek setelah tahun ke-

n

n atau periode ke-

n

i=

i= persentase penurunan/peluruhan

r=

r= kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)

Contoh soal pertumbuhan :

1). Sebuah industri rumah tangga yang baru beroperasi tahun 2012 membeli mesin produksi seharga Rp100.000.000. Dengan berjalannya proses produksi, maka harga mesin menurun 1% setiap tahun. Tentukan

a. Harga mesin pada tahun ke-2014. b. Harga mesin pada tahun ke-2020.

Penyelesaian :

*). Diketahui : A0

=100.000.000A0=100.000.000 dan i=1%=0,01i=1%=0,01

a). Menentukan harga mesin pada tahun 2014 :

Tahun 2014 artinya dua tahun setelah tahun 2012, sehingga n=2n=2 atau n=2014−2012=2n=2014−2012=2

harga mesin tahun 2014 = A2A2

A

n

A

2

=A

0

(1−i)

n

=100.000.000×(1−0,01)

2

=100.000.000×(0,99)

2

=100.000.

000×(0,9801)=98.010.000An=A0(1−i)nA2=100.000.000×(1−0,01)2=100.000.000×(0,99)2=

100.000.000×(0,9801)=98.010.000

Jadi, harga mesin tahun 2014 adalah Rp98.010.000,00. b). Menentukan harga mesin pada tahun 2020 :

Tahun 2020 artinya 8 tahun setelah tahun 2012, sehingga n=8n=8 atau n=2020−2012=8n=2020−2012=8

harga mesin tahun 2020 = A8A8

A

n

A

8

=A

0

(1−i)

n

=100.000.000×(1−0,01)

8

=100.000.000×(0,99)

8

=100.000.

000×(0,922744694)=92.274.469,40An=A0(1−i)nA8=100.000.000×(1−0,01)8=100.000.0

00×(0,99)8=100.000.000×(0,922744694)=92.274.469,40

Jadi, harga mesin tahun 2020 adalah Rp92.274.469,40.

2). Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Selanjutnya pemberian penisilin yang diresepkan dokter dapat membunuh 5% bakteri setiap 4 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 12 jam!

Penyelesaian :

*). Diketahui : A0

=1.000.000A0=1.000.000 dan i=5%=0,05i=5%=0,05

peluruhan terjadi setiap 4 jam, sehingga selama 12 jam terjadi 3 kali peluruhan. atau n=124

=3n=124=3.

(6)

A

n

A

3

=A

0

(1−i)

n

=1.000.000×(1−0,05)

3

=1.000.000×(0,95)

3

=1.000.000×(0,

857375)=857.375An=A0(1−i)nA3=1.000.000×(1−0,05)3=1.000.000×(0,95)3=1.000.000×(0,857

375)=857.375

Jadi, banyak bakteri setelah 12 jam adalah 857.375 bakteri.

3). Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami rekasi kimia sehingga ukurannya menyusut 10% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari?

Penyelesaian :

*). Diketahui : A0

=100A0=100 dan i=10%=0,1i=10%=0,1

peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehingga selama 2 hari = 48 jam terjadi 4 kali peluruhan. atau n=4812

=4n=4812=4.

*). Menentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari (A4A4) :

A

n

A

4

=A

0

(1−i)

n

=100×(1−0,1)

4

=100×(0,9)

4

=100×(0,6561)=65,61An=A0(1−i)

nA4=100×(1−0,1)4=100×(0,9)4=100×(0,6561)=65,61

Jadi, ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari adalah 65,61 gram.

4). Seekor sapi terinveksi suatu virus yang mematikan. Setelah dilakukan pemeriksaan oleh dokter hewan, ternyata terdapat 1000 virus didalam tubuh sapi tersebut. Agar bisa menyelamatkan sapi tersebut, dokter menyuntikkan obat yang mampu membunuh sepertiga dari virus yang ada setiap 2 jam. Tentukan sisa virus setelah 8 jam?

Penyelesaian :

*). Diketahui : A0

=1000A0=1000 dan r=

13r=13

peluruhan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 8 jam terjadi 4 kali peluruhan. atau n=82

=4n=82=4.

*). Menentukan sisa virus setelah 8 jam (A4A4) :

A

n

A

4

=A

0

(r)

n

=1000×(13)

4