sejarah singkat nabi tokoh aljabar

ALJABAR A. SEJARAH SINGKAT TOKOH-TOKOH

1. Aljabar Mesir

Aljabar mesir telah ada sejak 2000 SM. Aljabar digunakan untuk mengekprsikan hitungan menggunakan huruf. Orang Mesir (Egyptians) menggunakan istilah aha (dalam bahasa artinya”heap”) untuk sesuatu yang tidak diketahui. Sebagian besar pegetahuan tentang ahli matematika di Mesir berasal dari 2 papirus yang cukup besar, yaitu Rhind Papyrus and Moscow Papyrus (dulu disebut Golenischev) diletakkan di museum Inggris. Rhind Papyrus ini ditulis dalam aksara tangan bersambung (bentuk kursif dari hieroglif yang lebih baik disesuaikan dengan penggunaan pena dan tinta) oleh seorang juru tulis bernama Ahmes diperkirakan tahun 1650 SM - 1700 SM , dalam Papyrus ini dituliskan bagaimana menyelesaikan persamaan linier dengan satu variable yang tidak diketahui. Contohnya Untuk membagi 91 dengan 7, misalnya, sejumlah x dicari sehingga 7 x = 91.

Contoh dalam sebuah papyrus:

Jika tulisannya mengatakan “ 10 has become 2 3+

1

10of what ? Solusinya adalah13 1

23

Dalam notasi kita sekarang masalah ini menjadi: Gambar 1.1 Rhinhd Papyrus (1650 SM)

Sumber:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus#/ media/File:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg

Gambar 1.2 Rhinhd Papyrus(1700 SM.

2 3 x+

1

10x=10 x

(

2

3+ 1 10

)

=10

x=10÷

(

2 3+

1 10

)

x=¿ 13 ₂₃1

2. Aljabar Babilonia (Babylonian Algebra)

Walaupun temuan bangsa Babilonia lebih dari mesir besar, namun Mesir tetap dikatakan sebagai bangsa dengan pencapain terbesar sampai saat ini. Penyebabnya karena dokumen-dokumen pada bangsa mesir ditulis berbentuk Papyrus, sedangkan pada bangsa babilonia dokumen ditulis dengan menggunakan tanah liat. Sehingga dokumen pada masa Babilonia cepat rusak dan pudar, dengan begitu tidak ada bukti yang ditemukan untuk dibandingkan dengan Rhind Papyrus Mesir. Pada masa Babilonia menyelesaikan masalah persamaan kuadrat sudah bisa dilakukan. Buktinya Ada tablet tanah liat yang mengindikasikan bahwa bangsa Babilonia pada 2000 SM telah familiar dengan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Ini diilustrasikan oleh teks orang Babilonia kuno yang berisi permasalahan:

Aku menambahkan luas dan 2/3 dari sisi persegi dan menghasilkan 0,35, berapakah sisi dari persegiku?

Jika dinotasikan dengan simbol sekarang seperti: x2+2

3x=0,35

Dalam hal ini, x merupakan sisi dari persegi tersebut.

Contoh permasalahan lain dalam aljabar babilonia sekitar 2000 SM yakni: Gambar 1.3 Tablet Babilinia

“ 1/4 panjang dan lebar adalah 7 jengkal tangan. Panjang dan lebar adalah 10 jengkal tangan”

Untuk menyelesaikan persolalan ini, dalam teksnya ditunjukkan dengan:  7×4=28

 28−10=18  18×1

3=6  10−6=4

Pada notasi kita saat ini, persoalan diatas bisa di hubungkan dengan dua persamaan berikut:

i. y 4+x=7 ii. x+y=10

Tahapan untuk menyelesaikannya yaitu

 Mengalikan persamaan (i) dengan 4, sehingga y+4x=28 … (ia)

 Persamaan (ia) dikurangi oleh persamaan (ii). Kemudian mengeliminasi y (y+4x)−x+y=18

 Didapatkan 3x=18, maka x=18×1

3=6 , maka x=6  Y dihitung dari persamaan (ii):

( x+y¿−x=10−6 y=4

Meskipun tidak ditemukan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan linier sebelum masa matemtika Yunani (pre-greek mathematic), tetapi setidaknya kita telah melihat pada masa Babilonia ada metode dasar untuk memanipulasi persamaan linier. Pada suatu loh terdapat daftar pangkat dua dan pangkat tiga dari bilangan 1 sampai 30, kemudian disusun daftar dari n3_+n2 _{. Pada loh tersebut terdapat soal x}3

+x2 =b Penyelesaian soal itu menggunakan tabel n3+n2 . Pada suatu loh Yale yang berasal dari tahun 1600 BC terdapat soal persamaan simultan yang menuju persamaan derajat empat tetapi belum terselesaikan.

xy=a ,b x 1900 SM dengan 1600 SM. Bentuk loh loh tersebut Nampak seperti gambar:

Sumber: The History Of Mathematics

3. Aljabar Yunani (Greek Algebra) a. Pythagoras (ca 500 BCE),

Penelitian tentang bilangan yang abstak dimulai di Yunani pada tahun 600 SM. Ditandai dengan adanya Pythagoras beserta teorinya. Pythagoras lahir antara tahun 580 – 569 SM di Aegean (Samos). Meninggal Sekitar 500-475 SM SM di Metapontum, Lucania, Italia. Ayahnya bernama Mnesarchus, dia adalah seorang pedagang permata. Dan ibunya bernama Pythais. Pythagoras tertarik dalam matematika, filsafat, astronomi dan musik, dan sangat dipengaruhi oleh Pherekydes (dalam bidanga filsafat),

Thales (bidang matematika dan astronomi) dan Anaximander (filsafat, geometri).

Pythagoras meninggalkan Samos dan pergi Mesir sekitar 535 SM. Disana dia belajar pada imam di kuil-kuil. Sepuluh tahun kemudian, ketika Persia menginvasi Mesir, Pythagoras ditangkap dan dikirim ke Babel (Irak). Dan disana ia bertemu dengan Magoi, imam yang mengajarinya ritus suci. Pada 520 SM Pythagoras bebas kemudian meninggalkan Babel dan kembali ke Samos. Adanya intervensi dari pemerintah yang memintanya terlibat politik membuat Pythagoras meninggalkan samos lagi. Kemudian Pythagoras menetap di Crotona, sebuah koloni Yunani di Italia selatan sekitar 518 SM. Disana dia mendirikan sekolah filsafat dan agama. banyak pengikutnya tinggal dan bekerja bersamanya. Mereka semua bekerja secara besama dalam hal penemuan dan teori-teori. Pada penemuannya Pythagoras percaya:

 Matematika adalah dasar untuk semua hal, dan geometri adalah bentuk tertinggi dari studi matematika, Dunia fisik dapat dipahami melalui matematika.

 Bilangan memiliki kepribadian, karakteristik, kekuatan dan kelemahan.  Simbol-simbol tertentu memiliki makna mistis.

Gambar 1.3 Euclid

Sumber: https://www.google.com/search?q =euclid&ie=utf-8&oe=utf-8

 Jumlah Sudut Segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.

 Teorema Pythagoras mengatakan” untuk segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah dari kuadrat panjang dua sisi lainnya”. Dalam hal ini

Orang Babel (Babilonia) memahami hal ini 1000 tahun sebelumnya, namun Pythagoras membuktikannya.

 Membangun angka dari daerah tertentu dan aljabar geometri. Misalnya mereka memecahkan berbagai persamaan dengan cara geometris.

 Pythagoras mengajarkan bahwa bumi adalah sebuah bola di tengah Kosmos (Universe). Bintang, Planet, dan alam semesta berbentuk bulat seperti bola yang kokoh dan solid. Dia juga mengajarkan bahwa lintasan dari planet-planet melingkar.

Teorema Pythagoras merupakan landasan matematika, dan terus menjadi sangat menarik untuk matematika bahwa ada lebih dari 400 bukti yang berbeda dari teorema, termasuk bukti asli oleh Presiden Garfield (20th _{President of the United States (1881)).}

Pembuktia ini dilakukan 5 tahun sebelum terpilih menjadi presiden. Pencapaian Pythagoras dalam aritmatika dan ilmu-ilmu matematika lainnya yang diajarkan, ditulis oleh seorang filsuf suriah bernama Iamblichus (250-330 M).

b. Euclid (ca 300 BCE) and

Kematian Alexander Agung telah menyebabkan konflik antara para jenderal di tentara Yunani. setelah 300 SM kontrol lebih kuat dibawah Ptolemic, penguasa Macedonia Mesir. Ptolemy membangun dua lembaga di Alexandria sebagai pusat belajar terkemuka bagi generasi yaitu Museum dan Perpustakaan. Berkat Ptolemy dan putranya Ptolemy II, pusat belajar menjadi lebih meningkat. Misalnya membangun universitas dan memangil sarjana terkemuka untuk menjadi

diragukan, namun sangat sedikit yang diketahui tentang kehidupan Euclid. Tidak ada catatan yang jelas mengenai kelahirannya. Meskipun dalam beberapa edisi bukunya “The Elemen” mengandung identitas penulis yakni Euclid dari Megara dan potret Euclid dari Megara muncul dalam sejarah matematika, namun dikatakan bahwa ini hal masih diragukan. Seorang filsuf Yunani bernama Proclus (410–485 ce) bercerita tentang matematikawan yunani ini. Dalam ringkasannya dia mengatakan euclid diperkirakan dari alaxandaria pada masa Ptolemi I (323 to 285 bce). Dari sifat karyanya, dianggap bahwa Euclid dari Alexandria, yang pernah belajar dari siswa Plato, atau dari Akademi Plato itu sendiri.

Berbicara karya, lebih dari setengah karyanya hilang. Termasuk komposisi penting seperti risalah pada conics ( bentuk krucut) yang termuat dalam empat buku. Karya lainnya yang hilang yaitu Solid Loci (nama Yunani untuk bagian berbentuk kerucut) dengan ilmu ukur agak tua. Sealin itu Euclid juga kehilangan surface Loci, dan tiga buku tentang Porisms. Pappus, seorang matematikawan Yunani (290 – 350 masehi) melaporkan bahwa porism adalah perantara antara teorema, ada juga yang menjelaskan bahwa porism sebagai proposisi untuk menentukan hubungan antara jumlah diketahui dan variabel atau belum ditentukan, mungkin pendekatan yang paling dekat di zaman kuno dengan konsep fungsi.

penggunaan aljabar dalam pengukuran. Dan banyak yang mengatakan Aljabar geometri kuno bukanlah alat yang ideal, tapi sangat efektif.

Pembagian Bilangan (the devision of figures) adalah sebuah karya yang berbahasa arab. Walaupun berbahasa arab namun Pada dasarnya karya ini belum dipelajari oleh orang arab. Karena pada waktu itu yang tersisa adalah buku berbehasa arab. Kemudian karya ini diterjemahkan dalam bahasa latin dan akhirya dalam bahasa modern pada saat ini. Buku the devision of figures (Pembagian bilangan) meliputi tiga puluh enam proposisi mengenai pembagian.

Pembagian bilangan yang terkenal saat ini yaitu algoritme Euclid tentang pembagian. Salah satu definisi dari pembagian Euclid:

Bilangan bulat b dikatakan divisible (dapat dibagi) oleh suatu bilangan bulat a ≠ 0, disimbolkan a∨b , jika ada suatu bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac. Notasi a ∤ b menunjukkan bahwa b tidak habis dibagi oleh a.

Sehingga dapat dikatakan 63 habis dibagi 9 karena 63=9∙7 . Tetapi 8 tidak habis dibagi 3. Karena tidak ada perkalian c yang menyebabkan 8=3c .

Algoritme Euclid yang terkenal sampai saat ini yaitu penggunaanya dalam menentukan Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan a dan b .

Langkah pertama menerapkan algoritma pembagian terhadap a dan b diperoleh a=q₁b+r₁,0≤r₁<b

Jika r₁=0 , maka b∨a ; dan karena b∨b juga, maka FPB(a , b)=b . Jika

r1≠0 , dilanjutkan dengan membagi b dengan r1 untuk menghasilkan bilangan bulat

q₂ dan r₂ , sehingga didapatkan:

b=q₂r₁+r₂,0≤ r₂<r₁

Jika r₂=_{0 , maka kita berhenti, jika tidak, dilanjutkan seperti langkah sebelumnya,} yaitu membagi r₁ dengan r₂ , dan diperoleh:

r₁=q₃r₂+r₃,0≤ r₃<r₂

a=q₁b+r₁,0<r₁<b b=q₂r₁+r₂,0<r₂<r₁ r₁=q₃r₂+r₃,0<r₃<r₂

⋮

r_n−3=q_n−1r_n−2+r_n−1,0<r_n−1<r_n−2 r_n−2=q_nr_n−1+r_n,0<r_n<r_n−1 r_n−1=q_n+1r_n+0

r_n adalah Sisa pembagian yang terakhir yang bukan nol. Maka r_n adalah FPB (a , b)

Lemma:

Jika a=qb+r , maka FPB (a , b) = FPB (b , r) Bukti:

Jika d=FPB(a , b) maka d∨a dan b∨b mengakibatkan d∨(a−qb) atau d∨r . Jadi d pembegi persekutuan dari b dan r. Di lain pihak jika c sebarang pembagi persekutuan dari b dan r, maka c∨(qb+r) atau c∨a . Ini mengakibatkan c merupakan pembagi persekutuan dari a dan b dengan c∨d .

Berdasarkan definisi pembagi persekutuan terbesar d=FPB(a , b)=FPB(b , r). Berdasarkan lemma ini, dari sistem persamaan di atas diperoleh

FPB(a , b) = FPB(b , r1) = FPB(r1, r2) = … = FPB(rn−1, rn) =

FPB(rn,0)=rn

FPB (a , b) juga dapat dinyatakan sebagai ax + by.

Untuk menentukan x dan y yang memenuhi FPB (a , b) = ax + by adalah dengan subsitusi balik algoritma Euclid ini.

r_n=r_n−2– q_nr_n−1

r

(¿¿n−3−qn−1rn−2) rn=rn−2– qn¿

r_n=

₍

1+q_nq_n−1

)

r_n−2+(−q_n)r_n−3

Representasi rn sebagai kombinasi linear dari rn−2 dan rn−3 . Dengan meneruskan

Gambar 1.3 Diopantus

r_n−1,r_n−2, … , r₂,r₁ sehingga rn=FPB(a , b) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari a

dan b.

Karya selanjutnya adalah Data Euclid. Karya ini memiliki kemiripan dengan The Devision of Figures (pembagian bilangan). karya ini sampai kepada kita melalui Yunani dan Arab. Karya ini ditempatkan di Museum Alexandria, sebagai volume pendamping enam buku pertama dari “The Elemen”. Buku teks Ini dibuka dengan lima belas definisi yang menyangkut besaran dan lokus. isi teks terdiri sembilan puluh lima pernyataan mengenai implikasi dari kondisi dan besaran yang dapat diberikan dalam berbagai masalah. Sekitar dua lusin pernyataan yang serupa terkait dengan aturan aljabar. Karya ini juga menjabarkan aturan geometris sederhana mengenai garis sejajar dan besaran proporsional.

Yang terakhir dan menarik untuk disebutkan adalah geometri penglihatan langsung ( Geometry direct vision) bagian dari karya Euclid the Phenomena And The Optics. Orang terdahulu membagi ilmu yang mempelajari fenomena optik menjadi tiga bagian: (1) optic (geometri penglihatan langsung), (2) catoptrics (geometri kembali sinar dipantulkan), dan (3) dioptrics (Geometri Sinar Dibiaskan).

c. Diopantus (Abad ke 3 Masehi).

Diophantus merupakan matematikawan Yunani dari Alexandria. Diophantus diperkirakan hidup sekitar abad ke-3 dari tahun 150 dan 350 masehi, karena ia menyebut Hypsicles (dikenal pada sekitar tahun150) dan disebutkan oleh Theon dari Alexandria (sekitar 350). Selain itu, secarik bukti surat Michael Psellus (abad ke-11), menunjukkan 250 masehi adalah waktu paling mungkin Diophantus hidup. Selain itu menurut Cohen dan Drabkin (dalam Stillwell, 2010:50),

kumpulan 189 macam masalah individu, lengkap dengan solusinya. Objek yang tampak adalah metode dari solusi masalah tersebut mewajibkan untuk menemukan bilangan rasional sebagai kondiri prasyaratnya. Arithmetica membahas tentang analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai Diophantine Equation (Persamaan Diophantine).

Persamaan Diophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat. Diophantus mendatangkan aljabar di saat matematika Yunani berusaha menemukan bilangan irrasional. Berkat penemuannya, ia dijuluki sebagai “Bapak Aljabar”. Dari beberapa buku karya Diophantine hanya 8 buku yang masih tersisa. Diperkirakan buku yang tidak terselamatkan hilang pada sebelum abad ke-10.

Gambar 1.2 Buku karangan Diophantine

dengan lambing Kγ _{dengan pengertian bahwa lambang} K

¿ ) “kappa” adalah singkatan

dari kata kubos yang berarti kubik. Untuk pangkat yang lebih tinggi, dia menggunakan symbol berikut:

∆ (untuk kuadrat-kuadrat) mengindikasikan x4 ΔKγ (untuk kuadrat-kubik) mengindikasikan x5

KKγ _{(untuk kubik-kubik) mengindikasikan x}6

Diophantus tidak menggunakan pangkat di atas enam, karena dia tidak memiliki kesempatan untuk menggunakan pangkat yang lebih tinggi dalam menyelesaikan masalahnya. Simbol untuk pengurangan adalah seperti kebalikan dari �; dan bertindak sebagai symbol sama dengan, menghubungkan dua ruas pada persamaan.

Dia tidak memiliki symbol untuk penjumlahan tetapi diletakkan secara juktaposisi, yaitu meletakkan suku satu di sebelah suku lainnya. Ketika ada suku-suku yang dijumlahkan, mereka ditandai dengan M—singkatan untuk kata Yunan monade, yang berarti “units”

Misalnya:

Kγ 35 berarti 35x3

Kγ 35M12 berarti 35x3+12

Karena Diophantus tidak memiliki simbol penjumlahan, dalam menuliskan suku-suku dengan tanda yang berbeda, dia meletakkan semua suku-suku negatif setelah tanda pengurangan.

Kγ _{1�8 ∆^Υ 5M2 berarti x}3_−5x2_+8x−2

Diophantus tidak memiliki konsep tentang kuantitas negatif. Di buku V masalah 2, dia mendeskripsikan solusi dari 4x+20=4 adalah “absurd”. Buku Aritmatika 1, masalah 17: Temukan empat bilangan sehingga ketika tiga bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya adalah salah satu dari empat bilangan yang diberikan, yaitu 20, 22, 24 dan 27. Solusi:

ketika (4) ditambahkan pada kedua ruas persamaan tersebut, x=(1)+(2)+(3)+(4)=20+(4) atau (4)=x−20¿ . Sehingga diperoleh

x=(x−20)+(x−22)+(x−24)+(x−27) 3x=93

x=31

∴ Jadi, empat bilangan yang diinginkan adalah 11, 9, 7, dan 4.

Buku II, masalah 8: Bagilah bilangan kuadrat yang diberikan, yaitu 16, menjadi penjumlahan dari dua bilangan kuadrat.

Solusi:

Misal salah satu bilangan kuadrat yang diinginkan adalah x2 _{. Maka 16−x}2 haruslah menjadi bilangan kuadrat. Disini Diophantus memiliki contoh khusus dari kuadrat sempurna, pada kasus ini adalah bilangan (2x−4)2 , sehingga

16−x2=(2x−4)2

Pilihan Diophantus ini dirancang untuk mengeliminasi suku konstan pada persamaan sebelumnya; yaitu sebelumnya di memilih (3x−4)2 . Hasilnya adalah

persamaan 5x2=16x dengan solusi positifnya adalah x=16

5 . Dengan demikian

bilangan kuadrat pertama adalah 256₂₅ , dan lainnya 16−256 25 =

144 25 .

B. MASALAH-MASALAH TENTANG ALJABAR Persaingan Dalam Pendidikan:

Pertarungan Matematikawan Italia Di Bidang Aljabar

Solusi Pacioli dari persamaan kubik (menentukan akar dari persamaan kubik dengan menggunakan operasi dasar aritmatika)

prestasi besar Renaissance aljabar. Pada tahun 1501-1502, Pacioli mengajar pada Universitas di Bologna.

Menyelesaikan persamaan kubik x3+px=q , dimana p dan q adalah bilangan bulat positif. Permasalahannya yaitu:

x3+x=4x2+4

x x

(¿¿2+1)

x(¿¿2+1)=4¿ ¿

x=4

Tartaglia & Solusi Cardan dari persamaan kubik (menentukan akar dari persamaan kubik dengan menggunakan operasi dasar aritmatika)

Nicolo Tartaglia (tahun 1500-1557) adalah salah satu tokoh yang paling

berpengaruh dalam aljabar. Tartaglia lahir di Brescia, Italia utara. Tartaglia pernah mengajar di Verona dan Venice. Namun Tartaglia telah mengklaim penemuan orang lain sebagai miliknya. Contohnya "segitiga aritmatika" yang sering dikaitkan dengan “segitiga pascal” pada buku Tartaglia “General Trattato di Numeri et Misure” pada tahun 1556 – 1560. Pada tahun 1535, Fiore teman dekat Del Ferro menantang Tartaglia untuk kontes pemecahan masalah di publik. Ketika pertempuran matematika antara Tartaglia dan Fiore terjadi, munculah matematikawan bernama Cardan. Cardan memohon kepada Tartaglia untuk memecahkan solusi kubik. Tartaglia memberikan persamaan kubik kepada Cardan untuk memecahkan solusinya, namun dengan perjanjian dibawah nama Tartaglia yang ditulis dalam bukunya “Practica Arithmeticae”. Cardan adalah orang pertama yang memberikan perhatian pada akar-akar negatif (sekarang disebut bilangan kompleks atau imajiner). Cardan menghasilkan suatu inovasi yaitu mengubah persamaan kubik menjadi persamaan kubik yang tidak menghadirkan variabel berderajat dua. Inovasi tersebut dilakukan

Cardan mensubstitusikan persamaan x=y−a Dengan persamaan akhirnya dapat ditulis:

x3+px=q , (disebut dengna teknik reduksi)

Kemudian solusi umum yang dicapai Cardan dari reduksi kubik, yaitu:

x3+px=q , p>0,q>0 (1)

Hal ini menunjukkan bahwa x=a−b adalah solusi dari persamaan kubik (1) Kuadratkan persamaan a3

−b3

Berdasarkan uraian diatas, maka diperoleh persamaan: a3−b3=q dan a3

a3₌1

Sehingga solusi dari persamaan kubik adalah x=a−b=

√

3 q

Dan sebaliknya, solusi untuk persamaan x3

=px+q , p>0,dan q>0 adalah:

Tentukan pemecahan solusi dari persamaan x3+6x=20 ? Karena p=6,q=20 , maka p3

Cardan menemukan masalah yang tidak dapat dipecahkannya yaitu menentukan solusi dari persamaan x3=15x+4 . Cardan tidak dapat menemukan solusinya

karena

(

q

Solusi persamaan x3=15x+4 .dengan menggunakan aplikasi rumus dari cardan-tartaglia diperoleh x=

_√

32+

√

−121−

_√

32−

√

−121 . Solusi ini tidak dapat

disederhanakan lagi oleh Cardan, sehingga Cardan tidak dapat memecahkan permasalahan ini.

Solusi Bombelli dari persamaan kubik (menentukan akar dari persamaan kubik dengan menggunakan operasi dasar aritmatika)

Bombelli adalah seorang matematikawan pertama dari Bologna yang cukup berani untuk menerima keberadaan bilangan-bilangan imajiner. Bombelli menyusun konsep pertama dalam karya tulisnya pada tahun 1560, tetapi tetap dalam bentuk naskah sampai tahun 1572. Berdasarkan dari solusi permasalahan persamaan kubik yang tidak dapat dipecahkan oleh Cardan, maka Bombelli dapat memecahkan masalah tersebut.

Solusi yang tidak dapat dipecahkan cardan yaitu solusi dari persamaan x3=15x+4 . Berdasarkan penggunaan rumus dari cardan-tartaglia, maka diperoleh

x=

√

32+

√

−121+

_√

32−

√

−121 .

Bombelli memiliki ide cerdas mengenai nilai-nilai kompleks, yaitu: memisalkan 3

√

2+

√

−121=a+b

√

−1 dan

√

32−

√

−121=a−b

√

−1 dimana a>0,dan b>0 .

Sehingga 3

√

2+

√

−121=a+b

√

−1 ⟺2+

√

−121=(a+b

√

−1)3

√

−1 ¿ ¿

√

−1 ¿ ¿ ¿a3_+3a2_b

√

−1+3ab2 ¿

_{¿a(¿ ¿2−3b}2₎₊a_b(3a2

−b2)

√

−1 ¿

Karena _a(¿¿2−3a _b2₎₌₂ ¿

dan b

(

3a2−b2

)

=11 Maka diperoleh a=2 dan b=1 ,

sehingga memenuhi kondisi:

2+

√

−121=(2+

√

−1)3 dan 2−

√

−121=(2−

√

−1)3

Bombelli menyimpulkan suatu solusi untuk persamaan kubik x3_{=15x+4 adalah:}

x=

√

32+

√

−121+

_√

32−

√

−121 . ⟺x=

√

3(2+

√

−1)3+

√

3(2−

√

−1)3 ⟺x=(2+

√

−1)+(2−

√

−1)=4

Solusi Ferrari dari Persamaan Kuadratik (menentukan akar dari persamaan kuadratik dengan menggunakan operasi dasar aritmatika)

Ferrari, anak dari orang miskin, dibawa ke rumah Cardan sebagai anak hamba pada usia 14 tahun. Meskipun Ferarri belum sekolah formal, ia memiliki bakat luar biasa. Cardan mengajarinya dalam bahasa Latin, Yunani, dan matematika. Kemudian Cardan

menjadikannya sekretaris pribadinya. Ferrari menjadi guru besar matematika di Bologna pada tahun 1565 dan meninggal pada tahun yang sama, kemungkinan karena diracuni. Cardan pernah gagal dalam memecahkan persamaan dengan pangkat 4, kemudian Cardan memberikannya kepada muridnya yaitu Ludovico Ferrari (1522-1565). Ferrari,

menggunakan aturan memecahkan kubik, akhirnya berhasil.

x4+4x+8=10x2

⟺x4_−10x2_=−4x−8

⟺(x2−10)2=−10x2−4x+92

⟺

(

x2−10+z

)

2=(2z−10)x2−4x+(92−20z+z2) ditambah x

2z(¿ ¿2−10)+z2 ¿

92−20z+z 4(2z−10)(¿¿2)=16

⟺¿

⟺z3−25z2+192z=462

Misalkan z=u+25

3 , kemudian dengan menggunakan teknik reduksi, maka

menghasilkan persamaan bentuk u3=49 3 u+

524 27 Berdasarkan persamaan ini, maka diperoleh u=−4

3 dan z=7 Substitusikan z=7 ke persamaan (1), sehingga diperoleh:

(

x2−3

)

2=4x2−4x+1=(2x−1)2 , ⟺

(

x2−3

)

=(2x−1)2

⟺x2−3=±(2x−1) .

Untuk tanda positif, maka diperoleh persamaan ⟺x2−3=2x−1

⟺x2−2x−2=0

Untuk tanda positif, maka diperoleh persamaan ⟺x2−3=−2x+1

⟺x2+2x−4=0

Berdasarkan solusi dari dua persamaan tersebut, maka terdapat 4 solution dari persamaan kuadratik yaitu 1+

√

3,1+

√

3,−1+

√

5, dan−1−

√

5 .

Operasi Pada Bentuk Aljabar

Penjumlahan dan Pengurangan Suku-suku serta Bentuk-bentuk Sejenis

Pastinya kita telah mengenal bentuk-bentuk seperti 6x – 13x, dan 7y + 2 –5y –3, dan sebagainya. Sekarang akan dipelajari bagaimana cara menyederhanakannya. Menyederhanakan suatu bentuk ialah mencari bentuk lain yang sama artinya dengan bentuk semula tetapi bentuknya lebih sederhana. Untuk menyederhanakan bentuk-bentuk itu digunakan sifat-sifat seperti:

(i ) sifat komutatif penjumlahan dan perkalian a + b = b + a

ab = ba

(ii) sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian (a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a (bc)

(iii) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan ab + ac = a (b + c); a disebut faktor persekutuan.

Contoh:

Sederhanakanlah

4

x

2

+

5

x

−

x

2

+

3

x

! Penyelesaian:

4

x

2

+

5

x

−

x

2

+

3

x

¿

4

x

2

−

x

2

+

5

x

+

3

x

...

(

hukum komutatif penjumlahan

)

¿

(

4

−

1

)

x

2

+ (

5

+

3

)

x

...

(

hukum distributif perkalian terhadap

penjumlahan dan pengurangan

)

¿

3

x

2

+

8

x

Contoh

(

2

a

+

10

b

) −(

3

a

−

8

b

)

=

2

a

+

10

b

−

3

a

+

8

b

=

2

a

−

3

a

+

10

b

+

8

b

= −

a

+

1 8

b

Catatan

Bentuk seperti

k

3

−

2

k

2

+

3

k

−

2

dinamakan suku banyak atau polinom dengan satu peubah.

Bentuk

3

a

2

b

−

2

ab

2

+

5

b

−

2

disebut suku banyak atau polinom dengan dua peubah.

Suku banyak dengan tiga suku disebut suku tiga atau trinom misalnya

Menyatakan Perkalian Faktor-faktor sebagai Penjumlahan Suku-suku Seperti telah dipelajari bentuk yang mempunyai dua suku seperti

x

+

1

atau

x

+

3

_{disebut suku dua atau binom. Kita dapat menghitung hasil perkalian suku dua} dengan memakai hukum distributif sebagai berikut:

(

x

+

1

) (

x

+

3

) =

x

(

x

+

3

) +

1

(

x

+

3

)

=

x

2

+

3

x

+

x

+

3

=

x

2

+

4

x

+

3

Hasil itu dapat juga diperoleh dengan menggambar persegipanjang yang lebarnya

x

+

1

satuan dan panjangnya

x

+

3

satuan. Kemudian persegipanjang itu dibagi

seperti tampak pada Gambar. 1.

Gambar 1 Contoh 8

(

3

x

−

2

) (

2

x

−

4

) =

3

x

(

2

x

−

4

) −

2

(

2

x

−

4

)

=

6

x

2

−

12

x

−

4

x

+

8

=

6

x

2

−

16

x

+

8

Dua Pengkuadratan yang Penting

Perkalian dua buah bentuk pengkuadratan berikut:

(

x

+

y

)

2

= (

x

+

y

) (

x

+

y

)

=

x

(

x

+

y

) +

y

(

x

+

y

)

=

x

2

+

xy

+

xy

+

y

2

=

x

2

+

2

xy

+

y

2

(

x

−

y

)

2

= (

x

−

y

) (

x

−

y

)

=

x

(

x

−

y

) −

y

(

x

−

y

)

=

x

2

−

xy

−

xy

+

y

2

=

x

2

−

2

xy

+

y

2 Perhatikanlah benar-benar

Contoh

(

x

+

2

y

)

2

= (

x

+

2

y

) (

x

+

2

y

)

=

x

(

x

+

2

y

) +

2

y

(

x

+

2

y

)

=

x

2

+

2

xy

+

2

xy

+

4

y

2

=

x

2

+

4

xy

+

4

y

2 Contoh:

(

3

x

−

2

y

)

2

= (

3

x

−

2

y

) (

3

x

−

2

y

)

=

3

x

(

x

−

2

y

) −

2

y

(

3

x

−

2

y

)

=

3

x

2

−

6

xy

−

6

xy

+

4

y

2

=

x

2

+

4

xy

+

4

y

2

Masih terkait dengan operasi-operasi pada bentuk-bentuk aljabar, maka bahasan selanjutnya adalah bagaimana menguraikan bentuk-bentuk aljabar ke dalam

faktor-faktornya. Dalam bahasan berikut hanyalah mencakup beberapa konsep dasar tentang faktorisasi bentuk-bentuk aljabar yang bersifat elementer dan pemakaiannya akan banyak kita jumpai dalam bahasan-bahasan berikutnya.

Faktor

Tentunya Anda masih ingat dengan hukum distributif, dan hukum tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

ab+ac=a(b+c) untuk setiap a , b dan c .

Hukum di atas menunjukkan dengan cara bagaimana jumlah suku-suku yang mempunyai faktor persekutuan dapat dinyatakan sebagai perkalian. Jadi faktor a pada setiap suku ruas kiri dapat dipindahkan sebagai faktor persekutuan dari seluruhbentuk tesebut, seperti tampak pada ruas kanan.

Contoh

Faktorkanlah x2_{yz + xy}2_{z + xyz} Penyelesaian:

Faktor persekutuan terbesar dari ketiga suku itu adalah xyz. Jika tiap suku dibagi xyz terdapat faktor lain (x + y + z) sehingga:

x2_{yz + xy}2_{z + xyz = xyz (x + y + z).} Catatan:

Dalam perkalian, pemakaian faktor-faktor seringkali dapat mempermudah perhitungan, misalnya:

(34 ×57) + (34 × 43) = 34(57 + 43) = 34 × 100 = 3400

2. Selisih Dua Kuadrat

(a – b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b) = a2 _{+ ab – ab – b}2 = a2 _–b2

Jadi, a2 _–b2_{=(a – b)(a + b)}

Pada ruas kiri terdapat selisih dua kuadrat dan pada ruas kanan terdapat perkalian dua faktor.

Contoh

Faktorkanlah 2x2 _{– 18y}2_! Penyelesaian:

2x2 _{– 18y}2 _{= 2(x}2 _{– 9y}2₎ = 2 [x2 _{– (3y)}2_] = 2(x – 3y)(x + 3y)

Ingatlah bahwa setiap faktor persekutuan harus dipisahkan lebih dahulu.

Bentuk Kuadrat dan Faktor-faktornya

Dalam bahasan-bahasan yang terdahulu kita telah mempelajari cara menyatakan perkalian faktor-faktor sebagai penjumlahan dengan menggunakan

hukum distributif. Misalnya: (x – 3)(x – 5) = x(x – 5) – 3(x – 5) = x2 _{– 5x – 3x + 15} = x2 _{– 8x + 15}

Sekarang kita pelajari cara-cara memfaktorkan bentuk-bentuk kuadrat yang bentuknya ax2 _{+ bx + c.}

Terlebih dahulu kita bicarakan untuk a = 1. Karena (x – 3)(x – 5) = x2 _{– 8x + 15} maka x2 _{– 8x + 15 = (x – 3)(x – 5)}

(x + 5)(x – 2) = x2 + 3x - 10 maka x2 _{+ 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)}

Ternyata bahwa: -10 = (5)(-2) dan 3 = (5) + (-2)

Kesimpulan:

1. Suku konstanta (suku tetap) atau disingkat konstanta dalam bentuk kuadrat sama dengan hasil perkalian konstanta-konstanta dalam kurung. Jika tanda padakonstanta pada bentuk kuadrat positif, maka tanda konstanta-konstanta dalam kurung keduanya positif atau keduanya negatif. Sedangkan jika tanda pada konstanta negatif, maka konstanta dalam kurung harus berlawanan.

2. Koefisien dari x pada bentuk kuadrat sama dengan jumlah konstanta-konstantadalam kurung. Kedua hal tersebut di atas dapat ditulis dalam pernyataan: x2 _{+ (p + q)x + pq = (x + p)(x + q).}

Contoh

Faktorkanlah: x2 _{– 8x + 12} Penyelesaian:

Lebih dahulu harus didapat dua bilangan yang hasil-kalinya 12 dan

jumlahnya -8. Bilangan-bilangan yang memenuhi hal tersebut adalah -6 dan -2. Jadi, x2 _{– 8x + 12= (x – 6)(x – 2).}

C. AWAL-AWAL SIMBOLISASI ALJABAR AL-KHAWARIZM

1.Biograf

Nama : Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī

Lahir : 780 M di Khwārizm (Khiva, Uzbekistan)

Suku : Persia

2.Al-Khawarizmi di Bidang Aljabar

Salah satu karya terkanal al-Khawarizmi adalah Kitab al-Jabr wa’l-Muqabalah, buku ini berkaitan dengan teori persamaan linier dan kuadrat dengan satu variabel. Ilmu pengetahuan aljabar merupakan penyempurnaan terhadap pengetahuan yang telah dicapai oleh bangsa Mesir dan Babylonia. Dan di dalam buku Arithmetica of Diophantus

terdapat beberapa catatan tentang persamaan kuadrat. Sebagian para ahli sejarah menyebutkan bahwa al-Khawarizmi berkiblat pada ilmu matematika Yunani (Euclid atau Diophantus), namun sebagian lagi menyebutkan suku bangsa India dan Babylonia sebagai inspirasi karya al-Khawarizmi.

Karya al-Khawarizmi tidak dipengaruhi oleh sumber-sumber naskah India, karena masyarakat Hindu tidak mengenal aturan seperti penambahan dan pengurangan yang di ungkapkan oleh al-Khawarizmi dalam karyanya Algebra. Karya al-Khawarizmi juga tidak mengutip tulisan Diophantus, karena 1) al-Khawarizmi mencantumkan akar pangkat dua dan Diophantus mencantumkan akar pangkat satu. 2) tidak satupun kasus-kasus dalam Diophantus ditemukan dalam karya al-Khawarizmi yang berjudul Algebra. 3) kedua buku berbeda antara kubu barat dan kubu timur. 4) karya Diophantus cenderung abstrak dan karya al-Khawarizmi berkaitan dengan pernyataan tentang kehidupan manusia. 5) al-Khawarizmi tidak memiliki pemahaman tentang Yunani. 6) karya Diophantus tidak diterjemahkan ke bahasa Arab pada masa itu (Mohamed, 2001).

1. Akar kuadrat sama dengan bilangan ( bx=c ) 2. Kuadrat sama dengan akar kuadrat ( ax2

=bx ) 3. Kuadrat sama dengan bilangan ( ax2_{=c )}

4. Kuadrat dan bilangan sama dengan akar kuadrat ( c+ax2

=bx ) 5. Kuadrat dan akar kuadrat sama dengan bilangan ( ax2

+bx=c ) 6. Akar kuadrat dan bilangan sama dengan kuadrat ( ax2

=bx+c )

Keenam persamaan tersebut menunjukkan bahwa al-Khawarizmi tidak mengenal keberadaan bilangan negatif atau bilangan nol sebagai suatu koefisien.

Sebagai contoh, di dalam tulisan aljabar muncul: x2=40x−4x2

Dapat diubah menjadi bentuk aljabar 5x2_=40x

Contoh lain dari buku al-Khawarizmi adalah

50+x2_=29+10x

Proses al-muqabalah (-), direduksi menjadi 21+x2=10x

Kedua operasi tersebut digabungkan dengan operasi aritmatika seperti perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian dari bilangan binomial dan monomial sebagai konsep dasar dari perhitungan akar kuadrat dalam karya Algebra al-khawarizmi (Mohamed, 2001).

Dalam notasi modern, persamaan sebagai berikut:

x2

+10x=39

Penyelesaian menggunakan prosedur al-Khawarizmi:

x=8−5=3

x2=9

Hal ini diilustrasikan dengan kemajuan yang dicapai danpendekatan sistematis terhadapaljabar. Untuk menyelesaikan persamaan

x2+10x=39, dideskripsikan oleh al-Khawarizmi dengan metode seprti

berikut:

Metode Pertama: x2+10x=39

Misalkan ABCD merupakan sebuah bujur sangkar dengan sisi x

(gambar 1). Pada setiap sisi bujur sangkar dibuat suatu persegi panjang

dengan sisi 10

4 = 5

2 (gambar 2). Ini mewakili sisi bagian kiri dari

persamaan yaitu x2 +4

(

5

2

)

x=x 2

+10x . Sekarang bujur sangkar besar yang lengkap terdapat pada gamabr 3.

Keempat daerah bujur sangkar yang total daerahnya adalah 425 4 ,

didapat luas bujur sangkar yang besar yaitu 39+25=64 . Maka panjang

sisi bujur sangkar yang besar adalah 8, karena x+5 2+

5

Metode Kedua: x2+10x=39

Buat sebuah bujur sangkar ABCD dengan sisi x (gambar 4). Jika ditarik garis dari AD ke titik E dan garis AB ke titik F

sedemikian sehingga DE=BF=1

2(10)=5 . Lengkapi bujur sangkar AFKE dan perluas DC ke G dan BC ke H . daerah AFKE dapat diekspresikan sebagai: x2+10x=39 . Lalu, 25 harus ditambahkan pada masing-masing bagian dari persamaan ini untu kmendapatkan:

x2

+10x+25=39+25

Sederhanakan menjadi: x2+10x+25=64

Ini akan membuat persamaan kuadrat (x+5)2 hasilnya akan sama dengan 64. Dimensi dari AFKE akan menjadi 8x8 , tapi AF=x+5=8 , sehingga x=3 , maka x2=9 (Mohamed, 2001).

3.Karya Lain al-Khawarizmi

Karya al-Khowarizmi selain Aljabar, yaitu sebagai berikut:

1)Dixit algorizmi

Hindu. Ini awal di Arab untuk menjelaskan penggunaan sistem desimal angka Hindu, meskipun hanya "sembilan huruf" yaitu simbol untuk angka 1 sampai 9. Ia juga menggunakan nol ketika tidak ada sisa dalam pengurangan, meletakkan lingkaran kecil sehingga tempat menjadi tidak kosong.

Eropa Barat pertama belajar tentang aljabar dari karya Khowarizm. Nama "aljabar" Eropa jabr, bagian dari judul risalah al-Khowarizm itu Hisab al-jabr w'al muqabalah. Judul berarti "ilmu reunion (reuni) dan reduction (pengurangan)”. Reunion mengacu pada pemindahan istilah negatif dari satu sisi persamaan yang lain dan Reduction untuk kombinasi.

Sebagai contoh, persamaan (notasi modern):

6x2−4x+1=5x2+3

Reunion 6x2+1=5x2+4x+3

Reduction x2=4x+2

2)Rekonstruksi Planetarium

Buku ketiga adalah Kitāb ūrat al-Ar "Buku Pemandangan Dunia" atauṣ ḍ "Kenampakan Bumi" diterjemahkan oleh Geography pada 833. Buku ini terdiri dari daftar 2402 koordinat dari kota-kota dan tempat geografis lainnya mengikuti perkembangan. Judul lengkap buku ini adalah “Buku Pendekatan Tentang Dunia, dengan Kota-Kota, Gunung, Laut, Semua Pulau dan Sungai”, ditulis oleh Abu Ja’far Muhammad bin Musa al-Khawarizmi berdasarkan pendalaman geografis yamg ditulis oleh Ptolemeus dan Claudius. Buku ini dimulai dengan daftar dan lintang, termasuk “Zona Cuaca”, yang menulis pengaruh lintang dan bujur terhadap cuaca.

3)Astronomi

astrologi. Versi aslinya dalam Bahasa Arab hilang pada 820M, tapi versi lain oleh astronomer SpanyolMaslama al-Majrī īṭ 1000 M.

4)Kalender Yahudi

Al-Khawārizmī juga menulis tentang Penanggalan Yahudi “Risāla fi istikhrāj taʾrīkh al-yahūd” atau disebut “Petunjuk Penanggalan Yahudi") yang menerangkan 19 tahun siklus interkalasi, hukum yang mengatur pada hari, minggu dan bulan serta memperhitungkan interval pada era Yahudi (penciptaan Adam) dan era Seleucid. Dan memberikan hukum tentang bujur matahari dan bulan menggunakan kalender Yahudi. sama dengan yang ditemukan oleh al-Bīrūnī dan

Maimonides.

D. Latihan soal

1. Terdapat suatu kumpulan benda jika dijumlahkan 1

2 bagian , 1

3 bagian dan 1

4 bagian maka jumlah benda itu?

b. FPB(306,657) = 306x +657y

3. Tentukan semua bilangan bulat n sehingga n+20

n−13 merupakan bilangan bulat. 4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan sifat _m2 +3

n=1 5. Tentukan:

a. Jumlah dari

2

p

2

+

5

pq

−

3

q

2 dan

p

2

−

3

pq

−

5

q

2 ! b. Penjumlahan 10x2 _{+ 6xy – 12 dan –4x}2 _{– 2xy + 10,} c. Pengurangan 8p2 _{+ 10p + 15 dari 4p}2 _{– 10p – 5.}

6. Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar (6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.

7. Sebuah model kerangka balok dibuat dari kawat dengan ukuran panjang (2x - 3) cm, lebar (3x + 10) cm dan tinggi x cm. tentukanlah:

a. Panjang kawat dalam x

b. nilai x jika panjang kawat adalah 388cm c. ukuran kerangka balok

8. Bagaimana menyelesaikan x2+21=10x versi al-Khowarizm?

1. Misalkan kumpulan itu adalah x

Maka dapat dinyatakan dengan notasi aljabar saat ini 1 26 adalah kelipatan 2 dari 13 maka x=12 harus dilipat duakan

jadi x=24

2. Bentuk linier dari

a. FPB(119,272) = 119x + 272y Jawab

9=7∙657−15∙306 9=7∙657+(−15)306 Jadi x=7, y=−15 3. Penyelesaian

Diperhatikan bahwa _n−13n+20=n−13+30 n−13 =1+

diperoleh nilai n yang mungkin adalah −20, 2, 10, 12, 14, 16, 24 atau 46. Dapat dicek bahwa semua nilai n tersebut memenuhi kondisi yang diberikan. Jadi, nilai n yang memenuhi adalah −20, 2, 10, 12, 14, 16, 24 dan 46.

4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan sifat 2 m+

3 n=1 Penyelesaian. Misalkan bilangan bulat positif n dan m memenuhi _m2+3

n=1 maka berlaku 2n+3m=mn

⇔(m−2)(n−3)=6 .

Diperoleh bahwa m−2 dan n−3 merupakan faktor dari 6.

6. Penyelesaian:

Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm Ditanyakan : luas persegipanjang

Luas = p × l

= (5x + 3)(6x – 2)

= (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2) = 30x2 _{+ 18x – 10x – 6} = 30x2 _{+ 8x – 6}

Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 _{+ 8x – 6) cm}2 7. Jawab

a. Panjang kawat dalam x adalah (2x−3) b. Besar x jika panajang kawat 338

2x−3=338 2x=338−3 x=335

2

c. Kerangka balok adalah

(4× p)+(4× l)+(4+t)=¿ 4(p+l+t) ¿4

(

(2x−3)+3x+10

)

+x¿

¿4(6x+7) ¿4

(

6335

2 +7

)

¿4(1005+7)

¿4048

8. Menggunakan metode al-Khawarizmi,buat sebuah bujur sangkar

ABCD dengan sisi x . Ambil sebuah titik E pada garis AB

sedemikian hingga BE=3 satuan, sehingga didapat persegi empat

AEFD . Bidang ABCD memiliki luas daerah x2 _{yang diwakili} 3x+4 dengan asumsi bahwa x2_=3x

Miasalkan H membagi garis EB , dan membentuk bujur

sangkar EHKM yang memiliki sisi 3

2 . Jika garis HK dilanjutkan ke

titik S sehingga KS=AE=DF dan buat titik SW⏊DA dan

MKSN=WNDF disebabkan oleh DW=HB=HE=KM .

Jadi luas daera AHSW = (AENW+M KNS)+EHKM

= (AENW+WNFD)+EHKM

= AEFD+EHKM

Selanjutnya luas BCFE adalah 3x sehingga AEFD adalah 4. = 4+9 4=

25 4 .

AH merupakan salah satu sisi bujur sangkar AHSW yang luasnya adalah

25

Daftar Rujukan

Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C. 1989. A History of Mathematics Second Edition. Canada: Jonh Wiley & Sons, Inc

Burthon, David W. (2011). The History Of Mathematics: An Introduction, Seventh Edition.New York: McGraw-Hill

Cajori, Florian. 1929. A History of Mathematics Notation (online)

Dharmawan, Eko P. 2011. Pengantar Aljabar. Jakarta: PT prestasi Pustaka Raya (online)http://www.mathopenref.com/pythagoras.html

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus#/media/File:Rhind_Mathematic al_Papyrus.jpg

https://www.google.com/search?q=diopanathus&ie=utf-8&oe=utf-8

Merzbach Uta C. & Carl B. Boyer.(2011). A History Of Mathematics Third Edition.Canada: John Wiley & Sons, Inc

Mohamed, Mohaini. 2001. Matematika Muslim Terkemuka. Jakarta: Salemba Teknika Naga, Dali S.(1980).Berhitung: Sejarah Dan Perkembangannya.jakarta:PT Gramedia

Sellers, James( online). An Introduction to Pythagoras and the Pythagorean Theorem http://www.personal.psu.edu/jxs23/courses/math035/fa11/handouts/18_intro_to_pythag oras.pdf

Sitorus,T.1990. Pengantar sejarah matematika dan pembaharan pengajaran matematika disekolah.Bandung:Tarsito

KONTRIBUTOR

Nama : Ahmad Masroni Asal : Lombok Timur, NTB

Email : 13121990onie@gmail.com

Nama: Yusuf Arifuddin

Asal : Lumajang Jawa Timur Email : arifuddinyusuf@gmail.com