Met ode Numer ik
Dr a.Dwina K.,M.Kom
Modul :
Apa yang akan dibahas
1. Pendahuluan dan motivasi
2. Analisis Kesalahan
3. Persamaan Tidak Linier
4. Persamaan Linier Simultan 5. Interpolasi
6. Integrasi Numerik
Daftar Pustaka
Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas
Indonesia, Jakarta.
Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi,
Yogyakarta.
Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGraw-Hill International Editions, Singapore.
Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar
Pendahuluan
Metode Numerik: Teknik menyelesaikan
masalah matematika dengan pengoperasian hitungan.
Pada umumnya mencakup sejumlah
besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan
Motivasi
Kenapa diperlukan?
Pada umumnya permasalahan dalam
sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika
Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis sehingga diperlukan
Penyelesaian persoalan numerik
Identifikasi masalah
Memodelkan masalah ini secara matematis
Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya
Implementasi metode ini dalam komputer
Persoalan analisis numerik
Eksistensi (ada tidaknya solusi)
Keunikan (uniqueness)
Keadaan tidak sehat (ill-conditioning)
instabilitas (instability)
Kesalahan (error)
Contoh: Persamaan kuadrat
Angka Signifikan
7,6728 7,67 3 angka signifikan
15,506 15,51 4 angka signifikan
7,3600 7,4 2 angka signifikan
Sumber Kesalahan
Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel
Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data salah membaca skala
Ketidaktepatan data
Kesalahan pemotongan (truncation error)
Kesalahan pemotongan (i)
Kesalahan yang dihasilkan dari
penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak
Contoh: approksimasi dengan deret
Kesalahan pemotongan (ii)
Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)
) ( )
(xi 1 f xi f
• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)
!
• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)
Mot ivasi Dar i Per samaan Non Linear
Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat rumusan berikut:
M
R = jari-jari kurva jalan
T = jarak tangensial = 273.935 m
Mot ivasi Dar i Per samaan Non Linear (ii)
Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan produksi dalam satu hari sebagai berikut:
2
Solusi Persamaan Non Linear (i)
1) Metode Akolade (bracketing method)
Contoh: • Metode Biseksi
(Bisection Method)
Keuntungan: selalu konvergen
Kerugian: relatif lambat konvergen
• Metode Regula Falsi
Solusi Persamaan Non Linear (ii)
2) Metode TerbukaContoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
ME TODE ITE RASI TITIK TE TAP
Syaratnya:
f(x) = 0 dapat diubah menjadi bentuk: x = g(x) (yang tidak unik)
Cari akar dgn pertidaksamaan rekurens:
Xk+1 = g(Xk); untuk k = 0, 1, 2, 3, … dgn X0 asumsi awalnya, sehingga diperoleh
barisan X0, X1, X2, X3, … yang diharapkan konvergen ke akarnya.
Jika g’(x) ε [a, b] dan g’(x) ≤ k dgn k< 1 Utk setiap
ME TODE ITE RASI TITIK TE TAP (cont’d)
1
(
)
n
n
Contoh :
f(x)=x
2-x-2, x*=-1 & 2
|g’(x)|>1 for |x|>0.5 no convg
ME TODE NE WTON-RAPHSON
Waktu pencarian akarnya relatif lebih cepat dibandingkan metode lainnya.
Memanfaatkan turunan fungsi f(x) pada suatu titik P [x1, f(x1)]
Membuat garis singgung pada titik P tsb yg memotong sumbu x didapat xi+1
ME TODE NE WTON-RAPHSON
(lanjutan)
Persamaan garis singgung melalui P [X1, f(X1)] adalah: y – f(X1) = f ’(X1) . (X – X1)
dgn f ’(X1) : gradien garis singgung
Persamaan tsb memotong sumbu x di titik (X2, 0) maka akan diperoleh:
0 - f(X1) = f’(X1). (X2– X1) X2 .f’(X1) - X1.f’(X1) = - f’(X1)
X2 = X1 – [f(X1)/ f’(X1)] artinya dengan x1 didapat x2
Setelah menghitung x2 untuk praktisnya x2 dapat menjadi x1 yang baru dan
ME TODE NE WTON-RAPHSON
(lanjutan)
Secara Rekurens, persamaan tsb dinyatakan menjadi
Xi+1= Xi – (f(X1)/ f’(X1) ) ,
i = 1, 2, 3, …
f’(Xi): turunan pertama f(X) pada x = xi.
Proses ini diteruskan sampai kesalahan
Algoritma Newton Raphson
Tahap Awal. Tentukan f(x), f ’(x),
Tahap
1. Hitung Xi+1= Xi – (f(X1)/ f’(X1) )
2. x2 mengganti x1 ,
3. Kembali ke 1 menghitung x2 yang baru Iterasi berhenti bila kesalahan
maka x2 terakir sebagai akar pendekatan
Bila jumlah iterasi mencapai imax , iterasi dihentikan,
perlu evaluasi
Cont oh
0 4
4 2
3
x x
• Seperti pada Regula Falsi dengan rumusan yang sama, hanya x1 dan x2 tidak harus mengurung akar.
x1 dan x2 disebut sebagai taksiran awal.
Met ode Secant
Perbedaannya adalah x3 akan menggantikan x2 dan x2
menggantikan x1 selanjutnya dihitung x3 yang baru,
Cont oh
0 4
4 2
3
x x