• Tidak ada hasil yang ditemukan

Metode Numerik 1 Metode Numerik

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Metode Numerik 1 Metode Numerik"

Copied!
43
0
0

Teks penuh

(1)

Met ode Numer ik

Dr a.Dwina K.,M.Kom

Modul :

(2)

Apa yang akan dibahas

1. Pendahuluan dan motivasi

2. Analisis Kesalahan

3. Persamaan Tidak Linier

4. Persamaan Linier Simultan 5. Interpolasi

6. Integrasi Numerik

(3)

Daftar Pustaka

 Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas

Indonesia, Jakarta.

 Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi,

Yogyakarta.

Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGraw-Hill International Editions, Singapore.

Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar

(4)

Pendahuluan

 Metode Numerik: Teknik menyelesaikan

masalah matematika dengan pengoperasian hitungan.

 Pada umumnya mencakup sejumlah

besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan

(5)

Motivasi

Kenapa diperlukan?

 Pada umumnya permasalahan dalam

sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika

 Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan”  analitis sehingga diperlukan

(6)

Penyelesaian persoalan numerik

 Identifikasi masalah

 Memodelkan masalah ini secara matematis

 Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya

 Implementasi metode ini dalam komputer

(7)

Persoalan analisis numerik

 Eksistensi (ada tidaknya solusi)

 Keunikan (uniqueness)

 Keadaan tidak sehat (ill-conditioning)

 instabilitas (instability)

 Kesalahan (error)

Contoh: Persamaan kuadrat

(8)

Angka Signifikan

 7,6728  7,67 3 angka signifikan

 15,506  15,51 4 angka signifikan

 7,3600  7,4 2 angka signifikan

(9)

Sumber Kesalahan

 Kesalahan pemodelan

contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel

 Kesalahan bawaan

contoh: kekeliruan dlm menyalin data salah membaca skala

 Ketidaktepatan data

 Kesalahan pemotongan (truncation error)

(10)

Kesalahan pemotongan (i)

 Kesalahan yang dihasilkan dari

penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak

Contoh: approksimasi dengan deret

(11)

Kesalahan pemotongan (ii)

 Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)

) ( )

(xi 1 f xi f

• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)

!

• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)

(12)

Mot ivasi Dar i Per samaan Non Linear

Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat rumusan berikut:

M

R = jari-jari kurva jalan

T = jarak tangensial = 273.935 m

(13)

Mot ivasi Dar i Per samaan Non Linear (ii)

Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan produksi dalam satu hari sebagai berikut:

2

(14)

Solusi Persamaan Non Linear (i)

1) Metode Akolade (bracketing method)

Contoh: • Metode Biseksi

(Bisection Method)

Keuntungan: selalu konvergen

Kerugian: relatif lambat konvergen

• Metode Regula Falsi

(15)

Solusi Persamaan Non Linear (ii)

2) Metode Terbuka

Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)

• Metode Newton-Raphson

• Metode Secant

Keuntungan: cepat konvergen

(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)

ME TODE ITE RASI TITIK TE TAP

Syaratnya:

 f(x) = 0 dapat diubah menjadi bentuk: x = g(x) (yang tidak unik)

 Cari akar dgn pertidaksamaan rekurens:

Xk+1 = g(Xk); untuk k = 0, 1, 2, 3, … dgn X0 asumsi awalnya, sehingga diperoleh

barisan X0, X1, X2, X3, … yang diharapkan konvergen ke akarnya.

 Jika g’(x) ε [a, b] dan g’(x) ≤ k dgn k< 1 Utk setiap

(22)

ME TODE ITE RASI TITIK TE TAP (cont’d)

(23)
(24)
(25)
(26)

1

(

)

n

n

(27)

Contoh :

f(x)=x

2

-x-2, x*=-1 & 2

|g’(x)|>1 for |x|>0.5  no convg

(28)

ME TODE NE WTON-RAPHSON

 Waktu pencarian akarnya relatif lebih cepat dibandingkan metode lainnya.

 Memanfaatkan turunan fungsi f(x) pada suatu titik P [x1, f(x1)]

 Membuat garis singgung pada titik P tsb yg memotong sumbu x  didapat xi+1

(29)
(30)
(31)

ME TODE NE WTON-RAPHSON

(lanjutan)

 Persamaan garis singgung melalui P [X1, f(X1)] adalah: y – f(X1) = f ’(X1) . (X – X1)

dgn f ’(X1) : gradien garis singgung

 Persamaan tsb memotong sumbu x di titik (X2, 0) maka akan diperoleh:

0 - f(X1) = f’(X1). (X2– X1) X2 .f’(X1) - X1.f’(X1) = - f’(X1)

X2 = X1 – [f(X1)/ f’(X1)] artinya dengan x1 didapat x2

 Setelah menghitung x2 untuk praktisnya x2 dapat menjadi x1 yang baru dan

(32)

ME TODE NE WTON-RAPHSON

(lanjutan)

Secara Rekurens, persamaan tsb dinyatakan menjadi

Xi+1= Xi – (f(X1)/ f’(X1) ) ,

i = 1, 2, 3, …

f’(Xi): turunan pertama f(X) pada x = xi.

Proses ini diteruskan sampai kesalahan

(33)

Algoritma Newton Raphson

Tahap Awal. Tentukan f(x), f ’(x),

Tahap

1. Hitung Xi+1= Xi – (f(X1)/ f’(X1) )

2. x2 mengganti x1 ,

3. Kembali ke 1 menghitung x2 yang baru  Iterasi berhenti bila kesalahan

maka x2 terakir sebagai akar pendekatan

 Bila jumlah iterasi mencapai imax , iterasi dihentikan,

perlu evaluasi

(34)

Cont oh

0 4

4 2

3    

x x

(35)
(36)
(37)
(38)

• Seperti pada Regula Falsi dengan rumusan yang sama, hanya x1 dan x2 tidak harus mengurung akar.

x1 dan x2 disebut sebagai taksiran awal.

Met ode Secant

Perbedaannya adalah x3 akan menggantikan x2 dan x2

menggantikan x1 selanjutnya dihitung x3 yang baru,

(39)
(40)
(41)

Cont oh

0 4

4 2

3    

x x

(42)
(43)

Gambar

Gambar Grafik

Referensi

Dokumen terkait

Ruang lingkup asesmen pada saat anak telah belajar di kelas, meliputi penilaian untuk menentukan apa yang harus diajarkan kepada siswa, dan penilaian untuk menentukan

Pencampuran uap minyak jarak pagar dan LPG bertujuan untuk menambahkan bahan bakar kedalam proses pembakaran agar supaya terjadi nyala api yang stabil pada pembakaran

Pada game online ini pertama kali menggunakan jaringan LAN atau Local Area Network tetapi sesuai dengan perkembangan teknologi akhirnya game oline menggunakan jaringan

6) Pada item Cooperative Learning tipe Crossword Puzzle yang keenam, tentang guru Aqidah Akhlak dalam membuat teka teki silang selalu berpedoman pada kisi-kisi,

Universitas Sumatera Utara adalah lulusan yang mempunyai kualitas yang baik dan.. mampu bersaing di lapangan

Untuk itu perlunya sebuah keamanan dengan cara enkripsi dan dekripsi data email menggunakan algoritma kriptografi Rivest Code 2 (RC2).. Dalam algoritma kriptografi Rivest

[r]

Dari Misi Pemerintah Kabupaten Gresik tersebut, maka Dinas kesehatan Kabupaten Gresik menjalankan tugas dan fungsinya untuk mendukung pencapaian Misi ke-2 yaitu