DINAMIKA KISI KRISTAL

92

Indikator Hasil Belajar

1. Memahami konsep getaran dalam kristal

linier monoatomik

2. Memahami konsep getaran dalam kristal

linier diatomik

93 BAB V

DINAMIKA KISI KRISTAL

A. Getaran Dalam Kristal Linier Monoatomik

Kristal linier yang mono-atomik digambarkan dalam gambar 5.1. Indeks posisi n berjalan dari -∞ sampai +∞

Gambar 5.1 Getaran dalam Kristal Linier Monoatomik

Kedudukan setimbang atom-atom itu dinyatakan dengan koordinat tetap: 𝑥_𝑙−1, 𝑥_𝑙, 𝑥_𝑙+1, 𝑥_𝑙+2 ..., yang masing-masing terpisah sejauh jarak a dari tetangga terdekat. Getarannya adalah longitudinal. Simpangan dari keadaan setimbang masing-masing dinyatakan dengan

,... ,

, ,

..._l1 _l _l1 _ll atau massa setiap atom adalah M

Gaya yang bekerja pada atom hanyalah dari tetangga terdekatnya, dan besar gaya itu mengikuti hukum Hooke, dengan tetapan gaya: α. Persamaan gerak atom ke-l adalah :



l l

 

l l



l M   1   1 atau



12  1



 _{l l l} l M    

diandaikan bahwa solusinya adalah :

kla t i l Ae   _  0

94

k = bilangan gelombang ω = frekuensi radial

Substitusi dalam persamaan gerak diatas memberikan:



iak iak



ikla ikla e e e e M       2  2

atau M2



eiak2eiak



Solusi untuk frekuensi ω:

       2 sin 4 ₂ 2 ka M   atau        2 sin 0 ka   dengan 2 1 0 4      M  

Dalam hubungan diatas diambil harga mutlak untuk faktor 

     2

sin ka karena hanya diperlukan harga ω yang positif, frekuensi tidak dapat berharga negatif. Hasil yang diperoleh untuk frekuensi di atas tidak lain daripada hubungan dispersi: w

 

k .

Grafik dispersi itu disertakan pada gambar 5.2 :

95

Catatan mengenai w

 

k :

a. w

 

k setangkup terhadap k = 0; harga k > 0 sesuai denga perambatan gelombang kekanan (k < 0 sesuai dengan perambatan kekiri)

b. Harga maksimum adalah w₀, diperoleh apabila 1 2 sin      ka , jadi apabila 1 2 sin      ka , apabila









a n k atau n ka   1 2 2 1 2 2     ambil a k n0  c. kecepatan fasa gelombang

2 2 2 sin 2 0 : 2 sin 0 0 0 0 a ka ka a v k untuk a v a k untuk k ka v jadi k v                                    

d. Kecepatan kelompok gelombang (group velocity)

        2 cos 2 0a ka dk d v_g   Apabila: k = 0, maka 2 0a

v_g  ,jadi apabila k = 0 kecepatan kelompok sama dengan kecepatan fasa. 0 4    maka v_g k 

Interpretasi fisik dari model matematis tersebut.

a. Untuk harga k yang kecil, artinya k <<

a 

, hubungan dispersinya adalah

k ka 2 2 0 0     

96

Terlihat disini suatu hubungan yang linier antara w dan k, seperti halnya pada benda makro.

Arti k <<

a 

, adalah bahwa λ >> 2a, artinya panjang gelombang jauh lebih besar dari jarak antar – atomik (sistem yang makro).

b. Untuk k <<

a 

, atau λ >> 2a, maka: Kecepatan fasa: 2 0a v_  Kecepatan kelompok: 2 0a v_g 

Artinya kecepatan fasa sama dengan kecepatan kelompok; yang memang diharapkan apabila w

 

k bersifat linier.

c. Arti dari

a atau a

k  yaitu : Panjang gelombang yang sesuai dengan

a

k , adalah



2a

Hal tersebut digambarkan dalam gambar 5.3

Gambar 5.3

Atom tetangga bergetar dengan fasa yang berlawanan ; gelombang tegak. Kecepatan kelompok untuk keadaan ini adalah vg = 0,yang sesuai dengan kasus untuk gelombang

97

d. Arti dari k = 0

Bilangan gelombang k = 0, sesuai dengan harga panjang gelombang λ = ∞. Ini tidak lain bahwa semua atom dalam kristal linier tersebut sama fasanya, atau bahwa semua atom secara bersama bergerak ke satu arah, atau melakukan translasi (ke kanan atau kekiri). Dalam situasi dengan itu:

2

0a

v v_g _ 

Keadaan ini tidak lagi menggambarkan getaran.

Beberapa istilah yang umum digunakan dalam menelaah getaran dalam kristal adalah : a. Kasus dengan

a

k , yang sesuai dengan



2a, dinamakan batas gelombang panjang (long wave length limit).

b. Kasus dengan

a

k , dinamakan kondisi refleksi Bragg; karena apabila suatu gangguan dengan bilangan gelombang semacam itu dikirimkan melalui kristal linier tersebut, maka superposisi dari gelombang-gelombang yang dipantulkan oleh masing-masing atom akan saling menguatkan. (karena jarak antar atom adalah 

2 1

, dan atom-atom bergetar dengan fasa yang berlawanan).

Hasil superposisi ini adalah suatu pantulan oleh semua atom kristal linier secara kolektif;

a

k adalah kondisi Bragg untuk refleksi.

c. Kasus k = 0 adalah translasi kristal sebagai satu kesatuan. Karena maknanya yang khusus ditinjau kembali keadaan untuk

a

k , atau lebih tepat lagi daerah bilangan gelombang: a k a   _{ }  .

98

Getaran suatu kristal linier mono-atomik seperti pada gambar 5.4. Gambar tersebut

menggambarkan getaran transversal.

Gambar 5.4 Getaran Kristal Linier Monoatomik

Titik-titik pada sumbu datar merepresentasikan kedudukan setimbang atom-atom. Titik-titik penuh menggambarkan kedudukan atom-atom itu pada suatu saat tertentu. Jarak antara keduanya adalah simpangan dari keadaan setimbang.

Panjang gelombang terpendek bagi gelombang dalam kristal linier yang masih mempunyai makna fisik adalah apabila:

a 2





dengan a jarak antara kedudukan setimbang dari atom-atom kristal yang bersebelahan. Panjang gelombang



2a itu, sesuai dengan bilangan gelombang

a

k . Oleh karena itu semua getaran yang mempunyai makna fisik, yaitu dari



0 sampai



,berada dalam interval bilangan k: a k   0 Daerah antara a k a  _{ }

 dinamakan zona Brillouin pertama, yang merepresentasikan semua gelombang yang masih mempunyai makna fisik dalam kristal linier. Sebagai ilustrasi dapat diberiakan contoh pada gambar 5.5.

99

Gambar 5.5 Gelombang Pada Zona Brillouin Pertama

Dua gambar pada gambar 5.4 dan 5.5 merepresentasikan suatu situasi fisik yang sama, tetapi dengan dua representasi matematis yang berbeda, yaitu:

sebagai gelombang dengan



4adan sebagai gelombang dengan 5 4a



 masing-masing gelombang di atas tadi memiliki bilangan gelombang:

              4 5 . 2 5 . 0  dan k  a k

Kedua representasi matematis tersebut digambarkan pada gambar 5.6:

Gambar 5.6

Selanjutnya kita substitusikan kedua harga k tersebut dalam:

2 2 4 2 5 . 0   0        ka dengan a k

100 2 2 4 5 2 5 . 2  _  0        ka dengan a k sedangkan harga                     a k atau    5 . 2 4 sin 4 5 sin dan         a k 0.5  member harga ω yang sama. Dipadang dari segi ini 

       a k 0.5  dan        a k 2.5  adalah ekivalen. Hal tersebut digambarkan dalam sketsa 

 

k pada gambar 5.7.

Gambar 5.7 Zona Brillouin pertama:

a k a   _{ } 

B. Getaran Dalam Kristal Linier Diatomik

Kristal linier diatomik mempunyai dua jenis atom yang massanya masing-masing dinyatakan sebagai M dan m. Atom-atom yang bertetangga dipisahkan oleh jarak sebesar a; jarak ini diukur untuk keadaan keseimbangannya.

101

Gambar 5.8 Getaran Dalam Kristal Linier Diatomik

Gaya antar atom adalah antara atom yang bersebelahan; berupa gaya Hooke, dengan tetapan gaya α.

Ada persamaan gerak; masing-masi dan untuk atom bermassa M dan yang bermassa m; kita ambil yang berada dikedudukan setimbang x_2l dan x_2l1 ,sebagai berikut:



l l





l l



l M₂  ₂₁₂  ₂₁₂



2 2 2 1





2 2 1



1 2l  l  l  l l m      

Diharapkan solusi berbentuk.

  ka l t i l A e   _ 2  2 2   ka l t i l Ae     1 1 2 1 2 Substitusi memberikan: 2 1 2 2_{MA 2}_{A coska 2}_A     1 2 1 2 2 cos 2 A ka A mA      

Ini memberikan persamaan untuk A1 dan A2:



22m



A₁ 



2A₁coska



A₂0



2 cos





2 2



₂ 0 1   M A  A ka   

102

Yang mempunyai solusi yang tidak trivial apabila









0 2 cos 2 cos 2 2 2 2       M ka ka m      

Yang memberikan pula solusi untuk ω2_:

 

2 2_Mm2



2



_m_M





42



1cos2_ka



0

 

2 2_mM2



2



_m_M





42sin2_ka0

 

1₂ 2 2 2 2 , 1 sin 4 1 1 1 1                        mM ka M m M m   

Ada dua solusi untuk ω2 _{, yaitu:}

 

M m a k atau k untuk M m k untuk M m mM ka M m M m a                                        ; 2 ; 2 1 1 2 0 1 1 2 sin 4 1 1 1 1 . 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2         

 

M m a k atau k untuk M k untuk mM ka M m M m b                                  ; 2 ; 2 1 2 0 0 sin 4 1 1 1 1 . 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1        

103

Gambar 5.9 Cabang Optik dan Cabang Akustik Sifat solusi

a. Solusi 

 

k ternyata terdiri dari dua cabang, yaitu ₁₁

 

k dan ₂₂

 

k . Masing-masing cabang diberi nama, yaitu cabang akustik (ω1) dan cabang optik

(ω2).

b. Daerah getar berjalan dari: 0 sampai 2 1 2       M  ,cabang akustik 2 1 2       M  sampai 2 1 1 1 2 _             M m  ,cabang optic

Tidak ada getaran antara:

2 1 2       M  sampai 2 1 2       m  ,frequency gap. c. Untuk harga a k 2   0 2             a k g k V  

;baik untuk cabang akustik maupun optik.

104 0 0 = k 2          k V_g  ;cabang optik. e. Untuk harga k = 0 ? 0 = k 1          k V_g 

Interpretasi fisik dari hasil yang diperoleh :

a. Daerah harga k yang mempunyai arti fisik adalah dari k = 0 sampai

a k

2



 ; sesuai dengan panjang gelombang dari



4a sampai



.

Untuk

a k

2



 , V_g0artinya untuk harga itu terjadi refleksi Bragg.

Daerah Brillouin pertama adalah dari k = 0 sampai

a k

2





b. Panjang “sel satuan” adalah a2

c. Beda antara sifat getar cabang optic dan cabang akustik dapat dipelajari dari A1 dan

A2.

Hal itu dapat diperoleh dari persamaan untuk amplitude:



22m



A₁ 



2coska



A₂0

Solusi untuk batas gelombang panjang ialah apabila k = 0. Apabila k = 0, maka untuk cabang akustik:

0

1 

 , sehingga persamaan di atas menjadi

2 1 2

1 2 0

2A  A   A A

Apabila k = 0, maka untuk cabang optik

2 1 2 1 1 2 _              M m   0 2 1 1 2 2 _{ 1} ₂              m A A M m   

105 yang menghasilkan: 0 1 2 1 2 A atau MA mA  M m A

Jadi apabila k0



atau



Untuk cabang akustik, A1=A2, amplitude getaran sefase dan seharga. Untuk cabang optik,

0

1

2mA

MA ; getaran atom bermassa M berlawanan fasa dengan getaran atom bermassa m; 0

1

2mA

MA menyatakan bahwa titik pusat massa atom-atom tidak berubah. Keadaan di atas dapat digambarkan seperti pada gambar 5.10

Gambar 5.10 Getaran Cabang Akustik dan Optik

C. Getaran Dalam Tiga Dimensi

Model matematika tentang getaran untuk suatu kristal linier memberikan suatu gambaran kualitatif tentang getaran dalam kristal. Hal-hal pokok yang diperoleh adalah sebagai berikut:

a) Hubungan disperse ω (k) tidak linier terhadap k, ada simpangan terhadap kelinieran pada k tinggi (relatif tinggi).

b) Apabila ada atom yang lain jenisnya dalam susunan Kristal, maka terdapat dua cabang yang sifatnya berlainan, cabang akustik



0, apabila k0



dan

106

c) Bahwa internal k untuk hubungan disperse tidak perlu dari k = -∞ sampai k=+∞ tetapi dapat dikembalikan pada suatu daerah terbatas k₀ kk₀. Ternyata bahwa semua harga k yang lain dapat dikembalikan ke daerah k k₀termaksud (Daerah Brillouin Pertama).

d) Refleksi Bragg terjadi apabila panjang gelombang getaran sama dengan panjang sel satuan, yaitu apabila sel satuan yang bersebelokan bergetar dengan fasa yang berlawanan.

Model linier sederhana itu tidak dapat menggambarkan sifat-sifat kristal yang berhubungan dengan getaran, tetapi secara kualitatif memberikan petunjuk mengenai sifat-sifat yang dapat diharapkan.

Andaikanlah kita mempunyai kisi Bravais tiga dimensi, dengan satu atom per sel

satuan. Maka diandaikan bahwa solusi gelombang yang merambat dalam kristal berbentuk:



kr t



i e A n    .

Aadalah amplitude, dapat memiliki arah-arah berlainan, sesuai dengan polarisasi gelombang. Apabila solusi diatas disubstitusikan dalam persamaan gerak, maka persamaan sekular yang terjadi akan memberikan 3 harga untuk 2

Tiga harga 2i berhubungan dengan 3 hubungan dispersi yang semuanya melalui titik k=0. Fungsi dispersi termaksud tidak sama untuk arah yang berbeda dalam kristal.

107 SOAL- SOAL LATIHAN

Kerjakan soal-soal latihan di bawah ini:

1. Dapatkan perbedaan pada cabang optik dan cabang akustik!

2. Untuk harga k = 0 Berapakah kecepatan group untuk cabang akustik, ?

0 = k 1          k V_g 

3. a. Dapatkan kecepatan group dan kecepatan fase pada getaran dalam kristal linier monoatomik !

b. Bilamana kedua kecepatan tersebut memiliki nilai yang sama? 4. Untuk harga k yang kecil, k <<

a  buktikan bahwa 2 0 ka   5. Buktikan bahwa untuk getaran dalam kristal linier monoatomik

2 tan

0 kecepa fase v 0a k