DINAMIKA KISI KRISTAL

TUGAS FISIKA ZAT PADAT DINAMIKA KISI KRISTAL

OLEH :

KOMANG SUARDIKA (0913021034)

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

TAHUN AJARAN

Dinamika Kisi Kristal Page 2 DINAMIKA KISI KRISTAL

PENDAHULUAN

Studi tentang dinamika kisi Kristal secara khusus menelah getaran atom-atom di dalam Kristal. Hal ini penting mengingat bahwa getaran atom-atom di dalam Kristal itu menentukan sifat termal Kristal dan pula memainkan peran sangat penting di dalam berbagai gejala fisik seperti : hamburan netron, relaksasi spin kisi, transmisi sinar infra merah, perambatan gelombang ultrasonic dan lain sebagainya.

Teori kinetik gas yang dianggap bahwa energy dalam untuk suatu gas tersimpan sebagai energy kinetic dari pada atom-atom gas itu. Teori kinetic menghubungkan besaran-besaran fisik makro dari gas dengan besaran-besaran fisik mikronya. Salah satu hukum dalam teori kinetic gas adalah hukum ekuipartisi, menyatakan bahwa : “Energy kinetik rata-rata untuk setiap derajad kebebasan adalah sama yaitu ½k0T.”

Dalam ungkapan itu k0 adalah tetapan Boltzmann, k0 = 1,38 x 10-23 J/K, sedangkan T

adalah suhu dalam Kelvin. Untuk suatu gas monoatomik ( yang memiliki 3 derajad kebebasan), jumlah gas sebanyak 1 kilomol serta suhu T. energi dalamnya adalah :





...(1) 2 3 . 2 3 2 3 . 0 0 0 0 k T N k T RT N U   

Sehingga panas jenis molar pada volume adalah :

) 2 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... 2 3 R T u dT dQ C V V           

Dalam pernyataan diatas N0 dan R masing-masing adalah bilangan Avogadro (N0 = 6,026

x 1026) dan tetapan gas umum (R = 8,314 x 103 Joule.K-1, dua-duanya untuk satu kilomol gas. Menurut teori kinetik gas untuk gas monoatomik :

1 . 47 , 12 2 3 _   R jouleK

CV per kilomol. Harga ini sangat sesuai dengan harga Cv untuk

Dinamika Kisi Kristal Page 3 Secara emperik Dulong dan Petit menemukan bahwa panas jenis per kilomol untuk Kristal dari elemen-elemen adalah 3R, dengan R tetapan gas. Hukum Dulong dan Petit ini berlaku umum untuk hampir semua elemen, pada suhu ruang atau suhu yang lebih tinggi.

Apabila hukum ukuipartisi energi diterapkan disini, maka tiap atom di dalam Kristal memiliki 3 derajad kebebasan untuk geraknya disekitar kedudukan keseimbangan. Disamping itu masih ada energy potensial atom dalam gerak harmoniknya.

Telah diketahui bahwa untuk gerak selaras sederhana energy kinetic rata-rata sama dengan energy potensial rata-rata, sehingga energy total system atom dalam Kristal menurut huku ekuipartisi adalah ( per kilomol) :

) 3 ..( ... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 3 2 1 3 0 0 0 x k T x k T RT N U       _ 

Persamaan ini menunjukkan bahwa panas jenis per kilomol adalah 3R.

Sudah sejak lama diketahui bahwa untuk suhu rendah hukum Dulong dan petit tentang panas jenis zat padat telah berlaku. Untuk suhu-suhu demikian itu panas jenis jauh lebih rendah dari pada 3R.

Akan tetapi hukum Dulong-Petit gagal menjelaskan panas jenis untuk unsur-unsur ringan seperti Boron, Beryllium dan Carbon seperti diamond yang masing-masing memiliki panas jenis secara berurutan 3,34; 3,85 dan 1,46 kkal/kmole.K pasa suhu kamar. Bahkan hukum Dulong-Petit juga gagal menjelaskan panas jenis semua zat padat yang turun secara tajam sebagai fungsi T3 pada suhu rendah mendekati nol pada suhu mendekati 0 K. Gambar 1 menunjukkan bagimana panas jenis berubah terhadap T untuk beberapa jenis padatan. Kedua kegagalan dari hukum Dulong-Petit merupakan kegagalan yang sangat serius terhadap hasil eksperimen.

Dinamika Kisi Kristal Page 4 Sesudah orang menemukan cara untuk mencapai suhu yang sangat rendah, disekitar beberapa derajad Kelvin maka banyak dilakukan penelitian tentang panas jenis zat padat ini. Ditemukan antara lain indicator yang sangat kuat bahwa pada suhu sangat rendah ( mendekati titik mutlak nol Kelvin) bahwa panas jenis Cv bergantung dari suhu sebagai berikut.

) 4 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 T CV 

Dan mendekati nol apabila T  0

Untuk dapat menerangkan hal ini perlu dikembangkan landasan baru untuk menerangkan perilaku panas jenis zat padat sedemikian itu dan tentunya landasan baru itu juga memberikan landasan baru teori dari gerak atom-atom dalam Kristal.

Kemudian masuklah teori kuantum yang menelah tentang dinamika kisi Kristal. Apabila sebelumnya dianggap bahwa energy atom-atom yang melakukan gerak selaras di sekitar kedudukan keseimbangannya dapat mempunyai harga yang continue, maka teori kuantum diandaikan bahwa energy termaksud terkuantisasi, artinnya terbatas pada harga-harga tertentu.

Einstin adalah yang pertama kalinya teori kuantum untuk panas jenis Kristal (1907). Diandaikannya bahwa atom-atom dalam Kristal berperilaku sebagai osilator kuantum, masing-masing dengan frekwensi tertentu. Diandaikannya pula bahwa bahwa osilator-osilator tersebut tidak saling mempengaruhi.

CV ( kk al /k mo le .K) Suhu Absolut ( K ) Timah Aluminiu m Silikon Karbon (diamond ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1 2 3 4 5 6 7

Dinamika Kisi Kristal Page 5 Teori yang dikembangkan oleh Einstein dapat menerangkan turunnya harga Cv dengan

suhu pada suhu rendah, tetapi ramalan tentang perubahan harga Cv dengan suhu T jauh lebih

cepat turun dari pada apa yang diamati melalui eksperimen.

Debye dan Max born- von karrean pada tahun 1912 juga mengembangkan teori kuantum tentang panas jenis Kristal yang meramalkan hubungan Cv dengan T yang lebih sesuai dengan

kenyataan. Dalam andalannya ,Debye memasukan unsur saling mempengaruhi antara berbagai osilator dalam Kristal, sesuai dengan adanya ikatan yang sangat kuat antara atom-atom dalam suatu Kristal.

Data eksperimental mengenai Cv = Cv (T) pada suhu sangat rendah memberikan petunjuk

bahwa energy getaran atom-atom dalam Kristal terkuantisasi dan pula penyebarannya dalam berbagai harga energy yang mungkin. Lebih dari informasi itu, tentang keadaan mikronya tak dapat diperoleh, terutama pengukuran dalam percobaan itu adalah pengukuran besaran fisik makro dan tidak berkaitan dengan proses fisik individual pada tingkat mikro.

Petunjuk yang lebih dalam lagi diperoleh percobaan hamburan netron dalam Kristal. Ternyata bahwa kecuali quantum energy getaran atom-atom Kristal, quantum itu juga memiliki sifat dan berperilaku sebagai zarah. Sifat terakhir ini dilukiskan dengan memberikan sebutan baru pada quantum getaran tersebut yaitu Phonon.

Dalam hamburan netron tak elastic dengan kisi Kristal, kita harus mengandaikan terciptanya ataupun terserapnya phonon di dalam Kristal. Jadi boleh dikatakan bahwa phonon itu adalah getaran kisi Kristal yang terkuantisasi. Dalam bab ini phonon merupakan suatu konsep yang harus menjadi perhatian utama pada pembahasan.

1. GETARAN DALAM ZAT PADAT

1.1 Getaran Elastik dan Rapat Mode getar

Pembahasan mengenai getaran dalam zat padat ini dimulai dengan menganggap bahwa panjang gelombang dari gelombang yang merambat dalam zat padat itu jauh lebih panjang dari pada jarak antar atom zat padat itu. Dengan demikian persoalnnya fisiknya meyangkut lingkup mikro dan zat perantara dlihat sebagai bahan zarah. Untuk mudahnya

Dinamika Kisi Kristal Page 6 kita anggap saja bahwa zat padat tersebut mempunyai sifat-sifat fisik yang serba sama dan isotropic disetiap titik dalam zat padat itu.

Andaikanlah bahwa situasi yang dihadapi adalah perambatan gelombang elastic dalam suatu batang silindrik andaikan pula bahwa batang itu mempunyai penampang A sedangkan bahannya mempunyai massa jenis  dan tetapang elastik modulus young Y.

Seperti pada gambar berikut ini.

Gb. 2 Gelombang elastik dalam batang

maka persamaan gelombang elastic untuk bagian batang antara x dan x + x adalah :











( )



...(5) 2 2 x x S x x S dt u x A       Dengan :

u : simpangan terhadap kedudukan setimbang S : tegangan (stress)



x x



S  : tegangan pada kedudukan



xx



S(x) : tegangan pada kedudukan x

Dimana regangan

dx du

e berkaitan dengan tegangan S yang sesuai dengan hokum Hooke yaitu :

Dinamika Kisi Kristal Page 7 S = Ye , (e = regangan/strain) ...(6)

Dalam ungkapan persamaan gerak terdapat pernyataan : S



xx



S(x) yang sesungguhnya sama dengan S :





( ) x...(7) dx dS x S x x S S       Atau ...(8) 2 2 x dx u d Y x dx de Y S     

Substutiskan ke dalam persamaan gerak sehingga menghasilkan :

) 9 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 2 2 2 2   dt u Y x u    

Yang mempunyai solusi persamaan berbentuk :

  ) 10 ..( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 t kx i e A u  

Dengan k = vektor gelombang dan = frekwensi radial gelombang. Substitusikan bentuk solusi persamaan diatas maka akan menghasilkan persamaan :

) 11 .( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2   Y k 

Dari teori gelombang diketahui bahwa kecevatan phase gelombang adalah ;

k

v  maka ...(12)



Y v

Hubungan antara ω dan k dapat dilihat pada grafik sebagai berikut. ω

k ω=v.k

Dinamika Kisi Kristal Page 8 Hubungan 

 

k untuk perambatan gelombang dalam suatu zat perantara dinamakan hubngan dispersinya. Untuk sebagian besar proses-proses fisik yang menyangkut bahan curah dengan panjang gelombang yang jauh lebih besar dari jarak antar atomik, kita akan menjumpai hubungan disperse yang bersifat linier.

Sesudah memperoleh hubungan dispersi untuk suatu gelombang elastic yang merambat dalam suatu dimensi, kita akan menelaah rapat mode getar untuk hal tersebut. Perhatikanlah fungsi gelombang berikut.

 

  ) 13 ...( ... ... ... ... ... ... ... ,t A₀eikx t A₀eikxe i t x u    

Dalam membahas tentang mode getar , eittidak berperan , oleh karena itu tidak perlu disertakan. Yang diperhatikan adalah fungsi dalam ruang yaitu :

 

0 ...(14) ikx e A x u 

Solusi gelombang tersebut sangat bergantung dari syarat batasnya, dianggap syarat batasnya adalah :

   

0 u L...(15)

u 

Dengan L adalah panjang batang.

 

0 A0 u  dan

 

ikL e A L u  0

Sehingga syarat batasnya adalah eikL 1

Syarat diatas membatasi harga yang dapat dimiliki oleh k, yaitu bahwa k yang diperbolehkan adalah :

n L

k_n  2 , dengan n = 0 ,1,2,3...

Setiap harga n diatas memberikan satu cara bergetar oleh satu mode getar. Bagaimanakah rapat mode getar tersebut?

Dinamika Kisi Kristal Page 9 Apabila L besar sekali, maka kn hampir kontinu, sehingga jumlah mode getar antara k dan

k k adalah : ) 16 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 k L n    Karena v k  maka    v

k 1 oleh sebab itu :

) 17 .( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2    v L n

Rapat mode getar dibataskan sebagai jumlah mode getar per satuan daerah frekwensi

 



g 



maka :

 

1...(18) 2 v L n g       

Ini hanya untuk gerakan dalam satu arah, apabila diperhatikan gerak dalam dua arah, maka:

 

1 1...(19) 2 2 v L v L g     

Sehingga rapat mode getar untuk perambatan gelombang baik dalam satu arah positif maupun negative adalah :

 

1...(20) v L g   

Hal ini kita lukiskan untuk tiga dimensi, khususnya apabila benda tersebut berbentuk kubus dengan rusuk sepanjang L. maka harga kx , ky dan kz yang memenuhi syarat batas

diperoleh dari syarat bahwa :

  1   k L kL L k i x y z e , atau apabila :





       L L m L n k k k_x, _y, _z 2, 2 ,2

Dinamika Kisi Kristal Page 10 Dengan n, m dan  memenuhi harga 0 ,1,2,3...

Apabila hal ini digambar secara grafis dalam ruang kx , ky dan kz seperti pada gambar

berikut.

Maka akan diperoleh titik – titik dalam ruang itu yang masing-masing membatasi volume sebesar 3 2       L 

. Setiap elemen volume tersebut mempersentasikan satu mode getar. Semua mode getar yang mempunyai harga vektor gelombang adalah :





2...(21) 1 2 2 2 z y x k k k k   

Direpresentasikan oleh satu titik yang terletak pada permukaan bola dalam ruang k, dengan jari-jari k yang berpusat di kx =0 , ky = 0 , kz = 0. Semua mode getar yang mempunyai

harga vector gelombang antara k dan



kk



terletak dalam elemen volum yang dibatasi oleh bola berjari-jari k dan bola berjasi-jari



kk



. Elemen volume itu besarnya :

 

...(22) 4k2 k

Karena setiap satu mode getar dipersentasikan oleh elemen volume sebesar

3 2       L  , maka jumlah mode getar dengan vektor gelombang antara k dan



kk



adalah :

kz ky kx L  2

Dinamika Kisi Kristal Page 11

 

2 2 3 3 2 2 2 4    k k L L k k _        

Atau jumlah mode getar persatuan volume dengan harga vector gelombang antara k dan



kk



adalah : ) 23 ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2 2  k k N   

Kita ketahui bahwa v k  maka    v k 1 Sehingga : ) 24 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2 3 2 v N      

Rapat mode getar persatuan volum bahan adalah jumlah mode getar yang ada untuk setiap satuan frekwensi.

 

 

...(25) 2 2 3 2 v g N g         

Jadi rapat mode getar persatuan volum untuk getaran dalam tiga dimensi dapat dinyatakan dengan grafik seperti gambar berikut.

g()

Dinamika Kisi Kristal Page 12 Lingkupan diatas perlu diperbaiki karena sesungguhnya untuk setiap gelombang elastic ada dua gelombang yaitu gelombang transversal dan satu gelombang longitudinal. Ternyata bahwa meskipun zatnya isotropik kecevatan fase gelombang transversal tak sama dengan gelombang longitudinal, katakanlah ; vT kecevatan fase untuk gelomnag transversal dan vL kecevatan fase

untuk gelombang longitudinal. Sehingga rapat mode getarnya adalah :

 

1 1 ...(26) 2 2 3 3 2         T L v v g   

Apabila dianggap vT = vL maka :

 

₂2 ₃ 2 v g    

Jadi menyangkut mode getar untuk perambatan gelombang elastik dalam zat padat dapat disimpulkan hal –hal sebagai berikut.

a. Hubungan disperse ω = ω(k) adalah linier

b. Rapat mode getar per satuan volum dinyatakan dengan :

 

        2₂ 1₃ 1₃ 2 v_L v_T g   

Dalam hal ini panjang gelombang getaran adalah sangat besar terhadap jarak antar atom.

Apabila tidak demikian halnya maka hasil diatas tidak berlaku. 1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat (Kristal)

Pembahasan mengenai panas jenis zat padat pada volume tetap Cv ternyata membuka

pengertian mengenai sifat getaran dalam suatu zat padat. Ternyata bahwa model-model tentang getaran kisi yang dibuat untuk menerangkan perilaku harga Cv dengan suhu mutlak

T member pentunjuk bahwa energy getaran kisi Kristal terkuantisasi, artinya bahwa harga-harga energy itu tidaklah continue , tetapi terbatas pada harga-harga-harga-harga diskrit tertentu.

Dinamika Kisi Kristal Page 13 Dalam butir-butir berikut ini akan diuraikan mengenai berbagai teori tentang panas jenis zat padat (Kristal) yang member landasan tentang konsep terkuantisasi energy getar Kristal.

Teori Einstin tentang Cv zat padat

Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam menerangkan pemancaran termal oleh suatu benda hitam sempurna, maka konsep kuantisasi energy itu juga diterapkan oleh Einstien dalam teorinya tentang Cv zat padat. Model tentang getaran dalam kisi yang

dipergunakan oleh Einstien untuk menerangkan ketergantungan Cv terhadap T adalah

sebagai berikut.

a. Atom-atom Kristal merupakan osilator-osilator yang independen yang masing-masing dapat memiliki energy diskrit sebesar :

) 27 ..( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... E n n     Dengan : n = 0 , 1, 2 , 3, …. E

 = frekwensi osilator Einstien.

b. Bahwa sebaran energy osilator pada harga energy yang diperkenankan mengikuti distribusi Boltzman :

 

_{n e} n/kBT...(28)

f   

Dengan kB = 1,3805 x 10-23 Joule/K yang merupakan tetapan Bolztman.

Dengan dua andalan tersebut kita mencoba mencari suatu pernyataan untuk enegri total osilator U. Apabila jumlah zatnya adalah kilomol, maka jumlah atomnya adalah NA

(bilangan Avogadro). Bila setiap atom mempunyai 3 derajad kebebasan untuk osilasi, maka : U 3N_AE

Dimana E adalah energy rata-rata untuk saatu osilator yang mempunyai satu derajad kebebasan.

Dinamika Kisi Kristal Page 14

 

 

_







          _  0 / / 0 0 0 n T k n T k n n E n n n n n B B e e n f f           Tetapi : T k n n B T k n n E B B _e T k e n / 0 / 0 1              





       

Oleh karena itu :

                             







T k n n B n T k n T k n n B B B B e In T k e e T k / 0 0 / / 0 1 1             Tetapi :





_                    



n k T T k T k T k n n B B B B e In In e e In e In / / 2 / _/ 0 1 1 ... 1   _      Karena itu :



1



1 1 1 /  /             k T E T k n B B E B _e e In In T k         , maka : ) 29 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1   T k E B E e    _ 

Dinamika Kisi Kristal Page 15 ) 30 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 3   T k E A B E e N U _ Melalui diferensiasi : V V T U C          diperoleh bahwa : ) 31 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... 1 3 ₂ 2       _        T k T k B E V B E B E e e T k R C      

Dinamika Kisi Kristal Page 16 Berbagai kesimpulan dapat ditarik yaitu sebagai berikut.

a. Energy rata-rata osilator dengan satu derajad kebebasan adalah

1   T k E B E e E _ Jika _{k T} 0 B E 

 _{artinya suhu sangat tinggi dan energy rata-rata menuju harga klasik k}

BT

yang akan memberika Cv = 3R sesuai dengan hokum Dulong dan Petit.

b. Jika T 0, maka CV 0.

Penelaahan yang lebih teliti tentang hasil menunjukkan bahwa pada suhu T 0, perubahan Cv dinyatakan sebagai :

3 T Cv 

Jadi perlu ada model yang diperbaiki untuk dapat menerangkan hubungan C_v T3 untuk suhu T 0. Hal ini telah dilakukan oleh Debye, dengan modelnya yang dipergunakan dalam teori debye tentang Cv suatu Kristal.

Perlu diperhatikan disini bahwa diumpamakan bahwa kontribusi terhadap Cv hanya

datang dari getaran kisi saja. Sesungguhnya apabila Kristal yang bersangkuta suatu logam, maka dapat diterapkan adanya kontribusi pada Cv yang berasal dari energy

electron bebas.

Meskipun teori Einstien menerangkan bahwa Cv mendekati nol apabila T mendekati

nol sesuai dengan pengamatan, namun teori ini tidak menerangkan bahwa : 3

T Cv 

Pada suhu – suhu sangat rendah.

Dimanakah letak kekurangan teori Einstien?

Einstien mengandaikan bahwa osilator masing-masing bergetar secara independent, jadi saling tak mempengaruhi. Hal ini agak bertentangan dengan kenyataan bahwa gaya antar atom dalam zat padat adalah tinggi.

Grafik Cv vs T yang telah digambarkan sebelumnya sangat menarik karena dengan

Dinamika Kisi Kristal Page 17 untuk berbagai macam Kristal. Sehingga dari data Cv vs T dengan mencari kesesuaian

yang terbaik dapat diperoleh harga DE untuk suatu macam Kristal.

Dibawah ini disertakan DE untuk beberapa Kristal yang diperoleh melalui

mencocokkan grafik Cv vs (T/DE) dan sekaligus dihitung besarnya frekwensi Einstien

ωE.

Kristal DE (0K) ωE (radial/sekon)

Intan 1320 1,73 x 1014 Tembaga 240 2,5 x 1013

Teori Einstien mengenai panas jenis Cv untuk Kristal memberikan hal-hal sebagai

berikut.

a. Kesesuaian dengan hokum Dulong dan Petit Cv = 3R untuk suhu tinggi, T>> DE.

b. Kesesuaian dengan hasil pengamatan bahwa Cv mendekati nol apabila T 0

c. Kurang cocoknya fungsi Cv vs T untuk suhu rendah yang secara eksperimental

adalah 3

T Cv  _.

Sedangkan teori Einstien untuk T <<DE adalah sebagai berikut.

T V v E e C   /

Teori Debye tentang panas jenis Kristal

Model tentan getaran dalam kisi yang dipergunakan oleh Debye untuk menerangkan ketergantungan Cv terhadap T adalah sebagai berikut.

a. Atom-atom Kristal merupakan osilator-osilator dengan ikatan kuat dengan daerah frekwensi ω = 0 ( sesuai dengan k = 0) dan suatu frekwensi maksimum yang ditentukan ole jumlah mode getaran yang diperkenankan.

b. Diandaikan bahwa hubungan disperse untuk gelombang elastic berlaku juga untuk getaran ini. Untuk itu digunakan rapat mode getar :

 

1 1 ...(32) 2 2 3 3 2         T L v v g   

Dinamika Kisi Kristal Page 18 Dengan vL dan vT masing-masing menyatakn kecevatan gelombang elasyik

longitudinal dan transversal.

c. Sebaran energy osilator terhadap semua hanya energy yang diperkenankan mengikuti statistic Bose – Einstien yaitu : jumlah getaran n yang memiliki energi E = ω dalam daerah frekwensi antara ω dan (ω + ω) dan syarat bahwa getaran itu dalam kesetimbangan termal dengan suhu Kristal T adalah :

) 33 ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 ) ( /     _kT B e g n _ 

Pertama-tama batas batas frekwensi ωD yang berhubungan dengan butir a diatas

adalah jumlah mode getar untuk 1 kilo mol bahan dengan NA adalah bilangan Avogadro :



 Dg d N_A    0 ) ( 3                



3 3 2 3 0 3 3 2 2 1 1 6 1 1 2 3 T L T L A v v d v v N D      

Sehingga diperoleh frekwensi tertinggi ( cut –off frequency) :

) 34 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 18 3 3 2 3         T L A v v N  

Oleh karena itu g() dapat ditulis sebagai :

 

1 1 ...(35) 2 1 3 3 2 2         T L v v g    Dengan : 3 3 3 2 9 1 1 2 1 D A T L N v v   _      , maka :

Dinamika Kisi Kristal Page 19

 

9 ₃ 2...(36)   D A N g 

Langkah kedua adalah menetapkan energy total osilator osilator tersebut.

Jumlah getaran yang n memiliki energi   dalam daerah daerah frekwensi antara ω dan (ω + ω) adalah :

) 37 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... 1 ) ( /     _kT B e g n _  Dengan :

 

2 3 9 _   D A N g  , maka :





...(38) 1 9 / 3 2     _kT D A B e N n _    

Energi yang tersimpan di daerah frekwensi antara ω dan (ω + ω) adalah :

 

_

_

...(39) 1 9 / 2 3       _kT D A B e N n u _     _  Sehingga :





...(40) 1 9 0 / 2 3



_   D BT k D A e N u       

Panas jenis Kristal :





...(41) 1 9 0 2 / / 4 2 3 2



_          D B B T k T k B D A V V e d e T k N T u C    _       

Kalau diubah dengan ;

T k x B    , maka :





...(42) 1 1 9 0 2 4 2 3 2



_        T D x x B B D A V D e dx e x T k T k N C    Dimana : B D D k

Dinamika Kisi Kristal Page 20 Sehingga diperoleh :





...(43) 1 9 0 2 4 3



_        T D x x D V D e dx e x D T R C

Pada grafik berikut ini menunjukkan betapa baiknya hasil pengukuran dengan teori untuk berbagai Kristal.

Dari hasil Teori Debye tentang panas jenis Kristal menunjukkan bahwa : a. Untuk suhu sangat rendah, yaitu apabila T << DD atau 

T DD

maka C_v T3 b. Apabila suhu tinggi yaitu apabila T >> DD atau 0

T D_D

maka Cv 3R

Karena apabila x sangat kecil, maka ex 1x sehingga :









         T D D T D x x D D T D dx x e dx e x 0 3 2 0 2 4 3 1 1

Dinamika Kisi Kristal Page 21 Jadi : R T D D T R C D D V 3 3 1 9 3 3              

c. DD dapat diperoleh melalui penyesesuian data pengukuran pada lengkung universal

      D V D T

C . Kecuali itu Karena

B D D

k

D   . Dengan _D yang dapat diperoleh dari data akustik yang ditampilkan pada table berikut untuk beberapa macam Kristal.

Dinamika Kisi Kristal Page 22 Model tentang getaran dalam Kristal untuk dapat menerangkan ketergantungan CV pada T

untuk suhu rendah (T 0) memerlukan konsep kuantisasi, khususnya bahwa energy getaran kisi itu terkuantisasi.

Dalam model Einstien hal itu jelas dengan mengatakan bahwa energy yang dapat dimiliki oleh atom yang bergetar adalah :

E

n 

  

dengan n = 0 ,1,2,3...

Dalam model Debye hal itu tidak terlalu jelas, kecuali apabila kita menelaah penurunan dari rapat mode getar :

 

        2 ₂ 1₃ 1₃ 2 1 T L v v g   

Dalam penurunan yang dilakukan sebelumnya terlihat bahwa syarat batas menyebabkan bahwa harga ω tidak dapat continue tetapi dibatasi oleh :

L n k_x  2 L m k_y  2 L k_z 2

dengan n , m,  = 0 ,1,2,3...(dannegatifnya)

kemudian dari pada itu pula menurut Debye harga ω terbatas dari ω = 0 sampai ω = ωD. Jadi

ternyata bahwa energy getaran atom-atom Kristal ataupun energy getaran kisi Kristal terkuantisasi.

Gumpalan getaran yang terkuantisasi ini dinamakan phonon atau fonon. Ternyata bahwa beberapa hal fonon berperilaku sebagai zarah yang mempunyai momentum linier.

Model Einstien tentang getaran Kristal menggambarkan bahwa sifat getarannya dapat dikembalikan pada sejumlah osilator dalam Kristal itu yang masing-masing tak tergantung satu dengan lainnya.

Dinamika Kisi Kristal Page 23 Masing-masing osilator itu bergetar dengan frekwensi yang merupakan kelipatan dari suatu harga frekwensi dasar ωE. Energi dari osilator itu dapat berharga :

E

n 

  

dengan n = 0 ,1,2,3...

Penyebaran harga energi osilator mengikuti distribusi Boltzman :

 

kT n B n e f    /

Dalam model Debye yang merupakan perbaikan dari model Einstien tidak diandaikan adanya osilator-osilator bebas. Dalam model Debye digambarkan bahwa atom-atom Kristal bergetar sebagai satu keseluruhan. Dan dalam getaran bersama itu ( secara kolektif) atom-atom dapat bergetar menurut mode-mode getar tertentu yang dapat ditentukan oleh syarat-syarat batas.

Diketahui dari kuliah tentang getaran bahwa tidak ada interaksi antara berbagai mode getar, tiap mode getar independent dan tidak dipengaruhi oleh yang lain.

DAFTAR PUSTAKA

kel2zadat. 2010. Dinamika Kisi. Tersedia pada : http://kel2zadat.blogspot.com/2010/06/bab-ii-dinamika-kisi-dalam-bab-yang_02.html

Yasa,P.2004. Pengantar Fisika Zat Padat. Singaraja : Institut Perguruan dan Ilmu Pendidikan Negeri.