126
BAB VIII BANGUN RUANG
A. Bentuk Bangun Ruang dan Unsur-unsurnya
Bila kita mengamati benda-benda dalam kehidupan sehari-hari, sering kita temui benda-benda berikut ini.
Benda-benda di atas dalam matematika memiliki nama-nama khusus berikut ini:
Bangun-bangun ruang di atas memiliki bidang yang membatasi bagian dalam dan bagian luar bangun ruang (tiga dimensi) yang disebut bidang sisi yang selanjutnya disebut sisi. Sisi-sisi suatu bangun ruang umumnya berpotongan pada suatu garis (lurus atau lengkung) yang disebut rusuk.
Pada umunmya suatu bangun ruang memiliki pojok yang disebut juga titik sudut. Titik sudut umumnya merupakan titik potong dari beberapa rusuk.
Balok Kubus Prisma Segitiga
Kerucut Tabung Bola Limas segiempat
127 Contoh:
B. Kubus dan Balok
a. Kubus
Gambar menunjukkan sebuah kubus. Kubus di samping diberi nama kubus ABCD.EFGH dengan bidang ABCD sebagai sisi alas dan bidang EFGH sebagai sisi atas.
Sisi-sisi lainnya adalah bidang ADHE, BCGF, ABFE, dan DCGH. Setiap sisi kubus berbentuk persegi yang kongruen.
Sisi (bidang batas sebelah atas)
Rusuk (garis pertemuan sisi kanan dengan sisi belakang
Titik sudut
Titik sudut
Sisi alas
Rusuk (garis pertemuan sisi bawah dengan sisi lengkung/selimut kerucut)
128 b. Balok
Gambar menunjukkan sebuah balok ABCD.EFGH dengan bidang ABCD sebagai sisi alas dan bidang EFGH sebagai sisi atas. Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu balok kongruen dan sejajar. Setiap sisi balok berbentuk persegi panjang.
Bila kita memperhatikan rusuk AD, rusuk DC, rusuk EF, dan rusuk HG, maka keempat rusuk tersebut tidak saling berpotongan dan tidak akan berpotongan walaupun diperpanjang, karena jarak antara rusuk-rusuk tersebut tetap. Rusuk-rusuk yang demikian yaitu AB, DC, EF, dan HG merupakan rusuk sejajar. Dapatkah kamu menyebutkan rusuk-rusuk lain yang sejajar?
Bila kita membuat garis yang menghubungkan titik H dan B, maka garis tersebut yaitu HB menghubungkan dua titik sudut yang disebut diagonal.
Karena diagonal HB terletak dalam ruang balok, maka disebut diagonal ruang.
Bila kita memperhatikan diagonal ruang yang lain, misalnya diagonal ruang EC, dalam gambar diagonal ruang EC seakan-akan lebih panjang daripada diagonal ruang HB, padahal kedua diagonal tersebut sama panjang. Jadi, HB dan EC sama panjang.
129 Balok ABCD.EEGH dapat disekat oleh suatu bidang, misalnya bidang BDHF yang disebut bidang diagonal. Bidang diagonal BDHF dibentuk oleh dua rusuk yang berhadapan dan sejajar, yaitu rusuk BF dan DH. Bidang diagonal BDHF berbentuk parsegi panjang.
Bidang diagonal yang lain dapat kita bentuk, misalnya bidang yang dibentuk oleh rusuk BC dan EH adalah bidang diagonal BCHE. Bidang diagonal BCHF berbentuk persegi panjang.
c. Menggambar Kubus dan Balok
Untuk menggambar kubus ABCD.EFGH, perlu terlebih dahulu diperhatikan hal-hal berikut.
1) Sisi bagian depan yaitu ABFE dan sisi bagian belakang yaitu DCGH digambar berbentuk persegi, karena kedua sisi tersebut letaknya sejajar dengan bidang gambar.
2) Rusuk-rusuk yang letaknya mengarah dan depan ke belakang yaitu AD, BC, FG dan EH digambar lebih pendek dari rusuk-rusuk lainnya, walaupun sesungguhnya panjang rusuk-rusuk kubus adalah sama.
3) Rusuk-rusuk yang terhalang pandangan oleh sisi lain yaitu AD, DC dan DH digambar sebagai garis putus-putus.
Dengan demikian untuk menggambar kubus pada kertas berpetak dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
130 Langkah 1 : Menggambar sisi kubus bagian depan yang berbentuk
persegi yaitu persegi ABFE.
Langkah 2 : Menggambar sisi kubus bagian belakang yang berbentuk persegi, yaitu persegi DCGH. Ingat, rusuk yang terhalang pandangannya yaitu DC dan DH digambar terputus-putus. Langkah 3 : Menggambar rusuk-rusuk yang mengarah dan depan ke
belakang, yaitu AD, BC, FG, dan EH. Ingat, rusuk AD digambar terputus-putus.
Untuk menggambar balok pada kertas berpetak, caranya sama dengari cara menggambar kubus. Hanya yang perlu diingat sisi-sisi balok berbentuk persegi panjang. Jadi, langkah 1 dan langkah 2 adalah menggambar persegi panjang.
Dalam membuat model kerangka suatu bangun ruang, yang diperhatkan adalah rusuk-rusuk dan bangun ruang itu. Model kerangka suatu bangun ruang dapat dibuat dan lidi dengan lilin, sedotan minuman dengan benang, kawat dengan patrian, dan lain sebagainya.
Contoh:
Untuk membuat model kerangka balok di samping diperlukan kawat sebagai berikut: 4 batang berukuran 8 cm, yaitu 4 x 8 an 4 batang berukuran 5 cm, yaitu 4 x 5 cm 4 batang berukuran 6 cm, yaitu 4 x 6 cm
131 Jumlah panjang kawat yang diperlukan
= 4 x 8 cm + 4 x 5 cm + 4 x 6 cm = 32 cm + 20 cm + 24 cm
= 76 cm
Cara lain untuk menghitung jumlah panjang kawat yang diperlukan adalah: Jumlah panjang kawat yang diperlukan
= 4 x 8 cm + 4 x 5 cm + 4 x 6 cm
= 4 x (8 cm + 5 cm + 6 cm) (sifat distributif) = 4 x 19 cm
= 76 cm
Ternyata hasilnya sama, tetapi menghitungnya lebih sederhana.
Bila sebuah balok berukuran panjang = p, lebar = l, dan tinggi = l, maka jumlah panjang rusuknya = 4p + 4l + 4t atau = 4(p + l + t)
Contoh:
Karena rusuk-rusuk kubus panjangnya sama dan banyak rusuknya adalah 12, maka kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka kubus di samping dapat dihitung sebagai berikut. Jumlah panjang kawat yang diperlukan:
= 12 x 5 cm = 60 cm
d. Jaring-jaring Kubus
Bila suatu bangun ruang diiris pada beberapa rusuknya, kemudian direbahkan sehingga terjadi bangun datar, maka bangun datar tersebut disebut jaring-jaring.
132 Gambar (i) di atas adalah model kubus ABCD.EFGH yang terbuat dari kertas. Bila kubus itu diiris sepanjang rusuk-rusuk AE, EH, HD, EF, FB, HG, dan GC seperti gambar (ii), kemudian direbahkan di atas bidang datar (misalnya permukaan meja) seperti gambar (iii), maka bangun datar seperti gambar (iii) di atas disebut jaring-jaring kubus.
Jaring-jaring kubus merupakan rangkaian 6 buah persegi, yang apabila dilipat-lipat menurut garis persekutuan dua persegi dapat membentuk kubus, dan tidak ada sisi yang rangkap (ganda). Dengan demikian, tidak semua rangkaian 6 persegi merupakan jaring-jaring kubus.
133 e. Jaring-jaring Balok
Model balok kertas pada gambar (i) berikut ini diiris beberapa rusuknya seperti gambar (ii), kemudian direbahkan seperti gambar (iii), maka terjadilah jaring-jaring balok (gambar (iii)).
Bila rusuk-rusuk yang diiris berbeda, maka akan terjadi jaring-jaring balok yang berbeda pula.
C. Prisma dan Tabung a. Prisma
Gambar beberapa contoh prism. Setiap prisma dibatasi oleh dua sisi berhadapan yang korigruen dan sejajar. Pada gambar tersebut, sisi-sisi yang saling sejajar dan kongruen ditandai dengan arsiran. Sedangkan sisi-sisi
134 lainnya berpotongan menurut garis-garis yang sejajar, sehingga terdapat rusuk-rusuk yang sejajar.
Prisma diberi nama berdasarkan segi banyak pada sisi alas atau sisi atasnya. Gambar (i) adalah prisma segi empat, karena alasnya berbentak segi empat. Sedangkan Gambar (ii) dan (iii) masing-masing disebut prisma segitiga dan prisma segi lima. Rusuk-rusuk prisma pada Gambar (i), (ii), dan (iii) tegak lurus terhadap sisi alas dan sisi atas, sehingga prisma-prisma tersebut disebut prisma tegak. Sedangkan Gambar (iv) disebut prisma condong atau prisma miring.
Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi berhadapan yang kongruen dan sejajar, serta sisi-sisi lain yang berpotongan menurut rusuk-rusuk yang sejajar.
Contoh:
Gambar sebuah prisma segi enam ABCDEF.GHIJKL.
Sisi ABCDEF seBagai sisi alas dan sisi GHIJKL sebagai sisi atas.
Sisi-sisi tegaknya adalah sisi ABHG, BCIH, CDJI, DEKJ, EFLK, dan AFLG.
Rusuk-rusuk tegaknya adalah GA, HB, IC, JD, KE, dan LF.
b. Tabung
Gambar menunjukkan sebuah tabug. Sisi alas dan sisi atas tabung kongruen dan saling sejajar. Sisi alas dan sisi atas tabung berbentuk lingkaran. Dengan demikian, dapat juga dikatakan bahwa tabung adalah prisma yang alasnya berbentuk lingkaran. Sisi lengkung suatu tabung disebut selimut tabung.
135
D. Limas dan Kerucut a. Limas
Gambar beberapa contoh limas. Setiap limas dibatasi oleh sebuah segi banyak sebagai alas dan beberapa buah segitiga yang titik puncaknya bertemu pada satu titik.
Limas diberi nama berdasarkan segi banyak pada sisi alasnya. Gambar (i) adalah limas segi empat karena alasnya merupakan segi empat. Sedangkan Gambar (ii) dan (iii) masing-masing adalah limas segitiga dan limas segi enam.
Contoh:
Gambar menunjukkan limas segi lima T.ABCDE. Sisi ABCDE sebagai sisi alas dan titik T sebagai titik puncak. Sisi tegaknya adalah sisi-sisi TAB, TBC, TCD, TDE, dan TAE. Rusuk-rusuk tegaknya adalah TA, TB, TC, ``` z`1 W0051XXZTD, dan TE.
b. Kerucut
Gambar menunjukkan sebuah kerucut. Bila kita bandingkan dengan limas, ternyata kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran.
