ISBN : 978-979-16353-3-2
“P
P
e
e
n
n
e
e
l
l
i
i
t
t
i
i
a
a
n
n
d
d
a
a
n
n
P
P
e
e
n
n
d
d
i
i
d
d
i
i
k
k
a
a
n
n
M
M
a
a
t
t
e
e
m
m
a
a
t
t
i
i
k
k
a
a
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
k
k
o
o
n
n
t
t
r
r
i
i
b
b
u
u
s
s
i
i
n
n
y
y
a
a
d
d
a
a
l
l
a
a
m
m
U
U
p
p
a
a
y
y
a
a
P
P
e
e
n
n
c
c
a
a
p
p
a
a
i
i
a
a
n
n
W
W
C
C
U
U
(
(
W
W
o
o
r
r
l
l
d
d
C
C
l
l
a
a
s
s
s
s
U
U
n
n
i
i
v
v
e
e
r
r
s
s
i
i
t
t
y
y
)
)
”
”
Yogyakarta, 5 Desember 2009
Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
2009
PROSIDING
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN
MATEMATIKA
Penyelenggara :
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Kerjasama dengan
Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS)
wilayah Jateng dan DIY
PROSIDING SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
5 Desember 2009 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan pada
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
pada tanggal 5 Desember 2009
di Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Tim Penyunting Artikel Seminar :
1. Prof. Dr. Rusgianto
2. Dr. Hartono
3. Dr. Jailani
4. Sahid, M.Sc
Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
1
DAFTAR MAKALAH
kode Nama pemakalah Judul Hal
A.1 Imam Fahcruddin Spectrum Pada Graf Star ( ) Dan Graf Bipartisi Komplit ( ) Dengan
1 A.2 M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. TEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung 12 A.3 Lucia Ratnasari/ Y.D. Sumanto KOMPLEMEN GRAF FUZZY 22 An.1 Muslim Ansori RUANG LINEAR BERNORMA
(
(
)
)
2
,
[ , ]
ESS
C
H L
a b
31An.2 Drajad Maknawi /Drs. Mulich, M.Si
Definisi Tipe Riemann untuk Integral Lebesgue 38 An.3 Rudianto Artiono Discounted Feynman Kac Untuk Mencari PDP Pada Penentuan Harga Opsi
Saham Karyawan Setelah Vesting Period 49 An.4 Sujito, S.T., M.T Implementasi Lagrange Equation Pada Optimasi Incremental Fuel Cost
Pembangkit Energi Guna Penjadwalan Pembangkit Berbasis Metode Dynamic Programming
57 An.5 Hairur Rahman Globally Small Riemann Sums (Gsrs) Integral Henstock-Pettis Pada Ruang
Euclide Rn
72 P.1 Drs. M. Nur Yadil, M.Si Penerapan Model Pembelajaran Van Hiele Untuk Meningkatkan
Pemahaman Siswa SMP Karunadipa Palu Terhadap Konsep Bangun- Bangun Segiempat
81 P.2 Drs. Syaiful, M.Pd Model Pengajaran Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah
Matematika Pada Guru SMP 92
P.3 Dra. Dwi Astuti, M.Si/ Bambang
Hudiono Perilaku Metakognisi Anak Dalam Matematika: Kajian Berdasarkan Etnis Dan Gender Pada Siswa SMP Di Kalimantan Barat 107 P.4 Budiyono Kompetensi Guru Sekolah Dasar
Dalam Memahami Matematika SD 119 P.5 Budiyono /Wanti Guspriati Jenis-Jenis Kesalahan Dalam Menyelesaikan Soal Persamaan Differensial
Biasa (PDB) Studi Kasus Pada Mahasiswa Semester V Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Purworejo
131
P.6 Drs. Abusyafik, M. Pd./ Siti Khanifah, S.
Pd PEMBELAJARAN FPB DAN KPK DENGAN DAN TANPA ALAT PERAGA PADA SISWA KELAS V SD NEGERI BLENGORKULON KECAMATAN AMBAL KABUPATEN KEBUMEN TAHUN PELAJARAN 2008/2009
141
P.7 Dra. Sulis Janu Hartati, M.T Karakteristik Proses Berpikir Siswa Kelas III Sekolah Dasar Pada Saat
Melakukan Aktivitas Membagi 153 P.8 Drs. Hamdani, M.Pd. Pengembangan Pembelajaran Dengan Mathematical Discourse Dalam
Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematik Pada Siswa Sekolah Menengah Pertama
163
P.9 Dra. Tina Yunarti, M.Si Fungsi Dan Pentingnya Pertanyaan
Dalam Pembelajaran 174
P.10 Supratman Membandingkan Hasil Belajar Matematika Siswa Yang Pembelajarannya Menggunakan Model Kooperatif Tipe Jigsaw Dengan Tipe Stad Pada Materi Lingkaran
185 P.11 Akhmad Jazuli Berfikir Kreatif Dalam Kemampuan Komunikasi Matematika 209 P.12 Agustin Ernawati, S.Pd./
2
P.13 Alfath Famela Rokhim/ Sitti Maesuri
Patahuddin Penggunaan Permainan Online Dalam Belajar Matematika 234 P.14 Darmadi, S.Si, M.Pd.
Spektrum Hasil Belajar Analisis Real Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika IKIP PGRI Madiun
Tahun Akademik 2008/2009
247 P.15 Endang Rahayu, S.Si, M.Pd. Pembelajaran Konstruktivisme
Ditinjau Dari Gaya Belajar Siswa 252 P.16 Armiati Komunikasi Matematis dan Kecerdasan Emosional 270 P.17 Sitti Maesuri Patahuddin/ Siti Rokhmah/
Mohamad Nur Pengembangan LKS berbasis ICT pada Pembelajaran Matematika SMP RSBI 281 P.18 Drs. Mustangin, M.Pd / Agustin Debora
MS Penerapan Global Learning Dan Mind Mapping Dalam Pembelajaran Matematika Sebagai Jaringan Konsep 295 P.19 Drs.Dwikoranto,M.Pd MENINGKATKAN KOMPETENSI
GURU MATEMATIKA DAN IPA SMP MELALUI KEGIATAN LESSON STUDY 310 P.20 Siti Rokhmah/ Siti Maesuri Patahuddin /
Mohamad Nur LKS Matematika Berbasis ICT Untuk Memfasilitasi Siswa Berpikir Kritis 325 P.21 Agustin Debora MS, Drs. Mustangin,
MPd Dra. Santi Irawati, M.Si,Ph.D Mengoptimalkan Memory Jangka Panjang Siswa SMPN1 Pajarakan dalam Memaknai Konsep Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Dengan Penyandian
336 P.22 Kartini, S.Pd. M.Si Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika 361 P.23 Ariyadi Wijaya, M.Sc Hypothetical Learning Trajectory
dan Peningkatan Pemahaman Konsep Pengukuran Panjang 373 P.24 Abdussakir, M.Pd/ Nur Laili Achadiyah,
S.Pd PEMBELAJARAN KELILING DAN LUAS LINGKARAN DENGAN STRATEGI REACT PADA SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 6 KOTA MOJOKERTO 388 P.25 Djamilah Bondan Widjajanti, M.Si KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS MAHASISWA CALON
GURU MATEMATIKA: APA dan BAGAIMANA MENGEMBANGKANNYA 402 P.26 Sugiman, M.Si PANDANGAN MATEMATIKA SEBAGAI AKTIVITAS INSANI BESERTA
DAMPAK PEMBELAJARANNYA 414
P.28 Kadir, S.Pd., M.Si. Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP
melalui Penerapan Pembelajaran Kontekstual Pesisir 428 P.30 Risnanosanti PENGGUNAAN PEMBELAJARAN INKUIRI DALAM MENGEMBANGKAN
KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA SMA DI KOTA BENGKULU 441 P.31 Abdul Qohar PEMAHAMAN MATEMATIS SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
PADA PEMBELAJARAN DENGAN MODEL RECIPROCAL TEACHING
453 P.32 Ali Mahmudi, M.Pd Menulis sebagai Strategi Belajar Matematika 466 P.33 Dra. Sri Hastuti Noer, M.Pd. Peningkatan Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa SMP Melalui
Pembelajaran Berbasis Masalah 473 P.34 Dra. Nila Kesumawati, M. Si Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP
Melalui Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik 484 P.35 Eri Satria Model Pembelajaran Computer Support Collaborative Learning (CSCL) 494 S.1 Pika Silvianti,
Khairil A. Notodiputro, I Made Sumertajaya
Pendekatan Metode Bayes Untuk Pendugaan Pengaruh Interaksi Pada Model Ammi
(Bayesian Approach for Estimating Interaction Effect of AMMI Model)
503 S.2 I Gede Nyoman Mindra Jaya Analisis Interaksi Genotipe Lingkungan Menggunakan Partial Least Square
Path Modeling 514
S.3 H. Bernik Maskun *) Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut Menggunakan Statistik Chi-Kuadrat Rank (Pendekatan Non Parametrik)
530 S.4 Zulhanif , Yadi Suprijadi Perbandingan Mekanisme Data Hilang Pada Model Normal 544
3
S.5 Mohammad Masjkur
Metode Kemungkinan Maksimum Em Pendugaan Parameter Model Nonlinear Jerapan Fosfor 551 S.6 Enny Supartini Menentukan Statistik Pengujian Untuk Eksperimen Faktorial dengan Dua Kali
Pembatasan Pengacakan 560
S.7 Neneng Sunengsih Seleksi Variabel Dalam Analisis Regresi Multivariat Multipel 567 S.8 Liana Kusuma Ningrum / Winita
Sulandari, M.Si Penerapan Model Arfima (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) Dalam Peramalan Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI)
581 S.9 Retno Hestiningtyas / Winita Sulandari,
M.Si Pemodelan Tarch Pada Nilai Tukar Kurs Euro Terhadap Rupiah 591 S.10 Epha Diana Supandi, S.Si., M.Sc./ Dra.
Khurul Wardati, M.Si./ Iwan Kuswidi, S.Pd.I., M.Sc.
Aplikasi Multidimensional Scalling
(Studi Kasus : Analisis Segmentasi dan Peta Posisi UIN Sunan Kalijaga terhadap Perguruan Tinggi di Yogyakarta)
599 S.11 Anindya Apriliyanti Pravitasari
Penentuan Banyak Kelompok dalam Fuzzy CMeans Cluster Berdasarkan Proporsi Eigen Value Dari Matriks Similarity dan Indeks XB (Xie dan Beni) 623 S.12 Wahyu Wibowo METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI
SEMIPARAMETRIK SPLINE 633
S.13 Achmad Zanbar Soleh / Peris Siregar/
Resa Septiani Pontoh SELEKSI VARIABEL KUALITATIF MELALUI PROPORTIONAL REDUCTION IN UNCERTAINTY (PRU) 646 S.14 Lisnur Wachidah
Uji Kecocokan Chi-Kuadrat Untuk Distribusi Poisson Pada Data Asuransi 653 S.15 Danang Teguh Qoyyimi Model Suku Bunga Multinomial 666 S.16 Hery Tri Sutanto MULTI KOLLINIERITAS DALAM REGRESI MULTIPLE LOGISTIK 676 S.17 Hery Tri Sutanto Cluster Analysis 681 S.18 Anna Chadidjah/ Indra Elfiyan Model Regresi Data Panel untuk Menaksir Realisasi Total Investasi Asing dan
Dalam Negeri .(Studi Kasus di Provinsi Jawa Barat) 690 S.19 Siti Sunendiari Model Regresi Linier Dalam Melihat
Keberhasilan Belajar Siswa SMU 731 S.20 Anik Djuraidah Indeks Kerentanan Sosial Ekonomi
Untuk Bencana Alam Di Wilayah Indonesia 746 S.21 Anik Djuraidah Evaluasi Status Ketertinggalan Daerah Dengan Analisis Diskriminan 756 S.22 Isnani, M.Si Penggunaan Bootstrap Untuk Mendeteksi Keakuratanan Kriging 772 S.23 Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, M.Sc Pemanfaatan Software Open Source R dalam pemodelan ARIMA 786 S.24 Indahwati / Dian Kusumaningrum /
Wiwid Widiyani APLIKASI REGRESI DUA LEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA 796 S.25 Indahwati / Yenni Angraeni /Tri Wuri
Sastuti PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG 816 S.26 Yusep Suparman Perlukah Cross Validation dilakukan?
Perbandingan antara Mean Square Prediction Error dan Mean Square Error sebagai Penaksir Harapan Kuadrat Kekeliruan Model
833 S.27 Ridha Ferdhiana, M.Sc
Uji Alternatif Data Terurut
4
S.28 Bertho Tantular Pelanggaran Asumsi Normalitas Model Multilevel
Pada Galat Level yang Lebih Tinggi 849 S.30 Dien Sukardinah SENSITIFITAS INDIKATOR KESELURUHAN MULTIKOLINEARITAS
DALAM MODEL REGRESI LINEAR MULTIPEL 862 S.31 Lienda Noviyanti SUATU MODEL HARGA OBLIGASI 871 S.32 Kismiantini / Dhoriva Urwatul Wutsqa DAMPAK PENURUNAN HARGA BBM JENIS PREMIUM TERHADAP
ANGKA INFLASI DI KOTA YOGYAKARTA (Studi Aplikasi Model Intervensi dengan Step Function)
879 S.33 Iqbal Kharisudin Koefisien Determinasi Regresi Fuzzy Simetris Untuk Pemilihan Model Terbaik 895 S.35 Heri Retnawati Pengaruh Kemampuan Awal dan Kemampuan Berfikir Logis/penalaran
terhadap Kemampuan Matematika (Studi Komparasi Sensitivitas Program Lisrel 8.51 dan Amos 6.0)
910 S.36 Dhoriva Urwatul Wutsqa /Suhartono PERAMALAN DERET WAKTU MULTIVARIAT SEASONAL PADA DATA
PARIWISATA DENGAN MODEL VAR-GSTAR 933 T.1 Muhammad Wakhid Musthofa, M.Si Desain Linear Quadratic Regulator pada Sistem Inverted Pendulum 950 T.2 Gumgum Darmawan, Okira Mapanta ,
Trifandi Lasalewo Membangun Software Aplikasi pada Antrian Jaringan Jackson untuk menentukan Performansi Optimal 960 T.3 Totok Yulianto Simulasi Pengendalian Struktur berbasis pada Material Cerdas 979 T.4 John Maspupu
ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU KEDIP
(FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET 993 T.5 John Maspupu
PENENTUAN HUBUNGAN EKSPONEN SPEKTRAL DAN DIMENSI
FRAKTAL SINYAL ULF GEOMAGNET 1000 T.6 Gatot Riwi Setyanto, Drs., M.Si. RISIKO PENDANAAN PENSIUN ACCRUED BENEFIT COST METHOD
DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PENGARUH KURS VALUTA ASING 1010 T.7 Bachtiar Anwar Analyzing Coronal Mass Ejection of July 10, 2005 and Its Effect on the Earth’s
Magnetosphere 1021
T.8 Sangadji FORMULA HERON:
TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK
1033 T.9 Dwi Lestari / Atmini Dhoruri, MS Model Epidemi Berdasarkan Umur dan Kriteria Threshold 1040 T.10 Renny, M.Si MODEL MATEMATIKA
DALAM KASUS EPIDEMIK KOLERA DENGAN POPULASI KONSTAN 1051 T.11 Rubono Setiawan Analisa Kestabilan Ekuilibrium
Model Matematika Berbentuk Sistim Persamaan Diferensial Tundaan dengan Waktu Tundaan Diskrit
1064 T.12 I Made Sulandra Algoritma Groebner Walk Lambat? 1078 T.13 Dwi Ertiningsih, Widodo Optimalisasi dan Pemodelan Inventory dengan Dua Gudang Penyimpanan
untuk Barang yang Mengalami Penyusutan dengan Backlog Shortage dan Waktu Tunggu (Lead Time) Fuzzy
1093 T.14 M. Navi’ Jauhari Ulinnuha Perancangan Software Batik Berbasis Geometri Fraktal 1109 T.15 Habirun ANALISIS MODEL VARIASI HARIAN KOMPONEN GEOMAGNET
BERDASARKAN POSISI MATAHARI 1116 T.16 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat /
Sulistyono PEMETAAN α
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
DAN HASIL PEMETAANNYA1127
T.17 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat /
Siska Ayunani METODEFINALTIUNTUKMENENTUKANBERATSAPIOPTIMAL 1139 T.18 Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. Metode Levenberg-Marquardt
5
T.19 Dra. Asmara Iriani Tarigan, M.Si Optimasi Jadwal Ujian di Perguruan Tinggi dengan Metode Branch and Bound 1162 T.20 Fitriana Yuli Saptaningtyas Metode Volume Hingga Untuk Mengetahui Pengaruh Sudut Pertemuan
Saluran Terhadap Profil Perubahan Sedimen Pasir Pada Pertemuan Sungai 1174 T.21 Nikenasih Binatari Model SIR untuk Ketahanan Behavioural 1187 T.22 Kuswari Hernawati Optimalisasi SEO (Search Engine Optimizer) sebagai upaya meningkatkan
unsur Visibility dalam Webometric 1198 T.23 Isnaini Rosyida PENENTUAN BILANGAN KROMATIK FUZZY PADA GRAF FUZZY GF(V,EF)
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1127T-16
PEMETAAN
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
DAN HASIL PEMETAANNYA
Oleh :
H. A. Parhusip
1dan Sulistyono
2Program Studi Matematika Industri dan Statistika
Fakultas Sains dan Matematika (FSM)
Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW) (www.uksw.edu)
1pressure1733@hotmail.com
2
mahasiswa S1, matematika –FSM‐UKSW
Abstrak : Pemetaan
w
=
( z
1
/
)
α, dengan α
∈ Z (himpunan bulat negatif) dan
−α
∈
(
0
,
1
)
serta hasil pemetaannya ditunjukkan pada makalah ini. Dapat ditunjukkan
pemetaan ini konformal. Hasil pemetaan diperoleh dengan melakukan transformasi
geometri.
Kata kunci : pemetaan konformal, fungsi analitik, persegi
1.
Pendahuluan
Pemetaan konformal adalah pemetaan yang mempertahankan besaran dan
arah sudut diantara sebarang dua kurva yang berpotongan di suatu titik tertentu. Pada
makalah terdahulu (Parhusip dan Sulisyono, 2009) ditunjukkan hasil pemetaan
α
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
untuk
α
=
1
dan
α
=
2
. Hasil pemetaan ditunjukkan dengan terlebih dahulu
ditunjukkan untuk pemetaan garis vertikal dan garis horizontal secara terpisah.
Selanjutnya dilakukan pemetaan untuk 1 bidang persegi. Untuk persegi lebih dari 1
dilakukan dengan menggunakan transformasi geometri seperti pencerminan. Pada
makalah ini akan ditunjukkan pemetaan
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
untuk berbagai nilai α .
Pada Bab II ditunjukkan pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya
yang merupakan hasil penelitian sebelum ini (Parhusip dan Sulisyono, 2009) . Pada Bab
III dijelaskan cara melakukan penelitian ini. Hasil dan Pembahasan ditunjukkan pada
Bab IV. Selanjutnya kesimpulan ditunjukkan pada Bab terakhir.
2.
Pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya
Pemetaan garis vertikal dan garis horizontal
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1128Telah diketahui bahwa pemetaan garis vertikal dan haris horisontal oleh w=1/z
merupakan persamaan lingkaran (Parhusip dan Sulisyono, 2009). Beberapa hasil
pemetaan untuk garis vertikal dan horizontal ditunjukkan pada Gambar 1‐3.
Sedangkan untuk y = a dan garis x = b (a,b
≠
0
) dengan fungsi pemetaan w = 1/z
untuk berbagai nilai a dan b yang berbeda, yaitu a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b
> 0 dan a,b < 0 berturut‐turut ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 1. Persamaan garis x=c, x=d
dipetakkan dengan w=1/z
menjadi lingkaran , c,d > 0
Gambar 2. Persamaan garis x=c, x=d
dipetakkan dengan w=1/z
menjadi lingkaran ,c,d < 0.
Gambar 3. Persamaan garis x=c dan x=d dan bayangannya untuk c>0 dan d<0
Gambar 4. Persamaan garis y=a, x=b dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran
dengan a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b > 0 dan a,b < 0.
Bayangan persegí untuk 1 persegi
Gambar 4a menunjukkan bahwa a,b > 0 dan bayangan digambarkan dalam
lingkaran penuh. Bayangan pada Gambar 4a ini dapat dibatasi (tidak sebagai lingkaran
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1129penuh) jika kita juga membatasi persegí yang terbentuk pada Gambar 4a, yaitu
Gambar 4a diubah sedemikian sehingga terbentuk Gambar 5.
Gambar 5. Persegi ABCO dan bayangannya dengan pemetaan w=1/z.
Bayangan pada Gambar 5b diperoleh pertama kali mencari batas dari bayangannya
yaitu titik '
A , '
B dan
C
'
dan kemudian menghubungkan titik‐titik tersebut. Untuk titik
asal tetap dipetakkan ke titik asal, karena titik asal O(0,0) adalah titik singular atau
kesingularan dari w=1/z. Untuk titik A(0,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi
w=1/z ke titik
'
(
0
,
1
)
a
A
−
pada bidang w. Hal ini karena titik A(0,a) pada bidang z dapat
ditulis sebagai z = 0+ia, sehingga
a
ia
z
w
1
0
1
1
−
=
+
=
=
dan karena w = u + iv maka
diperoleh titik
'
(
0
,
1
)
a
A
−
.
Untuk titik B(b,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi pemetaan w=1/z
ke titik
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
2 2 2 2,
'
b
a
a
b
a
b
B
pada bidang w. Titik '
B diperoleh dengan menuliskan titik
B sebagai z = b + ia , sehingga diperoleh
2 2b
a
ia
b
w
+
−
=
sehingga diperoleh koordinat '
B
tersebut. Untuk selanjutnya titik C(b,0) pada bidang z dipetakkan ke titik
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
1
,
0
'
b
C
pada bidang w oleh fungsi pemetaan w=1/z Kemudian titik‐titik tersebut dihubungkan
untuk memperoleh Gambar 5b. Untuk selanjutnya kita dapat menyusun hasil
pemetaan untuk tiap persegi pada kuadran yang lain dengan cara melakukan
pencerminan.
Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu u
adalah
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1130⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
1
0
0
1
RX
(3)
sehingga jika koordinat suatu titik A dinyatakan dalam notasi vektor posisi
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
A Ay
x
dengan koordinat bayangannya adalah
A sebagai vektor posisi
'
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
'
' A Ay
x
maka dapat
ditulis
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
A A R A Ay
x
X
y
x
' '.
Kita dapat melakukan transformasi pencerminan untuk titik B dan C untuk
mendapatkan koordinat pencerminannya berturut‐turut '
B dan
C
'
. Kita dapat
melakukan pencerminan dengan cara serupa sehingga dapat diperoleh berbagai hasil
pemetaan yang ditunjukkan pada Gambar 6. Gambar 6 diperoleh dengan melakukan
pencerminan Gambar 5a dan Gambar 5b terhadap Sumbu y dan sumbu v secara
berturut‐turut
menggunakan
matriks
transformasi
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
1
0
0
1
RX
dan
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1
0
0
1
RX
.
Gambar 6. Pemetaan 1 persegi dan hasil pemetaannya melalui pencerminan.
2.3 Bayangan persegí untuk n x n persegi
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1131Dengan menggabungkan hasil gambar‐gambar yang diperoleh pada subbab
sebelum ini beserta bayangannya, diperoleh beberapa hasil pemetaan sebagaimana
ditunjukkan pada Gambar 7. Untuk persegi dengan jumlah yang lebih banyak,
bayangannya dapat diperoleh dengan langkah‐langkah yang sama.
Gambar 7a. Ilustrasi perseguí 4 x 4
yang dipetakkan (kiri) dan hasil
pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.
Gambar 7b. Ilustrasi perseguí 14 x 14
yang dipetakkan (kiri) dan hasil
pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.
Modifikasi pemetaan w=1/z dan hasil pemetaannya
Modifikasi yang ditunjukkan pada makalah ini adalah menyusun pemetaan
α
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
dan
α
∈
N
(himpunan bilangan asli). Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan ini
merupakan pemetaan konformal dengan menyatakan w dalam koordinat polar dan
memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Untuk persegi yang dibentuk dari persegi 14
x14 yang dipetakkan oleh
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
ditunjukkan pada Gambar 10.
Gambar 10. Pemetaan persegi 14 x 14 (kiri) oleh
2 11
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
dan hasil pemetaannya
(kanan).
3. METODE PENELITIAN
Dalam tahap ini dibagi dalam beberapa kasus, yaitu:
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
11323.1 Menunjukkan bahwa pemetaan
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
dengan
α
∈ Z
−(himpunan bulat negatif)
adalah pemetaan konformal
3.2 Mengilustrasikan hasil pemetaan
α
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
,
α
=
−
β
dan
β
=
2
untuk bidang
persegi yang dipetakkan.
3.3 Menunjukkan bahwa pemetaan
α
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
dengan
α
∈
(
0
,
1
)
adalah pemetaan
konformal.
3.4 Mengilustrasikan hasil pemetaan
α
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
,
α
=
0
.
5
untuk bidang persegi yang
dipetakkan.
4. HASIL & PEMBAHASAN
4.1 Pemetaan
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
dengan
α
∈ Z
−(himpunan bulat negatif)
Untuk
α
∈ Z
−maka dapat dituliskan sebagai
α
=
−
β
dengan
β
∈
N
(himpunan
bilangan asli) sehingga
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
=
β βz
z
⎟
⎠
=
⎞
⎜
⎝
⎛
1
−. Sebutlah
w
=
z
β=
w
1dengan
w
1=
u
+
iv
.
(4.1)
Teorema 4.1. Pemetaan
β βz
z
⎟
⎠
=
⎞
⎜
⎝
⎛
1
−dengan
β
∈
N
merupakan pemetaan konformal.
Bukti. Perlu ditunjukkan bahwa
w
=
z
β=
w
1merupakan pemetaan analitik yang dapat
ditunjukkan 2 cara yaitu dengan Koefisien Binomial (cara I) dan koordinat kutub (cara
II). Pada bagian ini ditunjukkan kedua cara.
Cara 1.
Karena z = x + iy maka
w
1=
z
β=
(
x
+
iy
)
β. Dengan menggunakan koefisien Binomial
diperoleh
βz
w
1=
=
(
x
+
iy
)
β=
j j j jiy
x
C
(
)
0 − =∑
β β β=
C
0βx
β+
iC
1βx
β−1y
−
C
2βx
β−2y
2−
iC
3βx
β−3y
3+
C
4βx
β−4y
4+
iC
5βx
β−5y
5+
...
.
(4.a)
Dengan menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari persamaan (4.a) berturut‐turut
diperoleh
j j j k j jC
x
y
y
x
C
y
x
C
y
x
C
x
u
2 2 2 0 6 6 6 4 4 4 2 2 2...
(
1
)
− = − − −+
−
+
=
∑
−
−
=
β β β β β β β β β,
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
11331 2 ) 1 2 ( 1 2 0 5 5 5 5 5 5 3 3 3 1
...
(
1
)
− + + + = − − − −−
+
+
+
=
∑
−
=
j j j k j jC
x
y
y
x
C
y
x
C
y
x
C
y
x
u
β
β β β β β β β β βSehingga
j j j k j jj
C
x
y
x
u
2 1 2 2 0)
2
(
)
1
(
− − =−
−
=
∂
∂
∑
β
β β(5.a)
1 2 2 2 02
)
1
(
− − =∑
−
=
∂
∂
j j j k j jjC
x
y
y
u
β β(5.b)
1 2 ) 1 ( 2 1 2 0
)
1
2
(
)
1
(
+ − + + =−
−
−
=
∂
∂
∑
j j j k j jj
C
x
y
x
v
β
β β,
(5.c)
j j j k j j
j
C
x
y
y
v
2( 1) 2 1 2 0)
1
2
(
)
1
(
− + + =+
−
=
∂
∂
∑
β β(5.d)
dengan
=
⎢⎣
⎢
⎥⎦
⎥
2
β
k
. Dari
persamaan (5.a)‐(5.b) belum terlihat bahwa
persamaan
tersebut
memenuhi
persamaan
Cauchy‐Riemann
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
v
y
u
y
v
x
u
dan
.
Oleh karena itu masing‐masing turuna parsial
pada persamaan (5.a)‐(5.d) dijabarkan diperoleh
(
2
)
(
4
)
5 4...,
4 2 3 2 1 0−
−
+
−
+
=
∂
∂
C
x
−C
x
−y
C
x
−y
x
u
β
β ββ
β ββ
β β(6.a)
...,
6
4
2
0
6 5 6 3 4 4 2 2+
+
+
−
=
∂
∂
C
x
−y
C
x
−y
C
x
−y
y
u
β β β β β β(6.b)
...,
)
5
(
)
3
(
)
1
(
6 5 5 3 4 3 2 1−
−
+
−
+
−
=
∂
∂
C
x
−y
C
x
−y
C
x
−y
x
v
β
β ββ
β ββ
β β(6.c)
...,
5
3
5 4 5 2 3 3 1 1−
+
+
=
∂
∂
C
x
−C
x
−y
C
x
−y
y
v
β β β β β β(6.d)
Dengan menggunakan identitas 0!=1, maka
C
0a=
C
aa=
1
,
C
1a=
a
dan
C
ba=
C
aa−b.
Selain itu
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
)!
(
!
)!
))(
1
(
)...(
2
)(
1
(
)!
(
!
!
b
a
b
b
a
b
a
a
a
a
b
b
a
b
a
b
bC
a b⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
=
)!
1
(
!
))
1
(
)...(
3
)(
2
)(
1
(
b
b
b
a
a
a
a
a
b
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
−
−
=
)!
1
(
))
1
(
)...(
3
)(
2
)(
1
(
))
1
(
(
b
b
a
a
a
a
a
b
a
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1134Maka
didapatkan
2
C
2β=
(
β
−
1
)
C
1β,
3
C
3β=
(
β
−
2
)
C
2β,
4
C
4β=
(
β
−
3
)
C
3βdan
seterusnya sehingga persamaan (6.a)‐(6.d) diperoleh
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
v
y
u
y
v
x
u
dan
.
Yang berarti
w
1memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann.
Cara
2.
Dalam
koordinat
polar
w
1dapat
ditulis
sebagai
)
sin
(cos
1
z
βr
ββθ
i
βθ
w
=
=
+
. Denan menuliskan bagian riil dan bagian khayal
w
1diperoleh
u
(
r
,
θ
)
=
r
βcos
βθ
dan
v
(
r
,
θ
)
=
r
βsin
βθ
.
Sehingga
θ
βθ
β
βθ
β
β β∂
∂
=
=
=
∂
∂
−v
r
r
r
r
r
u
1
cos
1
cos
1dan
r
u
r
r
r
r
r
v
∂
∂
−
=
−
=
=
∂
∂
β
β−1sin
βθ
β
βsin
βθ
. Jadi memenuhi persamaan Cauchy‐
Riemann.
Karena
w
1merupakan polinom berderajat
β
atau dapat juga disebut sebagai fungsi
pangkat, maka turunan
w
1yaitu
w
1'=
β
z
β−1ada untuk setiap
z
≠ 0
∈
C
. Jadi
w
1merupakan pemetaan konformal.
Untuk
β
=
1
maka diperoleh
w
1= z . Hasil pemetaan adalah gambar yang sama
karena fungsi pemetaan ini tidak mengubah bentuk gambar tetapi hanya menggantu
sumbu‐sumbu koordinat, yaitu sumbu x menjadi sumbu u dan sumbu y menjadi sumbu
v berturut‐turut untuk bidang z dan bidang w. Pada bagian selanjutnya ditunjukkan
untuk
β
=
2
.
4.2 Hasil pemetaan
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
,
α
=
−
β
dan
β
=
2
Untuk nilai
β
=
2
diperoleh
w
1=
z
2dan ini merupakan fungsi parabolik atau
fungsi kuadrat. Berdasarkan persamaan (4.1) maka
w
1=
x
2+
2
ixy
−
y
2. Dengan
menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari
w
1berturut‐turut diperoleh
2 2y
x
u
=
−
dan
v 2
=
xy
.
(7)
Berdasarkan persamaan (7) maka persamaan garis
x
=
±
a
pada bidang –z dipetakkan
sebagai keluarga parabola pada bidang‐w, yang ditunjukkan oleh persamaan (8.). Yaitu
karena
ay
v
=
±
2
sehingga
a
v
y
2
±
=
dan
u
=
a
2−
y
2maka
2 2 2 2 24
2
a
v
a
a
v
a
u
⎟
=
−
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛±
−
=
.
(8.a)
Untuk persamaan garis
y
=
±
b
pada bidang‐z dipetakkan sebagai suatu keluarga
parabola pada bidang‐w, yaitu
bx
v
=
±
2
sehingga
b
v
x
2
±
=
dan
u
=
x
2−
b
2maka
2 2 2 2 24
2
b
b
v
b
b
v
u
⎟
−
=
−
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛±
=
. (8.b)
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1135Keluarga parabola persamaan (8.a)‐(8.b) merupakan sistem ortogonal (Gordon,1963).
Masing‐masing dari bayangan garis
x
=
±
a
dan
y
=
±
b
dan persegi ditunjukkan pada
Gambar 4.1‐4.3.
Gambar 11. Bayangan garis
x
=
±
a
dan
y
=
±
b
beserta bayangan persegi ABCD
dengan fungsi
w
=
z
2.
Gambar 12. Bayangan garis
x
=
±
a
dan
y
=
±
b
untuk a=1,2 dan b=a,2 serta
w
=
z
2.
Gambar 13. Bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14 dengan fungsi
w
=
z
2.
4.3 Pemetaan
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
dengan
α
∈
(
0
,
1
)
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1136Karena
α
∈
(
0
,
1
)
, maka dapat dituliskan
b
a
=
α
dengan a,b
∈
N
, a<b, sehingga
diperoleh
b az
z
w
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
1
α.
Dalam koordinat polar dapat diperoleh
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
θ −θ
θ
b
a
i
b
a
r
re
w
b a b a icos
sin
1
. Dengan
menuliskan bagian riil dan khayalnya diperoleh
θ
b
a
r
u
b acos
−=
,
θ
b
a
r
v
b asin
−−
=
.
Sehingga
θ
b
a
r
b
a
r
u
bacos
1 − −−
=
∂
∂
;
θ
θ
b
a
r
b
a
u
basin
−−
=
∂
∂
;
(9.a)
θ
b
a
r
b
a
r
v
basin
1 − −=
∂
∂
;
θ
θ
b
a
r
b
a
v
bacos
−−
=
∂
∂
.
(9.b)
Jadi persamaan Cauchy‐Riemann dipenuhi. Karena
z
C
z
b
a
w
b a∈
∀
≠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−,
0
1
'
1maka
terbukti
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
dengan
α
∈
(
0
,
1
)
merupakan pemetaan konformal.
Untuk
2
1
=
α
, maka diperoleh bentuk pemetaan
z
w
=
1
. Dengan
menggunakan koordinat polar diperoleh
( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = − 2 2 sin 2 2 cos 1 2 / 1 θ π θ π θ k i k r re w i, k = 0,1.
(10)
Sehingga untuk k = 0 diperoleh nilai utama
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=2
sin
2
cos
1
0θ
θ
i
r
w
kdan untuk
nilai k = 1 diperoleh
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
=
− =2
2
sin
2
2
cos
1
2 / 1 1π
θ
π
θ
θi
r
re
w
i k. Dengan
mengingat bahwa
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan cos(a+b)=cos a cos b – sin a sin b , maka
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
=2
sin
2
cos
1
1θ
θ
i
r
w
k=
−
w
k=0.
Dengan menuliskan
w
k=0=
u
+
iv
, maka bagian riil dan bagian khayal dapat ditulis
sebagai
2
cos
1
θ
r
u
=
dan
2
sin
1
θ
r
v
=
−
.
(11)
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1137Dengan menuliskan persamaan (11) dalam x dan y diperoleh
2
cos
1
1
+
θ
=
r
u
.
Karena
2
2
cos
1
cos
2θ
=
+
θ
diperoleh
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2 2 2 2x
y
x
y
x
x
r
r
r
x
r
r
r
x
r
u
+
+
+
=
+
=
+
=
+
=
.
Secara sama, karena
2
2
cos
1
sin
2θ
=
−
θ
diperoleh
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 x y x y x x r r r x r r r x r v + − + − = − − = − − = − − =.
Sehingga untuk setiap titik (a,b) pada bidang‐z akan dipetakkan menjadi titik
⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − + + + 2 1 , 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b b a b a
pada bidang‐w. Dengan mengambil
nilai utama
w
k=0yaitu
0
≤
θ
<
2
π
maka bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14
ditunjukkan pada Gambar 14 pada dua cabang.
Gambar 14 Hasil pemetaan
w
k=0=
z
1
untuk 14 x14 persegi.
Kita dapat melakukan pemetaan untuk berbagai nilai
α
yang lain dan menyusun aspek
matematis sebagaimana di atas. Untuk nilai
2
1
−
=
α
dapat ditunjukkan hasil pemetaan
yang ditunjukkan pada Gambar 15.
Gambar 15. Hasil pemetaan persegi 14x14 dengan
α⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
w
1
dengan
2
1
−
=
α
.
5 KESIMPULAN DAN SARAN
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1138Pada makalah ini telah ditunjukkan hasil pemetaan persegi n x n dari
α