MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN

(1)

Kompetensi Pendahuluan Luas daerah

Volume benda putar Latihan

Referensi Readme Author Exit

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN

Penggunaan Integral

Matematika SMA/MA Kelas XII IPA Semester 1

Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) 9 2 x y=

(2)

Author Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

NamaKASTOLAN, S.Pd.

Tempat LahirLamongan, 20 April 1970

Nama SekolahMAN INSAN CENDEKIA SERPONG

Alamat RumahJl. Cendekia BSD sektor XI Serpong Tangerang – Banten 15310

HP : 08128404280

E-mail : [email protected]

Alamat SekolahJl. Cendekia BSD sektor XI Serpong Tangerang – Banten 15310

Telp. (021) 7563578 Fax. (021) 7563582

JabatanGuru Matematika

Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home

(3)

Kompetensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.

Kompetensi

Kompetensi Dasar Dasar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat :

1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

2. menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah.

3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya.

4. merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.

Indikator Hasil Belajar

Kompetensi

Pendahuluan Luas daerah

(4)

Referensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Abdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang, 2005 Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1,

Erlangga, Jakarta 1996

Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII

Program IPA Jilid 3A, Yudhistira, Jakarta 2005

_______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004, Depdiknas, Jakarta 2004 ________, Tutorial Maple 9.5 ________, Encarta Encyclopedia www. mathdemos.gcsu.edu www. curvebank.calstatela.edu Kompetensi Pendahuluan Luas daerah

(5)

Readme Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

M

edia Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah

diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung.

A

gar dapat memahami keseluruhan materi, maka pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi,

pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir

kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa.

U

ntuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara

berurutan.

(6)

Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington

Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

(7)

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan

menggunakan integral. Next Back Kompetensi Pendahuluan Luas daerah

(8)

Bola lampu di samping dapat

dipandang sebagai benda

putar jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan dipelajari

juga penggunaan integral

untuk menghitung volume

benda putar.

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

(9)

Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi,

aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

dalam integral tentu. Gb. 4

(10)

Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram 2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y 0 x y x x y 1 2 3 4

(11)

Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Next Back

(12)

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = ∆x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi sebagai ∆V ≈ πr2_h_atau∆_V≈ π_f(x)2∆_x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V ≈ ∑ π f(x)2 ∆x V = lim ∑ π f(x)2 ∆_x dx x f a ∫ = [ ( )]2 v

π

∆x h=∆x x y 0 x y x a ) (x f ) (x f r =

(13)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_{+ 1}_,

sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral. y 2 x 1 2₊ x ∆x 1 2 ₊ = x y 1 y h=∆x x x 1 2₊ =x r x Jawab Jawab Next Back Home

(14)

Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar y h=∆x x x 1 2₊ =x r ∆V ≈ πr2h ∆V ≈ π(x2 _{+ 1)}2 ∆_x V ≈ ∑ π(x2 + 1)2 ∆x V = lim ∑ π(x2_{+ 1)}2 ∆_x dx x V =2_∫ + 0 2 2 ₁₎ ( π dx x x V = 2_∫ + + 0 2 4 ₂ ₁₎ ( π

[

]

2 0 3 3 2 5 51 x x x V =π + + π π(32₅ +16₃ +2−0) =13₁₅11 = V

(15)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_,

sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 8.

Contoh 8.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 2 y ∆y 2 x y = x y y x y h=∆y y y r= Jawab Jawab Next Back Home

(16)

Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar ∆V ≈ πr2_h ∆V ≈ π(√y)2 ∆y V ≈ ∑ πy ∆y V = lim ∑ πy ∆y dy y V =

∫

2 0

π

[

]

2 0 2 2 1 _y V =

π

) 0 4 (₂1 × − = π V x y h=∆y y y r= 2 dy y V ₌

∫

2 0

π

π 2 = V

(17)

Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

Next Back

(18)

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di samping, yaitu V= π(R2_{– r}2_)h

h r

R

(19)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2_{dan garis}_{y = 2x}_{diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.}

Contoh 9.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral. 4 y y = 2x 2 2 x y = x ∆x x x2 2x y x Jawab Jawab Next Back Home

(20)

Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar y x 4 y y = 2x 2 2 x y = x ∆x x r=x2 R=2x ∆V _≈ _π(R2 – r2) h ∆V ≈ π [ (2x)2 –(x2)2 ] ∆x ∆V ≈ π (4x2_{– x}4₎∆_x V ≈ ∑ π (4x2 – x4) ∆x V = lim ∑ π (4x2_{– x}4₎∆_x dx x x V = 2_∫ − 0 4 2 ₎ 4 ( π

[

]

2 0 5 51 3 3 4 _x _x V =

π

−

)

(

32₃

−

32₅

=

π

V

) (160₁₅−96 =

π

V

(21)

Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.

Next Back

(22)

Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar ∆r r h h V = 2πrhΔr

(23)

Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 10.

Contoh 10.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 0 x 1 2 x ∆x 2 x y = x2 y 1 2 3 4 Jawab Jawab Next Back Home

(24)

Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar 0 x 1 2 x ∆x 2 x y = x2 y 1 2 3 4 r = x ∆x h = x2 0 x 1 2 1 2 y 1 2 3 4 ∆V ≈ 2πrh∆x ∆V ≈ 2π(x)(x2₎∆_x V ≈ ∑ 2πx3∆x dx x V = 2_∫ 0 3 2π

[

]

2 0 4 41 2 x V =

π

8 = V

(25)

Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.

0 x 1 2 -2 -1 y 1 2 3 4 ∆V ≈ π(R2 – r2)∆y ∆V ≈ π(4 - x2)∆y V ≈ ∑ π(4 – y)∆y V = lim ∑ π(4 – y)∆y

(

y

)

dx V = 4_∫ − 0 4 π

[

]

4 0 2 21 4y y V =π − π ) 8 16 ( − = V

π

8 = V 0 x 1 2 x 2 x y = y 1 2 3 4 ∆y r=x R = 2

(26)

Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

(27)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... 0 X Y _y ₌ _x2 2 4 dx x ∫ 2 2 2 dy y ∫ 2 2 dx x ∫ 2 2 2 dx x ∫ − 2 2 2₎ 2 ( dx x ∫ − 2 2 2₎ 2 ( Soal 1. Soal 1. A B C D E

(28)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... Soal 1. Soal 1. 0 X Y _y ₌ _x2 2 4 dx x ∫ 2 0 2 dy y ∫ 4 0 dx x ∫ 4 0 2 dx x ∫ − 2 0 2₎ 4 ( dx x ∫ − 4 0 2₎ 4 ( A B C D E ∆ L ≈ (4 – x2₎∆_x L ≈ ∑ (4 – x2₎∆_x L = lim ∑ (4 – x2₎∆_x

(29)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... Soal 1. Soal 1. dx x ∫ 2 0 2 dy y ∫ 4 0 dx x ∫ 4 0 2 dx x ∫ − 2 0 2₎ 4 ( dx x ∫ − 4 0 2₎ 4 ( A B C D E 0 X Y _y ₌ _x2 2 4 ∆x x 4 - x2 ∆ L ≈ (4 – x2₎∆_x L ≈ ∑ (4 – x2₎∆_x L = lim ∑ (4 – x2₎∆_x dx x ) 4 ( L 2 0 2 ∫ − = ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

(30)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A B C D E Soal 2. Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas 0 X Y 2 4 x y = −

(31)

A B C D E Soal 2. Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas 0 X Y 2 2 x y = − ∆ L ≈ (4 – x2₎∆_x L ≈ ∑ (4 – x2₎∆_x L = lim ∑ (4 – x2₎∆_x dx x ) 2 ( L 2 2 2 ∫ − − = ( Jawaban E )

[

]

2 2 2 22 2 L − − = x x ) 2 ( ) 2 ( L ₂2 2 2 ₋ ₋ ₊ − = 2 2 22 L 2 33 = =

Jawaban Anda Benar

(32)

A B C D E Soal 2. Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas 0 X Y 2 2 x y = − 2 -2 ∆x x ∆ L ≈ (4 – x2₎∆_x L ≈ ∑ (4 – x2₎∆_x L = lim ∑ (4 – x2₎∆_x ( Jawaban E )

[

]

2 2 2 22 2 L − − = x x ) 2 ( ) 2 ( L ₂2 2 2 ₋ ₋ ₊ − = 2 22 L =33=

(33)

A B C D E Soal 3. Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas 0 X Y 2 2 x y = − x y 2=

(34)

A B C D E Soal 3. Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas ∆ L ≈ (8 – x2 _-2x) ∆x _L 2₍₂ _x ₂_x₎_dx 2 2 ∫ − − = _{( Jawaban D )} 22 2 L 2 22 = = 2 22 L ₌ ₋ 2₂₋ 0 X Y 2 2 x y = − x y 2= 2

(35)

A B C D E Soal 3. Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas 0 X Y 2 2 x y = − x y 2= 2 ∆ L ≈ (8 – x2 _-2x) ∆x _L 2₍₂ _x ₂_x₎_dx 2 2 ∫ − − = _{( Jawaban D )} 22 2 L 2 22 = =

[

]

2 2 2 2 2 2 2 L = x − x −x 2 22 L ₌ ₋ 2₂₋

(36)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2_{dan garis x + y = 2 adalah ….} A B C D E Soal 4. Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas

(37)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2_{dan garis x + y = 2 adalah ….}

A B C D E Soal 4. Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas ( Jawaban B ) ∆ L ≈ [(2 – y) – y2 _]∆_y dy x y ) 2 ( L 2 2 2 ∫ − − − = ₂_,₂ 2 2 L = =

[

]

2 2 2 2 2 2 22 2 L − − − = y y y ) 2 2 ( ) 2 ( L ₂2 22 2 2₋ ₋ ₋ ₋ ₊ − = 0 X Y 2 y x = y x = 2− -2 1

(38)

Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral ( Jawaban B ) ∆ L ≈ [(2 – y) – y2 _]∆_y dy x y ) 2 ( L 1 2 2 ∫ − − − = ₄_,₅ 2 9 L = = ) 2 4 ( ) 2 ( L ₃8 31 2 1 ₋ ₋ ₋ ₋ ₊ − =

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2_{dan garis x + y = 2 adalah ….}

A B C D E Soal 4. Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas ₀ X Y 2 y x = y x =2− -2 1

(39)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A B C D E Soal Soal 55.. ∫ = 4 0xdx v π ∫ = 4 0 2_dx x v π ∫ = 4 0 2 x x dx v π ∫ − = 2 0(16 ) 2 y dy v π ∫ = 2 0ydy v π 0 X Y X y = 4 2

(40)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y

sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang

menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A B C D E Soal Soal 55.. ∫ = 2 2xdx v π ∫ = 2 2 2_dx x v π ∫ = 2 2 2 x x dx v π ∫ − = 2 2(22 ) 2 y dy v π ∫ = 2 2ydy v π 0 X Y X y = 4 2 ( Jawaban D ) ∆ V ≈ 2πx√x ∆x dx x x ∫ = 2 2 V _π

(41)

Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral ( Jawaban D ) ∆ V ≈ 2πx√x ∆x dx x x ∫ = 4 0 2 V π

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A B C D E Soal Soal 55.. ∫ = 2 2xdx v π ∫ = 2 2 2_dx x v π ∫ = 2 2 2 x x dx v π ∫ − = 2 2(22 ) 2 y dy v π ∫ = 2 2ydy v π 0 X Y X y = 4 2 x x

(42)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A B C D E Soal 6. Soal 6. 4π satuan volum 6π satuan volum 8π satuan volum 12π satuan volum 15π satuan volum 0 X Y X y = 4 2

(43)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar

360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A B C D E Soal 6. Soal 6. 4π satuan volum 6π satuan volum 8π satuan volum 12π satuan volum 15π satuan volum 0 X Y X y = 4 2 ( Jawaban C ) ∆ V ≈ π(√x)2 ∆_x ∫ = 2 2 V π xdx

[ ]

2 2 2 22 V =π x π 2 V ₌

(44)

Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral ∆ V ≈ π(√x)2 ∆_x ∫ = 4 0 V π xdx

[ ]

4 0 2 21 V =π x

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A B C D E Soal 6. Soal 6. 4π satuan volum 6π satuan volum 8π satuan volum 12π satuan volum 15π satuan volum 0 X Y X y = 4 2 x x

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN

Penggunaan Integral

Penggunaan Integral

M

A

U

Bola lampu di samping dapat

dipandang sebagai benda

putar jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan dipelajari

juga penggunaan integral

untuk menghitung volume

benda putar.

π

[

]

∫

π

[

]

π

∫

π

[

]

π

)

(

−

=

π

V

π

[

]

π

π

(

)

[

]

π

[

]

[

]

[

]

[

]

[ ]

[ ]

Media Presentasi Pembelajaran

Penggunaan Integral

Matematika SMA/MA kelas XII IPA Semester 1

Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi

Powered by :

Kastolan, S.Pd.