Sudaryatno Sudirham. AnalisisRangkaian. RangkaianListrik di KawasanWaktu #3

Analisis

Analisis

Analisis

Analisis Rangkaian

Rangkaian

Rangkaian

Rangkaian Listrik

Listrik

Listrik

Listrik

di

di

di

di Kawasan

Kawasan

Kawasan Waktu

Kawasan

Waktu

Waktu

Waktu

#3

#3

#3

#3

Bahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia di

www.ee-cafe.org

Teori dan Soal ada di buku

Analisis

Analisis

Analisis

Analisis Rangkaian

Rangkaian

Rangkaian

Rangkaian Listrik

Listrik

Listrik

Listrik Jilid

Jilid

Jilid 2222

Jilid

(pdf)

tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dan

Pengantar

Peristiwa transien dalam rangkaian listrik, yang walaupun

berlangsung hanya beberapa saat namun jika tidak ditangani secara benar dapat menyebabkan terjadinya hal-hal yang sangat merugikan

pada rangkaian

Dalam pelajaran ini analisis transien dilakukan di kawasan waktu

meliputi

Analisis Transien Rangkaian Orde-1

Analisis Transien Rangkaian Orde-2

Yang dimaksud dengan analisis transien adalah analisis rangkaian yang sedang dalam keadaan peralihan atau

keadaan transien.

Peristiwa transien biasanya berlangsung hanya beberapa saat namun jika tidak ditangani secara baik dapat menyebabkan

terjadinya hal-hal yang sangat merugikan pada rangkaian

Peristiwa transien timbul karena pada saat terjadi perubahan keadaan rangkaian, misalnya penutupan atau pembukaan

saklar, rangkaian yang mengandung elemen dinamik

cenderung memperatahankan status yang dimilikinya sebelum perubahan terjadi

Dalam pembahasan model piranti pasif kita pelajari bahwa tegangan kapasitor adalah peubah status kapasitor; dan arus induktor adalah peubah status

induktor.

Pada saat-saat terjadi perubahan rangkaian, kapasitor cenderung mempertahankan tegangan yang dimilikinya sesaat sebelum

terjadi perubahan

Pada saat-saat terjadi perubahan rangkaian, induktor cenderung mempertahankan arus yang dimilikinya sesaat sebelum terjadi

perubahan

Kita ambil contoh rangkaian seri R dan C

Kita ambil contoh lain, rangkaian seri R dan L

Apabila sesaat sebelum saklar S ditutup kapasitor tidak bertegangan, maka setelah saklar ditutup tegangan kapasitor akan meningkat mulai dari nol. Tegangan kapasitor tidak dapat berubah secara mendadak.

C R _A + v_C

−

B S + v_s −

Sesaat sebelum saklar dibuka, arus pada induktor adalah i_L = v_s/R. Pada waktu saklar dibuka, arus induktor akan turun menuju nol dalam waktu tertentu karena arus induktor tidak dapat berubah secara mendadak. Sebelum mencapai nol arus induktor mengalir melalui dioda.

B L R _A i_L S + v_s −

Karena hubungan antara arus dan tegangan pada induktor maupun kapasitor merupakan hubungan linier diferensial, maka persamaan rangkaian yang

mengandung elemen-elemen ini juga merupakan persamaan diferensial

Persamaan diferensial ini dapat berupa persamaan diferensial orde pertama dan rangkaian yang demikian ini

disebut rangkaian atau sistem orde pertama

Jika persamaan rangkaian berbentuk persamaan diferensial orde kedua maka rangkaian ini disebut

Contoh

Rangkaian Orde Pertama

Rangkaian Orde Ke-dua

Rangkaian Orde Pertama biasanya mengandung hanya

satu elemen dinamik, induktor atau kapasitor

0 = + + − = + + − v dt dv RC v v iR v_{s s} s v v dt dv RC + = HTK setelah saklar tertutup:

Inilah persamaan rangkaian yang merupakan persamaan diferensial orde pertama

dengan

tegangan

sebagai peubah rangkaian Rangkaian RC Seri C R _A + v

−

B i iC + − + v_in − S v_s

0 = − − = − − dt di L Ri v v Ri v_{s L s} s v Ri dt di L + = Inilah persamaan rangkaian yang merupakan persamaan diferensial orde pertama dengan

arus

sebagai peubah rangkaian HTK setelah saklar tertutup:

Rangkaian RL Seri

L R _A B i iL + − vs S

Karena

i = i

_C

= C dv/dt

, maka: v v_in dt dv RC dt v d LC + + = 2 2

Inilah persamaan rangkaian yang merupakan persamaan diferensial orde

ke-dua dengan

tegangan

sebagai peubah rangkaian

Rangkaian Orde Ke-dua biasanya mengandung dua

elemen dinamik, induktor dan kapasitor

Rangkaian RLC Seri R _i C + v − L v_s + − S + v_in − in

v

v

dt

di

L

Ri

+

+

=

s C

L

R

i

i

i

i

+

+

=

v =v

_L

=L di/dt

, sehingga

i

_R

= v/R

dan

i

_C

= C dv/dt

s s i i dt di R L dt i d LC i dt dv C i R v = + + = + + 2 2 atau

Inilah persamaan rangkaian yang

merupakan persamaan diferensial orde ke-dua dengan

arus

sebagai peubah rangkaian Rangkaian RLC Paralel R i_L = i C + v − L i_{R iC} A B i_s

Bentuk Umum

Persamaan Rangkaian

Orde-1

) (t x by dt dy a + =

Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Pertama

tetapan

a

dan

b

ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian

Fungsi

x(t)

adalah masukan pada

rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut

fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.

Persamaan diferensial seperti di atas mempunyai solusi yang disebut

solusi total

yang merupakan jumlah dari solusi homogen dan solusi khusus y adalah fungsi keluaran

Solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen di mana

x(t)

bernilai nol:

0 = +by dt dy a

Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan aslinya di mana

x(t)

tidak bernilai nol

) (t x by dt dy a + =

Solusi total adalah jumlah dari kedua solusi.

Misalkan solusi persamaan ini

y

₀

Misalkan solusi persamaan ini

y

_p

Tanggapan Alami

Tanggapan Paksa

Tanggapan Lengkap

Dalam rangkaian ini

x(t) = v

_s

Dalam rangkaian listrik solusi homogen adalah tanggapan rangkaian apabila

x(t) = v

_s

= 0

dan tanggapan ini disebut tanggapan alami

Dalam rangkaian listrik solusi khusus adalah tanggapan rangkaian apabila

x(t) = v

_s

≠

0

dan tanggapan ini disebut tanggapan paksa

Dalam rangkaian listrik solusi total disebut tanggapan lengkap yang merupakan jumlah dari tanggapan alami dan tanggapan paksa

L R A B i iL + − vs S

Dalam rangkaian listrik, fungsi pemaksa

x(t)

adalah besaran yang masuk ke rangkaian dan memaksa rangkaian untuk menanggapinya;

Tanggapan Alami

0 = +by dt dy a

Tanggapan alami adalah solusi khusus dari persamaan homogen :

Dalam kuliah ini kita akan mencari solusi persamaan homogen ini dengan cara pendugaan

Persamaan homogen ini memperlihatkan bahwa

y

ditambah dengan suatu tetapan kali turunan

y

, sama dengan nol untuk semua nilai t

Hal ini hanya mungkin terjadi jika

y

dan turunannya berbentuk sama; fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan

fungsi itu sendiri adalah fungsi eksponensial.

Jadi kita dapat menduga bahwa solusi dari persamaan homogen ini mempunyai bentuk eksponensial

y = K

₁

e

st

atau

_dt

+

y

=

0

dy

b

a

Jika solusi dugaan ini kita masukkan ke persamaannya, kita peroleh 0 1 1 + = st st e bK se aK atau yK1

(

as+b

)

= 0

Salah satu solusi adalah y = 0, namun ini bukanlah solusi yang kita cari

sedangkan K₁ adalah tetapan yang ≠≠≠≠ 0

Inilah yang harus bernilai 0

0

= +b as

Akar persamaan ini adalah s = −(b/a)

Jadi tanggapan alami yang kita cari adalah

t a b st a K e K e y = ₁ = ₁ −( / )

Tetapan ini masih harus kita cari. Nilai tetapan ini diperoleh dari

tanggapan lengkap pada waktu t = 0

Untuk mencari tanggapan lengkap kita mencari lebih dulu tanggapan paksa, y_p Ini disebut

persamaan karakteristik.

Persamaan ini akan menentukan bentuk tanggapan rangkaian.

Tanggapan Paksa

Jika solusi persamaan ini kita sebut y_p(t), maka bentuk y_p(t) haruslah sedemikian rupa sehingga jika y_p(t) dimasukkan ke persamaan ini maka ruas

kiri dan ruas kanan persamaan akan berisi bentuk fungsi yang sama.

Tanggapan paksa adalah solusi dari

persamaan: _dt by x(t)

dy

a + =

Hal ini berarti x(t), y_p(t), dan dy_p(t) /dt harus berbentuk sama

Kita lihat beberapa kemungkinan bentuk fungsi pemaksa, x(t):

1. x(t) = 0. Jika fungsi pemaksa bernilai nol maka hanya akan ada tanggapan alami; tanggapan paksa = 0.

2. x(t) = K. Jika fungsi pemaksa bernilai tetap maka tanggapan paksa y_p juga harus merupakan tetapan karena hanya dengan cara itu dy_p/dt akan bernilai nol sehingga ruas kanan dan kiri dapat berisi bentuk fungsi yang sama.

3. x(t) = Aeαt_{. Jika fungsi pemaksa berupa fungsi eksponensial, maka}

tanggapan paksa y_p harus juga eksponensial karena dengan cara itu turunan y_p juga akan berbentuk eksponensial, dan fungsi di ruas kiri dan kanan persamaan rangakaian akan berbentuk sama.

4. x(t) = Asinωt. Jika fungsi pemaksa berupa fungsi sinus, maka tanggapan paksa akan berupa penjumlahan fungsi fungsi sinus dan cosinus karena fungsi sinus merupakan penjumlahan dari dua fungsi eksponensial

kompleks.

Melihat identitas ini, maka kita bisa kembali ke kasus 3; perbedaannya adalah kita menghadapi eksponensial kompleks sedangkan di kasus 3 kita menghadapi fungsi eksponensial nyata. Dalam hal ini maka Solusi yang kita cari akan berbentuk jumlah fungsi sinus dan cosinus.

2

sin

jx jx

e

e

x

−

−

=

5. x(t) = Acosωt. Kasus ini hampir sama dengan kasus 4, hanya berbeda pada identitas fungsi cosinus

2

cos

jx jx

e

e

x

−

+

=

Ringkasan bentuk tanggapan paksa . cosinus maupun sinus fungsi umum bentuk adalah sin cos sin cos maka , cos ) ( Jika sin cos maka , sin ) ( Jika al eksponensi maka al, eksponensi ) ( Jika konstan maka konstan, ) ( Jika 0 maka , 0 ) ( Jika t K t K y t K t K y t A t x t K t K y t A t x Ke y Ae t x K y A t x y t x s c s c p s c p t p t p p ω + ω = ω + ω = ω = ω + ω = ω = = = = = = = = = = = α α

:

Perhatikan

Tanggapan Lengkap

Kondisi Awal

Kondisi awal adalah situasi sesaat setelah penutupan rangkaian (jika saklar ditutup) atau sesaat setelah pembukaan rangkaian (jika saklar dibuka); Sesaat sebelum penutupan/pembukaan saklar dinyatakan sebagai t = 0

-Sesaat sesudah penutupan/pembukaan saklar dinyatakan sebagai t = 0+_.

Pada induktor, arus pada t = 0+ _{sama dengan arus pada t = 0}

-Pada kapasitor, tegangan pada t = 0+ _{sama dengan tegangan pada t = 0} -Dugaan tanggapan lengkap adalah t s p a p y y K e y y = + = + ₁

tanggapan paksa Dugaan tanggapan alami

K₁ masih harus ditentukan melalui penerapan kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0

Ini masih dugaan karena tanggapan alami juga

Jika kondisi awal kita masukkan pada dugaan solusi lengkap akan kita peroleh nilai K₁ 0 1 1 (0 ) (0 ) ) 0 ( ) 0 ( y K K y y A y + = _p + + → = + − _p + = t s p

A

e

y

y

=

+

₀ Ini merupakan

komponen mantap dari tanggapan lengkap; ia memberikan nilai tertentu pada tanggapan lengkap pada t = ∞∞∞∞ Ini merupakan komponen transien dari tanggapan lengkap; ia bernilai 0 pada t = ∞∞∞∞

Prosedur Mencari Tanggapan Lengkap Rangkaian

1. Carilah nilai peubah status pada t = 0−; ini merupakan kondisi awal. 2. Carilah persamaan rangkaian untuk t > 0.

3. Carilah persamaan karakteristik. 4. Carilah dugaan tanggapan alami. 5. Carilah dugaan tanggapan paksa. 6. Carilah dugaan tanggapan lengkap.

7. Terapkan kondisi awal pada dugaan tanggapan lengkap yang akan memberikan niali-nilai tetapan yang harus dicari.

8. Dengan diperolehnya nilai tetapan, didapatlah tanggapan rangkaian yang dicari

Contoh:

x(t) = 0

Saklar S telah lama pada posisi 1. Pada t = 0 S dipindah ke posisi 2. Carilah tanggapan rangkaian. 0 = + − v i_RR dt dv C i i_R =− _C =− 0 = − − dt dv RC v + 1 v =0 RC dt dv 0 1000 = + v dt dv Karena maka 1000 0 1000= → =− + s s

Pada t = 0-_{kapasitor telah terisi penuh dan v(0}+_{) = 12 V}

1.

Persamaan rangkaian untuk t > 0: 2. Persamaan karakteristik: 3. + − v_s= 12V R=10kΩ C=0.1µF S 1 2 + v −

1000

0

1000

:

tik

karakteris

Persamaan

s

+

=

→

s

=

−

8. Tanggapan lengkap menjadi : v =12e−1000 t V 4. _{Dugaan tanggapan alami: va} = _A0e−1000t

5. _{Dugaan tanggpan paksa: vp} = _{0 ( tidak ada fungsi pemaksa)} 6. Dugaan tanggapan lengkap : v = v_p + A₀est = 0+ A₀e−1000t

7. 12 0 12 : memberikan lengkap nggapan dugaan ta pada awal kondisi Penerapan V. 12 ) 0 ( ) 0 ( : awal Kondisi 0 0 → = + = = = − + A A v v

Contoh:

x(t) = 0

Saklar S telah lama tertutup. Pada t = 0 saklar S dibuka. Carilah tanggapan rangkaian

mA 50 1000 50 ) 0 ( − = = i 0 3000 +i = v_A Karena v_A = v_L= L di/dt, 0 6 , 0 3000 1 = +       i dt di 0 3000 0,6 + i = dt di Simpul A: Sebelum saklar dibuka:

Persamaan rangkaian pada t > 0:

0 3000 1 = +       i dt di L Persamaan karakteristik: 0,6 s+3000 = 0 v_s = 50 V R =3 kΩ R ₀ =1 kΩ i L= 0.6 H + − S A

t a A e i ₀ 5000 : alami ggapan Dugaan tan = − mA 50 : menjadi lengkap Tanggapan i = e−5000 t Persamaan karakteristik: 0,6 s+3000 = 0 pemaksa) fungsi ada (tak 0 : paksa nggapan Dugaan ta i_p = 0 50 : memberikan lengkap nggapan dugaan ta pada awal kondisi Penerapan A = t t p A e A e i i ₀ 5000 0 ₀ 5000 : lengkap nggapan Dugaan ta = + − = + − . mA 50 ) 0 ( ) 0 ( : awal Kondisi i + = i − =

Contoh:

x(t) = A

Saklar S telah lama pada posisi 1. Pada t = 0 saklar dipindah ke posisi 2. Carilah tanggapan rangkaian. 0 10 12+ 4 + = − i v Karena i = i_C = C dv/dt −12 +104×0,1×10−6 +v = 0 dt dv 12 10−3 +v = dt dv

Pada t = 0- _{kapasitor tidak bermuatan; tegangan kapasitor v(0}-_{) = 0.}

⇒ _v(0+_{) = 0}

Persamaan rangkaian pada t > 0:

0

1

10

−3

s

+

=

Persamaan karakteristik: 12V 10kΩ + v − S 2 1 + -0,1µF i

1000 10 / 1 0 1 10 : tik karakteris Persamaan −3s+ = → s = − −3 = − K v_p = : paksa nggapan Dugaan ta v [V] 12-12e 1000t t 0 12 0 0.002 0.004 V 12 12 : menjadi lengkap Tanggapan v = − e−1000t t a A e v ₀ 1000 : alami nggapan Dugaan ta = − 12 12 0 : rangkaian persamaan ke ini dugaan Masukkan = ⇒ = + _p p v K v V 12 : lengkap nggapan Dugaan ta v = + A₀e−1000t 12 12 0 : memberikan awal kondisi Penerapan . 0 ) 0 ( ) 0 ( : awal Kondisi 0 0 → = − + = = − = + A A v v

Contoh:

x(t) = Acos

ω

ω

ω

ω

t

15 6 1 0 15 10 1 15 1 _s C s C v i v v i v + − = → + =      + i_C = C dv/dt 15 30 1 6 1 v_s dt dv v+ = t v dt dv 10 cos 100 5 + = → Simpul A:

Rangkaian di samping ini mendapat masukan

tegangan sinusoidal yang muncul pada t = 0. 0 ) 0 ( + = v

Kondisi awal dinyatakan bernilai nol: Persamaan rangkaian untuk t > 0:

Persamaan karakteristik:

s

+

5

=

0

→

s

=

−

5

v_s=50cos10t u(t) V i_C A 15Ω 1/30 F v_{s 10}Ω + v − + − v(0+_{) = 0}

t a A e v ₀ 5 : alami nggapan Dugaan ta = − t p e A t t v t t v 5 0 10 sin 8 10 cos 4 : lengkap nggapan Dugaan ta 10 sin 8 10 cos 4 : paksa Tanggapan − + + = + =

(

)

A 66 , 0 10 cos 66 , 2 10 sin 33 , 1 20 10 cos 80 10 sin 40 30 1 : kapasitor Arus V 4 10 sin 8 10 cos 4 : kapasitor tegangan Jadi 5 5 5 t t C t e t t e t t dt dv C i e t t v − − − + + − = + + − = = − + = Persamaan karakteristik:

s

+

5

=

0

→

s

=

−

5

t A t A v_{p c} cos10 _s sin10 : paksa nggapan Dugaan ta = + 8 dan 4 100 5 20 2 100 5 10 dan 0 5 10 10 cos 100 10 sin 5 10 cos 5 10 cos 10 10 sin 10 : memberikan rangkaian persamaan ke ini dugaan tanggapan Substitusi = = ⇒ = + → = → = + = + − → = + + + − s c c c c s c s s c s c s c A A A A A A A A A A t t A t A t A t A 4 4 0 : awal kondisi Penerapan 0 ) 0 ( awal Kondisi 0 0 → = − + = = + A A v

0 1 = + v RC dt dv Tinjauan pada Contoh sebelumnya

Lama waktu yang diperlukan oleh suatu peristiwa transien untuk mencapai akhir peristiwa (kondisi mantap) ditentukan

oleh konstanta waktu yang dimiliki oleh rangkaian.

Dugaan tanggapan alami: Setelah saklar S pada posisi 2, persamaan raqngkaian adalah:

Fungsi karakteristik: + 1 = 0 RC s RC s = − 1 t RC a K e v 1 1 − =

Tanggapan alami ini yang akan menentukan komponen transien pada tanggapan lengkap

+ − v_s R C S 1 2 + v − iR

Tanggapan alami dapat dituliskan: _va = _K1e−t/τ

RC

=

τ

ττττ

disebut konstanta waktu.

Ia ditentukan oleh besarnya elemen rangkaian.

Ia menentukan seberapa cepat transien menuju akhir. Makin besar konstanta waktu, makin lambat tanggapan rangkaian mencapai nilai akhirnya (nilai mantapnya), yaitu nilai komponen mantap,

v

_p

t RC a K e v 1 1 − = dengan: Tanggapan alami:

Tanggapan lengkap menjadi: v = v_p +v_a = v_p + K₁e−t/τ

Tinjauan pada Contoh sebelumnya

Persamaan rangkaian setelah

saklar dibuka adalah: _dt Ri

di L =− Persamaan karakteristik: 0 = + i L R dt di 0 = + L R s L R s = − Tanggapan alami: t L R a K e i = ₁ −

Tanggapan alami ini juga akan menentukan komponen transien pada tanggapan lengkap seperti halnya tinjauan pada Contoh-2.1

v_{s R} R ₀ i L + − S A + − + −

R L

=

τ

ττττ

disebut konstanta waktu.

Ia ditentukan oleh besarnya elemen rangkaian.

Ia menentukan seberapa cepat transien menuju akhir. Makin besar konstanta waktu, makin lambat transien mencapai nilai akhirnya yaitu nilai komponen mantap,

i

_p. Tanggapan alami dapat dituliskan: _ia = _K1e−t/τ

dengan: Tanggapan alami: Lt R a K e i = ₁ − Tanggapan lengkap: i = i_p +i_a = i_p + K₁e−t/τ Tanggapan paksa

Tinjauan pada Contoh sebelumnya

Pada t = 0, S dipindahkan ke posisi 2.

Persamaan rangkaian setelah

saklar pada posisi 2: −vs +Ri+v = 0

Karena i = i_C = C dv/dt v vs dt dv RC + = Persamaan karakteristik: RCs+1= 0 RC s = −1/ Tanggapan alami: va = Ke−(1/RC)t = Ke−t/τ

RC

=

τ

0 = + + −v_s Ri v Tanggapan lengkap: v = vp +va = vp +Ke−t/τ v_s R +v − S 2 1 + -C i

Tinjauan pada Contoh sebelumnya i_C = C dv/dt

C

R

∗

=

τ

Simpul A: 1 2 1 2 1 R v dt dv C R R R R v _+ = s      ₊ Persamaan karakteristik: _R∗ +_Cs = _{0 }      ₊ = ∗ 2 1 2 1 R R R R R Tanggapan alami:

=

−

=

− τ ∗ _{) /} / 1 ( R C t t a

Ke

Ke

v

C R s =−1/ ∗ Tanggapan lengkap:

_v

=

_v

_p

+

_v

_a

=

_v

_p

+

_Ke

−t/τ i_C A R₁ C R2 + v − + − v_s=Acosωt u(t) 0 1 1 1 2 1 = − +       + R v i R R v _C s

Konstanta waktu ditentukan oleh besar elemen-elemen rangkaian

Untuk rangkaian R-C :

τ

= RC

Untuk rangkaian R-L :

τ

= L/R

Dari tinjauan contoh-1 s/d 4, dengan menggambarkan rangkaian untuk melihat tanggapan alami saja, kita buat ringkasan berikut:

RC

=

τ

τ = L / R

C

R

*

=

τ













₊

=

∗ 2 1 2 1

R

R

R

R

R

R C _{R L} R₂ R₁ C

Konstanta waktu ditentukan oleh besar elemen-elemen rangkaian

Untuk rangkaian R-C :

τ

= RC

Untuk rangkaian R-L :

τ

= L/R

Konstanta waktu juga ditentukan oleh berapa besar energi yang semula tersimpan dalam rangkaian (yang harus dikeluarkan)

Makin besar C dan makin besar L, simpanan energi dalam rangkaian akan makin besar karena

2 2 2 1 dan 2 1 Li w Cv w_C = _L =

Oleh karena itu konstanta waktu

τ

berbanding lurus dengan C atau L Pengurangan energi berlangsung dengan mengalirnya arus

i

dengan

desipasi daya sebesar

i

2

_R.

_{Dalam kasus rangkaian R-C, di mana v}

adalah peubah status, makin besar R akan makin besar

τ

karena arus untuk desipasi makin kecil

.

Dalam kasus rangkaian R-L di mana peubah status adalah

i

makin besar R akan makin kecil

τ

karena

Tanggapan Masukan Nol

dan

Tanggapan Masukan Nol

adalah tanggapan rangkaian jika tidak ada masukan. Peristiwa ini telah kita kenal sebagai tanggapan alami

Peristiwa transien dapat pula dilihat sebagai gabungan dari

tanggapan masukan nol dan tanggapan status nol

Tanggapan Status Nol

adalah tanggapan rangkaian jika ada masukan masukan pada rangkaian sedangkan rangkaian tidak memiliki simpanan energi awal (simpanan energi sebelum terjadinya

perubahan rangkaian).

Pengertian tentang tanggapan status nol ini muncul karena sesungguhnya tanggapan rangkaian yang mengandung elemen dinamik terhadap adanya masukan merupakan peristiwa transien

Bentuk tanggapan rangkaian tanpa fungsi pemaksa secara umum adalah τ − +

=

/ 0

(

0

)

t m

y

e

y

tanggapan masukan nol

peubah status, v_C dan i_L, tidak dapat berubah secara mendadak

Pelepasan energi di kapasitor dan induktor terjadi sepanjang peristiwa transien, yang ditunjukkan oleh perubahan tegangan kapasitor dan arus induktor

v

_C

(0

+

₎

_atau

_i

L

(0

+

)

di kapasitor sebesar ½Cv_C 2

di induktor sebesar ½Li_L2

masing-masing menunjukkan adanya simpanan energi energi

awal dalam rangkaian

Tanggapan Masukan Nol

R

C _{R L}

+

v_C

Tanggapan Status Nol

Jika sebelum peristiwa transien tidak ada simpanan energi dalam rangkaian, maka tanggapan rangkaian kita sebut tanggapan status nol.

Tanggapan status nol

τ − +

−

=

/ 0

(

0

)

t f f s

y

y

e

y

Bentuk tanggapan ini secara umum adalah

Status final t = ∞

Bagian ini merupakan reaksi elemen dinamik (kapasitor ataupun

induktor) dalam mencoba

mempertahankan status rangkaian. Oleh karena itu ia bertanda negatif. y_f(0+_{) adalah nilai tanggapan pada}

t = 0+ _{yang sama besar dengan y} f

sehingga pada t = 0+ _tanggapan

Pada rangkaian R-C, kapasitor akan mencoba bertahan pada

status yang dimiliki sebelum pemindahan saklar, yaitu v = 0.

Pada saat final (saat akhir transien) tegangan kapasitor

adalah v = v_s = 12 V Kita ambil contoh Rangkaian R-C

τ − τ − +

−

=

−

=

/ / 0

12

12

)

0

(

t t f f s

e

e

v

v

v

Tanggapan status nol adalah

Untuk rangkaian R-C :

τ

= RC 12V 10kΩ + v − S 2 1 + -0,1µF i

Dengan demikian tanggapan lengkap rangkaian dapat dipandang

sebgai terdiri dari

tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol

τ − + τ − +

₊

−

=

+

=

/ / 0 0

)

0

(

)

0

(

)

(

_{f f} t t m s

e

y

e

y

t

y

y

y

y

Konstanta waktu

τ

ditentukan oleh elemen

Bentuk Umum

Persamaan Rangkaian

Orde Ke-dua

Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua

tetapan

a

dan

b

ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian

fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.

Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena rangkaian mengandung kapasitor dan induktor

) ( 2 2 t x cy dt dy b dt y d a + + =

dengan tegangan sebagai peubah status

dengan arus

sebagai peubah status sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus y = tanggapan rangkaian yang dapat

Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di mana x(t) bernilai nol:

0 2 2 = + + cy dt dy b dt y d a

Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial y_a = Kest _{dengan nilai}

K dan s yang masih harus ditentukan.

Tanggapan Alami

Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh

(

)

0 atau 0 2 2 = + + = + + c bs as Ke cKe bKse e aKs st st st st

Bagian ini yang harus bernilai nol yang memberikan persamaan karakteristik

0

2

₊

₊

₌

c

bs

as

Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu mempunyai dua akar yaitu

0 2 _{+ + =} c bs as a ac b b s s 2 4 , 2 2 1 − ± − =

Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua solusi homogen, yaitu

t s a t s a

K

e

y

K

e

y

1 2 2 2 1 1

=

dan

=

Tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk

t s t s a

K

e

K

e

y

1 2 2 1

+

=

Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap

Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di mana x(t) ≠ 0: ) ( 2 2 t x cy dt dy b dt y d a + + =

Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t) sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu

Tanggapan Paksa

. cosinus maupun sinus fungsi umum bentuk adalah sin cos sin cos maka , cos ) ( Jika sin cos maka , sin ) ( Jika al eksponensi maka al, eksponensi ) ( Jika konstan maka konstan, ) ( Jika 0 maka , 0 ) ( Jika t K t K y t K t K y t A t x t K t K y t A t x Ke y Ae t x K y A t x y t x s c s c p s c p t p t p p ω + ω = ω + ω = ω = ω + ω = ω = = = = = = = = = = = α α

:

Perhatikan

Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami dan tanggapan paksa

Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen ini akan cenderung mempertahankan statusnya.

Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi yaitu

)

0

(

)

0

(

+

=

_C − C

v

v

)

0

(

)

0

(

+

=

_L − L

i

i

Tanggapan Lengkap

t s t s p a p y y K e K e y y 1 2 2 1 + + = + =

Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal

Kondisi Awal

Secara umum, kondisi awal adalah:

) 0 ( ' ) 0 ( dan ) 0 ( ) 0 ( + = − + = y + dt dy y y

Nilai sesaat sebelum dan sesudah

penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan laju perubahan nilainya juga harus kontinyu

Pada rangkaian orde pertama dy/dt(0+_{) tidak}

perlu kontinyu

Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+₎

harus kontinyu sebab ada d2_y/dt2

dalam persamaan rangkaian yang hanya terdefinisi jika dy/dt(0+_{) kontinyu}

y t 0 y t 0

Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan

Persamaan karakteristik

0

2

₊

₊

₌

c

bs

as

dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:

a). Dua akar riil berbeda, s₁ ≠ s₂, jika {b2

−

_{4ac } > 0;}

b). Dua akar sama, s₁ = s₂ = s , jika {b2

−

_{4ac } = 0;}

c). Dua akar kompleks konjugat s₁,s₂ = α ± jβ jika {b2

−

_{4ac } < 0.}

Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga kemungkinan bentuk tanggapan

Persamaan karakteristik dengan

dua akar riil berbeda,

Contoh-1

0

=

+

+

−

Ri

dt

di

L

v

0 2 2 = − − − dt dv RC dt v d LC v

Saklar S telah lama berada pada posisi 1. Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2. Carilah perubahan tegangan kapasitor.

0 10 4 10 5 , 8 3 6 2 2 = × + × + v dt dv dt v d Karena

i = -i

_C

= -C dv/dt

,

maka: 0 2 2 = − − − LC v dt dv L R dt v d Pada t = 0- _{: i(0}−₎ = _{0 dan v(0}−₎ =_{12 V}

Persamaan Rangkaian pada t > 0 : + v − i_C 0,25 µF 15 V 8,5 kΩ + − i 1 H S 1 2

0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( = = = + + + dt dv C i i_{L C} C 0 ) 0 ( = + dt dv_C Kondisi awal: v_C(0+) =15 V i_L(0+) = 0

Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai peubah maka kondisi awal arus i_L(0+₎

harus diubah menjadi dalam tegangan v 8000 , 500 4 ) 25 , 4 ( 10 4250 , : akar -akar _{1 2} = − ± 3 2 − = − − → s s

Tak ada fungsi pemaksa

0 K₁e 500t K₂e 8000t

v = + − + −

Persamaan karakteristik: s2 +8,5×103s+4×106 = 0

Dugaan tanggapan lengkap:

alami).

tanggapan

ada

(hanya

V

16

e

500t

e

8000t

v

=

−

−

− 0 ) 0 ( = + dt dv Kondisi awal: v(0+) =15 V 2 1 5 1 = K + K 0 = −500K₁−8000K₂ ) 15 ( 8000 500 0 = − K₁ − − K₁ 16 7500 15 8000 1 = × = K K2 = −1

Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada

rangkaian R-L-C seri

0 K₁e 500t K₂e 8000t

v = + − + −

Dugaan tanggapan lengkap:

V 16 : lengkap Tanggapan v = e−500t −e−8000t

Perhatikan bahwa pada t = 0+ _{tegangan kapasitor adalah 15 V}

Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya, ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai

v -4 0 4 8 12 16 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Contoh-2

0 = + + − Ri dt di L v

Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.

mA 2 8500 19 ) 0 ( − = = L i vC(0−) = 0 V

Persamaan Rangkaian pada t > 0 :

dt dv C i i = − _C = − C 2 0 2 = − − − dt dv RC dt v d LC v 0 10 4 10 5 , 8 3 6 2 2 = × + × + v dt dv dt v d 0 2 2 = − − − LC v dt dv L R dt v d

Saklar S telah lama tertutup. Pada t = 0 saklar dibuka.

Tentukan perubahan tegangan kapasitor dan arus induktor. + v − i_C 0,25 µF 19 V 8,5 kΩ + − i 1 H S

3 10 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( − + + + _{= = = ×} − dt dv C i i_{L C} C C dt dv_C(0+) 2×10−3 − =

Kondisi awal:

_iL(0+₎ = _2mA v_C(0+) =0V

Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai peubah maka kondisi awal i_L(0+_{) harus diubah menjadi}

dalam v 8000 , 500 4 ) 25 , 4 ( 10 4250 , : akar -akar 0 10 4 10 5 , 8 : ik karkterist Persamaan 2 3 2 1 6 3 2 − − = − ± − = → = × + × + s s s s

Tak ada fungsi pemaksa

0

:

lengkap

nggapan

Dugaan ta

v

=

+

K

₁

e

−500t

+

K

₂

e

−8000t

dan

V

1

06

,

1

:

menjadi

kapasitor

Tegangan

v

≈

e

−500t

−

e

−8000t

0

:

lengkap

nggapan

Dugaan ta

v

=

+

K

₁

e

−500t

+

K

₂

e

−8000t 2 1 0 = K + K 1 1 8000 500 8000 = − K + K − 2 1 8000 500 8000 = − K − K − 06 , 1 7500 8000 1 ≈ − − = K K₂ = −K₁ =1

Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus induktor pada rangkaian R-L-C seri

Kondisi awal: 3 6 3 10 8 10 25 , 0 10 2 ) 0 ( × − = × × − = −₋ + dt dv 0 ) 0 ( + = v

(

)

mA 2 10 133 8000 530 10 25 , 0 : induktor Arus 8000 500 3 8000 500 6 t t t t C L e e e e dt dv C i i − − − − − − + × − ≈ − − × − ≈ − = − =

V 1 06 , 1 : lengkap Tanggapan v = e−500t − e−8000t

Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik karena menerima pelepasan energi dari induktor

Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya

diterima.

v

[V] -1 -0. 5 0 0. 5 1 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

V 1 06 , 1 e 500t e 8000t v= − − − V 16e 500t e 8000t v = − − −

Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi

dengan konstanta waktu

atau 1/ττττ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil sehingga 1/ττττ= 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.

10

2125

10

25

.

0

8500

×

×

6

=

×

-6

=

=

τ

RC

−

Suku ke-dua

v

adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/ττττ = R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua

v

.

v [V] v -4 0 4 8 12 16 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Pelepasan energi induktor

v [V] -1 -0. 5 0 0. 5 1 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar

Riil Sama Besar

Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai 0 dengan ; dan ₂ 1 = s s = s + δ δ → s

Tanggapan lengkap akan berbentuk

t s st p t s t s p K e K e y K e K e y y = + ₁ 1 + ₂ 2 = + ₁ + ₂ ( +δ) Tanggapan alami Tanggapan paksa

Kondisi awal pertama

0 2 1 2 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( A K K y y K K y y p p = + = − + + = + + + +

Kondisi awal kedua

0 2 2 1 2 1 ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( B K s K K y y s K s K y y p p = δ + + = ′ − ′ δ + + + ′ = ′ + + + +

δ

−

−

=

δ

−

=

→

=

δ

+

K

B

K

B

A

s

K

A

B

A

s

s

A

_{0 2 0}

₂ 0 0

dan

_{1 0} 0 0

Tanggapan lengkap menjadi st t p e e s A B A y y ₀ ( _{0 0} ) 1                 δ + δ − − + + = δ 1 lim 1 lim 0 0 t e e t t =         δ − =         δ + δ − δ → δ δ → δ

[

]

st p A B A s t e y y = + ₀ +( ₀ − ₀ )

[

]

st b a p K K t e y y = + +

ditentukan oleh kondisi awal ditentukan oleh kondisi awal dan s s sendiri ditentukan oleh nilai elemen-elemen yang membentuk rangkaian dan tidak ada kaitannya dengan kondisi awal

Contoh-3. 0 ) 0 ( ; V 15 ) 0 ( − = i − = v

Persamaan rangkaian untuk t > 0: − + + iR = 0 dt di L v Karena i = − i_C = −C dv/dt 0 2 2 = + + v dt dv RC dt v d LC 0 10 4 10 4 3 6 2 2 = × + × + v dt dv dt v d

Sebelum saklar dipindahkan:

Persamaan karakteristik: s2 +4×103s+4×106 = 0 + v − i_C 0,25 µF 15 V 4 kΩ + − i 1 H S 1 2

Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t = 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan perubahan tegangan kapasitor.

2000

10

4

10

4

2000

,

:

akar

-akar

0

10

4

4000

:

tik

karakteris

Persamaan

6 6 2 1 6 2

s

s

s

s

s

=

−

=

×

−

×

±

−

=

=

×

+

+

(

)

30000

0

)

0

(

0

)

0

(

kedua

awal

Kondisi

.

15

)

0

(

)

0

(

)

0

(

pertama

awal

Kondisi

=

−

=

→

+

=

=

→

+

+

=

⇒

=

=

=

⇒

=

+ + + − +

s

K

K

s

K

K

dt

dv

e

s

t

K

K

e

K

dt

dv

dt

dv

K

v

v

v

a b a b st b a st b a

(

15

30000

)

V

:

Jadi

v

=

+

t

e

−2000 t

⇒

(

)

(

)

st b a st b a p

K

K

t

e

K

K

t

e

v

v

0

:

berbentuk

akan

lengkap

tanggapan

maka

besar

sama

akar

memiliki

tik

karakteris

persamaan

Karena

+

+

=

+

+

=

(

15 30000t

)

e 2000 t V v = + − 30000t e 2000 t v = − t e v =15 −2000 -15 -10 -5 0 5 10 15 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

Dua akar kompleks konjugat

{b

2

−

4ac } < 0

β

−

α

=

β

+

α

=

j

s

j

s

₁

dan

₂

Akar-Akar Kompleks Konjugat

β − α = β + α = j s j s₁ dan ₂

Tanggapan lengkap akan berbentuk

(

j t j t

)

t p t j t j p K e K e y K e K e e y y = + ₁ (α+ β) + ₂ (α− β) = + ₁ + β + ₂ − β α ) sin (cos 2 t j t K β − β ) sin (cos 1 t j t K β + β t K K j t K K + )cosβ + ( − )sinβ ( _{1 2 1 2} t K t K_a cosβ + _bsinβ

(

)

t b a p K t K t e y y = + cosβ + sinβ α

Kondisi awal pertama: y(0+) = y_p(0+)+ K_a

Kondisi awal kedua:

b a p t a b a b p K K y e t K K t K K y y β + α + ′ = β α + β + β β − α + ′ = ′ + α + + ) 0 ( } cos ) ( sin ) {( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( + − + = _p a y y K ) 0 ( ) 0 ( + − ′ + ′ = β + αK_a K_b y y_p

Contoh-4. 0 ) 0 ( ; V 15 ) 0 ( − = i − = v

Persamaan rangkaian untuk t > 0:

Karena i = −i_C = −C dv/dt ₀ 2 2 = + + v dt dv RC dt v d LC 0 10 4 10 1 3 6 2 2 = × + × + v dt dv dt v d

(Diganti dengan 1 kΩ dari contoh sebelumnya)

Saklar S sudah lama pada posisi 1. Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.

Carilah perubahan tegangan kapasitor. + v − i_C 0,25 µF 15 V 1 kΩ + − i 1 H S 1 2 Pada t = 0+ _: 0 = + + − iR dt di L v Persamaan karakteristik: s2 +1×103s+4×106 = 0

(

)

t b a

t

K

t

e

K

v

=

0

+

cos

β

+

sin

β

α

(

15

cos(

500

15

)

15

sin(

500

15

)

)

V

:

lengkap

Tanggapan

v

=

t

+

t

e

−500t a

K

v

=

=

⇒

₍

₀

+

₎

₁₅

pertama

awal

Kondisi

15

15

500

15

500

0

)

0

(

kedua

awal

Kondisi

=

×

=

β

α

−

=

→

β

+

α

=

=

⇒

+ a b b a

K

K

K

K

dt

dv

15 500 500 10 4 500 500 , : akar -akar 0 10 4 1000 : tik karakteris Persamaan 6 2 2 1 6 2 j s s dt dv s ± − = × − ± − = = × + +

dua akar kompleks konjugat

15 500 ; 500 dengan α = − β = β ± α j

-15 -10 -5 0 5 10 15 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

(

15cos(500 15 t) 15sin(500 15 t)

)

e 500t V v = + − t 15 500 cos( 15 ) 15 500 sin( 15 t v [V]

-15 -10 -5 0 5 10 15 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 V 16e 500t e 8000t v = − − −

(

15 30000t

)

e 2000 t V v = + −

(

15cos(500 15 t) 15sin(500 15 t)

)

e 500t V v = + −

Perbandingan tanggapan rangkaian:

Dua akar riil berbeda: sangat teredam, Dua akar riil sama besar : teredam kritis,

Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus 3 cos 26 6 1 6 5 2 2 t v dt v d dt dv = + + → t v dt dv dt v d 3 cos 156 6 5 2 2 = + + 0 = + + + − v dt di L Ri v_s s v v dt i d LC dt dv RC + + = 2 2 + − 5Ω 1H i v_s + v − v_s = 26cos3t u(t) V ₆ F 1 i(0) = 2 A dan v(0) = 6 V Rangkaian mendapat masukan

sinyal sinus yang muncul pada t = 0. Tentukan perubahan tegangan dan arus kapasitor, apabila kondisi awal adalah

Pada t = 0+ _{: i(0}+_{) = 2 A dan v(0}+_{) = 6 V}

3

,

2

,

:

akar

-akar

);

3

)(

2

(

0

6

5

:

tik

karakteris

Persamaan

2 1 2

−

−

=

+

+

=

=

+

+

s

s

s

s

s

s

t

A

t

A

v

_{p c}

cos

3

_s

sin

3

:

paksa

nggapan

Dugaan ta

=

+

t t

e

K

e

K

t

t

v

2

cos

3

10

sin

3

₁ 2 ₂ 3

:

lengkap

ggapan

Dugaan tan

=

−

+

+

−

+

−

(

)

(

)

10 3 75 0 156 5 ; 2 75 3 0 156 0 3 15 dan 156 15 3 3 cos 156 3 sin 6 15 9 3 cos 6 15 9 = + − × = − = − − + = ⇒ = − − = + − → = + − − + + + − → s c s c s c s c s c s c A A A A A A t t A A A t A A A t v dt dv dt v d 3 cos 156 6 5 2 2 = + + Persamaan rangkaian

t

t

v

_p

2

cos

3

10

sin

3

:

paksa

Tanggapan

=

−

+

masih harus ditentukan melalui penerapan kondisi awal

A 2 3 cos 5 3 sin 6 1 V 2 6 3 sin 10 3 cos 2 : lengkap Tanggapan 2 6 3 2 30 12 : kedua awal kondisi Aplikasi 8 2 6 : pertama awal kondisi Aplikasi 12 ) 0 ( ) 0 ( 6 1 2 ) 0 ( dan 6 ) 0 ( : awal Kondisi 3 2 3 2 2 1 2 1 1 2 2 1 t t t t e e t t dt dv i e e t t v K K K K K K K K dt dv dt dv i v − − − − + + + + − − + = = ⇒ + + + − = = ⇒ = ⇒ − − = − = → + + − = = → = = = -30 -20 -10 0 10 20 30 0 2 4 6 8 10 v [V] i [A] t [s] v i v_s Amplitudo tegangan menurun Amplitudo arus meningkat

Bahan Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu

#3

Analisis Transien Rangkaian Orde-1 dan Orde-2