Uji Wilcoxon

A.

A.

PENDAHULUAN

PENDAHULUAN

1.

1. _{Latar Belakang MasalahLatar Belakang Masalah}

Istilah nonparametrik pertama kali digunakan oleh Wolfowitz, pada tahun Istilah nonparametrik pertama kali digunakan oleh Wolfowitz, pada tahun 1942. Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat 1942. Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistik parametrik, terutama yang berkaitan dengan distribusi normal. metode statistik parametrik, terutama yang berkaitan dengan distribusi normal. Istilah lain yang sering digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik  Istilah lain yang sering digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik  bebas distribusi (

bebas distribusi (distribution-free statisticsdistribution-free statistics) dan uji bebas asumsi () dan uji bebas asumsi (assumption-freeassumption-free test)

test). Statistik nonparametrik banyak digunakan pada penelitian-penelitian sosial.. Statistik nonparametrik banyak digunakan pada penelitian-penelitian sosial. Data yang diperoleh dalam penelitian sosial pada umunya berbentuk kategori atau Data yang diperoleh dalam penelitian sosial pada umunya berbentuk kategori atau berbentuk rangking.

berbentuk rangking.

statistik nonparametrik adalah prosedur statistik yang tidak mengacu statistik nonparametrik adalah prosedur statistik yang tidak mengacu pada parameter tertentu. Itulah sebabnya, statistik nonparametrik sering disebut pada parameter tertentu. Itulah sebabnya, statistik nonparametrik sering disebut sebagai prosedur yang bebas distribusi (

sebagai prosedur yang bebas distribusi ( free-distibuti free-distibution on proceduresprocedures). Banyak ). Banyak  orang berpendapat, jika data yang dikumpulkan terlalu kecil maka prosedur orang berpendapat, jika data yang dikumpulkan terlalu kecil maka prosedur statistik nonparametrik lebih baik digunakan. Statistik nonparametrik biasanya statistik nonparametrik lebih baik digunakan. Statistik nonparametrik biasanya digunakan untuk melakukan analisis pada data nominal atau ordinal karena pada digunakan untuk melakukan analisis pada data nominal atau ordinal karena pada umumnya data berjenis nominal dan ordinal tidak menyebar normal.

umumnya data berjenis nominal dan ordinal tidak menyebar normal.

Uji statistik nonparametrik ialah suatu uji statistik yang tidak  Uji statistik nonparametrik ialah suatu uji statistik yang tidak  memerlukan adanya asumsi-asumsi mengenai sebaran data populasi. Dari segi memerlukan adanya asumsi-asumsi mengenai sebaran data populasi. Dari segi  jumlah

 jumlah data, data, pada pada umumnya umumnya statistik statistik nonparametrik nonparametrik digunakan digunakan untuk untuk datadata berjumlah kecil (n < 30).

Contoh metode statistik nonparametrik diantaranya adalah Uji Wilcoxon (Signed-rank Test ), Uji Tanda (sign Test ), Uji Mann-Whitney ( Mann-Whitney Test ), Uji Kruskal-Wallis (K-W Test ), Uji Kolmogorov-Smirnov(K-S Test ), dan Uji McNemar ( McNemar Test ).

2. _{Rumusan masalah}

a. Memberikan pemahaman konsep tentang statistika non parametrik melalui uji Wilcoxon

b. Memberikan pemahaman langkah-langkah untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan statistika non parametrik melalui uji Wilcoxon

3. _{Tujuan penulisan}

Adapaun tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

a. Memahami pengertian statistika non parametrik melalui uji Wilcoxon

c. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan statistika non parametrik melalui uji Wilcoxon

d. Menambah wawasan dan pengetahuan khususnya bagi penulis dan bagi pembaca pada umumnya

B. PEMBAHASAN

1.

Uji Wilcoxon

Pada tahun 1945 Frank Wilcoxon mengusulkan suatu cara nonparametrik  yang sangat sederhana untuk membandingkan dua populasi kontinu bila hanya tersedia sampel bebas yang sedikit dan kedua populasi asalnya tidak normal. Cara ini dinamakan uji Wilcoxon atau uji jumlah rang Wilcoxon

Hipotesi nol Ho bahwa µ 1 = µ 2akan diuji lawan suatu tandingan yang sesuai

pertama-tama ambillah sampel acak dari tiap populasi. Misalkan n1 banyaknya

pengamatan dalam sampel yang lebih kecil, dan n2 banyaknya pengamatan dalam

sampel yang lebih besar. Bila sampelnya berukuran sama, maka n1 dan n2 dapat

dipertukarkan. Urutkanlah semua n1 + n2 pengamatan dengan urutan membesar dan

berikan rang 1, 2, . . . , n1+ n2pada tiap pengamatan. Bila terdapat seri (pengamatan

yang besarnya sama), maka pengamatan tersebut diganti dengan rataan rang nya. Jumlah rang yang berasal dari ke n1 pengamatan dalam sampel yang lebih

kecil dinyatakan dengan w1. Begitu juga, w2 menyatakan jumlah rang yang berasal

dari n2 pengamatan dalam sampel yang lebih besar. Jumlah n1+ n2hanya bergantung

pada banyaknya pengamatan dalam kedua sampel dan sama sekali tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan. Jadi, bila n1=3 dan n2=4, maka w1+w2=1+2+…+7=28

Secara umum: w1+w2=

(







)(

_







)

Dari rumus w1didapat rumus untuk w2, yaitu:

Bila sampel ukuran n1 dan n2 diambil beberapa kali, maka dapat

diharapkan bahwa w1 dan w2 akan berubah. Jadi w1 dan w2masing-masing di

pandang sebagai nilai peubah acak W1dan W2.

Untuk lebih mudah dalam menghitung peluangnya, kita menggunakan tabel. Tabel ini didasarkan pada statistika U, minimum U1 dan U2, dengan:

U1= W1-





(



)



dan U2= W2-





(



)



Untuk uij ekaarah, Bila P(U ≤ u



Ho benar) ≤ α, uji tersebut berarti dan Ho ditolak. Untuk uji dwiarah, uji tersebut berarti bila 2P(U ≤ u



Ho benar) ≤ α, dalam hal ini hipotesis tandingan bahwa µ 1 ≠ µ2 diterima.

Bila, n1= 3, n2= 5, dan w1= 8, sehingga w2=

()()



- 8 = 28, jadi

u1 =8 – 

()()



= 2 u2= 28 – 

()()



= 13

dengan menggunakan tabel, untuk u = 2, diperoleh: P(U ≤ 2



Ho benar) = 0,071

2. Langkah-Langkah uji Wilcoxon

Untuk menguji hipotesis nol, bahwa rataan dua populasi yang tak normal adalah sama bila hanya tersedia sampel acak yang terkecil (ukurannya), maka

dikerjakan melalui langkah-langkah berikut: 1. Ho :

µ 

₁

= µ 

₂

4. Daerah kritis:

a) Semua nilai u yang memenuhi P(U ≤ u



Ho benar) < α bila n2≤ 8

dan ujinya ekaarah;

b) Semua nilai u yang memenuhi 2P(U ≤ u



Ho benar) < α bila n2≤ 8

dan ujinya dwiarah;

c) Semua nilai u yang lebih kecil atau sama dengan nilai kritis yang sesuai dalam table bila 9 ≤ n2 ≤ 20

5. Hitung w1, w2, u1, u2dari sampel bebas berukuran n1dan n2, dengan n1≤n2.

Dengan menggunakan yang terkecil diantara u1 dan u2 sebagai u,

tentukanlah apakah u jatuh pada daerah penerimaan atau pada daerah kritis. 6. Kesimpulan: tolak Ho bila u jatuh dalam daerah kritis; jika sebaliknya,

terima Ho.

Contoh 1:

1. Untuk mengetahui apakah suatu serum baru akan menyembuhkan

leukemia, dipilih Sembilan tikus yang penyakit leukemianya sudah cukup parah. Lima tikus mendapat pengobatan sedangkan empat tidak. Lamanya tikus hidup, dalam tahun sejak permulaan percobaan adalah

Perlakuan 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9 Tanpa perlakuan 1,9 0,5 2,8 3,1

Padatarif keberartian 0,05, dapatkah dikatakan serum tersebut manjur? Jawab: n1= 4 dan n2= 5, diperoleh:

3. α = 0,05

4. daerah kritis: semua nilai u yang memenuhi P(U ≤ u



Ho benar)<0,05 5. perhitungan: semua pengamatan diurutkan membesar dan diberi rang 1

sampai 9

Data Asli 0,5 0,9 1,4 1,9 2,1 2,8 3,1 4,6 5,3 Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Rang pengamatan dari sampel perlakuan digarisbawahi.

w1 = 1 + 4 + 6 + 7 = 18 w2 =

[

()()



]

-

18 = 27 Jadi, u1= 18 – 

[

()()



]

= 8 u2= 27 – 

[

()()



]

=

12

sehingga u = 8. Karena P(U ≤ 8



Ho benar) = 0,365 < 0,05, maka nilai u = 8  jatuh pada daerah penerimaan.

6. Kesimpulan: terima Ho dan simpulkan bahwa serum tidaklah memperpanjang usia dengan cara mengobati leukemia.

Contoh 2:

2. Kadar nikotin dua merek rokok, diukur dalam miligram, sebagai berikut: Merek A 2,1 4,0 6,3 5,4 4,8 3,7 6,1 3,3

Merek B 4,1 0,6 3,1 2,5 4,0 6,2 1,6 2,2 1,9 5,4 Ujilah hipotesis, pada taraf keberartian 0,05, bahwa rata-rata kadar nikotin kedua merek rokok sama.

1. Ho : µ 1= µ 2

2. H1: µ 1< µ 2

3. α = 0,05

4. Daerah kritis: semua nilai u yang memenuhi P(U ≤ u



Ho benar)<0,05 5. Perhitungan: semua pengamatan diurutkan membesar dan diberi rang 1

sampai 18

Data Asli Rang Data Asli Rang

0,6 1 4,0 10,5 1,6 2 4,0 10,5 1,9 3 4,1 12 2,1 4 4,8 13 2,2 5 5,4 14,5 2,5 6 5,4 14,5 3,1 7 6,1 16 3,3 8 6,2 17 3,7 9 6,3 18

Rang pengamatan dari sampel yang lebih kecildigarisbawahi. w1= 4 + 8 + 9 + 10,5 + 13 + 14,5 + 16 + 18 = 93 w2 =

[

()()



]

 – 

93 = 78 Jadi, u1 = 93 – 

[

()()



]

=

57 u2 = 78 – 

[

()()

_

]

= 23 Sehingga u = 23

6. Kesimpulan : terima Ho dan simpulkan bahwa tidak terdapat perbedaan dalam kadar nikotin kedua merek rokok 

C . PENUTUP

1.

Kesimpulan

1.

Uji statistik nonparametrik ialah suatu uji statistik yang tidak memerlukan adanya asumsi-asumsi mengenai sebaran data populasi

2.

uji Wilcoxon atau uji jumlah rang Wilcoxon adalah suatu cara nonparametrik  yang sangat sederhana untuk membandingkan dua populasi kontinu bila hanya tersedia sampel bebas yang sedikit dan kedua populasi asalnya tidak normal

3.

enam langkah pengujian Wilcoxon, yaitu:

1. Ho :

µ 

₁

= µ 

₂

2. H1 : Tandingannya adalahµ 1<µ 2, µ 1 >µ 2, atau µ 1 ≠µ 2

3. Pilih taraf keberartian 4. Daerah kritis:

d) Semua nilai u yang memenuhi P(U ≤ u



Ho benar) < α bila n2≤ 8

dan ujinya ekaarah;

e) Semua nilai u yang memenuhi 2P(U ≤ u



Ho benar) < α bila n2≤ 8

dan ujinya dwiarah;

f) Semua nilai u yang lebih kecil atau sama dengan nilai kritis yang sesuai dalam table bila 9 ≤ n2 ≤ 20

5. Hitung w1, w2, u1, u2dari sampel bebas berukuran n1dan n2, dengan n1≤n2.

Dengan menggunakan yang terkecil diantara u1 dan u2 sebagai u,

tentukanlah apakah u jatuh pada daerah penerimaan atau pada daerah kritis. 6. Kesimpulan: tolak Ho bila u jatuh dalam daerah kritis; jika sebaliknya,

2. Saran

Dalam mempelajari statistika nonparametrik kita telah tahu banyak mengenai uji Wilcoxontetapi belum tahu tentang pengaplikasiannya. Untuk itu saran dari

penulis, diharapkan kepada pembaca agar sudi kiranya untuk menelaah lebih

mendalam mengenai pengaplikasian statistika nonparametrik khususnya mengenai uji Wilcoxon.

D. DAFTAR PUSTAKA

Walpole, Ronald E. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB

Mangkuatmodjo, Soegyarto. 1999. Statistika Lanjutan. Jakarta: Rineka cipta Boedijoewono, Noegroho. 2007. Pengantar Statistika. Yogykarta: UGM