SEPARABLE PROGRAMMING DALAM MENYELESAIKAN MASALAH NONLINIER
SKRIPSI
AMRULLAH ROZY DALIMUNTHE 140803047
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
SEPARABLE PROGRAMMING DALAM MENYELESAIKAN MASALAH NONLINIER
SKRIPSI
Ditulis Sebagai Syarat untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
AMRULLAH ROZY DALIMUNTHE 140803047
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : Separable Programming dalam Menyelesaikan Masalah Nonlinier
Kategori : Skripsi
Nama : Amrullah Rozy Dalimunthe
Nomor Induk Mahasiswa : 140803047
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di Medan, Juli 2018
Komisi Pembimbing: Disetujui Oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Pembimbing, Ketua,
Drs. Rosman Siregar, M.Si Dr. Suyanto, M.Kom
NIP. 19610107 198601 1 001 NIP. 19590813 198601 1 002
PERNYATAAN
SEPARABLE PROGRAMMING DALAM MENYELESAIKAN MASALAH NONLINIER
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2018
Amrullah Rozy Dalimunthe 140803047
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhana wa Ta’ala atas berkat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “ SEPARABLE PROGRAMMING DALAM MENYELESAIKAN MASALAH NONLINIER”
dengan baik dan tepat waktu.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Orang Tua Saya Ratna Sari dan M. Najib Dalimunthe atas segala dukungan moral maupun material dan doa yang telah diberikan selama ini terkhusus pada penyelesaian skripsi ini serta abang dan keluarga penulis.
2. Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku dosen pembimbing penulis atas segala waktu dan arahan yang diberikan selama penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus M.Si dan Ibuk Dr. Esther S. M. Nababan, M.Sc selaku dosen pembanding atas segala saran dan masukan yang diberikan selama penyelesaian skripsi ini.
4. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.
5. Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan FMIPA USU serta semua Wakil Dekan FMIPA USU.
6. Semua Dosen Departemen Matematika FMIPA USU dan pegawai di FMIPA USU.
7. Saudara kandung saya, Muttaqin Adli Dalimunthe, S.P, Ifroh Hanny Dalimunthe, S.E, dan Fadhil Fadlul Rahman Dalimunthe. yang selama ini mendukung kuliah saya sampai selesai.
8. Teman-teman jurusan Matematika khususnya stambuk 2014 yang selalu mendukung penulis, adik-adik stambuk 2015, satambuk 2016, stambuk 2017 serta Abang dan Kakak Alumni.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini.
Oleh karena itu, penulis menerima saran dan kritik yang positif dan membangun dari pembaca untuk penyempurnaan skripsi ini.
Medan, Juli 2018 Penulis
Amrullah Rozy Dalimunthe
SEPARABLE PROGRAMMING DALAM MENYELESAIKAN MASALAH NONLINIER
ABSTRAK
Optimisasi merupakan hal yang penting dalam penyelesaian masalah pengambilan pilihan yang terbaik dengan kriteria tertentu. Model masalah optimisasi dapat berupa pemprograman linier atau pemprograman nonlinier. Permasalahan optimisasi dalam kehidupan manusia seringkali diselesaikan dengan menggunakan pemprograman nonlinier karena banyaknya permasalahan optimisasi yang tidak dapat dimodelkan dalam bentuk pemprograman linier. Masalah optimisasi dapat diaplikasikan dalam masalah nyata antara lain produksi barang. Penelitian ini bertujuan untuk membentuk model nonlinier produksi optimal. Metode Separabel Programming merupakan satu metode penyelesaian dalam pemrograman nonlinier dengan mentransformasikan bentuk nonlinier menjadi bentuk linier yang hanya memuat satu variabel.
Selanjutnya, masalah Separable Programming diselesaikan dengan hampiran fungsi linier sepotong-sepotong (piecewise linear function) menggunakan formulasi lamda.
Model permasalahan dengan separable programming menggunakan formulasi lamda adalah memodelkan suatu masalah, mentranformasikan fungsi nonlinier menjadi fungsi linier, membentuk masalah AP, membentuk masalah LAP, dan mencari solusi. Model untuk masalah pemrograman nonlinier dalam penetapan jumlah produksi optimal di Salis Konveksi untuk bulan Juli 2016 sampai bulan Desember 2016 dengan biaya seminimal mungkin diselesaikan menggunakan pendekatan separable programming dengan formulasi lamda diperoleh solusi bahwa hasil yaitu total minimal biaya prosuksi Rp 3.026.706,87 dengan produksi atasan dewasa sebanyak 102 pcs, rok dewasa 98 pcs, dress anak sebanyak 180 pcs, dan atasan anak sebanyak 40 pcs.
Kata Kunci: Program Nonlinier, Separable Programming
SEPARABLE PROGRAMMING IN SOLVING NONLINEAR PROBLEMS
ABSTRACT
Optimization is crucial in solving the best decision-making problem with certain criteria. Model optimization problems can be either linear programing or nonlinear programing. The problem of optimization in human life is often solved by using nonlinear programming because of the many optimization problems that can not be modeled in the form of linear programming. Optimization problems can be applied in real problems such as the production of goods. This study aims to form an optimal nonlinear production model. Separable Methods Programming is a method of settlement in nonlinear programming by transforming nonlinear form into linear form wich contains only one variable. Furthermore, the problem of Separable Programming is solved by almost piecewise linear function using lamda formulation.
Problem model with separable programming using lamda formulation are modeling a problem, transforming nonlinear function into linear functions, forming AP problems, forming LAP problems, and finding solution. The model for nonlinear programming problem in determining the optimal production amount in Salis Konveksi for July 2016 until December 2016 with minimal cost is solved using separable programming spproach with lamda formulation obtained the solution that the result is total of minimum cost of Rp 3.026.706,87 with production adult top 102 pcs, adult skirt 98 pcs, child dress as much as 180, and child’s boss as musch as 40 pcs.
Keywords: Nonlinear Programming, Separable Programming
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN I
PERNYATAAN Ii
PENGHARGAAN Iii
ABSTRAK Iv
ABSTRACT V
DAFTAR ISI Vi
DAFTAR TABEL Viii
DAFTAR GAMBAR Ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 4
1.3 Batasan Masalah 4
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Manfaat Penelitian 4
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Optimisasi 6
2.2 Program Linier 6
2.2.1 Pengertian Program Linier 6
2.2.2 Model Program Linier 7
2.3 Program Nonlinier 8
2.3.1 Pengertian Program Nonlinier 8
2.4 Separable Programming 10 2.4.1 Pengertian Separable Programming 10
2.5 WinQSB 15
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Rancangan Penelitian 16
3.2 Jenis dan Teknik Pengumpulan Data 16
3.3 Analisis Data 16
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penyelesaian Masalah Nonlinier Menggunakan Pendekatan Separable Programming
17
4.2 Penerapan Model Nonlinier pada Data 17
4.2.1 Data 18
4.3 Penyelesaian Model Nonlinier Menggunakan Separable Programming Metode Hampiran Sepotong-sepotong
20
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 30
5.2 Saran 31
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
4.1 Data Produksi 18
4.2 Data Biaya Produksi 19
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Kerangka Pemikiran 16
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Riset operasi yang berasal dari Inggris merupakan suatu hasil studi operasi–
operasi militer selama Perang Dunia II. Setelah perang selesai, potensi komersialnya segera disadari dan pengembangannya telah menyebar dengan cepat di Amerika Serikat, dimana ia lebih dikenal dengan nama Riset Operasi atau Operation Research (disingkat OR). Istilah Riset Operasi pertama kali digunakan pada Tahun 1940 oleh Mc Closky dan Trefthen di suatu kota kecil, Bowdsey, Inggris. Arti Riset Operasi (Operation Research) telah banyak didefinisikan oleh beberapa ahli. Morse dan Kimball mendefinisikan Riset Operasi sebagai metode ilmiah (Scientific Method) yang memungkinkan para manajer mengambil keputusan mengenai kegiatan yang mereka tangani dengan dasar kuantitatif. Sedangkan Churchman, Arkoff dan Arnoff pada tahun 1950-an mengemukakan pengertian riset operasi sebagai aplikasi metode–metode, teknik–teknik dan peralatan–peralatan ilmiah dalam menghadapi masalah-masalah yang timbul di dalam operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannya pemecahan yang optimum masalah–masalah tersebut.
Dari definsi diatas dapat disimpulkan bahwa riset operasi berkenaan dengan pengambilan keputusan optimal dalam, dan penyusunan model dari, sistem–
sistem baik deterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata.
Aplikasi–aplikasi ini, yang terjadi dalam pemerintahan, bisnis, teknik, ekonomi, serta ilmu pengetahuan alam dan sosial ditandai dengan kebutuhan untuk mengalokasikan sumber daya–sumber daya yang terbatas dan riset operasi (berarti research on operations), yang mengandung pendekatan maupun bidang aplikasi, sangat berguna dalam menghadapi masalah–masalah bagaimana mengarahkan dan mengkoordinasi operasi–operasi atau kegiatan–kegiatan dalam suatu organisasi dengan segala batasan–batasannya melalui prosedur. “Search of Optimality” (Subagyo, 1990).
Tujuan utama dari bidang yang mengaplikasikan riset operasi adalah untuk melakukan optimisasi, baik optimisasi untuk meminimumkan ataupun
2
memasksimumkan. Terdapat dua jenis kasus optimisasi, yaitu optimisasi tanpa kendala dan optimisasi dengan kendala (Winston, 2003 : 2). Kendala muncul apabila terdapat syarat tertentu atau batasan tertentu yang harus dipenuhi oleh variabel keputusan.
Optimisasi merupakan hal yang penting dalam penyelesaian masalah pengambilan pilihan yang terbaik dengan kriteria tertentu. Model masalah optimisasi dapat berupa pemprograman linier atau pemprograman nonlinier. Permasalahan optimisasi dalam kehidupan manusia seringkali diselesaikan dengan menggunakan pemprograman nonlinier karena banyaknya permasalahan optimisasi yang tidak dapat dimodelkan dalam bentuk pemprograman linier. Bentuk masalah nonlinier dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode, diantaranya Lagrange Multiplier, pendekatan kondisi Karush-Kuhn-Tukcker, Quadratic Programming, dan Separable Programming. Beberapa penelitian mengenai separable programming yang diselesaikan dengan metode simpleks.
Pemrograman terpisah adalah pendekatan yang digunakan untuk memecahkan masalah nonlinier dengan metode simpleks. Metode ini terbukti dalam memecahkan masalah nonlinier, yang sampai sekarang tidak memiliki metode seperti dalam masalah pemrograman linier standar. Tulisan ini mencoba membandingkan proses dan hasil dari pendekatan pemrograman terpisah dengan kondisi Kuhn- Tucker. Terbukti bahwa keduanya memberikan hasil yang serupa, tetapi dengan cara yang berbeda. Pendekatan pemrograman terpisah sebaiknya digunakan untuk memecahkan masalah nonlinier yang memiliki kesulitan ketika diselesaikan dengan pendekatan kondisi Kuhn-Tucker. (Budi Marpaung, 2012).
Optimisiasi merupakan suatu langkah yang dilakukan untuk menemukan hasil yang terbaik dengan memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan dengan tetap memperhatikan batasan yang ada. Masalah optimisasi dapat diaplikasikan dalam masalah nyata antara lain portofoilio. Penelitian ini bertujuan untuk membentuk model nonlinier portofolio optimal pada innvestasi saham di bidang Perbankan yaitu Bank Central Asia dan Bank Rakyat Indonesia periode 1 Juni 2012 sampai 24 Juni 2013, dan menyelesaikan model menggunakan separable programming.
3
Model nonlinier pada portofolio disusun dengan mendefinisikan variabel- variabel penyimpangan, mentransformasi fungsi tujuan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, selanjutnya fungsi tujuan utama dalam pola memaksimumkan expected return dengan tingkat risiko tertentu. Sebagai penerapan model nonlinier pada portofolio optimal diilustrasikan seorang investor ingin berinvestasi pada dua perusahaan yaitu BBCA dan BBRI dengan dana awal sebesar Rp 65.000.000,00 yang rencananya akan diinvestasikan semua dananya. Investor mengharapkan risiko yang terkecil mungkin atau minimum. Berdasarkan perhitungan, keputusan yang diperoleh adalah menginvestasikan dana awal dengan alokasi Rp 40.000.000,00 diinvestasikan di BBCA dan Rp 25.000.000,00 diinvestasikan di BBRI. Jika investor menjual sahamnya pada periode Juli 2013 maka keuntungan yang diperoleh yaitu sebesar Rp 4.250.950,00. (Rini Nurcahyani, 2014).
Optimisasi dapat didefinisikan sebagai proses menemukan kondisi dimana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum. Masalah optimisasi dapat diterapkan dalam masalah nyata. Permasalahan yang dihadapi manusia seringkali merupakan masalah nonlinier, antara lain masalah mengoptimalkan produksi.
Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan langkah penyelesaian masalah pemrograman nonlinier dan penerapannya dalam penetapan jumlah produksi optimal bakpia di Bakpia Eny dengan pendekatan separable programming menggunakan formulasi delta dan lamda.
Langkah menyelesaikan masalah pemrograman nonlinier dengan separable programming menggunakan formulasi delta dan formulasi lamda adalah memodelkan suatu masalah, mentransformasikan fungsi nonlinier menjadi fungsi linier, membentuk masalah AP, membentuk masalah LAP, dan mencari solusi.
Model untuk masalah pemrograman nonlinier penetapan jumlah produksi optimal di Bakpia Eny untuk bulain Agustus, September, dan Oktober dengan biaya seminimal mungkin diselesaikan menggunkan pendekatan separable programming dengan formulasi delta dan formulasi lamda diperoleh solusi bahwa Bakpia Eny harus memproduksi 2500 kardus bakpia pada bulan Agustus, 3000 kardus bakpia pada bulan September dan 3500 kardus bakpia pada bulan Oktober dengan biaya sebesar Rp 54.973.710,8. (Lina Febriani, 2015).
4
Dalam penelitian ini akan dikaji bagaimana metode separable programming mengoptimalkan biaya dan produksi. Hal ini yang mendasari penulis menggunakan separable programming. Dari uraian diatas penulis memilih judul skripsi “Separable Programming dalam Menyelesaikan Masalah Program Nonlinier”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, pokok permasalahan yang dibahas dalam tulisan ini adalah cara untuk mengoptimalkan produksi pakaian dengan metode separabel programming sehingga memperoleh keuntungan yang optimal.
1.3 Batasan Masalah
Agar penelitian yang dilakukan dapat menghasilkan penelitian yang focus dan akurat, maka diberikan batasan masalah sebagai berikut:
1. Metode yang dikaji adalah metode separable programming.
2. Data penelitian ini diambil dari jurnal.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperlihatkan bahwa metode separable programming merupakan salah satu alternative yang dapat digunakan untuk mengoptimalkan produksi salis koveksi.
1.5 Manfaat Penelitian Manfaat Penelitian ini adalah:
1. Peneliti mendapatkan pengalaman dalam mengaplikasikan ilmu pengetahuan yang diperoleh tentang mengoptimalkan jumlah produksi.
2. Sebagai bahan rujukan bagi pemilihan metode pengambilan keputusan dalam masalah program nonlinier.
3. Menambah kepustakaan universitas yang sudah ada, khususnya mengenai pengoptimalan produksi dengan menggunakan nonlinear programming.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Optimisasi
Optimisasi berasal dari Bahasa inggris optimization yang memiliki arti memaksimalkan atau meminimalkan sebuah fungsi yang diberikan untuk beberapa macam kendala. Secara lebih sederhana dapat dijelaskan bahwa optimisasi adalah suatu cabang dari ilmu matematika yang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan dengan mempertimbangkan beberapa kendala yang diberikan.
Konsep optimisasi mempunyai peranan penting dalam menyelesaikan suatu masalah yang ada dalam kehidupan sehari-hari. Prosedur pemecahan masalah optimisasi yang biasa digunakan yaitu memodelkan persoalannya kedalam sebuah program matematis dan kemudian memecahkannya dengan menggunakan teknik- teknik atau metode optimisasi seperti program linier, program nonlinier, program tujuan ganda, dan metode-metode lainnya yang sudah berkembang saat ini.
2.2 Program Linier
2.2.1 Pengertian Program Linier
Linear Programming (LP) merupakan suatu model umum yang digunakan dalam pemecahan maslah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas (Subagyo, 1990).
Menurut Frederick S. Hiller dan Gerald J. Lieberman, LP merupakan suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang dihadapi. Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model merupkan fungsi-fingsi linier.
Pemrograman merupakan sinonim untuk kata perencanan. LP mencakup perencanaan kegitatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang optimal., yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang paling baik
6
menurut model matematis diantara alternatif-alternatif yang mungkin, dengan menggunakan fungsi linier (Andi Wijaya, 2013).
2.2.2 Model Program Linier
Model matematis perumusan masalah umum pengalokasian sumber daya untuk berbagai kegiatan disebut sebagai model Linear Programming (LP). Model LP merupakan bentuk dan susunan dari dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik LP. Dalam model LP dikenal 2 macam fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi batasan. Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan atau sasaran di dalam permasalahan LP yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal.
Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan ditanyakan sebagai Z. Sedangkan fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke sebagai kegiatan (Subagyo, 1990).
Secara sistematis, bentuk standar model program linier adalah sebagai berikut (Jong Jek Siang, 2014):
Mencari 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0 yang memaksimumkan/meminimumkan 𝑍 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 Dengan kendala:
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛(≤, =, ≥)𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛(≤, =, ≥)𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛(≤, =, ≥)𝑏𝑚
Keterangan:
𝑚 = macam batasan-batasan sumber yang tersedia
𝑛 = macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber 𝑖 = nomor setiap macam sumber yang tersedia (𝑖 = 1,2, . . , 𝑚)
𝑗 = nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber yang tersedia (𝑗 = 1,2, . . , 𝑛)
7
𝑎𝑖𝑗 = banyaknya sumber 𝑖 yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan 𝑗 (𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑑𝑎𝑛 𝑗 = 1,2, … , 𝑛)
𝑏𝑖 = banyaknya sumber yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
𝑍 = nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum)
Ciri pertama dipenuhi oleh banyak masalah karena pada umumnya variabel yang digunakan (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) menyatakan suatu kuantitas misalnya jumlah barang, lama waktu, dan sebagainya yang hendak dioptimalkan. Jelas bahwa nilai kuantitas tersebut tidak negatif. Akan tetapi bila diinginkan ada variabel yang boleh bernilai negatif, model program linier tetap bisa diselesaikan dengan suatu transformasi.
Ciri kedua berarti bahwa setiap variabel memiliki koefisien konstan. Tidak boleh ada variabel yang berpangkat selain 1, dan tidak boleh ada pergandaan variabel. Ciri linier ini juga berlaku pada semua kendalanya. Dalam beberapa kasus ditransformasikan ke bentuk linier. Apabila demikian, model program linier dapat digunakan.
2.3 Program Nonlinier
2.3.1 Pengertian Program Nonlinier
Masalah optimisasi (memaksimalkan atau meminimumkan) merupakan masalah yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya permasalahan ekonomi yaitu masalah memaksimumkan keuntungan suatu produksi, dengan biaya produksi yang seminimal mungkin, pada kenyataannya fungsi-fungsi yang terlibat permasalahan ekonomi yaitu masalah memaksimumkan keuntungan suatu produksi, dengan biaya produksi yang seminimal mungkin. Pada kenyataannya fungsi-fungsi yang terlihat dalam permasalahan tersebut tidak selalu linier.
Suatu fungsi dikatakan nonlinier jika terdapat perkalian antara variabel bebas dengan dirinya sendiri atau dengan variabel bebas yang lain. Fungsi nonlinier dapat berupa fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi pecahan dan lain- lain. Oleh karena itu dibutuhkan pemrograman nonlinier untuk menjawab permasalahan tersebut (Febriani L, 2015).
8
Pemrograman nonlinier merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan permasalahan optimisasi dengan menggunakan persamaan dan tidak persamaan nonlinier untuk mencari hasil (output) yang persediaannya terbatas pada nilai tertentu. Suatu permasalahan optimisasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Tidak semua permasalahan dalam kehidupan dapat diselesaikan dengan pemrograman linier. Terdapat beberapa hal yang menyebabkan sifat ketidaksamaan.
Sifat ketidak linieran dapat juga muncul pada fungsi kendala 𝑔𝑖(𝑥) dengan cara yang sama. Sebagai contoh, apabila terdapat kendala anggaran dalam biaya produksi total, maka fungsi biaya akan menjadi nonlinier jika biaya produksi marginal berubah. Kendala 𝑔𝑖(𝑥) akan berbentuk nonlinier apabila terdapat penggunaan yang sebanding antara sumber daya dengan tingkat produksi dari masing-masing produk.
Model pemrograman nonlinier meliputi pengoptimalan suatu kondisi berikut (Nurcahyani R, 2014):
a. Fungsi tujuan nonlinier terhadap kendala linier.
b. Fungsi tujuan nonlinier terhadap kendala nonlinier.
c. Fungsi tujuan nonlinier tidak berkendala.
Pemrograman nonlinier mempunyai dua kondisi yaitu mempunyai kendala dan tanpa kendala. Bentuk umum untuk fungsi nonlinier dengan kendala dituliskan sebagai berikut:
𝑍 = 𝑓(𝑥) Dengan kendala
𝑎 ≤ 𝑥 ≥ 𝑏
Di mana 𝑓(𝑥) adalah sebuah fungsi nonlinier dan pencarian nilai optimumnya ditinjau pada selang [a,b] dengan 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛).
Bentuk umum dari pemrograman nonlinier dengan kendala secara umum dapat ditulis:
Maksimumkan/minimumkan
𝑍 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 (2.1) Dengan kendala
9
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, … , 𝑥𝑛 ≥ 0 (2.2b)
𝑓(𝑥) merupakan fungsi tujuan dan 𝑔𝑖(𝑥) merupakan fungsi kendala dengan 𝑏𝑖 menunjukkan nilai syarat kendala tersebut. Dengan 𝑓(𝑥) dan 𝑔𝑖(𝑥) merupakan fungsi yang kontinu dan differensiable. 𝑓(𝑥) dan 𝑔𝑖(𝑥) masing-masing adalah fungsi dengan n-variabel. 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 yang memenuhi kendala dan meminimalkan atau memaksimalkan fungsi tujuan 𝑓(𝑥) dan 𝑔𝑖(𝑥) nonlinier atau hanya 𝑓(𝑥) nonlinier.
Jika 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≠ ∅, maka pemrograman nonlinier tersebut dinamakan pemrograman nonlinier berkendala (constrained), dan jika 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = ∅, maka pemrograman tersebut dinamakan pemrograman nonlinier tidak berkendala (unconstrained). Batasan-batasan biasanya dinamakan kendala-kendala. Pada-m kendala pertama dinamakan kendala-kendala fungsional, sedangkan batasan-batasan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0 dinamakan kendala-kendala tak-negatif.
Jika terjadi 𝑚 > 𝑛 makan masalah tidak dapat diselesaikan. Akan tetapi untuk dapat menyelesaikannya maka 𝑚 ≤ 𝑛 (banyaknya kendala lebih sedikit atau sama dengan banyaknya variabel). Daerah fisibel untuk pemrograman nonlinier adalah himpunan dari nilai-nilai (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) yang memenuhi sejumlah m-kendala.
Sebuah nilai di dalam daerah fisibel adalah nilai fisibel, dan sebuah nilai di luar fisibel adalah nilai tidak fisibel.
2.4 Separable Programming
2.4.1 Pengertian Separable Programming
Separable Programming atau yang sering disebut pemrograman terpisah merupakan salah satu metode dalam penyelesaian pemrograman nonlinier dengan cara mentransformasikan bentuk fungsi nonlinier menjadi fungsi-fungsi linier yang hanya memuat satu variable saja.
Masalah separable programming dapat dituliskan sebagai berikut (Bazaraa, 2006:684) diberikan fungsi 𝑓𝑗 merupakan fungsi tujuan nonlinier dan 𝑔𝑖𝑗 merupakan fungsi kendala yang dapat berbentuk linier atau nonlinier dengan 𝑏𝑖 menunjukkan nilai syarat kendala tersebut, dalam hal ini 𝑥𝑖 merupakan variable bebas,
Memaksimumkan/Meminimumkan
10
Dengan kendala
∑𝑛𝑗=1𝑔𝑖𝑗(𝑥𝑗)(≤, =, ≥)𝑏𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (2.4)
𝑥𝑗 ≥ 0, (𝑗 = 1,2, … , 𝑛) (2.4b)
Fungsi pada persamaan (2.3) dan (2.4) dapat dijabarkan menjadi 𝑧 = 𝑓1(𝑥1) + 𝑓2(𝑥2) + ⋯ + 𝑓𝑛(𝑥𝑛) (2.5) 𝑔11(𝑥1) + 𝑔12(𝑥2) + ⋯ + 𝑔1𝑛(𝑥𝑛)(≤, =, ≥)𝑏1 (2.6a)
𝑔21(𝑥1) + 𝑔22(𝑥2) + ⋯ + 𝑔2𝑛(𝑥𝑛)(≤, =, ≥)𝑏2 (2.6b) ⋮
𝑔𝑚1(𝑥1) + 𝑔𝑚2(𝑥2) + ⋯ + 𝑔𝑚𝑛(𝑥𝑛)(≤, =, ≥)𝑏𝑚 (2.6c) Penyelesaian dalam masalah separable programming dapat dilakukan dengan metode hampiran linier septong-sepotong dengan membuat beberapa titik kisi.
Didefinisikan 𝑓(𝑥) merupakan fungsi nonlinier yang kontinu, dengan 𝑥 pada interval [a,b]. Akan didefinisikan fungsi linier sepotong-sepotong 𝑓̅ yang merupakan hampiran fungsi 𝑓 pada interval [a,b]. Selanjutnya interval [a,b] dipartisi menjadi interval-interval yang lebih kecil, dengan titik partisi (titik kisi) 𝑎 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏 . Titik-titik kisi tidak harus mempunyai jarak yang sama.
Bentuk baru variabel keputusan dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑥 = ∑𝑘𝑣=1𝑥𝑣𝜆𝑣, untuk 𝑣 = 1,2, … , 𝑘
Dengan hampiran linier dari fungsi 𝑓(𝑥) untuk titik-titik kisi 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 didefinisikan sebagai berikut:
𝑓̂(𝑥) = ∑𝑘𝑣=1𝑓̂(𝑥𝑣)𝜆𝑣, ∑𝑘𝑣=1𝜆𝑣 = 1, 𝜆𝑣 ≥ 0 (2.7) Dan terdapat paling sedikit satu 𝜆𝑣 tidak nol atau paling banyak dua 𝜆𝑣, 𝜆𝑣+1 tidak nol berdampingan.
Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian model linier menggunakan separable programming:
a. Membentuk model nonlininer berdasarkan data yang diperoleh dari objek
11
b. Membentuk masalah P (Fungsi Separable).
Memaksimumkan/Meminimumkan
𝑍 = ∑𝑛𝑗=1𝑓𝑗(𝑥𝑗) (2.8)
Dengan kendala
∑𝑛𝑗=1𝑔𝑖𝑗(𝑥𝑗)(≤, =, ≥)𝑏𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (2.9a)
𝑥𝑗 ≥ 0, (𝑗 = 1,2, … , 𝑛) (2.9b)
c. Mentransformasikan fungsi nonlinier menjadi fungsi linier dengan hampiran linier sepotong-sepotong formulasi lamda dan membuat titik kisi. Hampiran linier dari fungsi 𝑓(𝑥) untuk titik-titik kisi 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 didefinisikan sebagai berikut:
𝑓̂𝑘(𝑥𝑗) = ∑𝑘𝑗𝑣=1𝑓𝑗(𝑥𝑣𝑗)𝜆𝑣𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 ∉ 𝐿 (2.10) 𝑔̂𝑣𝑗(𝑥𝑗) = ∑𝑘𝑗𝑣=1𝑔𝑖𝑗(𝑥𝑣𝑗)𝜆𝑣𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 ∉ 𝐿 (2.11) Dengan
∑𝑘𝑗𝑣=1𝜆𝑖𝑗 = 1 (2.12a)
𝜆𝑖𝑗 ≥ 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑣 = 1,2, … , 𝑘𝑗; 𝑗 ∉ 𝐿 (2.12b) Dan
𝑥𝑗 = ∑𝑘𝑗𝑣=1𝜆𝑣𝑗(𝑥𝑣𝑗) (2.13)
d. Membentuk masalah AP
Memaksimumkan/Meminimumkan
𝑍 = ∑𝑗∉𝐿𝑓̂𝑗(𝑥𝑗) (2.14)
Dengan kendala
∑𝑗∉𝐿𝑔̂𝑖𝑗(𝑥𝑗)(≤, =, ≥)𝑏𝑖, (𝑖 = 1,2, … , 𝑚) (2.15a) 𝑥𝑗 ≥ 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑗 ∉ 𝐿 (2.15b)
12
Perhatikan bahwa fungsi tujuan dan fungsi kendala pada masalah AP adalah fungsi linier sepotong-sepotong.
Berdasarkan persamaan (2.8 – 2.10b), masalah AP dapat ditulis ulang sebagai masalah LAP yang dituliskan sebagai berikut.
e. Membentuk masalah LAP
Memasksimumkan/Meminimumkan
𝑍 = ∑𝑗∉𝐿∑𝑘𝑗𝑣=1𝑓𝑗(𝑥𝑣𝑗)𝜆𝑣𝑗 (2.16) Dengan kendala
∑𝑗∉𝐿∑𝑘𝑗𝑣=1𝑔𝑖𝑗(𝑥𝑣𝑗)𝜆𝑣𝑗(≤, =, ≥)𝑏𝑖, (𝑖 = 1,2, … , 𝑚) (2.17a)
∑𝑘𝑗𝑣=1𝜆𝑣𝑗 = 1 (2.17b)
𝜆𝑣𝑗 ≥ 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑣 = 1,2, … , 𝑘𝑗; 𝑗 ∉ 𝐿 (2.17c) dan terdapat paling sedikit satu 𝜆𝑣𝑗 tidak nol atau paling banyak dua 𝜆𝑣𝑗, 𝜆(𝑣+1)𝑗 tidak nol dan berdampingan.
Dari fungsi tujuan dan fungsi kendala linear yang diperoleh pada persamaan (2.15 – 2.16c) yang disebut sebagai masalah LAP, maka masalah LAP dapat diselesaikan dengan menggunakan simpleks biasa. Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh penyelesaian masalah separable programming menggunakan fungsi linier sepotong-sepotong sebagai hampiran fungsi nonlinier dengan formulasi lamda. Pada skripsi ini penyelesaian menggunakan metode simpleks biasa akan dilakukan dengan bantuan software WinQSB. Selanjutnya akan dibahas mengenai software WinQSB.
2.5 WinQSB
WinQSB merupakan perangkat lunak untuk menyelesaiakan permasalahan yang berkaitan dengan optimasi maupun sistem produksi. Program WinQSB
13
manajemen, sehingga saat ini merupakan program pendukung keputusan (decision support system) paling lengkap yang tersedia disini. Beberapa modul tersebut di antaranya adalah linear programming dengan berbagai variasinya (mulai dari yang linier dan nonlinier, hingga yang integer dan kuadratik), analisis jaringan (ada network modeling, dynamic programming, PERT/CPM), teori antrian (queuing analysis dan queuing system simulation), teori persediaan (termasuk MRP atau material requirement planning), penjadwalan produksi, hingga ke penentuan lokasi bangunan atau departemen yang optimal, sehingga tidak timbul pemborosan (Febriani Lina, 2015)
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Rancangan Penelitian
Rancangan penelitian ini adalah penelitian yang bersifat deskriptif yaitu rancangan penelitian yang tidak hanya teratas pada masalah pengumpulan atau penyusunan data tetapi juga meliputi analisis dan interpretasi data tersebut. Oleh karena itu, penelitian deskriptif memungkinkan mengambil bentuk penelitian komparatif yaitu suatu penelitian yang membandingkan suatu gejala atau kriteria dengan kriteria yang lain.
Tujuan dari penelitian desktriptif yaitu menghasilkan gambaran yang akurat terhadap suatu permasalahan yang sedang di teliti. Pada penelitian ini, di cari gambaran tentang pengoptimalan suatu produksi barang dengan menggunakan separable programming.
3.2 Jenis dan Teknik Pengumpulan Data
Tahap ini dimulai dengan studi pendahuluan yaitu berupa studi kepustakaan dengan mengumpulkan bahan referensi. Selanjutnya jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah jenis data sekunder yaitu data yang diperoleh tidak secara langsung dari objek penelitian. Penelitian mendapatkan data yang dikutip dari jurnal Rofiqotun Najah dan Eminugroho Ratna Sari.
3.3 Analisis Data
Tahapan pengambilan keputusan metode separable programming adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan suatu masalah,
2. Mentransformasikan fungsi nonlinear menjadi fungsi linear, 3. Membentuk masalah AP,
4. Membentuk masalah LAP, 5. Mencari solusi.
15
Berikut ini disajikan kerangka pemikiran dari penelitian sebagai berikut:
Gambar 3.1 Kerangka pemikiran Fungsi Nonlinear
Membentuk Masalah P
Mentranformasikan Fungsi Nonlinear Menjadi Fungsi Linear dengan Hampiran Fungsi Linear Sepotong-Sepotong Formasi
Lambda dan Membuat Titik Kisi
Membentuk Masalah AP
Membentuk Masalah LAP
Menyelesaiakan Masalah LAP dengan Menggunakan Software WinQSB
Mencari Solusi Optimal
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai penyelesaian masalah pemprograman nonlinier dengan penyelesaian metode separable programming menggunakan hampiran fungsi linier sepotong-sepotong dengan metode simpleks.
4.1 Peneyelesaian Masalah Nonlinier Menggunakan Pendekatan Separable Programming
Separable Programming merupakan metode penyelesaian model nonlinier yang khusus karena fungsi tujuan dan fungsi kendalanya harus dinyatakan sebagai jumlah fungsi satu variabel dan bukan perkalian dua variabel berbeda atau lebih.
Separable Programming selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan hampiran fungsi linier sepotong-sepotong. Adapun langkah penyelesaiannya yaitu:
a. Membentuk model nonlinier
b. Membentuk masalah P (Fungsi Separable)
c. Mentransformasikan fungsi nonlinier menjadi fungsi linier dengan hampiran linier sepotong-sepotong formulasi lambda dan membuat titik kisi.
d. Membentuk masalah AP e. Membentuk masalah LAP f. Menyelesaikan masalah LAP.
Masalah LAP yang diperoleh merupakan pemrograman linier yang selanjutnya dapat diselesaiakan dengan metode penyelesaian pemprograman linier.
Skripsi ini menggunakan meode simpleks untuk menyelesaikan pemprograman linier yang telah diperoleh.
4.2 Penerapan Model Nonlinier pada Data
Pada subbab ini akan dibahas bagaimana pembentukan model nonlinier untuk optimum biaya produksi salis konveksi selanjutnya akan dibahas langkah penyelesaian fungsi linier sepotong-sepotong. Pada penyelesaian akhir separable programming setelah terbentuk fungsi linier dengan kendala linier selanjutnya akan
17
4.2.1 Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari jurnal Vol.7 No. 2 , selanjutnya akan diselesaikan dengan metode separable programming dengan simpleks.
Salis konveksi merupakan salah satu konveksi yang berlokasi di Solo. Solo adalah kota yang terkenal dengan pusat grosir dari berbagai macam pakaian.
Sehingga banyak pembeli berasal dari kota lain. Oleh sebab itu banyak penjual yang menjual pakaiannya secara online, dan salis konveksi merupakan salah satu konveksi yang bekerjasama dengan beberapa penjual online untuk memproduksi pakaian.
Salah satu nilai tambah dari Salis Konveksi adalah Salis Konveksi dapat menerima bahan pakaian dari pelanggan untuk kemudian dibuat pakaian berdasarkan pesanan, sehingga pelanggan hanya membayar biaya produksi saja. Biaya tersebut relatif lebih murah dibandingkan dengan konveksi lain di Solo, namun karena lokasi Salis Konveksi yang tidak terlalu strategis, menyebabkan Salis Konveksi menjadi kurang banyak diminati oleh para pelanggan. Hal tersebut mengakibatkan jumlah produksi tiap bulan di Salis Konveksi tidak selalu tetap. Jumlah biaya produksi yang selalu berubah-ubah ini membuat model matematika yang akan diterapkan merupakan jenis model nonlinier. Berikut data produksi dan data biaya produksi pada Salis Koveksi.
Tabel 1. Data Produksi Atasan
Dewasa
Rok Dewasa
Dress Anak
Atasan Anak
Juli 2016 178 159 235 242
Agustus 2016 193 94 173 236
September 2016 215 132 184 251
Oktober 2016 243 103 193 367
November 2016 134 256 209 96
Desember 2016 215 145 247 195
18
Table 2. Data Biaya Produk
Dalam penelitian ini diasumsikan beberapa hal, yaitu : 1. Produksi setiap bulan selalu habis terjual.
2. Tidak ada perubahan biaya.
Selanjutnya, berdasarkan tujuan yang akan dicapai yaitu untuk meminimumkan biaya produksi Salis Konveks, maka dibentuk variabel keputusan yang akan digunakan yaitu:
𝑥1 = banyak produksi atasan dewasa dalam satu bulan.
𝑥2 = banyak produksi rok dewasa dalam satu bulan.
𝑥3 = banyak produksi dress anak dalam satu bulan.
𝑥4 = banyak produksi atasan anak dalam satu bulan.
Fungsi tujuan dibentuk dengan menjadikan jumlah produksi total tiap jenis sebagai nilai 𝑥, dan biaya produksi setiap jenis produksi sebagai nilai 𝑓(𝑥). Fungsi biaya yang dikeluarkan untuk memperoduksi setiap jenis pakaian diperoleh dengan
Atasan
Dewasa Rok Dewasa Dress Anak Atasan Anak Juli 2016 Rp 1,487,500 Rp 1,275,000 Rp 1,508,000 Rp 1,248,000 Agustus 2016 Rp 1,615,000 Rp 765,000 Rp 1,105,000 Rp 1,222,000 September 2016 Rp 1,785,000 Rp 1,105,000 Rp 1,170,000 Rp 1,300,000 Oktober 2016 Rp 2,040,000 Rp 858,500 Rp 1,235,000 Rp 1,980,000 November 2016 Rp 1,105,000 Rp 2,125,000 Rp 1,300,000 Rp 495,000 Desember 2016 Rp 1,785,000 Rp 1,050,000 Rp 1,579,500 Rp 1,045,000
19
mencari regresi polynomial yang akan ditentukan dengan software Geogebra melalui perintah fitpoly, sehingga didapatkan fungsi tujuan adalah
Meminimumkan :
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) = 0,38𝑥12 +8344,04𝑥1 + 12,07𝑥22 +4043,24𝑥2 + 15,86𝑥32
−232,07𝑥3+ 1,83𝑥42 + 4586,28𝑥4 + 1001032,87 (3.1) Fungsi kendala dari permasalahan ini, jumlah produksi minimal untuk Atasan Dewasa (𝑥1) adalah 102 pcs, Rok Dewasa (𝑥2) adalah sebanyak 98 pcs, dress Anak (𝑥3) adalah sebanyak 180 pcs, dan Atasan Anak (𝑥2) adalah sebanyak 40 pcs. Dan dari permasalahan tersebut dapat dibentuk sebagai berikut :
𝑥1 ≥ 102 (3.2a)
𝑥2 ≥ 98 (3.2b)
𝑥3 ≥ 180 (3.2c)
𝑥4 ≥ 40 (3.2d)
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3𝑥4 ≥ 0 (3.2e)
Jadi permasalahan pada data dapat dimodelkan menjadi model nonlinier dengan fungsi tujuan sesuai dengan persamaan (3.1) dan fungsi kendala sesuai dengan persamaan (3.2).
4.3 Penyelesaian Model Nonlinier Menggunakan Separable Programming Metode Hampiran Sepotong-sepotong.
Penyelesaian model nonlinear dengan pendekatan separable programming selanjutnya dikerjakan menggunakan metode hampiran fungsi linier sepotong- sepotong (piecewise linear approximation). Adapun langkah-langkah penyelesaian yaitu sebagai berikut:
a. Membentuk Masalah P
20
𝑓1(𝑥1) = 0,38𝑥12 +8344,04𝑥1 (3.3a) 𝑓2(𝑥2) = 12,07𝑥22 +4043,24𝑥2 (3.3b) 𝑓3(𝑥3) = 15,86𝑥32 −232,07𝑥3 (3.3c) 𝑓4(𝑥4) = 1,83𝑥42 + 4586,28𝑥4 + 1001032,87 (3.3d) Persamaan (3.1) yang telah dijabarkan dalam persamaan (3.3) tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsi saparable seperti persamaan (2.5) untuk 𝑗 = 1,2,3,4 yaitu:
𝑓(𝑋) = ∑4𝑗=1𝑓1(𝑥1) = 𝑓1(𝑥1) + 𝑓2(𝑥2) + 𝑓3(𝑥3) + 𝑓4(𝑥4) (3.4) Berdasarkan fungsi kendala (3.2) dan persamaan (2.9), maka fungsi kendala tersebut dapat diubah menjadi:
𝑔11(𝑥1) = 𝑥1; 𝑔21(𝑥2) = 0; 𝑔31(𝑥3) = 0; 𝑔41(𝑥4) = 0 (3.5a) 𝑔12(𝑥1) = 0; 𝑔22(𝑥2) = 𝑥2; 𝑔32(𝑥3) = 0; 𝑔42(𝑥4) = 0 (3.5b) 𝑔13(𝑥1) = 0; 𝑔23(𝑥2) = 0; 𝑔33(𝑥3) = 𝑥3; 𝑔43(𝑥4) = 0 (3.5c) 𝑔14(𝑥1) = 0; 𝑔24(𝑥2) = 0; 𝑔34(𝑥3) = 0; 𝑔44(𝑥4) = 𝑥4 (3.5d) Pada pembentukan fungsi kendala dengan pendekatan separable programming perlu ditambahkan satu kendala lagi yaitu interval nilai 𝑥𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3,4. Berdasarkan kendala (3.2) maka kendala baru yang ditambahkan yaitu
0 ≤ 𝑥𝑗 ≤ 190. (3.5e)
Batas atas 𝑥𝑗 dalam permasalahan ini digunakan 190 karena yang mendekati nilai yang paling besar.
b. Menentukan Jumlah Titik Kisi
Sebelum melakukan fungsi linier sepotong-sepotong untuk 𝑓𝑗(𝑥𝑣𝑗) dan 𝑔𝑖𝑗(𝑥𝑣𝑗) perlu ditentukan 𝑎𝑗 dan 𝑏𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 sedemikian sehingga nilai pada solusi optimal akan memenuhi 𝑎𝑗 ≤ 𝑥𝑣𝑗 ≤ 𝑏𝑗. Interval [𝑎𝑗, 𝑏𝑗] dibentuk berdasarkan fungsi kendala yang ada.
Banyaknya titik kisi dapat ditentukan secara sembarang. Pada perhitungan awal untuk masalah ini ditetapkan jumlah titik kisi yang digunakan sebanyak empat (𝑣 = 1,2,3,4). Interval setiap titik kisi pada masalah ini dibuat sama agar mempermudah perhitungan. Berdasarkan (3.5e) maka nilai 𝑥𝑣𝑗 untuk masalah ini adalah sebagai berikut:
21
𝑥12 = 0; 𝑥22 = 70; 𝑥32 = 140; 𝑥42 = 190; (3.6b) 𝑥13 = 0; 𝑥23 = 70; 𝑥33 = 140; 𝑥43 = 190; (3.6c) 𝑥14 = 0; 𝑥24 = 70; 𝑥34 = 140; 𝑥44 = 190; (3.6d)
Nilai fungsi titik kisi dengan 4 titik kisi dapat dilihat pada lampiran 1.
c. Membentuk Masalah AP
Pembentukan masalah AP diperoleh dengan cara membentuk model linier dari masalah P yang dilakukan dengan hampiran fungsi linier sepotong-sepotong formulasi lambda. Berdasarkan persamaan (2.10), (2.11) dan (2.12) maka diperoleh hampiran liniernya yaitu:
𝑓̂1(𝑥1) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑓1(𝑥𝑣1) (3.7a) 𝑓̂2(𝑥2) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑓2(𝑥𝑣2) (3.7b) 𝑓̂3(𝑥3) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑓3(𝑥𝑣3) (3.7c) 𝑓̂4(𝑥4) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑓4(𝑥𝑣4) (3.7d) Dengan kendala
𝑔̂11(𝑥1) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑔11(𝑥𝑣1) (3.8a) 𝑔̂12(𝑥2) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑔12(𝑥𝑣2) (3.8b) 𝑔̂13(𝑥3) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑔13(𝑥𝑣3) (3.8c) 𝑔̂14(𝑥4) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑔14(𝑥𝑣4) (3.8d) 𝑔̂21(𝑥1) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑔21(𝑥𝑣1) (3.8e) 𝑔̂22(𝑥2) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑔22(𝑥𝑣2) (3.8f) 𝑔̂23(𝑥3) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑔23(𝑥𝑣3) (3.8g) 𝑔̂24(𝑥4) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑔24(𝑥𝑣4) (3.8h)
22
𝑔̂32(𝑥2) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑔32(𝑥𝑣2) (3.8j) 𝑔̂33(𝑥3) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑔33(𝑥𝑣3) (3.8k) 𝑔̂34(𝑥4) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑔34(𝑥𝑣4) (3.8l) 𝑔̂41(𝑥1) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑔41(𝑥𝑣1) (3.8m) 𝑔̂42(𝑥2) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑔42(𝑥𝑣2) (3.8n) 𝑔̂43(𝑥3) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑔43(𝑥𝑣3) (3.8o) 𝑔̂44(𝑥4) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑔44(𝑥𝑣4) (3.8p)
𝜆11+ 𝜆21+ 𝜆31+ 𝜆41= 1 (3.9a)
𝜆12+ 𝜆22+ 𝜆32+ 𝜆42= 1 (3.9b)
𝜆13+ 𝜆23+ 𝜆33+ 𝜆43= 1 (3.9c)
𝜆14+ 𝜆24+ 𝜆34+ 𝜆44= 1 (3.9d) 𝜆𝑣1, 𝜆𝑣2, 𝜆𝑣3, 𝜆𝑣4 ≥ 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑣 = 1,2, … ,4.
Dengan 𝑥𝑗 yang diperoleh berdasarkan persamaan (2.13) yaitu:
𝑥1 = 0𝜆11+ 70𝜆21+ 140𝜆31+ 190𝜆41 (3.10a) 𝑥2 = 0𝜆12+ 70𝜆22+ 140𝜆32+ 190𝜆42 (3.10b) 𝑥3 = 0𝜆13+ 70𝜆23+ 140𝜆33+ 190𝜆43 (3.10c) 𝑥4 = 0𝜆14+ 70𝜆24+ 140𝜆34+ 190𝜆44 (3.10d) Sehingga diperoleh masalah AP sebagai berikut:
Meminimumkan
∑ 𝑓̂ (𝑥) (3.11)
23
Dengan kendala
∑𝑗∉𝑙𝑔̂𝑖𝑗(𝑥𝑗) ≥ 𝑏𝑖, (𝑖 = 1,2, … , 𝑚) (3.12) d. Membentuk Masalah LAP
Berdasarkan persamaan (2.14), fungsi tujuan masalah LAP dapat ditulis sebagai berikut:
∑𝑗∉𝑙𝑓̂1(𝑥1) = 𝑓̂1(𝑥1) + 𝑓̂2(𝑥2) + 𝑓̂3(𝑥3) + 𝑓̂4(𝑥4) (3.13) Berdasarkan persamaan (3.7a) – (3.7d), persamaan (3.13) dapat dituliskan sebagai berikut:
∑𝑗∉𝑙𝑓̂𝑗(𝑥𝑗) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑓1(𝑥𝑣1) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑓2(𝑥𝑣2) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑓3(𝑥𝑣3) +
∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑓4(𝑥𝑣4) (3.14) Berdasarkan persamaan (2.16), persamaan (3.14) dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑓̂𝑗(𝑥𝑣𝑗) = [𝜆11𝑓1(𝑥11) + 𝜆21𝑓1(𝑥21) + 𝜆31𝑓1(𝑥31) + 𝜆41𝑓1(𝑥31)] + [𝜆12𝑓2(𝑥12) + 𝜆22𝑓2(𝑥22) + 𝜆32𝑓2(𝑥32) + 𝜆42𝑓2(𝑥42)] + [𝜆13𝑓3(𝑥13) + 𝜆23𝑓3(𝑥23) + 𝜆33𝑓3(𝑥33) + 𝜆43𝑓3(𝑥43)] +
[𝜆14𝑓4(𝑥14) + 𝜆24𝑓4(𝑥24) + 𝜆34𝑓4(𝑥34) + 𝜆44𝑓4(𝑥44)]. (3.15) Berdasarkan persamaan (3.3), (3.4) dan (3.5) dalam menghitung nilai dari 𝑓𝑗(𝑥𝑣𝑗), 𝑔𝑖𝑗(𝑥𝑣𝑗) dan table nilai fungsi titik kisi pada lampiran 1, diperoleh hampiran fungsi tujuan linier sebagai berikut:
𝑓̂𝑗(𝑥𝑣𝑗) = 0𝜆11+ 585944.8𝜆21+ 1175614𝜆31+ 1599086𝜆41+ 0𝜆12+ 342169.8𝜆22+ 802625.6𝜆32+ 1203943𝜆42+ 0𝜆13+ 61469.1𝜆23+ 278366.2𝜆33+ 528452.7𝜆43+
0𝜆14+ 1331039.5𝜆24+ 1678980.7𝜆34+ 1938489.07𝜆44. (3.16) Berdasarkan persamaan (2.15a), fungsi kendala masalah LAP dapa dituliskan sebagai berikut:
∑ 𝑔 (𝜆 ) = 𝑔̂ (𝑥 ) + 𝑔̂ (𝑥 ) + 𝑔̂ (𝑥 ) + 𝑔̂ (𝑥 ) ≥ 𝑏 (3.17a)
24
𝑔̂21(𝑥1) + 𝑔̂22(𝑥2) + 𝑔̂23(𝑥3) + 𝑔̂24(𝑥4) ≥ 𝑏2 (3.17b) 𝑔̂31(𝑥1) + 𝑔̂32(𝑥2) + 𝑔̂33(𝑥3) + 𝑔̂34(𝑥4) ≥ 𝑏3 (3.17c) 𝑔̂41(𝑥1) + 𝑔̂42(𝑥2) + 𝑔̂43(𝑥3) + 𝑔̂44(𝑥4) ≥ 𝑏4 (3.17d) Berdasarkan persamaan (2.17a), persamaan (3.17) dapat dituliskan sebagai berikut:
∑𝑗∉𝐿𝑔1𝑗(𝜆𝑗) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑔11(𝑥𝑣1) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑔12(𝑥𝑣2) +
∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑔13(𝑥𝑣3) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑔14(𝑥𝑣4) ≥ 𝑏1 (3.18a)
∑𝑗∉𝐿𝑔1𝑗(𝜆𝑗) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑔21(𝑥𝑣1) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑔22(𝑥𝑣2) +
∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑔23(𝑥𝑣3) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑔24(𝑥𝑣4) ≥ 𝑏2 (3.18b)
∑𝑗∉𝐿𝑔1𝑗(𝜆𝑗) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑔31(𝑥𝑣1) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑔32(𝑥𝑣2) +
∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑔33(𝑥𝑣3) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑔34(𝑥𝑣4) ≥ 𝑏3 (3.18c) ∑𝑗∉𝐿𝑔1𝑗(𝜆𝑗) = ∑4𝑣=1𝜆𝑣1𝑔41(𝑥𝑣1) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣2𝑔42(𝑥𝑣2) +
∑4𝑣=1𝜆𝑣3𝑔43(𝑥𝑣3) + ∑4𝑣=1𝜆𝑣4𝑔44(𝑥𝑣4) ≥ 𝑏4 (3.18d) Berdasarkan persamaan (2.17a), persamaan (3.18) dapat dituliskan sebagai berikut:
∑𝑗∉𝐿∑4𝑣=1𝑔̂1𝑗(𝑥𝑣𝑗)𝜆𝑣𝑗 = [𝜆11𝑔11(𝑥11) + ⋯ + 𝜆41𝑔11(𝑥41)] + [𝜆12𝑔12(𝑥12) + ⋯ + 𝜆42𝑔12(𝑥42)] +
[𝜆13𝑔13(𝑥13) + ⋯ + 𝜆43𝑔13(𝑥43)] +
[𝜆14𝑔14(𝑥14) + ⋯ + 𝜆44𝑔14(𝑥44)] (3.19a)
∑𝑗∉𝐿∑4𝑣=1𝑔̂1𝑗(𝑥𝑣𝑗)𝜆𝑣𝑗 = [𝜆11𝑔21(𝑥12) + ⋯ + 𝜆41𝑔21(𝑥41)] +
